I.S.P.I. Nº 9009 “SAN JUAN BAUTISTA DE LA SALLE” TÓPICOS DE GEOMETRÍA (Prof. Roberto Biraghi / Año 2014)
Superficies I y II (práctica adicional)
Práctica adicional 1)
Identificar el lugar geométrico que describen las siguientes ecuaciones, en ℝ2 y en ℝ3 . Esbozar su gráfica. a) 𝑦𝑦 2 = 16 f) 48 + 12𝑦𝑦 2 − 4𝑥𝑥 2 = 0 2 g) 𝑦𝑦 2 = 8𝑥𝑥 − 24 b) 𝑥𝑥 = 36𝑥𝑥 h) 𝑦𝑦 2 = −𝑥𝑥𝑥𝑥 c) 8 = 𝑦𝑦 2 + 𝑥𝑥 2 2 2 d) 𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 = 4 i) 𝑥𝑥 2 − 4𝑦𝑦 2 − 2𝑥𝑥 + 1 = 0 e) 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1 j) 4𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦 2 + 32𝑥𝑥 − 18𝑦𝑦 + 37 = 0
2) Identificar el lugar geométrico de los puntos de ℝ3 determinado por las ecuaciones dadas. Graficarlo. a) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 2𝑦𝑦 = 0 c) e) a) c) e) g) i)
𝑥𝑥 2
𝑦𝑦 2
+ 9 + 𝑧𝑧 2 = 1 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 − 4𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 − 18𝑧𝑧 + 13 = 0 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 1 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 4𝑧𝑧 = 0 3𝑥𝑥 2 + 8𝑦𝑦 2 − 4𝑧𝑧 2 − 24 = 0 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 4 2
b) 𝑥𝑥 2 − 𝑧𝑧 2 − 2𝑥𝑥 = 0
d) 4𝑧𝑧 2 − 𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 = 1 f) b) d) f) h) j)
𝑦𝑦 2 − 4𝑧𝑧 2 = 0 4𝑥𝑥 2 + 4𝑦𝑦 2 + 36𝑧𝑧 2 = 36 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 𝑥𝑥 2 + 4𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 4 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 4 = −𝑧𝑧 2 16𝑥𝑥 2 = 𝑦𝑦 2 + 4𝑧𝑧 2
3) Identificar el lugar geométrico de los puntos de ℝ3 determinado por cada una de las ecuaciones y hallar las coordenadas del vértice o el centro de simetría, según corresponda. (𝑦𝑦−2)2
𝑧𝑧 2
a) 𝑥𝑥 2 + 9 + 4 = 1 c) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 6𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 3𝑧𝑧 = 15 e) 𝑥𝑥 2 +
(𝑦𝑦−2)2 9 2
+
𝑧𝑧 2 4
=0
g) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 2 − 4𝑧𝑧 + 8 = 0 i)
(𝑧𝑧−2)2 36
−
(𝑦𝑦−2)2
− 𝑥𝑥 = 0
25 (𝑦𝑦−2)2 2 (𝑥𝑥 − 3) + 4 2 2 2
(𝑧𝑧−1)2
k) − 5 =1 m) 3𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 + 24 = 0
(𝑦𝑦−2)2
(𝑧𝑧−1)2
b) (𝑥𝑥 − 3)2 + 4 − 5 = 0 d) 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 − 2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 − 2𝑧𝑧 + 7 = 0
f) 𝑥𝑥 2 − 4𝑦𝑦 2 + 2𝑧𝑧 2 − 6𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦 + 8𝑧𝑧 + 9 = 0 h) (𝑥𝑥 − 3)2 +
(𝑦𝑦−2)2 9 2
−
j) 𝑥𝑥 2 = (𝑦𝑦 + 1) − 𝑧𝑧 2
(𝑧𝑧−1)2 5
=1
l) 3𝑥𝑥 2 + 8𝑦𝑦 2 − 4𝑧𝑧 2 − 24 = 0
n) 2𝑥𝑥 2 + 3𝑦𝑦 2 + 16𝑥𝑥 − 6𝑦𝑦 + 29 = 0
4) Hallar la ecuación, identificar y representar gráficamente las superficies cilíndricas con las siguientes características: 2
2
a) Generatriz paralela al vector 𝑢𝑢1 = (2, −1, 0), directriz 𝛿𝛿1 = �−𝑧𝑧 + 𝑦𝑦 − 4𝑦𝑦 + 3 = 0 𝑥𝑥 = 0 (𝑦𝑦−4)2 2 b) Generatriz paralela al 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑥𝑥, directriz 𝛿𝛿2 = � 16 + (𝑧𝑧 − 1) = 1 𝑥𝑥 = 0 𝑧𝑧 = 3 − 𝑥𝑥 2 c) Generatriz paralela al vector 𝑢𝑢3 = (−1, −2, 2), directriz 𝛿𝛿3 = � 𝑦𝑦 = 0 2 d) Generatriz paralela al vector 𝑢𝑢4 = (1, −1, 1), directriz 𝛿𝛿4 = �𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥 𝑧𝑧 = 0 4𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 + 4𝑧𝑧 = 0 e) Generatriz paralela al vector 𝑢𝑢5 = (4, 1, 0), directriz 𝛿𝛿5 = � 𝑦𝑦 = 0 2 2 f) Generatriz paralela al vector 𝑢𝑢6 = (0, 2, 1), directriz 𝛿𝛿6 = �𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 1 𝑧𝑧 = 0
