El pensamiento crítico en actividades de contexto real

El pensamiento crítico en actividades de contexto real Anna Darnaculleta1, Núria Iranzo2, y Núria Planas3 1

IES Ramon Casas i Carbó, Palau-solità i Plegamans, [email protected] 2 IES Front Marítim, Barcelona 3 Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad Autónoma de Barcelona

Resumen Desde el año 2005, el Grupo EMAC -Educación Matemática Crítica- viene realizando una tarea de diseño, implementación y análisis de actividades de matemáticas con contexto real para el desarrollo de habilidades de pensamiento crítico en el aula de secundaria. Para ello, suponemos que los enunciados con temáticas cercanas al alumnado, cuestiones abiertas y gestionados con dinámicas interactivas son un buen recurso. En esta comunicación mostraremos ejemplos de actividades trabajadas hasta el momento y comentaremos algunas de sus posibilidades. Para la mejora de las medidas de atención a la diversidad de alumnado, destacaremos especialmente los aspectos de promoción de la conversación en el aula, de generación de preguntas y de conexión dentro de las matemáticas y con otras áreas de conocimiento como factores. PALABRAS CLAVE: aprendizaje matemático, pensamiento crítico, actividades de contexto real. 1. Introducción Una finalidad de la Educación Matemática es consolidar la habilidad de pensar matemáticamente en todos los alumnos y a lo largo de las distintas etapas escolares. En el marco del Grupo EMAC -‘Educación Matemática Crítica’- pretendemos contribuir a promover el papel de la conversación y de las preguntas en el aula de matemáticas de secundaria como un método eficaz de atención a las diversidades y de fortalecimiento de las formas de desarrollo y comunicación del pensamiento matemático. Las conversaciones generadas en torno a la resolución de una actividad son un momento clave en las secuencias de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, donde el alumnado aprende en su relación con los otros, explicando sus razonamientos e intercambiando y contrastando ideas por medio de preguntas que considera esenciales. Desde el año 2005 en el Grupo EMAC venimos elaborando actividades que faciliten el desarrollo de habilidades de pensamiento crítico y de comunicación de conocimientos matemáticos situados en la etapa 12-16. El proceso de diseño de actividades es lento porque obliga a una reflexión sobre el currículo en esta etapa y pide tomar decisiones sobre cuáles son las matemáticas más adecuadas en cada momento. Este proceso requiere la experimentación de las actividades en el aula, el análisis de dinámicas para su gestión y una reflexión posterior individual y colectiva sobre las actuaciones llevadas a cabo. En este escrito resumimos la experimentación de tres actividades y concluimos sobre algunos rasgos comunes. Todas ellas se han diseñado para promover el trabajo de cinco habilidades de pensamiento crítico: 1) la diferenciación de información relevante e irrelevante; 2) el planteamiento de hipótesis de trabajo y conjeturas; 3) el desarrollo de XIV JAEM Girona 2009

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estrategias de aproximación y resolución; 4) la argumentación de estrategias; y 5) la valoración de alternativas en la interpretación de textos. 2. Un ejemplo de actividad para el pensamiento crítico En textos anteriores (Grupo EMAC, 2006, 2007, 2008, en prensa) hemos hablado de matemáticas en relación con los peligros para la sostenibilidad urbanística de un pueblo, los productos alimentarios light y la interpretación de representaciones a escala de pisos, entre otras temáticas. Nuestras propuestas de actividades para el aula sitúan la práctica matemática en contextos reales y destacan problemáticas que requieren marcos interpretativos de los mundos físicos y sociales. Se trata de problemáticas que admiten el desarrollo de procesos de personalización, que son en si mismos puntos de partida y soporte para la implicación del alumnado y para el desarrollo de nuevas formas de relación con las matemáticas. En este apartado, comentamos una actividad experimentada con éxito en cuatro aulas de enseñanza secundaria de los centros IES Gelida (Gelida, 3º de ESO), IES Ramon Casas i Carbó (Palau-solità i Plegamans, 4º de ESO), Escola Montessori Palau (Girona, 3º de ESO) y Escola Voramar (Barcelona, 4º de ESO). Todas ellas son aulas con gran diversidad de alumnado, donde muchos de los participantes se consideran a si mismos “malos” en matemáticas y muestran un escaso interés por esta materia. El enunciado de la tarea, ideada por los profesores Anna Darnaculleta, Raquel Figueras y Antonio Miguel, es el siguiente: Una compañía de refrescos saca al mercado un nuevo formato de las latas de 33cl. Discute posibles motivos para el nuevo formato. Es un enunciado corto con un alto componente de visualización al referirse a la comparación de dos figuras con volumen. Los alumnos conocen el refresco -Coca Colay el material es de fácil obtención. La presencia de los envases en el aula ha de reforzar la motivación, además de facilitar el trabajo del volumen y su relación con otras magnitudes. Se espera de los alumnos que tengan curiosidad por saber las causas del nuevo formato y que manipulen y experimenten con el material. Para potenciar la participación y facilitar el registro de la experiencia, se unifican criterios de actuación: -

Iniciar la actividad dando una hoja con el enunciado y dos envases a cada grupo. Pedir que las discusiones y decisiones dentro del grupo se escriban en papel. Dejar que los alumnos salgan del aula para llevar a cabo experimentaciones. No interrumpir en lo posible el trabajo de los grupos. Hacer una puesta en común después del tiempo dedicado a los pequeños grupos. Resumir las ideas principales de cada grupo en la pizarra. Tener constancia escrita de la lluvia de ideas desarrollada en la puesta en común.

