Contraste de Hipótesis

Ejemplo

Introducción

El peso de plantines de un arbusto forrajero, almacenado a temperatura y humedad relativa ambientes, obtenido a los 20 días desde la germinación es en promedio de 50 mg.

Se supone que la ventilación forzada del ambiente de almacenamiento aumentaría el vigor de los plantines y esto se debe reflejar en un aumento del peso.

La idea es: hipótesis científica

hipótesis estadística establecer su veracidad (o no).

Introducción la ventilación forzada aumentaría el vigor de los plantines

herramientas estadísticas

tomar una decisión

Introducción 

Supongamos un modelo para explicar la variación observada de la variable respuesta

peso seco del i-ésimo plantín observado en un experimento en el que se almacena con ventilación forzada

Yi     i

error aleatorio

media de la distribución de la variable Y

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Bajo condiciones ambientales de almacenaje la variable peso de plantines tiene =50mg.

¿cómo podría ser el valor de bajo otra condición?



Construcción de una prueba estadística de hipótesis Las hipótesis a plantear dependen de lo que esperamos que ocurra bajo la nueva condición. Así: H0:  = 50 vs. H1:  ≠ 50 El peso promedio

será diferente a 50 mg

H0:   50

vs. H1:  < 50

El peso promedio será menor a 50 mg

H0:   50

vs. H1:  > 50

El peso promedio será mayor a 50 mg

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Las hipótesis: Hipótesis nula

Hipótesis alternativa

H0:   50 vs. H1:  > 50 

H0

vs. H1

El peso promedio será mayor a 50 mg

Son proposiciones sobre uno o más parámetros de la distribución de la variable aleatoria en estudio.

Introducción ¿Cómo validar el modelo? experimentación

observación

¿lo observado tiene diferencias significativas con lo esperado según el modelo propuesto? procedimiento de decisión

Construcción de una prueba estadística de hipótesis  Planificar el experimento o el esquema

muestral para obtener datos que permitan la validación (o no) de la hipótesis sometida a prueba.

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Experimento: Se registra el peso de 25 plantines obtenidos de semillas mantenidas bajo las nuevas condiciones de almacenamiento.



Construcción de una prueba estadística de hipótesis 



De la muestra de tamaño n=25 es posible estimar la media y la varianza de la distribución de pesos. Supongamos que la media y varianza muestral son iguales a 53 y 16, respectivamente.

Construcción de una prueba

estadística de hipótesis

 Seleccionar

o construir un estadístico cuya distribución queda completamente especificada bajo la hipótesis nula (*)

(*) Se supone que lo que se especifica en H0 es cierto

Construcción de una prueba estadística de hipótesis  El estadístico apropiado para el

contraste debe involucrar al estimador y al valor del parámetro de interés. Z

Y 



2

n

~ N (0;1) T 

Y  S2 n

~ tn 1

Construcción de una prueba estadística de hipótesis  Queremos identificar, a partir de la distribución del estadístico, cuando la hipótesis nula es cierta, los valores usuales del mismo bajo muestreo reiterado.

Construcción de una prueba estadística de hipótesis 

El estadístico apropiado, suponiendo que el tamaño de muestra es n=25 y que la varianza (2) desconocida es estimada desde la muestra por S2, es el estadístico T de Student: 53  50 T  16 25

Construcción de una prueba estadística de hipótesis

La distribución del estadístico especificada bajo H0 permite asignar probabilidades a la ocurrencia de valores del estadístico. 0.39

Función de densidad

Densidad

0.30 0.20

Tt 24

0.10 0.00 -5.22

-2.61

0.00

2.61

5.22

Variable

el estadístico y su distribución bajo H0

Construcción de una prueba estadística de hipótesis ¿Cómo decidir sobre la H0 en base a los valores del estadístico? Se hace necesario establecer una regla de decisión

Construcción de una prueba estadística de hipótesis ¿Cuáles son los eventos que conducen a no rechazar (aceptar) o a rechazar la H0? Es necesario establecer el nivel de significación () de la prueba. Usualmente = 0.05 o 0.01

Nivel de significación

Construcción de una prueba estadística de hipótesis De acuerdo a las hipótesis planteadas y al nivel de significación elegido, se determinan los valores del estadístico que conducen a no rechazar (aceptar) o a rechazar la H0 Región o zona de rechazo de H0

Región o zona de aceptación de H0

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Tomando =0.05 y dado que: H0:   50 vs. H1:  > 50

Contraste unilateral derecho

La zona de rechazo de H0 se encuentra en la cola derecha de la distribución del estadístico

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Distribución del estadístico bajo H0 T Student(24): p(evento)=0.0500

0.40

Contraste unilateral derecho

Densidad

0.30 0.20

1-

0.10 0.00 -3.00

-2.14 -2.57

-1.29 -1.71

-0.43 -0.86

 0.43

0.00

1.29 0.86

2.14 1.71

3.00 2.57

Variable

Zona de aceptación de H0

Punto crítico

Construcción de una prueba estadística de hipótesis ¿Cómo decidir sobre la H0? Comparando el valor del estadístico calculado en base a los datos de la muestra, con el punto crítico establecido según el valor de  y el tipo de contraste.

