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LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES Existen varios tipos de losas armadas en dos direcciones. Las más antiguas, estudiadas en códigos, por ejemplo del ACl-63, son las losas planas apoyadas en vigas. Este método todavía es aceptable actualmente, aunque el reglamento ACl11 no lo menciona en las normas peruanas. En la actualidad se utilizan losas planas sin vigas, losas planas con capiteles o ábacos, losas con casetones. Todas ellas se usan de acuerdo al caso específico, ya sea por requerimientos de altura del piso, espesor de losa, necesidades de instalaciones, facilidades constructivas, limitaciones del esfuerzo-cortante, luces entre apoyos, magnitud de cargas vivas y/o cargas muertas, etc. El Código ACI considera dos tipos de análisis para losas armadas en dos sentidos:  El método directo de diseño y;  El método del marco o pórtico equivalente Además se considera el método de los coeficientes utilizados en el ACl-63, el mismo que nunca fue prohibido. Los tres métodos indicados están concebidos con métodos aproximados al análisis. El proyectista puede utilizar métodos más exactos de análisis en base a soluciones numéricas como líneas de influencia u otros métodos teóricos siempre y cuando cumpla con los criterios de seguridad y servicio solicitados por el ACI.

Losas en dos direcciones

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CRITERIOS PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS Franja de Diseño Para analizar un sistema de losas en dos direcciones ya sea mediante el Método de Diseño Directo o mediante el Método del Pórtico Equivalente, el sistema de losas se divide en franjas de diseño que consisten en una franja de columna y la mitad de una o dos franjas intermedias, como se ilustra en la figura 1.7.

FIGURA1.7

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Definición de las Franjas de Diseño Sección efectiva de una viga Para los sistemas de losas con vigas entre sus apoyos, las vigas deben incluir partes de la losa a modo de alas, como se ilustra en la Figura 1.8. Las constantes de diseño y los parámetros de rigidez utilizados con el Método de Diseño Directo y el Método del Pórtico Equivalente se basan en las secciones de viga efectivas ilustradas.

FIGURA1.8 Sección efectiva de una viga

Espesor Mínimo de la Losa El Código del ACI propone espesores mínimos de losa que garantizan que sus deflexiones no sean excesivas. Si los esfuerzos de corte son elevados, dicho espesor debe ser incrementado. Esta situación se suele presentar en los sistemas de losas sin vigas. El espesor mínimo de losas con vigas entre apoyos, es función de αm el cual es igual al promedio de los valores de αf correspondiente a las vigas que limitan el paño. El parámetro se determina a través de la siguiente expresión:

Donde: Ecb Ecs Ib Is

= Módulo de elasticidad del concreto de las vigas. = Módulo de Elasticidad del concreto de loa losa. = Momento de Inercia de la sección bruta de la viga respecto a su eje centroidal. = Momento de Inercia de la sección bruta de la losa respecto a su eje centroidal.

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TIPOS DE SISTEMAS DE LOSAS QUE TRABAJAN EN DOS DIRECCIONES

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FIGURA1.9 Secciones de Losas y Vigas a ser consideradas para el cálculo de αf

Si αm es menor que 0.2, la rigidez de las vigas es prácticamente nula y por lo tanto, su presencia no se considera. En este caso los espesores de losa se determinan haciendo uso de la tabla1.5. Esfuerzo de fluencia del acero fy(kg/cm2)

Sin Ábacos Paño exterior

2800

Sin vigas de borde Ln/33

Con vigas de borde Ln/36

4200

Ln/30

5250

Ln/28

Con Ábacos Paño Interior

Paño exterior

Paño interior

Ln/36

Sin vigas de borde Ln/36

Con vigas de borde Ln/40

Ln/40

Ln/33

Ln/33

Ln/33

Ln/36

Ln/36

Ln/31

Ln/31

Ln/31

Ln/34

Ln/34

TABLA 1.5 Espesores mínimos de losas armadas en dos direcciones sin vigas interiores – ACI-318-05 – NTE E.060

Ln, es la luz libre en la dirección de la luz mayor entre apoyos para losas sin vigas o entre caras de vigas para losas con vigas. El espesor mínimo h para losas con vigas que se extienden entre los apoyos en todos los lados debe ser:  Para αm ≤ 0.2, se consideran los espesores de la tabla 1.5.  Para 0.2 < αm < 2.0, h no debe ser menor que:

pero no menor que 125mm.