La situación matemática permite que diferentes alumnos resuelvan la actividad de formas diferentes. El proceso de personalización viene garantizado por tratarse de un refresco popular, asociado a una multinacional de gran influencia en el entorno de jóvenes y no tan jóvenes. Por otra parte, el pensamiento crítico requiere decidir cómo se organiza el proceso de resolución, teniendo en cuenta la información visual y verbal del enunciado, las experiencias de los alumnos y, sobre todo, las normas de actuación cuando se plantea una actividad distinta a las habituales en el aula de matemáticas. Conviene estimular a los alumnos a formular preguntas para que clarifiquen el sentido del enunciado. Muchos de ellos tienen dificultades cuando intentan formular una

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cuestión. En lo que sigue, resumimos razonamientos que se expresaron en las aulas y señalamos preguntas de los alumnos que facilitaron el desarrollo de estos razonamientos. En las cuatro clases se empieza buscando diferencias entre los envases. Los alumnos prestan atención al texto y a la configuración de los recipientes. A pesar de tener claro que no se les pide la redacción de una lista de diferencias, algunos hacen listas de este tipo (“La lata típica es de importación y la otra no”, “En la nueva lata han eliminado la promoción de regalos”, “Los años de fabricación son diferentes”, “La lata alargada no lleva código de barras”, etc.). En ciertos casos, la identificación de diferencias lleva a establecer hipótesis preliminares sobre los temas a explorar. Por ejemplo, la falta de código de barras hace que algunos alumnos relacionen la introducción de un nuevo envase con las formas de distribución de la bebida, o bien, los años de fabricación hacen pensar en latas asociadas a dos stocks de mercado. Finalmente, se inician discusiones matemáticas interesantes donde se mencionan hasta cuatro motivos: -

La empresa quiere hacer consumir más. Los publicistas han introducido un diseño más atractivo. Los contables quieren ahorrar dinero con el material. Los contables quieren ahorrar dinero con la bebida.

Otros motivos apuntados no llevan a discusiones matemáticas, aunque son el punto de partida de muchas participaciones (“El nuevo envase es más cómodo de transportar”, “El formato alargado hace la competencia a otros refrescos ya existentes en el mercado”, “La novedad del formato es una estrategia para justificar un aumento de precio”, “Las latas alargadas proceden de un stock antiguo que ahora se saca al mercado”, “El nuevo modelo se fabrica para diferenciar los refrescos consumidos en los bares”, “Los cambios responden a formas alternativas de publicitar la bebida”, “El diámetro menor hace que el envase se pueda coger con la mano”, etc.). Hay alumnos que insisten en llamar al teléfono de información que aparece en los envases, mientras que otros buscan información en el ordenador del aula; estos últimos escriben literalmente el enunciado de una pregunta en el servidor Google, sin recurrir por tanto al uso de palabras clave. Se reconduce la situación hacia estrategias de aproximación eficaces por medio de preguntas de alumnos, después de que el profesor insista en la necesidad de plantear dudas. Algunas cuestiones iniciales son: -

¿Hay que fijarse en la forma de la lata o en su contenido? ¿Por qué suponemos que los motivos de la introducción de un nuevo envase tienen que ver con las matemáticas? ¿Cómo puede comprobarse la calidad del material de fabricación? ¿Cuál es la diferencia en las capacidades de los envases?

Son también interesantes algunas de las cuestiones que surgen al final de las sesiones: -

¿Cómo sabremos si los motivos que decidamos son los de la empresa? ¿Podríamos descubrir los motivos sin tener los envases delante, solo con una fotografia de ellos tomada desde cualquier perspectiva? ¿Hubiera bastado con solo mirar los envases, sin hacer nada con ellos? ¿Por qué no hemos pensado directamente en cilindros con medidas distintas?

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En general, encontramos tres tipos de preguntas formuladas por los alumnos. El tipo al que corresponde cada pregunta no puede inferirse únicamente de la lectura de su enunciado puesto que hay que tener en cuenta el contexto más global de habla en el que surge. Un primer tipo son las preguntas dirigidas al profesor, cuya respuesta da pie a que éste retome una explicación interrumpida o inacabada; en este tipo, separamos las preguntas de demanda de información concreta de aquellas que indagan en procesos de pensamiento y posicionamientos del profesor. Un segundo tipo incluye preguntas formuladas por un alumno en voz alta y que rápidamente se contesta él mismo. El tercer tipo se refiere a preguntas planteadas en los grupos de trabajo, donde un alumno utiliza una pregunta para ayudar a un compañero del grupo, introduciendo palabras clave o pistas en su enunciado. Si a los tipos anteriores, añadimos los tipos de preguntas usados por los profesores, que fueron identificados en un trabajo anterior (Iranzo y Planas, 2009), tenemos cinco tipos más. En la Tabla 1 resumimos, desde la perspectiva de su función didáctica, los tipos identificados, destacando quién formula la pregunta y a quién va dirigida. Tabla 1. Tipos de preguntas identificados en aulas del Grupo EMAC Tipos de preguntas en el aula Preguntas formuladas por un alumno - De demanda de información al profesor, a internet u otras fuentes - De construcción de significados compartidos con el profesor y/o con otros alumnos - De acompañamiento de procesos de reflexión en voz alta de uno mismo

