I.S.P.I. Nº 9009 “SAN JUAN BAUTISTA DE LA SALLE” Profesorado de Matemática para Tercer Ciclo de E.G.B. y Polimodal

Secciones cónicas (REVISIÓN)

Tópicos de Geometría

Prof. Roberto J. Biraghi / Año 2014

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Secciones cónicas (revisión)

Secciones cónicas (REVISIÓN)

ORIGEN DEL NOMBRE CÓNICA Apolonio de Pérgamo (contemporáneo de Arquímedes, siglo III AC) fue un gran geómetra griego que estudió, entre otras cosas, las denominadas secciones cónicas. Su obra de ocho volúmenes elevó el estudio de las curvas de segundo grado a una perfección no superada durante siglos. Al comienzo de su obra, Apolonio demuestra que circunferencia, elipse, parábola e hipérbola pueden determinarse al cortar una superficie cónica circular recta con planos de distinta inclinación, de ahí que estas curvas sean llamadas secciones cónicas o simplemente cónicas. A él debemos también los nombres de elipse, parábola e hipérbola.

Desde el punto de vista de la geometría analítica, una superficie cónica es la superficie generada por una recta (denominada generatriz) que se mueve de tal manera que siempre pasa por una curva plana fija (denominada directriz) y por un punto fijo que no pertenece al plano de la curva (denominado vértice). En el siguiente esquema puede visualizarse la construcción de una superficie cónica cuya directriz es una curva plana cerrada.

En particular, si la generatriz 𝑔𝑔 gira alrededor de una recta 𝑟𝑟 (a la que corta en 𝑉𝑉) y con la que forma un ángulo 𝛼𝛼, la superficie se denomina superficie cónica circular recta. En este caso es posible considerar como directriz 𝑑𝑑 a cualquier circunferencia contenida en un plano perpendicular a la recta 𝑟𝑟. A esta recta 𝑟𝑟 se la denomina eje de la superficie. El vértice 𝑉𝑉 divide a la superficie en dos secciones denominadas hojas o ramas de la superficie.

DEFINICIÓN GEOMÉTRICA

En general, se denomina sección cónica o simplemente cónica a una curva determinada por la intersección de un plano 𝜋𝜋 con una superficie cónica circular recta. De acuerdo a la manera en que ese plano interseca a la superficie, se obtendrán las siguientes curvas:

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Elipse Cuando el plano 𝜋𝜋 corta sólo una de las hojas de la superficie.

Circunferencia Suele considerarse como un caso particular de la elipse, cuando el plano 𝜋𝜋 es perpendicular al eje 𝑟𝑟. Parábola Cuando el plano 𝜋𝜋 es paralelo a una de las generatrices de la superficie.

Hipérbola Cuando el plano 𝜋𝜋 es paralelo a un par de generatrices de la superficie. Existen casos particulares donde el plano 𝜋𝜋 corta a la superficie cónica determinando curvas que no pueden considerarse cónicas auténticas. Esto es cuando el plano 𝜋𝜋 contiene al vértice 𝑉𝑉. En esos casos, las intersecciones entre el plano y la superficie determinan un punto, una recta o un par de rectas secantes en 𝑉𝑉, que se denominan cónicas degeneradas:

Las secciones cónicas son curvas que tienen propiedades geométricas muy interesantes, muchas de las cuales escapan al propósito de este apunte. En los apartados siguientes se

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estudiarán únicamente las características más importantes de cada una. Dado que son curvas planas serán analizadas, por simplicidad, en el plano 𝑥𝑥𝑥𝑥.

CIRCUNFERENCIA

Se denomina circunferencia al lugar geométrico de los puntos 𝑃𝑃 del plano cuya distancia a un punto fijo 𝐶𝐶 de ese mismo plano es constante e igual a 𝑟𝑟. Ese punto 𝐶𝐶 se denomina centro de la circunferencia y la distancia 𝑟𝑟 se denomina radio (𝑟𝑟 no puede ser nula). �𝐶𝐶𝐶𝐶� = 𝑟𝑟 ⟹ �(𝑥𝑥 − ℎ)2 + (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 𝑟𝑟

Elevando al cuadrado ambos miembros, se obtiene (𝑥𝑥 − ℎ)2 + (𝑦𝑦 − 𝑘𝑘)2 = 𝑟𝑟 2

que es la ecuación ordinaria de una circunferencia de centro 𝐶𝐶(ℎ; 𝑘𝑘) y radio 𝑟𝑟.