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 Para αm > 2.0, h no debe ser menor que:

pero no menor que 90 mm. Donde: Ln = ß = αf =

αm

=

Luz libre del paño en la dirección larga medida de cara a cara de vigas. Relación de luz libre mayor a luz libre menor. Relación de rigidez a flexión de la sección de la viga a rigidez a flexión de un anchode losa limitada lateralmente por las líneas centrales de paños adyacentes a cada lado de la viga. Promedio de los valores αf en todo el perímetro del paño. Para losas sin vigas tomar αm=0.

Adicionalmente deben cumplirse los siguientes mínimos:   

Losas sin vigas ni ábacos, h>=12.5 cm. Losas sin vigas con ábacos, h>=10.0 cm. Losas con vigas en los cuatro bordes (con αm>=2.0), h>=9.0 cm.

Pueden utilizarse espesores de losas menores que los mínimos requeridos cuando las deflexiones calculadas no exceden los límites de la Tabla 1.6.

Tipo de Elemento Deflexión Considerada Techos planos que no soporten ni Deflexión instantánea estén ligados a elementos no debida a la carga viva. estructurales susceptibles de sufrir daños por deflexiones excesivas Pisos que no soporten ni estén Deflexión instantánea ligados a elementos no debida a la carga viva. estructurales susceptibles de sufrir daños por deflexiones excesivas.

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Deflexión Límite L / 180 ( ** )

L / 360

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Piso o techos que soporten o estén ligados a elementos no estructurales susceptibles de sufrir daños por deflexiones excesivas Pisos o techos que soporten o estén ligados a elementos no estructurales no susceptibles de sufrir daños por deflexiones excesivas.

La parte de la deflexión total que ocurre después de la unión de los elementos no estructurales (la suma de la deflexión diferida debida a todas las cargas sostenidas y la deflexión inmediata debida a cualquier carga viva adicional). ( * )

L / 480 ( *** )

L / 240 (****)

TABLA 1.6 Deflexiones máximas permisibles

Donde: L = Luz de cálculo. (*)

Las deflexiones diferidas se podrán reducir según la cantidad de la deflexión que ocurra antes de unir los elementos no estructurales. Esta cantidad se determinará basándose en los datos de Ingeniería aceptables con relación a las características tiempo‐deformación de elementos similares a los que se están considerando. Este límite no tiene por objeto constituirse en un resguardo contra el estancamiento de aguas, lo que se debe verificar mediante cálculos de deflexiones adecuados, incluyendo las deflexiones adicionales debidas al peso del agua estancada y considerando los efectos a largo plazo de todas las cargas sostenidas, la contraflecha, las tolerancias de construcción y la confiabilidad en las previsiones para el drenaje.

(**)

(***)

Este límite se podrá exceder si se toman medidas adecuadas para prevenir daños en elementos apoyados o unidos.

(****)

Pero no mayor que la tolerancia establecida para los elementos no estructurales. Este límite se podrá exceder si se proporciona una contraflecha de modo que la deflexión total menos la contraflecha no exceda dicho límite.

Refuerzo de la Losa 









El área mínima de armadura en cada dirección para los sistemas de losas que trabajan en dos direcciones será igual a 0,0018bh (b = ancho de la losa, h = altura total) para barras de acero Grado 60, tanto para la armadura superior como para la armadura inferior. El espaciamiento del refuerzo en las secciones críticas no deberá exceder de dos veces el espesor de la losa, excepto en el caso de losas nervadas o aligeradas. Por lo menos 1/3 del refuerzo por momento positivo perpendicular a un borde discontinuo, deberá prolongarse hasta el borde de la losa y tener una longitud de anclaje de por lo menos 150 mm en las vigas o muros perimetrales. El refuerzo por momento negativo, perpendicular a un borde discontinuo, deberá anclarse en las vigas o muros perimetrales para que desarrolle su esfuerzo de tracción Cuando la losa no esté apoyado en una viga o muro perimetral (tramo exterior) el anclaje del refuerzo se hará dentro de la propia losa.

