SEMINARIO
UNIVERSITARIO
MODULO
B
TRIGONOMETRIA NOCIONES PREVIAS
Si consideramos tres varillas a, b, c tales que puede construirse con ellas un triángulo (siempre que se cumpla que la medida de cada varilla sea menor que la suma de las otras dos y mayor que la diferencia) rectángulo y resolvemos medir todas las varillas tomando como unidad a cada una de ellas, se obtendrán los siguientes cocientes:
b c b c a a , , , , , a a c b c b
Ej.: ab =
2b 2a
= .... =
kb ka
k ∈ R − {0 }
A estas razones numéricas se les da el nombre:
sen β =
b a
=
cateto opuesto a β hipotenusa
(1)
cos β =
c a
=
cateto adyacente a β hipotenusa
(2)
tg β =
=
b c
cotg β = sec β =
cateto opuesto a β cateto adyacente a β
c b
a c
cosec β =
a b
Si en cambio consideramos γ , resulta: c a b cos γ = a c tg γ = b
sen γ =
(3) (4)
Comparando (1), (2), (3), (4) obtenemos:
sen β = cos γ cos β = sen γ
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MODULO
B
Teniendo en cuenta que β + γ = 90º (ángulos complementarios) resulta: sen β = cos (90° − β) cos β = sen (90° − β) OBSERVACIÓN:
El coseno, cotangente y cosecante de un ángulo ( β ) agregan el prefijo co al seno, tangente y secante por la relación que los vincula con el ángulo complementario. Otras nociones previas:
ÁNGULOS Definición: Un ángulo en el plano es la figura engendrada por la rotación de una semirrecta alrededor de su origen, desde una posición inicial hasta una posición terminal. La amplitud de la rotación es la medida del ángulo.
• Si la rotación se efectúa en sentido contrario al de las agujas del reloj diremos que el ángulo es positivo, en caso contrario el ángulo es negativo. Circunferencia unitaria
Si dibujamos una circunferencia con centro en C y radio r = 1.
Radián: un radián es el ángulo que teniendo su vértice en el
centro de una circunferencia sus lados determinan sobre la misma al cortarla un arco de longitud igual a un radio.
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MATEMATICA
Así:
Unidad 6
FISICA
360° = 2π rad 180° = π rad 90° = π2 rad 45° = π4 rad 30° = π6 rad
Ejercicio:
1. Exprese en radianes
a) 270°
b) 60°
c) 210°
d ) - 30°
e) 120°
f ) - 135° Rta: a) 32 π , b) π3 , c) 76 π , d ) − π6 , e) 23π , f ) − 34π
2. Exprese en grados sexagesimales
a) 34π
b) 53 π c)4π
d )1.2 e)1
f )3 Rta: a) 135º, b) 300º, c) 720º, d) 68º 45′ 18”, e) 57º 17 ′ 45”, f) 171º 53′ 14”.
3. Un velero navega alrededor de una boya fija describiendo una circunferencia. El arco recorrido por el velero desde su posición inicial hasta su posición final es de 1700m y abarca un ángulo central de 120º. Calcule la distancia desde el velero hasta la boya. 4. Demuestre que el área de un sector circular (ver figura) generado por el ángulo α en un circulo de radio r es: 1 A = r 2α 2
Sugerencia: utilice el teorema que dice: “En todo círculo las áreas de dos sectores circulares son proporcionales a los ángulos centrales” y tome como sector circular conocido al que corresponde a medio círculo. Posición normal de un ángulo
Definición: Un ángulo está en posición normal si su vértice coincide con el origen de coordenadas y su lado inicial coincide con el eje positivo de las abscisas. Si el lado terminal está en el primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante diremos que el ángulo es un ángulo del primer, segundo, tercer o cuarto cuadrante respectivamente.
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MODULO
B
OBSERVACIÓN:
Consideramos como primer cuadrante al determinado por los semiejes positivos de coordenadas y como segundo cuadrante al determinado por el semieje de abscisas negativas y de ordenadas positivas. Este ordenamiento determina el sentido para enumerar los restantes cuadrantes.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (O CIRCULARES) Sobre un sistema cartesiano de ejes dibujamos la circunferencia trigonométrica que es la que tiene centro en el origen y radio r (r = 1) y tomamos un ángulo α en posición normal.
El lado terminal de α determina sobre la circunferencia un punto P que tiene por coordenadas x: abscisa ( x ∈ R ) e y: ordenada ( y ∈ R ) Puede observarse en la figura que: • OP = r (radio) medida del radio • r>0 • AP es el arco que corresponde al ángulo central α • P ∈ primer cuadrante ⇒ x > 0 , y > 0 P ∈ segundo cuadrante ⇒ x < 0 , y > 0 P ∈ tercer cuadrante ⇒ x < 0 , y < 0 P ∈ cuarto cuadrante ⇒ x > 0 , y < 0
Reformulando las razones numéricas expuestas al comienzo obtenemos:
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MATEMATICA
Unidad 6
FISICA
senα =
y r
=
ordenada de P medida del radio
=
y 1
=y
cosα =
x r
=
abscisa de P medida del radio
=
x 1
=x
tgα =
=
y x
cotgα = secα =
ordenada de P abscisa de P
=
y x
x y
r x
cosecα =
=
1 x
r y
=
1 y
Donde observamos que la ordenada del punto P es el seno del ángulo α y la abscisa de P es el coseno del mismo ángulo. Los números sen α y cos α dependen sólo de α no de la medida del radio. OBSERVACIONES:
sen α : El signo del sen α coincide con el signo de y en el cuadrante correspondiente. Así: 0 0 2 3π π0) ( y >0) ( y
