PD Tema 2: Deducción natural proposicional
Lógica informática (2012–13) Tema 2: Deducción natural proposicional
José A. Alonso Jiménez Andrés Cordón Franco María J. Hidalgo Doblado Grupo de Lógica Computacional Departamento de Ciencias de la Computación e I.A. Universidad de Sevilla
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional
Tema 2: Deducción natural proposicional 1. Reglas de deducción natural 2. Reglas derivadas 3. Resumen de reglas de deducción natural
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural
Tema 2: Deducción natural proposicional 1. Reglas de deducción natural Reglas de la conjunción Reglas de la doble negación Regla de eliminación del condicional Regla derivada de modus tollens (MT) Regla de introducción del condicional Reglas de la disyunción Regla de copia Reglas de la negación Reglas del bicondicional 2. Reglas derivadas 3. Resumen de reglas de deducción natural
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Reglas de la conjunción
Reglas de la conjunción I
I I
I
Regla de introducción de la conjunción: Reglas de eliminación de la conjunción:
F
F ∧G F ∧G
Ejemplo: p ∧ q, r ` q ∧ r : 1 p ∧ q premisa 2
r
premisa
3
q
∧e2 1
4
q∧r
∧i 2, 3
G
F
∧i ∧e1
F ∧G G
∧e2
Adecuación de las reglas de la conjunción: I I I
∧i : {F , G} |= F ∧ G ∧e1 : F ∧ G |= F ∧e2 : F ∧ G |= G
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Reglas de la doble negación
Reglas de la doble negación I I I
I
Regla de eliminación de la doble negación: Regla de introducción de la doble negación: Ejemplo: p, ¬¬(q ∧ r ) ` ¬¬p ∧ r : 1 p premisa 2
¬¬(q ∧ r )
premisa
3
¬¬p
¬¬i 1
4
q∧r
¬¬e 2
5
r
∧e2 4
6
¬¬p ∧ r
∧i 3, 5
¬¬F
¬¬e
F F ¬¬F
¬¬i
Adecuación de las reglas de la doble negación: I I
¬¬e : {¬¬F } |= F ¬¬i : {F } |= ¬¬F
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Regla de eliminación del condicional
Regla de eliminación del condicional I I
F F →G Regla de eliminación del condicional: →e G Ejemplo: ¬p ∧ q, ¬p ∧ q → r ∨ ¬p ` r ∨ ¬p: 1 ¬p ∧ q premisa 2
I
¬p ∧ q → r ∨ ¬p
premisa
3 r ∨ ¬p →e 1, 2 Ejemplo: p, p → q, p → (q → r ) ` r : 1
p
premisa
2
p→q
premisa
3
p → (q → r )
premisa
4
q
→e 1, 2
5
q→r
→e 1, 3
6
r
→e 4, 5
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Regla derivada de modus tollens (MT)
Regla derivada de modus tollens (MT) I I
I
Regla derivada de modus tollens:
F →G
Ejemplo: p → (q → r ), p, ¬r ` ¬q: 1
p → (q → r )
premisa
2
p
premisa
3
¬r
premisa
4
q→r
→e 1, 2
5
¬q
MT 3, 4
¬F
¬G MT
Ejemplo: ¬p → q, ¬q ` p: 1
¬p → q
premisa
2
¬q
premisa
3
¬¬p
MT 1, 2
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Regla de introducción del condicional
Regla de introducción del condicional I
Regla de introducción del condicional:
F .. . G F →G
I
I
→i
Ejemplo: p → q ` ¬q → ¬p: 1
p→q
premisa
2
¬q
supuesto
3
¬p
MT 1, 2
4
¬q → ¬p
→i 2 − 3
Adecuación de la regla de introducción del condicional: Si F |= G, entonces |= F → G.