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FIGURA1.10 Longitudes mínimas de refuerzo en losas sin vigas

Refuerzo en las esquinas Los momentos torsionales que se generan tienen importancia únicamente en las esquinas exteriores de un sistema de losa en dos direcciones, donde tienden a agrietar la losa en la parte inferior a lo largo de la diagonal del panel, y en la parte superior en dirección perpendicular a la diagonal del panel. Debe proporcionarse refuerzo especial tanto en la parte superior como en la inferior de las esquinas exteriores de la losa, a lo largo de una distancia en cada dirección igual a un quinto de la luz larga del panel de esquina medida desde la esquina como aparece en la figura 1.11. El refuerzo en la parte superior de la losa debe ser paralelo a la diagonal desde la esquina mientras que el de la parte inferior debe ubicarse en forma perpendicular a la diagonal. Como alternativa, las dos filas de acero pueden colocarse en dos bandas paralelas de la losa. En cualquier caso, de acuerdo con el Código ACI, los refuerzos positivo y negativo deben tener un tamaño y un espaciamiento equivalentes a los exigidos para el máximo momento positivo en el panel.

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FIGURA1.11 Refuerzo en esquinas de losas

Aberturas en la Losa La losa podrá tener aberturas de cualquier dimensión siempre que se demuestre que su presencia no afecta ni a la resistencia del elemento horizontal ni su comportamiento bajo cargas de servicio. El código del ACI sugiere dimensiones máximas de aberturas según su ubicación en la losa, las cuales han demostrado no ser perjudiciales para el comportamiento del elemento horizontal. Se podrá omitir el análisis indicado en el párrafo anterior siempre que una abertura en losa cumpla los siguientes requisitos:  Si están localizadas en la zona común de dos franjas centrales, se mantendrá la cantidad total de refuerzo requerido por el paño sin considerar la abertura.  La zona común de dos franjas de columna que se intersecten no deberá interrumpirse por abertura no será mayor de 1/8 del ancho de la franja de columna más angosta. El equivalente del refuerzo interrumpido por la abertura deberá añadirse en los lados de ésta.  En la zona común de una franja de columna y una franja central, no deberá interrumpirse por las aberturas más de 1/4 del refuerzo en cada franja. El equivalente del refuerzo interrumpido por una abertura deberá añadirse en los lados de ésta.

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FIGURA1.12 Aberturas en losas sin vigas

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METODO DIRECTO El Método de Diseño Directo es un procedimiento aproximado para analizar sistemas de losas en dos direcciones solicitados exclusivamente por cargas gravitatorias. Debido a que se trata de un procedimiento aproximado, la aplicación de este método se limita a los sistemas de losas que satisfacen las limitaciones especificadas más adelante. Los sistemas de losas en dos direcciones que no satisfacen estas limitaciones se deben analizar mediante procedimientos más exactos tal como el Método del Pórtico Equivalente especificado Con la publicación de ACI 318-83, el Método de Diseño Directo simplificó enormemente el análisis de los momentos de los sistemas de losas en dos direcciones, ya que se eliminaron todos los cálculos de las rigideces para determinar los momentos de diseño en un tramo extremo. Las expresiones para calcular la distribución en función de la relación de rigidez αec fueron reemplazadas por una tabla de coeficientes de momento para distribuir los momentos totales en los tramos finales). Otro cambio introducido fue que la anterior ecuación aproximada (13-4) para transferencia de momento no balanceado entre la losa y una columna interior también se simplificó, eliminando el término de αec. A partir de estos cambios el Método de Diseño Directo se transformó en un procedimiento de diseño verdaderamente directo, uno que permite determinar todos los momentos de diseño mediante la aplicación de coeficientes de momento. Además, se incorporó un nuevo artículo 13.6.3.6, que contiene un requisito especial para el corte debido a la transferencia de momento entre una losa sin vigas y una columna de borde, y que se aplica cuando se utilizan los coeficientes de momento aproximados.