En particular, si el centro coincide con el origen de coordenadas, obtenemos 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 = 𝑟𝑟 2

que es la ecuación canónica de la circunferencia de radio 𝑟𝑟.

ELIPSE

Se denomina elipse al lugar geométrico de los puntos 𝑃𝑃 del plano tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos 𝐹𝐹1 y 𝐹𝐹2 de ese mismo plano es constante y mayor que la distancia entre los dos puntos fijos. Los puntos fijos 𝐹𝐹1 y 𝐹𝐹2 se denominan focos de la elipse. Por simplicidad, supondremos que los focos 𝐹𝐹1 y 𝐹𝐹2 están situados sobre el eje 𝑥𝑥 y ubicados en forma simétrica con respecto al eje 𝑦𝑦. 𝑑𝑑(𝐹𝐹1 ; 𝑃𝑃) + 𝑑𝑑(𝐹𝐹2 ; 𝑃𝑃) = 2𝑎𝑎, donde 2𝑎𝑎 > 2𝑐𝑐.

De acuerdo a la definición de distancia, 𝑑𝑑(𝐹𝐹1 ; 𝑃𝑃) = �(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦 2

𝑑𝑑(𝐹𝐹2 ; 𝑃𝑃) = �(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦 2

� ⇒ �(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦 2 + �(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦 2 = 2𝑎𝑎

Operando la expresión anterior, se llega a

𝑥𝑥 2 (𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐 2 ) + 𝑦𝑦 2 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎2 (𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐 2 )

Como 2𝑎𝑎 > 2𝑐𝑐 ⇒ 𝑎𝑎2 > 𝑐𝑐 2 ⇒ (𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐 2 ) > 0, sea 𝑏𝑏 2 = 𝑎𝑎2 − 𝑐𝑐 2 > 0.

Reemplazando en la expresión anterior y dividiendo miembro a miembro por 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 , se obtiene

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𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 + =1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2

que es la ecuación canónica de la elipse.

Observación importante: si 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 𝑟𝑟 (y por lo tanto, 𝑐𝑐 = 0), la ecuación canónica se reduce a la ecuación de una circunferencia con centro en el origen de coordenadas y radio 𝑟𝑟. En este caso, 𝑐𝑐 = 0 indica que los focos de la elipse coinciden en el centro de la circunferencia. De ahí que algunos autores mencionen a la circunferencia como un caso particular de la elipse, omitiendo enumerarla como tal.

Elementos de la elipse 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

Para la elipse 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 = 1 (siendo 𝑎𝑎 > 𝑏𝑏 > 0), se definen los siguientes elementos: Focos

Centro Eje focal Eje normal Vértices principales Vértices secundarios Eje mayor Eje menor Distancia interfocal Excentricidad (𝑒𝑒)

𝐹𝐹1 (𝑐𝑐; 0) y 𝐹𝐹2 (−𝑐𝑐, 0).

𝐶𝐶(0; 0), punto medio de 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2 .

Recta que contiene a los focos (eje 𝑥𝑥).

Recta perpendicular al eje focal que contiene al centro de la elipse (eje 𝑦𝑦). 𝐴𝐴1 (𝑎𝑎; 0) y 𝐴𝐴2 (−𝑎𝑎; 0), en el eje focal.