Preguntas formuladas por el profesor - De construcción de significados compartidos con alumnos - De acompañamiento de procesos de reflexión en voz alta de uno mismo - De acompañamiento de procesos de reflexión de un alumno - De exploración de conocimientos de alumnos - De evaluación de conocimientos de alumnos

No hemos incluido un tipo específico para las preguntas que tienen por objeto desvalorizar las intervenciones del profesor o de algunos alumnos porque muchos de los ejemplos encontrados para ilustrar los tipos anteriores contienen elementos de desvalorización y porque, en realidad, y pese a su frecuencia, no tienen una auténtica función didàctica desde la perspectiva de construcción de conocimiento matemático. Cuando los alumnos demandan más información al profesor, por ejemplo, a menudo reprochan que cierta información no se haya dado de antemano y, por tanto, de algún modo desvalorizan las intervenciones previas del profesor. Por otra parte, resulta interesante notar que muchas de las preguntas en las aulas estudiadas corresponden a momentos de reflexión en voz alta de quien las hace y, paradójicamente, no se formulan esperando que otra persona las responda sino que tienen un fuerte componente retórico. Desarrollo de ideas principales En esta sección, resumimos algunas de las ideas principales desarrolladas por alumnos de las distintas clases, como muestra de su elevada implicación social y matemática en la tarea. La mayoría de intervenciones de los alumnos surgen a raíz de la formulación de preguntas del profesor, de ellos mismo o de otros alumnos. En algunos casos, las preguntas de los alumnos interfieren en el discurso del profesor hasta el punto de hacer que éste cambie la orientación de sus aportaciones y acceda a debatir temas no que

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inicialmente no ha introducido. Así ocurre en el proceso de desarrollo de cuatro aproximaciones distintas al problema. Resumimos cada aproximación junto con una de las preguntas que la inicia. Escogemos preguntas formuladas por alumnos en los grupos de trabajo; todas ellas son preguntas de construcción de significados compartidos. ¿Hay que fijarse en la forma de la lata o en su contenido? Algunos alumnos consideran que la empresa quiere hacer consumir más a los clientes habituales. Estos alumnos relacionan la creación del nuevo modelo con la intención de provocar un consumo más rápido y frecuente (“Consumes más rápido y tienes la sensación de tener que pedir más”). Argumentan que el agua cae de manera más continua y rápida en el envase más alargado (“Cae de forma más fina, sin sobresaltos como en el envase clásico”) y que en el nuevo envase se aprovecha más el contenido (“Con la misma inclinación, la lata nueva se vacía antes” “En posición horizontal, la lata antigua pierde más líquido porque tiene menos longitud y más diámetro”). Piden salir del aula para llenar las latas con agua y colocarlas inclinadas sobre una repisa del lavabo. Cuando vuelven explican que han tenido dificultades al querer garantizar la misma inclinación en las dos latas, la misma cantidad de agua y el tiempo de inicio en el vaciado. No saben hasta qué punto pequeñas variaciones en la inclinación, el tiempo y la cantidad de agua pueden alterar los resultados e invalidar la prueba, por lo que concluyen que su experimento no es lo bastante fiable. Algunas reflexiones acerca de las conexiones entre matemáticas y ciencias (“Al final ha resultado ser un problema de ciencias”, “Echamos en falta materiales del laboratorio porque hay demasiadas ciencias”) recuerdan la escasa tradición interdisciplinar y la poca manipulación en el aula de matemáticas de secundaria. ¿Por qué suponemos que los motivos tienen que ver con las matemáticas? Otros alumnos consideran que los publicistas han optado por introducir un diseño más atractivo. Relacionan estrictamente el nuevo formato con el hecho de sacar al mercado un diseño “que se venda más y que sirva para obtener popularidad”. Las latas más alargadas se asocian a la intención de aumentar el número de ventas y no se considera el posible ahorro de material o bebida. Se convence a muchos alumnos que se trata de una cuestión de preferencias del consumidor (“Gusta más el que tiene mejor estética”), pero se decide que la opinión de un grupo clase no es lo bastante representativa al ser una muestra pequeña con todos los alumnos de una misma edad. Surge la necesidad de organizar una pequeña encuesta (“¿Qué lata te gusta más?”). La iniciativa de salir del aula para hacer encuestas contribuye a establecer conexiones entre diferentes bloques curriculares de las matemáticas, en un contexto donde el profesor no parece esperar la aparición de contenidos estadísticos. Algunos alumnos visitan clases de 1º y 4º de ESO y dicen sentirse aliviados por haber conseguido orientar “un problema extraño” hacia temas del libro de matemáticas. En algunos casos, las respuestas de otros alumnos llevan a replantear el formato de respuestas múltiples de la encuesta, que ha sido elaborada sin introducir todas las opciones posibles y que, por tanto, da lugar a una explicación del profesor. ¿Cómo puede comprobarse la calidad del material de fabricación? Hay alumnos que asumen que los contables quieren ahorrar dinero con el material. Mencionan la calidad del material (“La lata antigua es más resistente a los golpes”), suponen que el aluminio del nuevo formato es de menor calidad porque cuesta menos