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Regla de introducción del condicional
Regla de introducción del condicional I
I
Ejemplo: ¬q → ¬p ` p → ¬¬q: 1
¬q → ¬p
premisa
2
p
supuesto
3
¬¬p
¬¬i 2
4
¬¬q
MT 1, 3
5
p → ¬¬q
→i 2 − 4
Ejemplo (de teorema): ` p → p: 1
p
supuesto
2
p→p
→i 1 − 1
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Regla de introducción del condicional
Regla de introducción del condicional I
Ejemplo: ` (q → r ) → ((¬q → ¬p) → (p → r )): 1
q→r
supuesto
2
¬q → ¬p
supuesto
3
p
supuesto
4
¬¬p
¬¬i 3
5
¬¬q
MT 2, 4
6
q
¬¬e 5
7
r
→e 1, 6
8
p→r
→i 3 − 7
9
(¬q → ¬p) → (p → r )
→i 2 − 8
10 (q → r ) → ((¬q → ¬p) → (p → r )) →i 1 − 9
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Reglas de la disyunción
Reglas de la disyunción I
Reglas de introducción de la disyunción:
F F ∨G
I
Regla de eliminación de la disyunción: F ∨G
I
Ejemplo: p ∨ q ` q ∨ p: 1
p∨q
premisa
2
p
supuesto
3
q∨p
∨i2 2
4
q
supuesto
5
q∨p
∨i1 4
6
q∨p
∨e 1, 2 − 3, 4 − 5
∨i1
G
F .. .
F ∨G G .. .
H
H
∨i2
∨e H
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Reglas de la disyunción
Reglas de la disyunción I
Ejemplo: q → r ` p ∨ q → p ∨ r : 1
q→r
premisa
2
p∨q
supuesto
3
p
supuesto
4
p∨r
∨i1 3
5
q
supuesto
6
r
→e 1, 5
7
p∨r
∨i2 6
8
p∨r
∨e 2, 3 − 4, 5 − 7
9
p∨q →p∨r
→i 2 − 8 12 / 28
PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Regla de copia
Regla de copia I
Ejemplo (usando la regla hyp): ` p → (q → p): 1
p
supuesto
2
q
supuesto
3
p
hyp 1
4
q→p
→i 2 − 3
5
p → (q → p)
→i 1 − 4
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Reglas de la negación
Reglas de la negación I
Extensiones de la lógica para usar falso: I I
I
Extensión de la sintaxis: ⊥ es una fórmula proposicional. Extensión de la semántica: I(⊥) = 0 en cualquier interpretación I.
Reglas de la negación: I
Regla de eliminación de lo falso:
⊥ ⊥e F
I
Regla de eliminación de la negación:
F
¬F ¬e ⊥
I
Adecuación de las reglas de la negación: I I
⊥ |= F {F , ¬F } |= ⊥
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Reglas de la negación
Reglas de la negación I
Ejemplo: ¬p ∨ q ` p → q: 1
¬p ∨ q
premisa
2
p
supuesto
3
¬p
supuesto
4
⊥
¬e 2, 3
5
q
⊥e 4
6
q
supuesto
7
q
∨e 1, 3 − 5, 6 − 6
8
p→q
→i 2 − 7 15 / 28
PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Reglas de la negación
Reglas de la negación I
I I
Regla de introducción de la negación: Adecuación: Si F |= ⊥, entonces |= ¬F . Ejemplo: p → q, p → ¬q ` ¬p: 1
p→q
premisa
2
p → ¬q
premisa
3
p
supuesto
4
q
→e 1, 3
5
¬q
→e 2, 3
6
⊥
¬e 4, 5
7
¬p
¬i 3 − 6
F .. . ⊥ ¬F
¬i
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Reglas del bicondicional
Reglas del bicondicional I I
Regla de introducción del bicondicional: Ejemplo: p ∧ q ↔ q ∧ p: 1
p∧q
supuesto
2
p
∧e1 1
3
q
∧e2 1
4
q∧p
∧i 2, 3
5
p∧q →q∧p
→i 1 − 4
6
q∧p
supuesto
7
q
∧e2 6
8
p
∧e1 6
9
p∧q
∧i 7, 8
10 q ∧ p → p ∧ q
→i 6 − 9
F →G
G →F
F ↔G
↔i
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas de deducción natural Reglas del bicondicional
Reglas del bicondicional F ↔G
I
Eliminación del bicondicional:
I
F →G Ejemplo: p ↔ q, p ∨ q ` p ∧ q:
↔ e1
1
p↔q
premisa
2
p∨q
premisa
3
p
supuesto q
supuesto
4
p→q
↔e1 1
q→p
↔e2 1
5
q
→e 4, 3
p
→e 40 , 30
6
p∧q
∧i 3, 5
p∧q
∧i 30 , 50
7
p∧q
F ↔G G →F
↔ e2