𝐵𝐵1 (0; 𝑏𝑏) y 𝐵𝐵2 (0; −𝑏𝑏), en el eje normal. El segmento 𝐴𝐴1 𝐴𝐴2 , de longitud 2𝑎𝑎. El segmento 𝐵𝐵1 𝐵𝐵2, de longitud 2𝑏𝑏. 𝑑𝑑(𝐹𝐹1 ; 𝐹𝐹2 ), de longitud 2𝑐𝑐

Definimos la excentricidad como 𝑐𝑐

𝑒𝑒 = 𝑎𝑎 , donde 𝑐𝑐 = √𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏 2 ⇒ 𝑒𝑒 =

√𝑎𝑎2 −𝑏𝑏 2 𝑎𝑎

Como 𝑐𝑐 < 𝑎𝑎, en las elipses se cumple que 0 < 𝑒𝑒 < 1. En la figura se muestra cómo la excentricidad 𝑒𝑒 describe la forma de las elipses:

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Aplicaciones de la elipse La atracción gravitacional hace que los planetas describan órbitas elípticas alrededor del sol, con éste en uno de los focos. Esta notable propiedad fue observada por primera vez por Johannes Kepler, e Isaac Newton la dedujo después a partir de su ley de la gravedad, mediante el cálculo. Las órbitas de los planetas tienen distintas excentricidades, pero la mayor parte son casi circulares (por ejemplo, para la Tierra es 𝑒𝑒 ≅ 0,02, para Marte es 𝑒𝑒 ≅ 0,09 y para Plutón es 𝑒𝑒 ≅ 0,25).

Otra aplicación de las secciones cónicas es en las órbitas de los cometas. A cierta distancia del Sol, existe una velocidad crítica llamada velocidad de escape (𝑣𝑣𝑒𝑒 ). Cuando un cometa tiene esa velocidad o una mayor, escapa del sistema solar; en cambio, si su velocidad es menor, permanece dentro del campo gravitacional del Sol. La órbita del cometa será entonces elíptica, parabólica o hiperbólica, dependiendo de si su velocidad es menor que 𝑣𝑣𝑒𝑒 , igual a 𝑣𝑣𝑒𝑒 o mayor que 𝑣𝑣𝑒𝑒 , respectivamente. En los dos últimos casos, por ser una curva abierta, el cometa se acerca al Sol una sola vez y se retira hacia el espacio exterior para nunca volver. Las elipses tienen una propiedad de reflexión interesante, que se aprovecha en varias aplicaciones prácticas. Si una fuente luminosa se ubica en el foco de una superficie reflectora elíptica, su luz se reflejará hacia el otro foco. Este principio, que se aplica a las ondas sonoras de la misma forma que con la luz, se usa en la litotripsia (tratamiento para los cálculos renales o hepáticos), donde se emplea una cámara reflectora elíptica metálica y un emisor de ultrasonido para disgregarlos. Se coloca el reflector de tal modo que el cálculo esté en uno de los focos y la fuente de ultrasonido en el otro, las ondas se concentran en el cálculo haciéndolo vibrar y desintegrándolo, con un daño mínimo a los tejidos blandos que lo rodean. El paciente se ahorra el trauma de una riesgosa cirugía y se recupera en unos pocos días.

La propiedad de reflexión de las elipses se usa también en el diseño arquitectónico para construir las llamadas galerías de murmullos. El sonido que viene de uno de los focos, se refleja en las paredes de un recinto elíptico y pasa al otro foco. En estos recintos una persona que se encuentre en uno de los focos, puede escuchar lo que murmura alguien que esté en el otro foco, sin que lo oigan los demás. Entre las galerías de murmullos más famosas, puede citarse la National Statuary Hall del Capitolio (Washington DC, Estados Unidos), la del Tabernáculo Mormón (Salt Lake City, Estados Unidos) o el domo de la Catedral de San Pablo (Londres, Reino Unido).

HIPÉRBOLA

Se denomina hipérbola al lugar geométrico de los puntos 𝑃𝑃 del plano para los cuales el valor absoluto de las diferencias de sus distancias a dos puntos fijos 𝐹𝐹1 y 𝐹𝐹2 de ese mismo plano es constante y menor que la distancia entre los dos puntos fijos. Los puntos fijos 𝐹𝐹1 y 𝐹𝐹2 se denominan focos de la hipérbola.

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Por simplicidad, supondremos que los focos 𝐹𝐹1 y 𝐹𝐹2 están situados sobre el eje 𝑥𝑥 y ubicados en forma simétrica con respecto al eje 𝑦𝑦. |𝑑𝑑(𝐹𝐹1 ; 𝑃𝑃) − 𝑑𝑑(𝐹𝐹2 ; 𝑃𝑃)| = 2𝑎𝑎, donde 2𝑎𝑎 < 2𝑐𝑐.