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aplastarlo (“La alargada es más blanda y pesa menos. La empresa gana dinero con ella”) y que el peso de la nueva lata es menor, de manera que la empresa puede tener motivos económicos. Algunos grupos piden usar la balanza para comparar pesos (“Sabiendo el peso sabremos cuál es más blanda”) y van al laboratorio de tecnología. Se obtienen distintos pesos en gramos: 24’2, 24’6 i 24’9 para la lata alargada vacía y 27’0, 27’4 y 27’9 para la clásica vacía. A pesar de no coincidir las medidas de los grupos, se observa que la nueva lata siempre pesa menos (“El aluminio de la lata nueva tiene menor grosor”) y, de ahí, se deduce que los pesos encontrados bastan. Un grupo toma varios pesos para calcular una medida final aplicando la media aritmética. Se acepta que la lata clásica pesa algo más de 2 gramos y que contiene mayor cantidad de aluminio. En otras aulas, la diferencia de pesos se vincula a la diferencia de superficies y se discute la relación entre superficies distintas y volúmenes iguales. Algunos grupos han trabajado el cálculo de la superficie del cilindro y toman medidas de alturas y perímetros de las bases. Observan que la superficie de la lata alargada es menor y, puesto que el peso es menor, concluyen que el aluminio es “más delgado”. El profesor aprovecha para mostrar maneras de recordar las fórmulas usadas. ¿Cuál es la diferencia en las capacidades de los envases? Finalmente, hay alumnos que suponen que los contables quieren ahorrar dinero con el nuevo envase. Estos alumnos basan sus argumentaciones en el ahorro a distintos niveles, mencionando que “cambiar el formato de la lata implica cambiar las máquinas dispensadoras porque o les gusta gastar dinero o acabarán ahorrando con las nuevas latas”. Comparan los pesos de las latas vacías con las latas llenas de agua y piensan que el hecho de pesar menos en ambos casos confirma el coste menor de la nueva lata para la empresa. Estos argumentos llevan a discutir diferencias en la capacidad de las latas. Al descubrir pesos distintos con latas llenas, se infiere que estos pesos pueden ser indicadores de menor cantidad de aluminio y de menor capacidad (“Tal vez la fabricación sale más rentable porque tiene menos material y cabe menos bebida”), sin apreciarse la posibilidad de errores en los pesos. Las primeras sospechas sobre diferencias en la capacidad se ven reforzadas con el uso de unidades de medida distintas en los dos envases: 330 mililitros y 33 centilitros. Tras la conversión de unas unidades a otras y un mejor estudio de las capacidades, esta diferencia lleva a pensar en una estrategia de la empresa para confundir al consumidor. Por otra parte, aunque la experimentación con agua tendría que bastar, hay alumnos que piden abrir latas para practicar trasvases con su contenido real y comprobar la altura de los contenidos. En todas estas aproximaciones al problema, se trabajan de forma integrada las habilidades de pensamiento crítico mencionadas en la introducción. Entre otros aspectos, el trabajo de estas habilidades facilita el desarrollo de la capacidad para: -

manifestar la perspectiva personal por medio de la argumentación en un ambiente de aula donde se están expresando otras perspectivas basadas en decisiones de grupo no siempre fundamentadas; comprender que otras personas pueden tener una manera distinta de aproximar una tarea matemática pero igualmente válida; identificar maneras adecuadas y eficaces de resolución de una tarea matemática en función de los recursos disponibles y del contexto sugerido por el enunciado; y reconocer cuándo la construcción activa del conocimiento matemático requiere la inclusión de conocimientos de otras áreas.

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A continuación mostramos dos ejemplos más de actividades de contexto real diseñadas para el trabajo del pensamiento crítico. La primera actividad ha sido experimentada en un curso de 1º de ESO del IES Ramon Casas i Carbó. La segunda se ha implementado también en un curso de 1º de ESO del IES Gelida. Acabamos con reflexiones sobre algunas de las características que comparten las tres actividades ejemplificadas. A lo largo de la presentación de esta comunicación, ilustraremos éstas y otras actividades elaboradas en el marco de la licencia de estudios concedida a Anna Darnaculleta por el Departamento de Educación de la Generalitat de Catalunya para el curso 2008-2009, con la finalidad de crear y validar un banco de tareas de aula. 3. Otro ejemplo de actividad Consultando una web hemos encontrado esta pirámide alimentaria. Recordad que una ración es la cantidad habitual de alimento que se consume en un plato y que la pirámide de los alimentos es una representación gráfica de las raciones diarias recomendadas para cada grupo de alimentos. Vamos a comprobar si el menú de noviembre de una escuela es equilibrado. A primera vista, ¿qué pensáis?