∨e 2, 3 − 6, 30 − 60
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas derivadas
Tema 2: Deducción natural proposicional 1. Reglas de deducción natural 2. Reglas derivadas Regla del modus tollens Regla de introducción de doble negación Regla de reducción al absurdo Ley del tercio excluido 3. Resumen de reglas de deducción natural
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas derivadas Regla del modus tollens
Reglas de modus tollens I
I
Regla derivada de modus tollens (MT): F → G ¬G MT ¬F Derivación: 1 F → G premisa 2
¬G
premisa
3
F
supuesto
4
G
→e 1, 3
5
⊥
¬e 2, 4
6
¬F
¬i 2 − 4
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas derivadas Regla de introducción de doble negación
Regla de introducción de doble negación I
I
Regla de introducción de la doble negación: F ¬¬i ¬¬F Derivación: 1 F premisa 2
¬F
supuesto
3
⊥
¬e 1, 2
4
¬¬F
¬i 2 − 3
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas derivadas Regla de reducción al absurdo
Regla de reducción al absurdo (RAA) I
Regla de reducción al absurdo: ¬F .. . ⊥
I
F Derivación: 1
RAA ¬F → ⊥ premisa
2
¬F
supuesto
3
⊥
→e 1, 2
4
¬¬F
¬i 2 − 3
5
F
¬e ¬4 22 / 28
PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas derivadas Ley del tercio excluido
Ley del tercio excluido (LEM) I
I
Ley del tercio excluido (LEM): LEM F ∨ ¬F Derivación: 1 ¬(F ∨ ¬F ) supuesto 2
F
supuesto
3
F ∨ ¬F
∨i1 2
4
⊥
¬e 1, 3
5
¬F
¬i 2 − 4
6
F ∨ ¬F
∨i2 5
7
⊥
¬e 1, 6
8
F ∨ ¬F
RAA 1 − 7 23 / 28
PD Tema 2: Deducción natural proposicional Reglas derivadas Ley del tercio excluido
Reglas derivadas: ley del tercio excluido (LEM) I
Ejemplo: p → q ` ¬p ∨ q: 1
p→q
premisa
2
p ∨ ¬p
LEM
3
p
supuesto
4
q
→e 1, 3
5
¬p ∨ q
∨i2 4
6
¬p
supuesto
7
¬p ∨ q
∨i1 6
8
¬p ∨ q
∨e 2, 3 − 5, 6 − 7
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Resumen de reglas de deducción natural
Tema 2: Deducción natural proposicional 1. Reglas de deducción natural 2. Reglas derivadas 3. Resumen de reglas de deducción natural
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Resumen de reglas de deducción natural
Resumen de reglas de deducción natural Introducción F
∧
G
F ∧G
∨
F F ∨G
∨i1
Eliminación F ∧G
∧i
F G
F ∨G
∨i2
F ∨G
∧e1
F ∧G G
F .. .
G .. .
H
H
∧e2
∨e H
→
F .. . G F →G
F →i
F →G
→e
G 26 / 28
PD Tema 2: Deducción natural proposicional Resumen de reglas de deducción natural
Resumen de reglas de deducción natural Introducción
Eliminación
F .. .
¬
⊥ ¬F
¬F
F
⊥
¬i
⊥
⊥
⊥e
F ¬¬F
¬¬
¬e
¬¬e
F ↔ I
F →G
G →F
↔i
F ↔G
↔ e1
F ↔G
F ↔G F →G G →F Adecuación y completitud del cálculo de deducción natural.
↔ e2
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PD Tema 2: Deducción natural proposicional Bibliografía
Bibliografía 1. C. Badesa, I. Jané y R. Jansana Elementos de lógica formal. (Ariel, 2000). Cap. 16: Cálculo deductivo.
2. R. Bornat Using ItL Jape with X (Department of Computer Science, QMW, 1998). 3. J.A. Díez Iniciación a la Lógica, (Ariel, 2002). Cap. 4: Cálculo deductivo. Deducibilidad.
4. M. Huth y M. Ryan Logic in computer science: modelling and reasoning about systems. (Cambridge University Press, 2000) Cap. 1: Propositional logic.
5. E. Paniagua, J.L. Sánchez y F. Martín Lógica computacional (Thomson, 2003) Cap. 3.6: El método de la deducción natural. 28 / 28