Definiciones básicas: a. Franja de Columna.- Es una franja de diseño con un ancho a cada lado del eje de la columna igual a 0.25 L2 ó 0.25 L1, el que sea menor. Las franjas de columna incluyen a la viga si estas existen. b. Franja intermedia.- Es una franja de diseño limitada por 2 franjas de columnas.

Limitaciones: a) Deben tener como mínimo 3 paños continuos en cada dirección. b) Los paños( tableros) deben ser rectangulares con una relación largo a corto (eje a eje) no mayor de 2. c) Las luces (claros) de los paños sucesivos deben ser parecidas no difiriendo en más de un tercio de la luz mayor. d) Las columnas deben estar alineadas, permitiéndose como máximo un desalineamiento del 10% del claro del paño desde cualquier eje que una los centros de columnas sucesivas. CONCRETO ARMADO I – LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES

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e) Las cargas serán solo de gravedad (cargas verticales) y serán uniformemente repartidas en todos los paños. f) La sobrecarga o carga viva no excederá 3 veces la carga muerta. g) Para un paño con vigas, la relación de rigideces de las vigas en las dos direcciones no será menor de 0.2 ni mayor de 5.

Momento estático total para un paño: Para carga uniforme, el momento de diseño total Mo para un tramo de la franja de diseño se calcula simplemente aplicando la expresión correspondiente a momento estático:

siendo wu la combinación mayorada de carga permanente y sobrecargas , wu = 1,2wd+1,6wℓ. La luz libre ℓn (en la dirección de análisis) se define de manera directa si las columnas u otros elementos de apoyo tienen sección transversal rectangular. La luz libre comienza en la cara del apoyo. Mas adelante se define lo que es la cara del apoyo. Una limitación requiere que la luz libre no se tome menor que 65% de la luz medida entre los centros de los apoyos . La longitud ℓ2 es simplemente la luz (entre centros) transversal a ℓn. Sin embargo, cuando se considera un tramo adyacente a un borde y paralelo al mismo, para calcular Mo se debe sustituir ℓ2 por la distancia entre el borde y el eje del panel de losa considerado •

ℓ2=( ℓb+ ℓc)/2

•

ℓ2= ℓa + ℓb/2

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DISTRIBUCION DEL MOMENTO ESTATICO TOTAL MOMENTO POSITIVO Y NEGATIVO (momentos longitudinales)

EN

El momento estático total de un tramo se divide en momentos de diseño positivos y negativos como se ilustra en la Figura. En ella se ilustran los momentos en el tramo extremo de una placa plana o una losa plana sin vigas de borde (sistemas de losa sin vigas entre sus apoyos interiores y sin viga de borde). Para otras condiciones el momento estático total Mo se distribuye como se indica en la Tabla 19-1.

Para paños interiores: • •

Momentos negativos : M (-) = 0.65 Mo Momentos positivos : M (+) = 0.35 Mo

Para paños exteriores:

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El caso “normal” y más usado en el Perú será el de losas con vigas, y por tanto :

Los momentos calculados con la tabla 19.1 son también los que actúan en caras de columnas como se en las figuras anteriores. Cuando los momentos no son iguales, como suele suceder en la primera columna interior, se debe diseñar con el momentos mayor, o bien, distribuirlo el momento de desequilibrio entre los miembros que concurren al nudo de acuerdo con su rigidez. Cuando exista vigas de borde perpendiculares a la dirección en que se hace el análisis, los momentos torsionantes a dicha vigas , lo cual debe ser considerado en su diseño cuando no existen dichas vigas, se debe considerar que una franja de losa que actúa como viga de borde resiste el momento torsionante correspondiente . El reglamento del ACI 318-02 especifica que el momento que se transfiere en este caso, debe ser igual al momento resistente de la franja de columnas, como se muestra en la figura siguiente. Una fracción de este momento dado por la ecuación:

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Debe transferirse por flexión entre la losa y la columna, considerando para estos efectos un ancho de losa igual al ancho de la columna en dirección perpendicular a la del momento, C2 , más una vez y medias el espesor de la losa ,1.5h, a cada lado del paño de columnas . La fracción restante del momento debe ser transferida por excentricidad de la fuerza cortante.

