TÓPICOS DE GEOMETRÍA (Prof. Roberto Biraghi / Año 2014) 1 SECCIONES CÓNICAS (práctica de revisión) La siguiente práctica tiene un doble propósito: la revisión del contenido secciones cónicas (aprendido en los años anteriores de la carrera), como así también introducirnos en la utilización de la maravillosa herramienta GeoGebra (que puede descargarse, en español y en forma gratuita, desde el sitio http://www.geogebra.org/ ). Todas las figuras han sido extraídas del sitio http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/. RECOMENDACIONES GENERALES   

Todas las consignas están pensadas para trabajar con la figura correspondiente visualizada en GeoGebra, de manera de favorecer un razonamiento reflexivo sobre nuestros saberes previos. Para volver a empezar con una consigna, basta con cerrar el archivo y abrirlo nuevamente (es importante elegir la opción “No guardar”, para conservare siempre el archivo original). Si necesitás hacer acercar o alejar la imagen (zoom) utilizá la rueda del mouse/ratón (o clic del botón derecho sobre la zona gráfica, eligiendo la opción correspondiente).

CIRCUNFERENCIA 1) CONSTRUCCIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA (ver figura [c_01]) Deslizá el punto 𝑃𝑃 y observá:  ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa 𝑃𝑃?  ¿Qué tipo de curva describirá 𝑃𝑃 en su movimiento? Comprobalo: activá el trazo de 𝑃𝑃 y volvé a moverlo.  ¿Cuáles son las coordenadas del punto 𝐶𝐶? ¿Y la medida de 𝑟𝑟?  ¿Qué cumplirán las coordenadas (𝑥𝑥, 𝑦𝑦) del punto 𝑃𝑃?

2) CONSTRUCCIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA (ver figura [c_02a])   

¿Cuáles son las coordenadas del centro 𝐶𝐶 de la circunferencia? ¿Y la medida de su radio? ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia? ¿Cuáles son las coordenadas del punto 𝐵𝐵? ¿Qué ocurre si sustituimos en la ecuación de la circunferencia la 𝑥𝑥 y la 𝑦𝑦 por esas coordenadas?

Deslizá el punto 𝑃𝑃 y comprobá (debajo) el resultado de sustituir en la ecuación de la circunferencia la 𝑥𝑥 y la 𝑦𝑦 por las coordenadas de 𝑃𝑃.  ¿Cuáles son los puntos cuyas coordenadas cumplen la ecuación de la circunferencia? Deslizá el centro 𝐶𝐶 y observá:  ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro 𝐶𝐶(1,2) y radio 𝑟𝑟 = 5?  ¿Y si el centro está en 𝐶𝐶(−5,2)? ¿Y si está en 𝑂𝑂(0,0)?

Deslizá el punto 𝐵𝐵 y observá:  ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia de centro 𝐶𝐶(0,0) y radio 𝑟𝑟 = 3?  ¿Y si 𝐶𝐶 = (4, −2) y 𝑟𝑟 = 1?  En general, ¿cuál será la ecuación de la circunferencia de centro 𝐶𝐶(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) y radio 𝑟𝑟?

Mirá ahora la figura [c_02b]:  Aquí podés jugar a buscar la circunferencia verde: cambiá el valor de los parámetros 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 y 𝑟𝑟 hasta que las dos circunferencias coincidan.

3) ECUACIÓN GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA (ver figura [c_03a])

Modificá los valores de 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶 (deslizando los puntos verdes) hasta conseguir visualizar...  La circunferencia de centro 𝐶𝐶(1,3) y radio 𝑟𝑟 = 5.

TÓPICOS DE GEOMETRÍA (Prof. Roberto Biraghi / Año 2014) 2 SECCIONES CÓNICAS (práctica de revisión)    

La de centro 𝐶𝐶(−4,2) y radio 𝑟𝑟 = 1. La de centro 𝐶𝐶(0, −3) y radio 𝑟𝑟 = 2. La de centro 𝐶𝐶(0,0) y radio 𝑟𝑟 = 3. Si 𝑥𝑥² + 𝑦𝑦² + 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0 es la ecuación general de una circunferencia de centro 𝐶𝐶(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) y radio 𝑟𝑟, ¿qué relación hay entre 𝐴𝐴 y 𝑎𝑎? ¿y entre 𝐵𝐵 y 𝑏𝑏?

Seguí modificando los valores de 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶, observá los cambios e investigá:  ¿Sabrías determinar las coordenadas del centro y la medida del radio de una circunferencia de ecuación 𝑥𝑥² + 𝑦𝑦² + 𝐴𝐴𝐴𝐴 + 𝐵𝐵𝐵𝐵 + 𝐶𝐶 = 0, a partir de los valores de 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶?  ¿Cuál es la condición que deben cumplir 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶 para que la circunferencia exista?

Mirá ahora la figura [c_03b]:  Aquí podés jugar a buscar la circunferencia verde: cambiá el valor de los parámetros 𝐴𝐴, 𝐵𝐵 y 𝐶𝐶 hasta que las dos circunferencias coincidan.

