Ley de Newton de la Gravitación Establece que:
F=
²
donde: F = fuerza de atracción entre dos masas m1 y m2 G = constante de gravitación universal ≈ 6,67384 × 10⁻¹¹ N m²/kg² = 6,67384 × 10⁻¹¹
³ ²
r = separación entre las masas, supuestas puntuales Vectorialmente es:
F=−
³
r
donde al marcar en negritas los parámetros F y r, indicamos que son vectores, además el signo (-) indica que la fuerza es siempre de atracción, que F y r tienen la misma dirección y el parámetro: r/r es el vector unitario o versor en la dirección de r. Normalmente se considera la masa concentrada en el centro de masa del cuerpo, así por ejemplo la ley permite hallar la atracción entre cuerpos celestes que no tienen nada de puntual, como el Sol y la Tierra, o ésta y la Luna. Sin embargo si la forma de los cuerpos es irregular, debería considerarse la fuerza como la integral de las fuerzas elementales, y eso no siempre coincide con considerar el centro de masa de los cuerpos. Se puede demostrar (no lo haremos) que la ley puede aplicarse a un cuerpo posado o cercano a la superficie terrestre, tomando la distancia r de éste al centro de la Tierra. Por ejemplo, si quisiéramos calcular la gravedad media terrestre por este camino plantearíamos:
F=
²
donde M es la masa terrestre y m la masa de un cuerpo posada en su superficie. Pero F = m g, de modo que: g = F/m y nos queda:
g=
g=
M = 5,9736 × 1024 kg R = radio medio terrestre = 6,371 × 106 m
²
²
, × -
=
× , × ²⁴
(, × ⁶ )²
= 9,81 m/s²
Algunas aplicaciones Una nave espacial viaja entre la Tierra y la Luna. Si la distancia entre los dos cuerpos celestes es de 384000 km, y la masa de la luna es un 12,3% la de la Tierra, determinar a qué distancia del centro de la Tierra la nave está en equilibrio gravitacional entre los dos cuerpos. Se debe verificar que FNT = FNL, o sea las fuerzas entre la nave y la Tierra y entre la nave y la Luna sean iguales en módulo y opuestas en sentido.
FNT =
²
=
()²
= FNL
donde r es la distancia de la nave a la Tierra y (d-r) la de la nave a la Luna. d = 384000 km es la distancia Tierra-Luna (dato). Como ML = 0,123 MT (dato), llamando simplemente M a la masa de la Tierra tenemos: ²
=
, ²
=> 0,123 r² = ଶ − 2 + ²
Trabajando directamente con las medidas en km: 384000² - 2 × 384000 r + r² - 0,123 r² = 0 0,877 r² - 768000 r + 1,4746 × 10¹¹ = 0 cuyas raíces son: r = 284294 km y r’ = 591418 km Descartamos la segunda, ya que es la de un punto en la línea Tierra-Luna pero distante de la Tierra más que la Luna. En ese punto F es la misma también en sentido, no era el caso buscado.
Determinar la velocidad tangencial a que debe orbitar un satélite cuya altura sobre la superficie terrestre es de 1500 km. Utilice la información provista en el problema anterior. Considerando la órbita como circular sin cometer un gran error, la gravedad a la altura de la misma es la aceleración centrípeta que mantiene al satélite sobre dicha órbita. O sea que se cumple:
ac =
²
=
²
=g
siendo Ro el radio orbital, o sea: Ro = r + h = 6371 km + 1500 km = 7871 km ≈ 7,87 × 106 m
De los dos miembros centrales se despeja:
Vs
= =
, × - × , × ²⁴
, × ⁶
= 7117 m/s
Vs = 7117 m/s = 7117 × 3,6 = 25621 km/h
Altura órbita de un satélite geoestacionario En este caso la velocidad media del satélite será tal que recorrerá la longitud de la órbita en un día, ya que a esa velocidad gira manteniéndose sobre el mismo punto de la Tierra, generalmente sobre el ecuador. Re = radio del ecuador terrestre = 6378,1 km = 6,3781 × 106 m h = altura media de órbita = Ro – Re Vs = 2π Ro / 1 día = (6,2832 / 86400 s) Ro = 7,2722 × 10⁻5 s-1 × Ro ²
=
( , × / )² × ²
=
²
De los 2 últimos miembros:
Ro = ( , × ⁻ /
=
)²
³ × , × ²⁴ ² , × / ²
, × -
h = Ro – Re = 42,2435 × 106 m - 6,3781 x 106 m = 35865 km Normalmente se considera unos 36000 km.
= 42243500 m