DISTRIBUCION FRANJA

DE LOS MOMENTOS

A LO ANCHO DE LA

1. Momentos para la franja de columna : Los porcentajes de momentos en la franja completa que corresponden a la franja de columnas se presentan en la tabla siguiente La franja de columna debe diseñarse para resistir los siguientes porcentajes: - Momento Negativo Interior:

- Momento Negativo Exterior:

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- Momento Positivo:

En todos los casos, se podrá efectuar interpolaciones lineales 2. MOMENTOS EN LA FRANJA CENTRALES: La diferencia entre 100 por ciento y el porcentaje asignado a las franjas de columnas. La porción de momento negativo o positivo no resistido por la franja de columna será resistido por la franja central Cada franja central debe resistir la suma de los momentos asignados a sus dos mitades. 3. MOMENTOS PARA LA VIGA Y PARA LA LOSA COMPRENDIDA EN LA FRANJA DE COLUMNA: Las vigas tomarán el 85% de los momentos asignados para la franja de columna si

Para cuando de losa. Para valores de

, no hay vigas, y por lo tanto toda la franja de columna será mayores de cero y menores de 1 (vigas poco rígidas)

interpolará entre el 85% y el 0% para obtener el porcentaje que toma la viga. Adicional a estos momentos obtenidos para la viga deberá considerarse los momentos actuantes debido a cargas aplicadas directamente sobre ella.

DEFINICIÓN DE α Y βT : Es la relación de la rigidez a flexión de la losa con un ancho igual a L2 (L2 es igual al promedio de 2 paños si se tienen luces diferentes).

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Si se determina en la dirección L1 se denomina α1 y si se determina en la dirección L2 se denomina α2. βt es la relación de la rigidez torsional de la viga de borde (perpendicular a L 1) a la rigidez o flexión de un ancho de losa igual a L2.

donde

Para la viga de borde cuya rigidez a torsión comparamos. Para efectos de calcular C la viga se considera como una viga T.

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A CONTINUACIÓN UN EJEMPLO DE CÁLCULO DEL VALOR C: Viga 30 x 60 y losa h = 15

Definido el ancho de la viga T evaluamos C dividiendo esta en dos rectángulos de lados x e y siendo x < y. a)

b)

Se escoge el mayor valor de "C" Para el cálculo de Lb se considera una viga T con un ancho definido como: el ancho que incluya una porción de losa a cada lado de la viga, igual a lo descrito anteriormente.

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Para el cálculo de " Is " se considera L2 como ancho y por tanto será:

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PERALTES MINIMOS El reglamento del ACI 318-02 especifica que las losas sin vigas interiores deben tener los peraltes totales mínimos señalados en la tabla 19.4, pero estos peraltes no serna menores de 12.5cm para losas sin ábacos o con 10cm para losas con ábacos . en forma alternativa, los peraltes totales mínimos serna por lo menos iguales a los valores calculados con las ecuaciones 9-16 y 9-17 , el que resulta mayor , aunque no necesitan ser mayores que el calculado con la ecuación d . Los peraltes totales mínimos de losas con vigas deben calcularse con las ecuaciones 9-16 , 9-17, c en la forma explicada.

En estas ecuaciones, αm es el valor promedio del parámetro α en las vigas que limitan el tablero de losa en consideración; y β es la relación entre el claro libre mayor y el claro libre menor

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REGLAMENTO A USAR MÉTODO DIRECTO