ELIPSE 1) CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE (ver figura [e_01])

Deslizá el punto 𝑃𝑃 y observá:  ¿Qué tipo de curva describe la traza de 𝑃𝑃?  ¿Qué representan los segmentos rojos?  ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa 𝑃𝑃?  Definí la elipse como lugar geométrico.

2) ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE (ver figura [e_02])         

¿Cuál es la ecuación de la elipse de la figura? Sustituyendo en ella la 𝑥𝑥 y la 𝑦𝑦 por las coordenadas de 𝑄𝑄, ¿qué ocurre? Desplazá el punto 𝑄𝑄 y observá los cambios. Deslizá el punto 𝑃𝑃 y observá qué ocurre al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la elipse. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices 𝐴𝐴, 𝐴𝐴′, 𝐵𝐵 y 𝐵𝐵′ y de los focos 𝐹𝐹 y 𝐹𝐹′ de la elipse? ¿Cuánto miden los semiejes 𝑎𝑎 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 y 𝑏𝑏 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 y la semidistancia focal 𝑐𝑐 = 𝑂𝑂𝑂𝑂? ¿Qué relación hay entre estas tres medidas? Mové los puntos 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 y observá los cambios. ¿Cuál es la ecuación de la elipse de semiejes 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏? ¿Qué ocurre si 𝑏𝑏 > 𝑎𝑎? ¿Y si 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎?

3) ECUACIÓN DE UNA ELIPSE CON CENTRO DISTINTO DEL (0, 0) (ver figura [e_03a])  

Mové los puntos 𝑂𝑂, 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 hasta visualizar la elipse de ecuación: Visualizá ahora la de ecuación: 𝑥𝑥 2 + 9𝑦𝑦 2 = 9

(𝑥𝑥+2)2 16

+

(𝑦𝑦−3)2 25

=1

Mirá ahora la figura [e_03b]:  Aquí podés jugar a buscar la elipse azul: cambiá el valor de los parámetros 𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 hasta que las dos elipses coincidan.

4) EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE (ver figura [e_04]) 

¿A qué se le llama excentricidad de una elipse? ¿Es correcto el valor de la excentricidad de la elipse de la figura?

Modificá el valor de 𝑒𝑒 (deslizando el punto verde) y observá los cambios:  ¿Entre qué valores puede variar la excentricidad de una elipse?  ¿Cómo son las elipses de excentricidad grande (próxima a 1)? ¿Y la elipse de excentricidad 0?

TÓPICOS DE GEOMETRÍA (Prof. Roberto Biraghi / Año 2014) 3 SECCIONES CÓNICAS (práctica de revisión)  

¿Sabías que la Tierra da vueltas alrededor del Sol describiendo una órbita elíptica de excentricidad 0.016751? Aproximá a ese valor el de la excentricidad de la elipse de la figura. Describí la figura resultante. ¿Dónde creés que se sitúa el Sol? Los planetas de nuestro Sistema Solar cuya órbita tiene mayor excentricidad son Marte (𝑒𝑒 =0.09) y Plutón (𝑒𝑒 =0.25). Comprobá qué aspecto tienen dichas órbitas.

Volvé a abrir el archivo para recuperar la imagen inicial. Modificá el valor de 𝑎𝑎 y observá los cambios:  ¿Qué tienen en común todas las elipses con la misma excentricidad?

5) PROPIEDAD DE LA ELIPSE (ver figura [e_05]) Deslizá el punto verde hacia arriba y observá:  Describí lo que ves.

Utilizá el segundo deslizador para cambiar la dirección de este “rayo” y repetí la animación. Probá a modificar también la forma de la elipse (arrastrando sus vértices).  ¿Qué se puede decir de los rayos que salen de un foco de cualquier elipse y se reflejan en ella? Arrastrá el vértice derecho de la elipse hasta conseguir una circunferencia (elipse de excentricidad 0) y observá:  ¿Qué ocurre con un rayo emitido desde el radio de una circunferencia reflejado en ella misma?  ¿Qué ángulo forman el radio de una circunferencia y la tangente a la misma en el punto correspondiente?

HIPÉRBOLA 1) CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA (ver figura [h_01]) Deslizá el punto 𝑃𝑃 y observá:  ¿Qué tipo de curva describe la traza de 𝑃𝑃?  ¿Qué representan los segmentos verde y lila?  ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa 𝑃𝑃?  Deslizá ahora el punto 𝑃𝑃′.  Definí la hipérbola como lugar geométrico.