i
I.S.P.I. Nº 9009 “SAN JUAN BAUTISTA DE LA SALLE” TÓPICOS DE GEOMETRÍA (Prof. Roberto Biraghi / Año 2014)
Superficies I y II (práctica adicional) 5) Hallar la ecuación, identificar y esbozar la gráfica de las superficies cónicas con las siguientes características: a) Vértice 𝑉𝑉1 (1, 1, 2) y directriz 𝛿𝛿1 = � b) c) d) e) f)
(𝑥𝑥−1)2 4
+
(𝑦𝑦−1)2 9
=1
𝑧𝑧 = 0 (𝑥𝑥 − 2)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 = 9 Vértice 𝑉𝑉2 (2, 1, 4) y directriz 𝛿𝛿2 = � 𝑧𝑧 = 7 𝑦𝑦 2 = 𝑥𝑥 2 + 𝑧𝑧 2 Vértice 𝑉𝑉3 (−1, 0, 0) y directriz 𝛿𝛿3 = � 𝑦𝑦 = 2 2 𝑧𝑧 Vértice 𝑉𝑉4 (2, 0, 0) y directriz 𝛿𝛿4 = � = 4𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 0 2 2 Vértice 𝑉𝑉5 (−1, 1, 0) y directriz 𝛿𝛿5 = �𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 9 𝑥𝑥 = 0 𝑦𝑦 2 − 4𝑧𝑧 2 = 4 Vértice 𝑉𝑉6 (−1, 1, 1) y directriz 𝛿𝛿6 = � 𝑦𝑦 = 3
6) En cada caso, hallar la ecuación de la superficie esférica que cumpla las siguientes condiciones:
7)
8)
9)
a) Su centro pertenece al plano 3𝑥𝑥 + 8𝑦𝑦 − 8𝑧𝑧 = 4 y está inscripta en la superficie cilíndrica (𝑥𝑥 − 4)2 + (𝑦𝑦 − 2)2 = 9. b) Uno de sus diámetros es el segmento que une los puntos (1, 1, 2) y (7, 5, −6).
Hallar la ecuación e identificar el lugar geométrico de los puntos de ℝ3 que cumplan las siguientes condiciones: a) La suma de su distancia a los puntos (2, 0, 0) y (−2, 0, 0) es igual a 6. b) La suma de los cuadrados de su distancia a los ejes 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 es igual a 4. c) La suma de los cuadrados de su distancia a los tres ejes coordenados es constante. d) El cuadrado de su distancia al eje 𝑧𝑧 es el doble de la correspondiente distancia al plano 𝑥𝑥𝑥𝑥. e) Su distancia al plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 es igual a la mitad del cuadrado de su distancia al eje 𝑦𝑦. f) La distancia al plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 es el triple de la distancia al punto (1, 2, 3). g) Su distancia a la recta 𝑥𝑥 = 4, 𝑦𝑦 = 2 es el doble de la de la recta 𝑥𝑥 = 4, 𝑧𝑧 = 1. h) La distancia al plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 es el triple de la distancia al punto (1, 2, 3).
Hallar la ecuación canónica de las siguientes superficies: a) Una cuádrica con centro, si ésta pasa por el punto (1, 1, −1) y por la curva 4𝑦𝑦 2 + 2𝑧𝑧 2 = 3, 𝑥𝑥 = 2. b) Una cuádrica sin centro, si la superficie se extiende a lo largo del eje 𝑧𝑧 y pasa por los puntos (2, 1, 1) y (4, 3, −1).
Sea la superficie de ecuación 𝐴𝐴𝑥𝑥 2 − 𝐵𝐵𝑦𝑦 2 + 𝑧𝑧 2 = 1, determinar los valores reales de 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 de modo tal que se cumplan simultáneamente la siguientes condiciones: La traza en el plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 es una elipse cuyos ejes tienen longitud 2 y 4. La traza en el plano 𝑥𝑥𝑥𝑥 es una hipérbola equilátera. Identificar y graficar el lugar geométrico representado por esa ecuación.
10) En la ecuación 𝑥𝑥 2 + 𝐴𝐴𝑦𝑦 2 − 4𝑧𝑧 2 = 𝐵𝐵, determinar los valores posibles de los parámetros 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 para que represente: a) Un hiperboloide de una hoja de revolución. b) Un hiperboloide de dos hojas. c) Una superficie cilíndrica hiperbólica recta, cuya directriz sea una hipérbola de eje focal paralelo al eje 𝑥𝑥. d) Una superficie cónica elíptica recta. e) Una superficie cónica circular recta, o de revolución.
ii