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MÉTODO DEL PÓRTICO EQUIVALENTE El diseño de un sistema de losas, por medio del método del pórtico equivalente, debe basarse en las suposiciones dadas en (5.5.1) a (S.5.5), y todas las secciones de losas y elementos de apoyo deben ser diseñadas para los momentos y cortantes así obtenidos. Cuando se utilicen capiteles en las columnas, se permitirá tomar en consideración su contribución a la rigidez y a la resistencia a flexión y cortante. Se permite despreciar las deformaciones axiales en las columnas y losas, debido a esfuerzos directos, y las deformaciones por cortante. Pórtico equivalente Debe considerarse que la estructura está constituida por pórticos equivalentes a lo largo de los ejes de columnas longitudinales y transversales, a lo largo de toda la estructura. Cada pórtico debe consistir en una fila de columnas o apoyos y franjas de viga-losa, limitadas lateralmente por el eje central del panel,a cada lado del eje de columnas o apoyos. Debe suponerse que lascolumnas o apoyos están unidas a las franjas de viga-losa mediante elementos torsionales transversales a la dirección del vano, para el cual se están determinando los momentos, extendiéndose hasta los ejes centrales de los paneles adyacentes a cada lado de la columna. Los pórticos adyacentes y paralelos a un borde deben estar limitados por dicho borde y el eje central del panel adyacente. Cada pórtico adyacente equivalente puede analizarse como un todo. Alternativamente, para cargas gravitacionales, se permite un análisis independiente de cada piso o cubierta con los extremos lejanos de las columnas, considerados como empotrados . Cuando las vigas-losa son analizadas separadamente, se permite determinar el momento en ur apoyo dado,suponiendo que la viga-losa está empotrada en cualquier apoyo,distante dos vanos del considerado,siempre que la losa continúe más allá de dicho punto. Vigas-losa Se permite determinar el momento de inercia del sistema de vigas-losa en cualquier sección transversal fuera del nudo o capitel de la columna, usando el área bruta de concreto. CONCRETO ARMADO I – LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES

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Debe tenerse en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo de los ejes de los sistemas de vigas-losa. El momento de inercia de vigas-losa, desde el centro de la columna hasta la cara de la columna, ménsula o capitel, debe suponerse igual al momento de inercia del sistema de vigas-losa en la cara de la columna, ménsula o capitel, dividido por (1 – c2 / l2)2, donde c2 y l2 se miden transversalmente a la dirección del vano para el cual se determinan los momentos. Columnas Se permite determinar el momento de inercia de las columnas en cualquier sección transversal fuera de nudos o capiteles de columnas, usando el área bruta de concreto. Debe tenerse en cuenta la variación del momento de inercia a lo largo de los ejes de las columnas. El momento de inercia de las columnas en el nudo, desde la parte superior a la parte inferior del sistema viga-losa, debe suponerse infinito. Elementos torsionales Deben suponerse elementos torsionales con una sección transversal constante en toda su longitud, que consiste en la mayor de (a), (b) y (c): a) b)

c)

Una porción de losa que tenga un ancho igual al de la columna, ménsula o capitel, en la dirección del vano para el cual se determinan los momentos, o Para sistemas monolíticos o totalmente compuestos, la porción de losa especificada en (a) más la parte de la viga transversal arriba y debajo de la losa, y Para elementos monolíticos o totalmente compuestos, una viga incluye la parte de losa que está situada a cada lado de la viga, a una distancia igual a la proyección de la viga hacia arriba o hacia debajo de la losa, la que sea mayor, pero no mayor que cuatro veces el espesor de la losa.

Cuando las vigas se unen a las columnas en la dirección del vano para el cual se determinan los momentos,la rigidez torsional debe multiplicarse por la relación entre el momento de inercia de la losa con la viga y el momento de inercia de la losa sin Disposiciones de la carga viva Cuando se conoce la disposición de la carga, el pórtico equivalente debe analizarse para dicha carga. Cuando la carga viva no mayorada sea variable, pero no exceda de 3/4 de la carga CONCRETO ARMADO I – LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES

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muerta no mayorada; o bien la naturaleza de la carga viva sea tal que todos los paneles se carguen simultánea mente, se permite suponer que se producen los momentos mayorados máximos en todas las secciones con la carga viva mayorada total, actuando en todo el sistema de losa. Para condiciones de cargas distintas a las definidas en el párrafo anterior,se puede suponer que el momento máximo positivo mayorado cerca del centro de la luz del panel ocurre con 3/4 del total de la carga viva mayorada, colocada sobre el panel y sobre paneles alternos; y se permite suponer que el momento máximo negativo mayorado de la losa en un apoyo se produce con 3/4 del total de la carga viva mayorada colocada solamente en los paneles adyacentes. Los momentos mayorados no deben considerarse menores que los que se presentan con la carga viva total mayorada, distribuida en todos los paneles. Momentos mayorados En apoyos interiores, la sección crítica para el momento negativo mayorado (tanto en la franja de columna como en las franjas centrales), debe tomarse en el borde de los apoyos rectilíneos, pero a no más de 0.175 l1 del centro de la columna. En los apoyos exteriores provistos de ménsulas o capiteles, la sección crítica para el momento negativo mayorado en el vano perpendicular a un borde debe considerarse situada a una distancia del borde del elemento de soporte no mayor de 1/2 de la proyección de la ménsula, o capitel, más allá de la cara del elemento de apoyo. Los apoyos circulares, o en forma de polígono regular,deben tratarse como apoyos cuadrados que tengan la misma área, con el objeto de localizar la sección crítica para el momento negativo de diseño. Cuando se analicen sistemas de losas que cumplan con las siguientes limitaciones por medio del método del pórtico equivalente: • Deben existir un mínimo de tres vanos continuos en cada dirección. • Los paneles de las losas deben ser rectangulares, con una relación entre la luz mayor y menor, medidas a centro de los apoyos del panel, no mayor de dos. Las longitudes de las luces contiguas medidas centro a centro de los apoyos en cada dirección no deben diferir de la luz mayor en más de un tercio. • Las columnas pueden estar desalineadas hasta un 10 % de la luz (medido en la direcc ión del desalineamiento), con respecto a cualquier eje que pase por el centro de columnas sucesivas. • Todas las cargas deben ser únicamente gravitacionales y estar uniformemente distribuidas en todo el panel. La carga viva no mayorada no CONCRETO ARMADO I – LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES

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debe exceder de dos veces la carga muerta no mayorada. •

Para un panel con vigas entre los apoyos en todos los lados, debe satisfacerse la ecuación:

Para las dos direcciones perpendiculares. Donde αf1 y αf2 se calculan de acuerdo con la ecuación:

• •

La redistribución de momentos, como lo permite 8.4, no debe aplicarse a los sistemas de losas diseñadas por medio del método de diseño directo. Se permiten variaciones de las limitaciones, siempre que se demuestre por medio de análisis que se satisfacen los requisitos de 13.5.1.

Se permite reducir los momentos calculados resultantes en una proporción tal que la suma absoluta de los momentos positivos y el promedio de los momentos negativos utilizados para el diseño, no excedan el valor obtenido con la ecuación:

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Propiedades de las vigas losas

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Propiedades de las columnas

Si no hay una viga unida a la columna considerada, se usará como viga efectiva una parte de la losa igual al ancho de la columna o capitel. Si una viga está conectada a la columna, se supondrá una viga T o una L con patines de anchos iguales a la proyección de la viga arriba o debajo de la losa, pero no mayor que cuatro veces el espesor de la losa. La flexibilidad de la columna equivalente es igual al recíproco de su rigidez, como sigue:

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Si despejamos de esta expresión la rigidez equivalente de la columna y multiplicamos por Kc, se obtiene:

Un examen de esta breve deducción muestra que la flexibilidad a torsión del nodo columna losa, reduce la capacidad del nodo para transmitir momentos. Después de que se obtiene el valor de Kec, los factores de distribución pueden calcularse como sigue; con referencia nuevamente a la figura anterior:

Nota: Este método del pórtico equivalente es recommendable procesarlo con programas de computadora debido a la complejidad de desarrollar en forma manual.