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Viernes

3 Espaguetis boloñesa Tortilla de queso con lechuga Fruta variada

4 Menestra tricolor Pechuga de pollo rebozada Yogur

5 Lentejas guisadas Filete de merluza al horno y verdura Fruta variada

6 Caldo con verdura Hamburguesa de ternera y patatas Fruta variada

7 Arroz a la milanesa Calamares a la romana y ensalada Fruta variada

10 Judías y patatas Palitos de merluza, lechuga y maíz Yogur

11 Arroz a la cubana Tortilla francesa, lechuga y zanahoria Fruta variada

12 Espirales carbonara Lomo a la plancha, lechuga y aceitunas Fruta variada

13 Puré de patatas Albondigas de ternera y verdura Fruta variada

14 Caldo y garbanzos Muslos de pollo y verdura Fruta variada

17 Macarrones Calamares a la romana y lechuga Fruta variada

18 Guisantes y patatas Hamburguesa de ternera y tomate Fruta variada

19 Arroz a la cubana Lomo asado con verdura y patatas Fruta variada

20 Lentejas guisadas Tortilla de patatas y zanahoria Fruta variada

21 Caldo con fideos Pizza con sofrito de carne y tomate Flan y naranjada

24 Patatas, judías y zahanorias hervidas Salchichas y tomate Yogur

25 Espirales con tomate y cebolla Merluza y ensalada Fruta variada

26 Judías blancas Tortilla de jamón dulce con brócoli Fruta variada

27 Sopa de caldo con verduras y estrellas Pollo asado y chips Fruta variada

28 Crema de calabacín Paella con carne y guisantes Fruta variada

Haced cuatro grupos, uno para cada semana del mes. Para empezar, todos los grupos analizaréis algunos contenidos de la pirámide alimentaria. ¿Qué fracción de la pirámide representa cada conjunto de alimentos?

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Pan,

Fruta

Verdura

Lácteos

Carne,

Dulces,

cereales,

pescado,

grasas

arroz,

huevos,

patatas

legumbres

Fracción recomendada

Usando las equivalencias del cuadro adjunto, rellenad la tabla con la cantidad de raciones que se incluyen en el menú. Organizaros de modo que cada grupo se encargue solo de una semana y pida la información de las semanas restantes a los otros grupos.

Pan,

Fruta

Verdura

Lácteos

cereales, Raciones

Carne,

Dulces,

pescado,

grasas

arroz,

huevos,

patatas

legumbres

1a semana 2a semana 3a semana 4a semana Total

El menú escolar solo es de almuerzos, y no se consideran sábados ni domingos. Sin embargo, vamos a suponer que tiene sentido respetar las recomendaciones de la pirámide alimentaria. ¿Cuántas raciones de cada grupo de alimentos tendría que tomar un alumno en los almuerzos del mes de noviembre? Pan,

Carne,

Dulces,

cereales,

pescado,

grasas

arroz,

huevos,

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Fruta

Verdura

Lácteos

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patatas

legumbres

Raciones recomendadas

Compara las raciones recomendadas por la pirámide alimentaria con las raciones que en realidad toman los alumnos de esta escuela: Pan,

Fruta

Verdura

cereales

Lácteos

Carne,

Dulces,

pescado,

grasas

arroz,

huevos,

patatas

legumbres

Raciones recomendadas Raciones del menú

¿Hay algún grupo de alimentos que no cumpla las raciones recomendadas? ¿Eran esperables los resultados obtenidos? ¿Puede haber algún motivo para que esto ocurra? Desarrollo de ideas principales Como en la descripción de la actividad del apartado anterior, en esta sección recogemos algunas de las preguntas formuladas por alumnos del grupo clase donde se llevó a cabo la experimentación. De nuevo, los alumnos se distribuyen en grupos de 3 o 4 miembros. Se reparte la hoja de la actividad y se pide que analicen y respondan las cuestiones de manera consensuada. Primero se analiza la pirámide alimentaria, se opina a priori sobre si el menú dado es o no equilibrado y, luego, se hace el recuento de raciones para cada grupo alimentario. Más tarde, se calculan las raciones recomendadas y se comparan con las raciones reales; después se llega a conclusiones sobre la conveniencia del menú en una puesta en común. Pasamos a comentar algunas preguntas y los contenidos a los que dan lugar, aunque ahora lo hacemos más brevemente que en el primer ejemplo. ¿Hay datos escondidos a tener en cuenta? Inicialmente los alumnos tienen claro que todos los datos del menú son relevantes; solo leyéndolo la mayoría opina que se sigue una dieta equilibrada por la variedad de alimentos. Cuando los alumnos avanzan en la discusión en torno a las raciones y la tabla de equivalencias, surgen dudas sobre qué datos pueden usarse. Este debate se inicia con la comparación de los resultados obtenidos en el total de raciones del menú para el grupo ‘pan, cereales, arroz y patatas’ y las raciones recomendadas de estos alimentos. Los resultados sugieren un supuesto déficit en su consumo. Se propone compensar este déficit incluyendo las raciones de pan que se acostumbran a añadir como acompañamiento en las comidas escolares. Aunque estas raciones de pan no aparezcan en el menú, se valora la necesidad de introducirlas en el conteo e incluso de añadirlas en el texto del enunciado. El tema del pan es un ejemplo de información relevante que no forma parte del enunciado de la actividad y que, sin embargo, se valida a partir del contexto real de referencia de los alumnos. Por otra parte, se trata de un tema cuya introducción consigue hacer cambiar la valoración final del menú puesto que una de las XIV JAEM Girona 2009

