TRIGONOMETRIA (Apunte Teórico) Definición de ángulo Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas de origen común. Este punto en común es el vértice del ángulo y las semirrectas son los lados del ángulo. Los ángulos se denominan generalmente con letras griegas: ˆ , ˆ , ˆ , ... Si llamamos A al origen de las semirrectas, y B y C son dos puntos en cada una de las semirrectas, entonces el ángulo ˆ ángulo(BAC) .

Si la rotación se efectúa en sentido contrario al de las agujas del reloj diremos que el ángulo es positivo, en caso contrario el ángulo es negativo.

Sistemas de medición de ángulos Existen distintos sistemas de medición de ángulos (de manera análoga a la que existen distintos sistemas para medir, por ejemplo, distancias: millas, kilómetros, leguas, etc.). Los sistemas que veremos en este curso serán el sistema sexagesimal, el sistema horario y el sistema circular.

1

El sistema sexagesimal tiene como unidad al grado sexagesimal. La vuelta completa equivale a 360º. Un grado sexagesimal es la amplitud del ángulo que se obtiene al dividir a la circunferencia en 360 partes iguales. Por lo tanto un cuarto equivale a 90º, la mitad a 180º, tres cuartos a 270º, etc. Este sistema tiene como submúltiplos al minuto y al segundo. 60 minutos equivalen a un grado sexagesimal, y 60 segundos a un minuto. Es decir: 1º = 60’ y 1’ = 60”

Ejemplo 1: Supongamos que queremos escribir el ángulo α = 42◦ 30’ 15” como fracción de grado. Para hacer esto tenemos que ver a cuántos grados equivalen 30′ 15′′. Entonces, utilizando las equivalencias dadas anteriormente tenemos que: 60” = 1’ y 15” = X (regla de tres simple) Entonces X= (15”x 1’)/60” = 0’,25 Así encontramos que 15” = 0’,25 Ahora tenemos que α = 42º 30’,15 Finalmente, para pasar de minutos a fracción de grado hacemos el mismo procedimiento que realizamos recién: 60’ = 1º y 30’,25 = X (regla de tres simple) Entonces X= (30’,25x 1º)/60’ = 0º,5041 De este modo encontramos que finalmente α = 42◦ 30’ 15” = 42º,5041

El sistema circular tiene como unidad el radian. Una vuelta completa equivale a 2π radianes. Esto se denota: 2π ó 2π rad. En general en este sistema no se escribe la unidad, es decir que un ángulo de 2π radianes se expresa como 2π. Los radianes se escriben como un número real, las fracciones de radianes no tienen una notación particular.

Un radián (rad) es la medida del ángulo central de una circunferencia cuya longitud de arco coincide con la longitud del radio de la circunferencia. Entre ambos sistemas podemos hallar equivalencias. 360º  2rad 2

180º   rad

90º  / 2 rad

Veamos a cuántos grados sexagesimales equivale un ángulo de un radián. 2 rad = 360º y 1rad = X Entonces 𝑋 =

360º 1𝑟𝑎𝑑 2𝜋𝑟𝑎𝑑

= 57,29º

Ejemplo 2: Ahora si queremos pasar α = 760º a radianes: 𝜋

Solo basta con multiplicar por 180º Entonces calculamos:

760º 𝜋 180º

= 4, 2̂ 𝜋

Ejemplo 3: Si queremos pasar 42º 30’ 15” a radianes. Primero tenemos que pasarlo como fracción de 𝜋 grado. (fue realizado en el ejemplo 1, cuyo resultado es 42,5041, luego aplicamos la formula 180º y nos da 0,2361 𝜋. Entonces multiplicamos por

180º 𝜋

siendo

180º 𝜋

0,2361π = 42,498º

Ejemplo 4: Pasar de Radianes a Grados 0,2361π Ángulos complementarios y suplementarios Dos ángulos son complementarios si su suma es igual a un ángulo recto, es decir a un ángulo de 90º.

Dos ángulos son suplementarios si su suma es igual a un ángulo llano, es decir a un ángulo de 180º.

Longitud del arco Para hallar la longitud de un arco de la circunferencia se necesita saber el ángulo θ y el radio r y la siguiente fórmula: 𝑆 = 𝜃. 𝑟 Por ejemplo: Tenemos a θ = 20º y r = 4 ¿Cuánto vale S? Primero tenemos que convertir el ángulo en radianes: 𝜋

Es decir: 20º 180 =

𝜋 9

, entonces aplicamos la fórmula

𝜋 𝑆 = 𝜃. 𝑟 → 𝑆 = 9 . 4 𝑜 𝑆 = 0, 4̂𝜋

3

Lo mismo sucede si queremos hallar el ángulo (teniendo como datos r y S) o también si 𝑆 𝑆 queremos hallar r (teniendo los datos θ y S) 𝜃 = 𝑟 𝑟 = 𝜃 respectivamente Funciones trigonométricas Una primera manera de definir las funciones trigonométricas es a partir de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es aquél que tiene un ángulo recto como uno de sus ángulos interiores. En este caso, los lados que forman el ángulo recto se llaman catetos, y el tercer lado es la hipotenusa. Si uno toma un ángulo interior, que no sea el ángulo recto, entonces el cateto que forma dicho ángulo será el cateto adyacente, mientras que el otro será el cateto opuesto.

Las funciones trigonométricas son el seno, sen; el coseno, cos, y la tangente, tan y se definen como: 𝑠𝑒𝑛 𝛼 =

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑜𝑠 𝛼 =

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑂𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝐴𝑑𝑦𝑎𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

Funciones trigonométricas Recíprocas Son las siguientes:

1

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛 𝛼

Tabla Trigonométrica de ángulos

4

1

𝑠𝑒𝑐 𝛼 = 𝑐𝑜𝑠𝛼

1

𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛 𝛼 = 𝑡𝑎𝑛𝛼