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METODO DE LOS COEFICIENTES DEL ACI PARA LOSAS EN DOS DIRECCIONES La determinación precisa de momentos en losas en dos direcciones, con varias condiciones de continuidad en los bordes soportados, es matemáticamente muy compleja y no es adecuada para la práctica de diseño. Por esta razón se han adoptado varios métodos simplificados para determinar momentos, cortantes y reacciones para este tipo de losas. Con respecto al Código ACI de 1995, todos los sistemas de losas de concreto reforzado en dos direcciones que incluyen losas apoyadas en los bordes, losas y placas planas, deben analizarse y diseñarse de acuerdo con un método unificado. Sin embargo, la complejidad de este método generalizado, en particular para sistemas que no cumplen los requisitos que permiten realizar el análisis mediante el "método de diseño directo" del Código actual, ha llevado a muchos ingenieros a continuar utilizando el método de diseño del Código ACI de 1963 para el caso especial de losas en dos direcciones, apoyadas en vigas de borde relativamente altas y rígidas, en los cuatro lados de cada uno de los paneles de la losa. Desde 1963 este método se utiliza en forma amplia para losas apoyadas en los bordes por muros, vigas de acero o vigas monolíticas de concreto, cuya altura total no sea menor que aproximadamente tres veces el espesor de la losa. Aunque no formó parte del Código ACI de 1977 o de versiones posteriores, se permite su uso continuo bajo la disposición del Código actual con relación a que un sistema de losa puede diseñarse utilizando cualquier procedimiento que satisfaga las condiciones de equilibrio y de compatibilidad geométrica, siempre y cuando se demuestre que la resistencia de diseño en cada sección es por lo menos igual a la resistencia requerida, y que se cumplen los requisitos de funcionalidad.

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Se modifican los momentos negativos y no los momentos positivos.

m=A/B



Cuando la relación A/B1, debemos hacer lo siguiente: Invertir las condiciones de borde para poder hacer uso de las tablas. Para bordes discontinuos, el momento a tomar es 1/3 del momento en la franja central, igualmente Para la franja de columna se tomará 1/3 del momento en la franja central.

 

DETERMINACIÓN DE LOS MOMENTOS DE FLEXIÓN Las secciones críticas para el momento de flexión son: 1. 2.

Para momentos positivos a lo largo de la línea media de los tableros se presentan los momentos positivos máximos. Para momentos negativos, se presenta en el borde del tablero y que corresponden a la carga de la viga de apoyo. Si los momentos en el apoyo varían en el orden por debajo del 80%, la diferencia será repartida proporcionalmente a las rigideces relativas de las losas. Para la Franja Central.‐ •

Momentos Negativos: MA = Ca Wu A2 MB = Cb Wu B 2

•

Momentos Positivos: MA = Ca, m Wu m A2 + Ca, v Wu v A2 MB = Cb,

m Wu m B

2

+ Cb, v Wu v B 2

Donde: MA MB Ca, Cb Wu A

= Momento de flexión en la dirección A. = Momento de flexión en la dirección B. = Coeficiente de momentos. = Carga última uniformemente repartida. = Luz Libre tramo corto.

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B

= Luz Libre tramo largo.

Para la Franja de Columna.‐ Los momentos serán reducidos gradualmente desde el valor total en la franja central hasta 1/3 de estos valores en el borde del tablero. Cuando los momentos negativos en un apoyo varían en el orden del 20% a más, la diferencia será repartida proporcionalmente a las rigideces relativas de las losas.

FIGURA 1.13 Momentos y variaciones de los momentos en una losa cargada uniformemente con apoyos simples en los cuatro lados

FIGURA 1.14 Variación de los momentos a través del ancho de las secciones críticas supuestas para el diseño.

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DISEÑO POR FUERZA CORTANTE.‐ • •

La sección crítica se presenta a una distancia “d” de la cara de la viga de apoyo. El cortante en la sección crítica de los tableros se determina mediante los coeficientes del ACI.

WA = C Wu WB = C2 Wu (1.16) V = Visos ±

FIGURA 1.15

Mu L

(1.17)

FIGURA 1.15 Distribución de la carga equivalente para el cálculo de la fuerza cortante.

Distribución de la carga equivalente para el cálculo de la fuerza cortante.

Verificación por Cortante.Verificación por Cortante.‐ V = 0.53 f1 c. b.

Todo el cortante lo debe absorver el concreto

Verificación por Punzonamiento.-

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BIBLIOGRAFIA  ARTUR NILSON, Diseño de Estructuras de Concreto. Duodécima Edición, Mc Graw Hill. 1997  HARMSEN TEODORO, Diseño de Estructuras de Concreto Armado. Cuarta Edición, PUCP. 2002.  Ing. JUAN E. ORTEGA GARCÍA, Diseño de estructuras de Concreto Armado - Tomo I y II, Editorial MACRO.

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