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mayores descompensaciones entre raciones ofrecidas y recomendadas se identifican en la columna de ‘pan, cereales, arroz y patatas’. Tras haberse incluido raciones de pan, algunos alumnos mencionan las raciones de aceite en las ensaladas, que también contribuyen a modificar el recuento de la columna de ‘dulces y grasas’. ¿Tenemos que ser estrictos con la aplicación de la pirámide en una comida? Después de comparar las raciones recomendadas con las raciones dadas por el menú, los alumnos coinciden en que hay una carencia importante de lácteos. En las tablas elaboradas por los cuatro grupos se muestran las cantidades de lácteos: tres yogures y un flan equivalen a dos raciones completas, mientras que la salsa carbonara junto con la pizza y el queso en una tortilla se interpretan como otra ración. Las tres raciones de lácteos aportadas en los almuerzos del mes de noviembre contrastan con las tres raciones diarias de promedio –noventa al mes– propuestas por la pirámide. Antes de que el profesor relativice la comparación algo tendenciosa entre estas cantidades, los alumnos argumentan diversos motivos para explicar la supuesta carencia de lácteos: los yogures se ofrecen poco porque no acostumbran a gustar mucho a los niños de primaria, tienen una fecha de caducidad relativamente corta que requiere más control y preocupaciones, son más habituales en otras comidas del día, etc. En el debate, este último motivo es el que más se discute y el que se considera más relevante. Se retoma de nuevo la idea de que la pirámide de los alimentos es una recomendación de raciones diarias que tiene que interpretarse de una forma global con una mirada conjunta a todas las comidas. Si se presta atención al carácter global de la pirámide, puede explicarse en parte la falta de raciones de lácteos en los almuerzos, entendiéndose que este tipo de alimentos se consume sobre todo en el desayuno y a menudo como postre en la cena. ¿Cómo vamos a manejar la inexactitud en los cálculos? Al buscar el número de raciones a tomar de cada tipo de alimentos, los alumnos siguen distintos procesos y estrategias de cálculo según se parta de la fracción recomendada o de otras cantidades. En el primer caso, se usan los contenidos de la pirámide para encontrar las fracciones recomendadas de cada tipo. Si se considera un total de 16 raciones de promedio contempladas, por ejemplo, este número se coloca en el denominador y las raciones de promedio para cada tipo de alimentos en el numerador; este dato se compara con el total de 60 raciones aportadas por los veinte almuerzos del menú escolar, obtenido tras la aproximación de 3 raciones por comida para cada día. Algunos alumnos aplican las fracciones anteriores –por ejemplo, 3/16 para las verduras– al total de raciones, y así llegan al número ideal de raciones que sería necesario haber incluido en el menú –un total de 11’2 raciones de verduras. En el segundo caso, no se aplican las fracciones. Para saber las raciones totales necesarias de verduras en el menú, se argumenta del siguiente modo: la pirámide sugiere 3 raciones diarias de verduras, que en los veinte días del menú corresponden a 60 raciones; al dividir 60 entre 5 comidas diarias se obtienen 12 raciones totales de verdura en los almuerzos del menú escolar, que representan un poco más de las 11’2 raciones obtenidas por otros grupos. Unos y otros alumnos llegan a cantidades muy similares para todos los tipos de alimentos; al no ser iguales estas cantidades, se acaba discutiendo sobre las posibles inexactitudes en los cálculos y las aproximaciones realizadas. Se concluye que los datos de la pirámide son orientativos y que, por tanto, obligan al manejo de diferencias que no deben interpretarse como inexactitudes.

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4. Un tercer ejemplo de actividad El domigo 2 de noviembre de 2008 salía un anuncio de automóviles en el diario El País. Tras leer el anuncio, discutidlo en grupo y luego responded las cuestiones. - ¿Son equivalentes las cantidades de emisión que se mencionan? - ¿La cantidad de árboles propuesta neutraliza el CO2 emitido por el coche? - ¿Cuál crees que es la media de quilómetros de un coche en un año? ¿Cuál es su vida media? ¿Cuántos quilómetros hace un coche durante su vida? - ¿Cuántos coches como el del anuncio puede haber en Barcelona? ¿Qué cantidad de CO2 emiten todos en un año? ¿Y durante toda su vida? ¿Cuántos árboles harían falta para neutralizar esta cantidad de CO2? - Analizad la frase en negrita al pie de la imagen. ¿Es creíble? - ¿Basta con el programa CO2 Neutral para escoger este coche? Dad vuestra opinión sobre el anuncio. Desarrollo de ideas principales En esta actividad se estimula el sentido crítico de los alumnos ante las informaciones publicitarias que nos rodean en la sociedad actual. Los anuncios, pensados para atraer al consumidor y, por tanto, de temática variable según las preocupaciones del momento, tienen a primera vista un mensaje atractivo y comprometido. Una de las habilidades que pretendemos potenciar es la de formar ciudadanos que conozcan el mundo en el que viven y sean capaces de tomar sus propias decisiones con un criterio fundamentado. Para ello proponemos una actividad en la que se analiza matemáticamente el contenido de un anuncio real para luego poder tomar decisiones responsables sobre cuestiones de consumo. Del mismo modo que en las dos actividades anteriores, los alumnos se distribuyen en grupos de 3 o 4. Se reparte la primera hoja de la actividad donde aparece el anuncio publicado en la prensa y se pide que lo lean con atención y den su opinión como ciudadanos. Después se reparten las dos hojas restantes y se pide que respondan las cuestiones de manera conjunta anotando las operaciones y opiniones al respecto. Una vez finalizada la actividad en los diferentes grupos, se hace una puesta en común donde aparecen conexiones con temas medioambientales y de nuevas tecnologías. A continuación, destacamos algunas de las cuestiones trabajadas en el aula. ¿Qué estimaciones podemos hacer? En el análisis del anuncio se pide a los alumnos que realicen una estimación de los quilómetros que realiza un coche en un año y de la vida media de un vehículo. Para este trabajo todos parten de experiencias personales en el cálculo de la media aritmética de XIV JAEM Girona 2009