De acuerdo a la definición de distancia, 𝑑𝑑(𝐹𝐹1 ; 𝑃𝑃) = �(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦 2

𝑑𝑑(𝐹𝐹2 ; 𝑃𝑃) = �(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦 2

�⇒

⇒ ��(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦 2 − �(𝑥𝑥 − 𝑐𝑐)2 + 𝑦𝑦 2 � = 2𝑎𝑎

Si procedemos análogamente como con la elipse, simplificamos lo anterior a 𝑥𝑥 2 (𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 ) − 𝑦𝑦 2 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎2 (𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 )

Como 2𝑎𝑎 < 2𝑐𝑐 ⇒ 𝑎𝑎2 < 𝑐𝑐 2 ⇒ (𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 ) > 0, sea 𝑏𝑏 2 = 𝑐𝑐 2 − 𝑎𝑎2 > 0.

Reemplazando en la expresión anterior y dividiendo miembro a miembro por 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 , se obtiene 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 2 − =1 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 2 que es la ecuación canónica de la hipérbola con focos 𝐹𝐹1 (𝑐𝑐; 0) y 𝐹𝐹2 (−𝑐𝑐; 0).

La hipérbola está formada por dos partes, que se denominan ramas, donde los puntos que cumplen 𝑑𝑑(𝐹𝐹1 ; 𝑃𝑃) − 𝑑𝑑(𝐹𝐹2 ; 𝑃𝑃) = 2𝑎𝑎 se sitúan en la rama derecha y los que cumplen 𝑑𝑑(𝐹𝐹1 ; 𝑃𝑃) − 𝑑𝑑(𝐹𝐹2 ; 𝑃𝑃) = −2𝑎𝑎, en la rama izquierda.

Elementos de la hipérbola 𝑥𝑥 2

𝑦𝑦 2

Para la hipérbola 𝑎𝑎2 − 𝑏𝑏2 = 1, se definen los siguientes elementos:

Focos Centro Vértices

𝐹𝐹1 (𝑐𝑐; 0) y 𝐹𝐹2 (−𝑐𝑐, 0).

𝐶𝐶(0; 0), punto medio de 𝐹𝐹1 𝐹𝐹2 . 𝑉𝑉1 (−𝑎𝑎; 0) y 𝑉𝑉2 (𝑎𝑎; 0).

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Vértices imaginarios Eje focal Lado recto

Eje real Eje imaginario Distancia interfocal Asíntotas

𝑉𝑉3 (0; 𝑏𝑏) y 𝑉𝑉4 (0; −𝑏𝑏).

Recta que contiene a los vértices (eje 𝑥𝑥).

Es el segmento 𝑆𝑆𝑆𝑆, que pasa por el foco 𝐹𝐹 y es perpendicular al eje focal, con sus extremos en la hipérbola. El segmento 𝑉𝑉1 𝑉𝑉2 , de longitud 2𝑎𝑎. El segmento 𝑉𝑉3 𝑉𝑉4 , de longitud 2𝑏𝑏. 𝑑𝑑(𝐹𝐹1 ; 𝐹𝐹2 ), de longitud 2𝑐𝑐.

Las asíntotas son las rectas a las que tiende la hipérbola cuando los valores de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 se hacen grandes. Para determinarlas, se despeja 𝑦𝑦 de la ecuación, obteniendo 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑎𝑎2 2 2 � � 𝑦𝑦 = ± 𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 = ± 𝑥𝑥 1 − 2 𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑥𝑥 𝑎𝑎2

Excentricidad (𝑒𝑒)

Cuando 𝑥𝑥 → ∞, tenemos que 𝑥𝑥 2 → 0. Así, para valores de 𝑥𝑥 muy grandes, se puede aproximar el valor de 𝑦𝑦 con 𝑏𝑏 𝑦𝑦 = ± 𝑥𝑥 𝑎𝑎 que es la ecuación de las asíntotas. Definimos la excentricidad como 𝑐𝑐

𝑒𝑒 = 𝑎𝑎 , donde 𝑐𝑐 = √𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏 2 ⇒ 𝑒𝑒 =

√𝑎𝑎2 +𝑏𝑏 2 𝑎𝑎

Como 𝑐𝑐 > 𝑎𝑎, en las hipérbolas se cumple que 𝑒𝑒 > 1.