Construcción de una prueba estadística de hipótesis 

El valor del estadístico con los datos de la muestra es: T

53  50

3 15    3.75 4 4 16 5 25

 Dado que 3.75 supera al punto crítico 1.71, se rechaza la hipótesis nula.

Construcción de una prueba estadística de hipótesis 

El rechazo de la H0 conduce a proponer el uso de ventilación forzada para el almacenamiento de las semillas

Valor p 

Construcción de una prueba estadística de hipótesis

Utilizando la distribución teórica se puede obtener la probabilidad de observar en la experiencia valores del estadístico iguales o más extremos que el resultado obtenido a partir de los datos experimentales, dado que H0 es verdadera

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Valor p 

Si el valor p es menor que el nivel de significación (), se rechaza la hipótesis nula. En caso contrario se concluye que los datos no contradicen la hipótesis nula.

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Valor p en el ejemplo dado  La probabilidad de obtener un valor T igual o mayor al observado, si se cumple la hipótesis nula de que el peso medio es igual a 50, es:

P(T>3.75) = 0.00049 = Valor p.

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Valor p en el ejemplo dado 

Como 0.00049 < 0.05, rechaza la hipótesis nula.



Los datos contradicen H0.

se

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Planteadas las hipótesis, elegido el estadístico y fijado el nivel de significación, se determinan la zona de no rechazo y la zona de rechazo de H0

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Tipos de contrastes H0:  = 50

vs. H1:  ≠ 50 Contraste bilateral

H0:   50

vs. H1:  > 50 Contraste unilateral

H0:   50

vs. H1:  < 50 Contraste unilateral

derecho

izquierdo

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Distribución del estadístico bajo H0

H 0:  =  0

Contraste bilateral

H 1:  ≠  0 1- /2

/2 0

Zona de rechazo

Zona de rechazo

Zona de aceptación de H0 Punto crítico 1

Punto crítico 2

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Distribución del estadístico bajo H0

H 0:    0 H 1:  <  0

Contraste unilateral izquierdo  Zona de rechazo

0 Zona de aceptación de H0

Punto crítico

Construcción de una prueba estadística de hipótesis Distribución del estadístico bajo H0

H 0:    0

H1:  > 0

Contraste unilateral derecho 1-  0 Zona de aceptación de H0

Zona de rechazo

Punto crítico

Construcción de una prueba estadística de hipótesis

En resumen... 





Una hipótesis estadística es una proposición sobre los parámetros de un modelo estadístico para la variable de respuesta La hipótesis estadística que se somete a prueba se conoce como hipótesis nula y se simboliza con H0 Cuando la hipótesis nula se rechaza, se concluye a favor de la hipótesis alternativa que se simboliza con H1

Errores en la Prueba de Hipótesis Tanto cuando no se rechaza la hipótesis nula como cuando se rechaza, es posible cometer errores

Errores

Contraste de Hipótesis

Frente a una hipótesis nula se toma una decisión

Rechazar H0

o

Aceptar H0

Es correcto si H0 Es correcto si H0 es verdadera pero es falsa pero incorrecto si fuese incorrecto si fuese falsa verdadera

Contraste de Hipótesis

Error de Tipo I  La hipótesis nula es cierta y se rechaza erróneamente 

La probabilidad de cometer este tipo de error está bajo control del experimentador. Su máximo valor se simboliza con  y recibe el nombre de nivel de significación

Contraste de Hipótesis Error de Tipo I 

En el ejemplo de los plantines el error de tipo I tiene una probabilidad máxima de 0.05

Contraste de Hipótesis

Error de Tipo II:  

La hipótesis nula es falsa y no se rechaza La probabilidad de cometer este tipo de error se denomina 

Contraste de Hipótesis

Error de Tipo II:  La probabilidad de cometer este tipo de error queda determinada por:  el nivel de significación  el tamaño muestral  la magnitud de la discrepancia entre la hipótesis postulada y la situación verdadera.

Contraste de Hipótesis

Error de Tipo II: 

Para calcular la probabilidad de cometer este tipo de error se debe suponer el verdadero valor para la media de la población

Contraste de Hipótesis Error Tipo II en un contraste bilateral

1- /2 Zona de rechazo

0

/2 Zona de rechazo

Zona de aceptación de H0 Punto crítico 1 Punto crítico 2



( -0)/(/n)

Contraste de Hipótesis

Potencia 

Se define a la potencia como:

 = 1-  

Esta probabilidad es una medida de la potencialidad que se tiene en un experimento para detectar que la hipótesis nula es falsa.

Contraste de Hipótesis

Potencia  En la planificación de un experimento, ¿cuál debería ser el tamaño de la muestra (o número de repeticiones) para tener una alta probabilidad de detectar una diferencia dada entre la media verdadera y la postulada en la hipótesis nula?

Contraste de Hipótesis

Potencia  ¿Cuál es el tamaño muestral (o número de repeticiones) necesario para detectar una diferencia entre la media verdadera y la postulada en la hipótesis nula, con una potencia de por ejemplo 0.8 o más?