2) ECUACIÓN REDUCIDA DE LA HIPÉRBOLA (ver figura [h_02])        

¿Cuál es la ecuación de la hipérbola de la figura? Sustituyendo en ella la 𝑥𝑥 y la 𝑦𝑦 por las coordenadas de 𝑄𝑄, ¿qué ocurre? Desplazá el punto 𝑄𝑄 y observá los cambios. Deslizá el punto 𝑃𝑃 y observá qué ocurre al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la hipérbola. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices 𝐴𝐴 y 𝐴𝐴′ de la hipérbola? ¿Y las de los focos? ¿Cuánto miden el semieje 𝑎𝑎 = 𝑂𝑂𝑂𝑂, la semidistancia focal 𝑐𝑐 = 𝑂𝑂𝑂𝑂, y el segmento 𝑏𝑏 = 𝑂𝑂𝑂𝑂 (semieje imaginario)? ¿Qué relación hay entre estas tres medidas? Mové los puntos 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 y observá los cambios: ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola de semiejes 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏? ¿Qué ocurre si 𝑏𝑏 > 𝑎𝑎? ¿Y si 𝑏𝑏 = 𝑎𝑎?

3) ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA CON CENTRO DISTINTO DEL (0, 0) (ver figura [h_03a])  

Mové los puntos 𝑂𝑂, 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 hasta visualizar la hipérbola de ecuación: Visualiza ahora la de ecuación: 4𝑥𝑥 2 − 𝑦𝑦 2 = 4

Mirá ahora la figura [h_03b]:

(𝑥𝑥−4)2 25

−

(𝑌𝑌+1)2 4

=1

TÓPICOS DE GEOMETRÍA (Prof. Roberto Biraghi / Año 2014) 4 SECCIONES CÓNICAS (práctica de revisión) 

Aquí podés jugar a buscar la hipérbola azul: cambiá el valor de los parámetros 𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 hasta que las dos hipérbolas coincidan.

4) ECUACIÓN DE UNA HIPÉRBOLA CON CENTRO DISTINTO DEL (0,0) Y EJE FOCAL VERTICAL (ver figura [h_04a])  

Mové los puntos 𝑂𝑂, 𝐴𝐴 y 𝐵𝐵 hasta visualizar la hipérbola de ecuación Visualizá ahora la de ecuación 𝑦𝑦 2 − 𝑥𝑥 2 = 1

(𝑦𝑦−1)2 4

−

(𝑥𝑥−2)2 16

=1

Mirá ahora la figura [h_04b]:  Aquí podés jugar a buscar la hipérbola azul: cambiá el valor de los parámetros 𝑥𝑥0 , 𝑦𝑦0 , 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 hasta que las dos hipérbolas coincidan.

5) EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA (ver figura [h_05]) 

¿A qué se le llama excentricidad de una hipérbola? ¿Es correcto el valor de la excentricidad de la hipérbola de la figura?

Modificá el valor de 𝑒𝑒 (deslizando el punto verde) y observá los cambios:  ¿Entre qué valores puede variar la excentricidad de una hipérbola?  ¿Cómo son las hipérbolas de excentricidad grande? ¿y las de poca excentricidad (próxima a 1)?  Intentá visualizar una hipérbola equilátera. ¿Cuál es su excentricidad? ¿Sabrías demostrarlo? Volvé a abrir el archivo para recuperar la imagen inicial. Modificá el valor de 𝑎𝑎 y observá los cambios:  ¿Qué tienen en común todas las hipérbolas con la misma excentricidad?

PARÁBOLA 1) CONSTRUCCIÓN DE LA PARÁBOLA (ver figura [p_01]) Sean los dos segmentos rojos de la figura, de igual longitud y ambos con origen en 𝑃𝑃. Uno de ellos se dirige al punto 𝐹𝐹 (foco) y el otro es perpendicular a la recta 𝑑𝑑 (directriz). Deslizá el punto 𝐷𝐷 y observá:  ¿Qué tipo de curva describe el punto 𝑃𝑃? (activá su traza para comprobarlo)  ¿Qué se puede decir de los segmentos 𝑃𝑃𝑃𝑃 y 𝑃𝑃𝑃𝑃?  ¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa 𝑃𝑃?  Definí la parábola como lugar geométrico.

2) ECUACIÓN REDUCIDA DE LA PARÁBOLA (ver figura [p_02])      

¿Cuál es la ecuación de la parábola de la figura? Sustituyendo en ella la 𝑥𝑥 y la 𝑦𝑦 por las coordenadas de 𝑄𝑄, ¿qué ocurre? Desplazá el punto 𝑄𝑄 y observá los cambios. Deslizá el punto 𝑃𝑃 y observá qué ocurre al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la elipse. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice, y el foco 𝐹𝐹 de la parábola y la ecuación de su recta directriz? ¿Cuál es el valor del parámetro 𝑝𝑝 (distancia del foco a la directriz)?

Deslizá el foco 𝐹𝐹 y observá los cambios:  ¿Qué ocurre cuando el foco se aleja de la directriz? ¿Y cuando está cerca? 𝑝𝑝 𝑝𝑝  ¿Cuál es la ecuación de la parábola de foco 𝐹𝐹(2 , 0) y directriz 𝑑𝑑: 𝑥𝑥 = − 2 ?