En la figura se muestra cómo la excentricidad describe la forma de las hipérbolas:

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Aplicaciones de la hipérbola Las hipérbolas tienen una interesante propiedad de reflexión. La luz que se dirige hacia un foco de un espejo hiperbólico se refleja hacia el otro foco, como se puede observar en la figura.

Propiedad reflectora de las hipérbolas

iTelescopio tipo Cassegrain

Esta propiedad se aprovecha, entre otras cosas, para construir telescopios del tipo Cassegrain. Se coloca un espejo hiperbólico dentro del tubo del telescopio, de tal modo que la luz reflejada por el reflector parabólico primario se dirija hacia el foco del espejo hiperbólico. A continuación, la luz se reenfoca en un punto más accesible, atrás del reflector primario.

Ya hemos comentado en las aplicaciones de las elipses, que los cometas que se acercan al Sol una vez y se alejan para nunca regresar, siguen una órbita que puede ser parabólica o hiperbólica. Es raro encontrar una órbita parabólica, porque se requiere que la velocidad del cometa sea exactamente igual a la denominada velocidad de escape. Es por eso que las órbitas hiperbólicas son las más probables.

Otra aplicación de las hipérbolas se da en el uso del sistema de radionavegación LORAN (del inglés LOng RAnge Navigation, navegación a gran distancia), donde se aplican los puntos de intersección de hipérbolas para determinar la ubicación de barcos y aviones. Consiste en enviar una señal de radio simultáneamente desde dos estaciones 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 muy lejanas entre sí, cuyas posiciones se conocen con exactitud, estas señales se captan desde un barco o avión situado en 𝑃𝑃. Tomando en cuenta el tiempo de llegada de las dos señales, es posible determinar la diferencia de las distancias a los puntos 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵, es decir, |𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝐴𝐴) − 𝑑𝑑(𝑃𝑃, 𝐵𝐵)|. Por definición de una hipérbola, esa diferencia ubica al punto 𝑃𝑃 en una de las ramas de la hipérbola que tiene los focos en 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵. Si se agrega una tercera estación 𝐶𝐶 como las anteriores, se puede usar ésta con cualquiera de las otras dos (𝐵𝐵, por ejemplo) y seguir el mismo procedimiento. Se determina la ubicación de 𝑃𝑃 en una de las ramas de una segunda hipérbola con focos en 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶. El sistema LORAN calcula con gran exactitud la localización de 𝑃𝑃 con las coordenadas del punto de intersección de esas dos hipérbolas, teniendo en cuenta las coordenadas de los focos 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶.

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PARÁBOLA Se denomina parábola al lugar geométrico de los puntos 𝑃𝑃 del plano que equidistan de una recta fija 𝑑𝑑, denominada directriz, y de un punto fijo 𝐹𝐹 exterior a la parábola, denominado foco. Por simplicidad, se analizará sólo el caso en que el foco 𝐹𝐹 se encuentra sobre el eje 𝑦𝑦. En la figura, se representan el foco 𝐹𝐹 ubicado en (0; 𝑝𝑝) y la directriz de ecuación 𝑦𝑦 = −𝑝𝑝. 𝑑𝑑(𝑃𝑃; 𝐹𝐹) = 𝑑𝑑(𝑃𝑃; 𝑑𝑑)

De acuerdo a la definición de distancia, 𝑑𝑑(𝑃𝑃; 𝐹𝐹) = �𝑥𝑥 2 + (𝑦𝑦 − 𝑝𝑝)2 � ⇒ �𝑥𝑥 2 + (𝑦𝑦 − 𝑝𝑝)2 = |𝑦𝑦 + 𝑝𝑝| 𝑑𝑑(𝐹𝐹2 ; 𝑃𝑃) = |𝑦𝑦 + 𝑝𝑝|