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la duración y el quilometraje de los coches familiares, siendo esta media a veces exacta y otras veces aproximada. En la puesta en común de datos de los grupos, encontramos estimaciones bastante diferentes por lo que surge la necesidad de tomar una decisión común al respecto. Se acuerda calcular la media aritmética de los resultados de los grupos. En este momento se plantea la reflexión de cómo obtener datos correctos. La mayoría opina que deberían hacer una media aritmética del quilometraje de todos los coches aunque dan por bueno el resultado obtenido en clase justificando su representatividad. Otro momento en el que se requiere una estimación numérica es cuando se pide el número de coches que puede haber en una ciudad como Barcelona. Aquí las estrategias son distintas: unos dicen cifras al azar, otros deciden consultar un atlas para saber la cantidad de habitantes de Barcelona y a partir de este dato dividen por tres ya que deducen, a partir de las experiencias personales otra vez, que una tercera parte de los habitantes de la ciudad posee coche. Otros consultan en el ordenador los mismos datos. En la exposición se dan cuenta que los resultados son muy distintos y deciden escoger los datos encontrados en internet por considerarlos más actualizados. ¿Somos capaces de hacer predicciones? Uno de los cálculos importantes para la comprensión del anuncio es cuando se pide a los alumnos cuántos árboles serían necesarios para neutralizar el CO2 emitido por los coches. Este cálculo de predicción a partir de los datos del enunciado se lleva a cabo de diferentes maneras según se usen o no funciones. La mayoría de alumnos recurre a la proporcionalidad, mientras que otros pocos buscan la función que relaciona las dos variables dadas: emisiones de CO2 y número de árboles. En este apartado aparecen ideas de nuevas tecnologías con justificaciones basadas en proporcionalidad: si se fabrica un coche con la mitad de emisiones de CO2, luego harán falta la mitad de árboles. Más tarde, se abre un debate sobre el medio ambiente y sobre la conveniencia de hacer predicciones de futuro que conducen a preguntas sobre cómo ser responsables a la hora de consumir o qué hacer para contribuir a mejorar el medio ambiente. Todas estas preguntas vienen acompañadas por una pregunta recurrente sobre la capacidad de hacer predicciones suficientemente ajustadas. Los alumnos asumen que el éxito en las respuestas de la tarea tiene mucho que ver con el grado de acierto de sus predicciones. ¿Manejamos bién las cantidades grandes? En los cálculos estimativos y en las predicciones que propone la actividad, aparecen cantidades numéricas muy grandes que muchos alumnos consideran “demasiado grandes”. En este momento la calculadora resulta ser de gran utilidad y al mismo tiempo introduce reflexiones acerca de la notación científica. Se observa que los alumnos no están acostumbrados a utilizar la calculadora y no conocen bien la notación científica. Esto hace que los cálculos sean más lentos, aunque no hay quejas sobre esto. En la puesta en común se evidencia un problema importante, quizás algo olvidado en las aulas de secundaria: la lectura de cantidades grandes. La escasa utilización de cantidades de esta índole o la poca dedicación a la lectura en el área de matemáticas pueden ser algunas de las causas. Volviendo al aula, se observa que el profesor aprovecha la puesta en común para recordar de un modo conciso que la notación científica sirve para representar con mayor facilidad números grandes por medio de potencias de base diez. El uso de la notación científica se asocia al manejo del error en las predicciones. Se explica, por ejemplo, que las potencias de base diez solo permiten tomar los dígitos