Elevando al cuadrado en ambos lados, desarrollando y simplificando, se llega a 𝑥𝑥 2 + (𝑦𝑦 − 𝑝𝑝)2 = (𝑦𝑦 + 𝑝𝑝)2 ⇒ 𝑥𝑥 2 + 𝑦𝑦 2 − 2𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑝𝑝2 = 𝑦𝑦 2 + 2𝑝𝑝𝑝𝑝 + 𝑝𝑝2 ⇒ ⇒ 𝑥𝑥 2 − 2𝑝𝑝𝑝𝑝 = 2𝑝𝑝𝑝𝑝 ⇒ 𝑥𝑥 2 = 4𝑝𝑝𝑝𝑝

que es la ecuación canónica de la parábola con foco en 𝐹𝐹(0; 𝑝𝑝) y directriz 𝑦𝑦 = −𝑝𝑝.

La parábola tiene las ramas “hacia arriba” si 𝑝𝑝 > 0, o “hacia abajo” si 𝑝𝑝 < 0, como se observa en las siguientes figuras.

𝑝𝑝 > 0

Elementos de la parábola

𝑝𝑝 < 0

Para la parábola 𝑥𝑥 2 = 4𝑝𝑝𝑝𝑝, se definen los siguientes elementos: Foco

Directriz Vértice Eje focal Eje normal

Es el punto fijo 𝐹𝐹(0; 𝑝𝑝).

Es la recta fija de ecuación 𝑦𝑦 = −𝑝𝑝.

Es el punto de la parábola más cercano a la directriz 𝑑𝑑, de coordenadas 𝑉𝑉(0; 0).

Es la recta que contiene al vértice 𝑉𝑉 y al foco 𝐹𝐹 (eje 𝑦𝑦). Recta perpendicular al eje focal que contiene al vértice de la parábola (eje 𝑥𝑥).

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Lado recto Diámetro focal Excentricidad (𝑒𝑒)

Es el segmento que pasa por el foco 𝐹𝐹 y es perpendicular al eje focal, con sus extremos en la parábola. Es la longitud del lado recto de la parábola.

En las parábolas, se cumple que 𝑒𝑒 = 1. El esquema siguiente da una idea de cómo varía la excentricidad 𝑒𝑒 en todas las secciones cónicas:

Aplicaciones de la parábola En el siglo XVI Galileo demostró que la trayectoria de un proyectil disparado al aire formando un ángulo con el terreno, describe una parábola. Desde entonces, las formas parabólicas se han empleado para diseñar cosas tan comunes como faros de autos, telescopios reflectores o puentes colgantes.

Las parábolas tienen una propiedad de reflexión que las hace útiles en el diseño de reflectores para lámparas y telescopios. La luz de una fuente que se coloca en el foco de una superficie con sección transversal parabólica se refleja de tal manera que es paralela al eje focal de la parábola. Así, un reflector parabólico refleja la luz y forma un haz de rayos paralelos. Del modo inverso, la luz que llega al reflector parabólico en forma de rayos paralelos al eje focal, se concentra en el foco (esto que pasa con la luz, también pasa con la radiación infrarroja, las ondas de radio y las microondas, al igual que las ondas sonoras).

Así, los faros de los autos (o de las linternas caseras) utilizan esta propiedad geométrica de las parábolas, dado que con una fuente de luz relativamente débil (y que consume poca energía) colocada en el foco de un espejo de sección parabólica se obtiene, por reflexión, un potente haz de luz dirigido hacia adelante. Las antenas parabólicas de recepción de señales electromagnéticas también usan esta propiedad, pero a la inversa: los rayos que llegan del espacio exterior (prácticamente paralelos, debido a que provienen de una

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fuente lejana) se reflejan dentro de la antena y pasarán por el foco de la parábola. Es ahí donde se coloca el receptor de la señal.

BIBLIOGRAFÍA    

KOZAK, A. y otros; “Nociones de geometría analítica y álgebra lineal”; Ed. McGraw-Hill; Buenos Aires; 2007.LEHMANN, C.; “Geometría analítica”; Ed. Limusa; México; 2009.STEWART, J. y otros; “Introducción al cálculo”; Ed. Thomson Learning; Buenos Aires; 2007.YAKOVLIEV, G.; “Geometría”; Ed. Mir; Moscú; 1985.-

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