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significativos sin señalar las medidas exactas ni tampoco el valor absoluto del error que pueda haberse producido. ¿Los cálculos desmienten el anuncio? Al comprobar que las cantidades que aparecen en el anuncio son equivalentes, los alumnos opinan que se trata de un anuncio correcto, que es una buena propuesta de esta marca de coches ya que se preocupan por el medioambiente y que al ser un tema de interés actual responde a una buena estrategia publicitaria. Sin embargo, al calcular la cantidad de árboles que haría falta para neutralizar solo el CO2 emitido por los coches de una ciudad como Barcelona, se dan cuenta que conseguirlo es algo imposible. Concluyen que el anuncio es poco creíble, basándose en los razonamientos siguientes: la cantidad de árboles que se deberían plantar para tener “cero emisiones de CO2, desde ya”, como dice el anuncio, es demasiado grande. Los árboles deben ser adultos para absorber la cantidad indicada en el anuncio y, por otra parte, se necesitan 40 años para absorber el CO2 que emiten los coches en solo 20.000 quilómetros. 5. Consideraciones finales Las tres actividades ejemplificadas en este texto tienen en común al menos dos características. Por una parte, están relacionadas con situaciones de contexto real, todas ellas cercanas, ya sea porque se refieren a envases de un refresco muy popular, menús escolares, o bien anuncios publicitarios. Se trata de temas que están de algún modo presentes en las vidas de los alumnos y, a menudo, no se analizan con la suficiente profundidad precisamente por el elevado grado de familiaridad con ellos. La inclusión de estos temas en la clase de matemáticas de secundaria permite, además de trabajar contenidos matemáticos curriculares propios de la etapa, desarrollar habilidades de resolución de problemas y de pensamiento crítico. A nuestro entender, una parte fundamental del currículo de matemáticas en la etapa 12-16 consiste en aprender y usar estrategias para establecer relaciones entre las matemáticas y los contextos de la vida cotidiana, llegando a ser capaz de reconocer la presencia y la utilidad de esta materia. Una segunda característica común de las tres actividades ilustradas es la facilitación de de conexiones entre diferentes contenidos matemáticos y de las matemáticas con otras disciplinas. Se contribuye así a superar “el currículo roto en áreas”. La tarea de los envases, por ejemplo, da lugar al establecimiento de conexiones entre contenidos geométricos, aritméticos y estadísticos. En dos de las tareas hay claras referencias a cuestiones medioambientales, de consumo y sostenibilidad. Se ofrece, en general, una visión globalizadora del conocimiento escolar y de las áreas disciplinares, con atención a un doble carácter globalizador y de construcción de conocimiento situado. Al combinar las matemáticas con contenidos propios de otras áreas –ciencias sociales, ciencias naturales e incluso lengua–, puede complementarse y reforzarse la comprensión de contenidos que así se plantean de formas distintas a las habituales. Desde la perspectiva de la significatividad, la noción de fracción y las fracciones sugeridas por la pirámide alimentaria son elementos distintos que se complementan y refuerzan. Lo mismo ocurre con la noción de encuesta y las encuestas sobre los envases, o con la noción de estimación y las estimaciones de raciones de comida.

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En el marco de la enseñanza secundaria obligatoria, las matemáticas que se trabajan en las actividades presentadas son relativamente sencillas y, al mismo tiempo, imprescindibles para el desarrollo de la competencia matemática esperable en cualquier ciudadano. La intención de estas actividades es contribuir a que los alumnos se conviertan en personas matemáticamente preparadas en el sentido de ser capaces de hacer un uso funcional de los conocimientos y las destrezas matemáticas. Con nuestra propuesta de introducir con una cierta regularidad actividades de contexto real en el aula de secundaria, damos prioridad al trabajo de capacidades relativas al análisis, el razonamiento, la comunicación y la discusión de ideas en distintas áreas de conocimiento y situaciones, promoviendo la actitud crítica, la creatividad, la toma de decisiones y el enfrentamiento con problemáticas que, sin la perspectiva matemática, podrían pasar desapercibidas. Todos estos procesos son básicos en el desarrollo de la denominada competencia matemática. En nuestro texto hemos prestado especial atención a las cuestiones y respuestas de los alumnos y apenas hemos mencionado los aspectos relacionados con la actuación del profesor. Sin embargo, conviene poner de relieve la importancia de la intervención del profesor en la gestión del aula para avanzar con éxito hacia la consecución de los objetivos de un trabajo de matemáticas contextualizado y conectado con otras áreas de conocimiento. Es fundamental, por ejemplo, que el profesor aprenda a gestionar las actividades sin interrumpir los procesos de pensamiento y comunicación de los alumnos. En este sentido, una de las estrategias más recomendables es la organización de discusiones en pequeños grupos seguidas de puestas en común conjuntas con todo el grupo clase. Tanto el trabajo en pequeños grupos como el tipo de enunciados de contexto real ilustrados tienen que pensarse como medidas efectivas de atención a las diversidades de alumnos. Nuestra experiencia ha mostrado que alumnos con trayectorias de poca participación en el aula de matemáticas se implican en la resolución de situaciones que perciben como útiles y cercanas. 6. Agradecimientos El Grupo EMAC –Educación Matemática Crítica– está adscrito a la Associació de Mestres de Rosa Sensat. Desde mayo de 2008 está financiado por Fundació Propedagògic. Con anterioridad, el Grupo fue financiado por Fundació Jaume Bofill. 7. Bibliografía Grupo EMAC (2006). El pensament crític a l’aula de matemàtiques. Perspectiva Escolar 308, 64-72. Grupo EMAC (2007). De las opiniones a los argumentos. Cuadernos de Pedagogía 373, 37-40. Grupo EMAC (2008). Una experiència d’educació matemàtica crítica. Guix-Elements d’Acció Educativa 343, 29-35. Grupo EMAC (en prensa). Problemes de “context real” a les classes de matemàtiques. Guix-Elements d’Acció Educativa.

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Iranzo, N. y Planas, N. (2009). Las preguntas en la clase de matemáticas de secundaria. En N. Planas y À. Alsina (Eds.), Educación matemática y buenas prácticas, pp. 187197. Barcelona: Graó.

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