UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Curso 2015-2016 INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos (1 punto cada apartado). TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.- El planeta Marte, en su movimiento alrededor del Sol, describe una órbita elíptica. El punto de la órbita más cercano al Sol, perihelio, se encuentra a 206,7·106 km, mientras que el punto de la órbita más alejado del Sol, afelio, está a 249,2·106 km. Si la velocidad de Marte en el perihelio es de 26,50 km s‒1, determine: a) La velocidad de Marte en el afelio. b) La energía mecánica total de Marte en el afelio. Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2; Masa de Marte, MM = 6,42·1023 kg; Masa del Sol MS = 1,99·1030 kg. Solución. r a. Por estar sometido a fuerzas centrales, el momento angular de Marte permanece constante L = cte . r r r r r L = r × p = r × mv r r r L = r ⋅ m v ⋅ sen α = cte

(

)

En el afelio y en el perihelio, α = 90º r r r r r r L p = La rp ⋅ m v p ⋅ sen 90 = ra ⋅ m v a ⋅ sen 90

rp ⋅ v p = ra ⋅ v a

b.

EM = Ec + Ep =

EM =

va = v p ⋅

rp

v a = 26,50 ⋅

ra

206,7 ⋅ 106 249,2 ⋅ 106

= 21,98 Km s −1

 M ⋅ m Marte  1 M ⋅ m Marte 1  = m Marte ⋅ v a2 − G ⋅ Sol m Marte ⋅ v a2 +  − G ⋅ Sol 2 ra ra   2

(

1 6,42 ⋅ 1023 ⋅ 21,98 ⋅ 103 2

) − 6,67 ⋅10 2

−11

⋅

1,99 ⋅ 1030 ⋅ 6,42 ⋅ 1023 249,2 ⋅ 109

= −1,87 ⋅ 1032 J

Pregunta 2.- Un bloque de 2 kg de masa, que descansa sobre una superficie horizontal, está unido a un extremo de un muelle de masa despreciable y constante elástica 4,5 N m‒1. El otro extremo del muelle se encuentra unido a una pared. Se comprime el muelle y el bloque comienza a oscilar sobre la superficie. Si en el instante t = 0 el bloque se encuentra en el punto de equilibrio y su energía cinética es de 0,90·10‒3 J, calcule, despreciando los efectos del rozamiento: a) La ecuación del movimiento x(t) si, en t = 0, la velocidad del bloque es positiva. b) Los puntos de la trayectoria en los que la energía cinética del bloque es 0,30·10‒3 J. Solución. a. Movimiento armónico simple. Su ecuación sinusoidal tiene la forma: x (t ) = A ⋅ sen (ω t + φ o ) La velocidad angular del movimiento, se puede calcular a partir de la constante elástica del muelle.

k = m ω2

ω=

k = m

1

4,5 = 1,5 rad s −1 2

La amplitud del movimiento se calcula mediante la energía mecánica, teniendo en cuenta que en el punto de equilibrio, la energía mecánica es igual a su energía cinética máxima y que en el punto de máxima elongación, es igual a la energía potencial máxima, punto en el cual la elongación máxima coincide con la amplitud del movimiento. E M = E c (max ) = E p (max )

E c (max )x = 0 = E p (max )x = A =

1 k ⋅ A2 2

A=

2E c (max ) = k

2 ⋅ 0,9 ⋅ 10 −3 = 0,02m 4,5

El desfase inicial se calcula con la posición inicial y la velocidad inicial (x (t = 0) = 0 ; v(t = 0) > 0)

x (t = 0) = A ⋅ sen (ω ⋅ 0 + φ o ) = A ⋅ sen φ o v(t ) =

d x (t ) = Aω ⋅ cos (ω t + φ o ) ⇒ v(t = 0) = Aω ⋅ cos (ω ⋅ 0 + φ o ) = Aω ⋅ cos φ o dt φ = 0 rad x (t = 0) = 0 = A ⋅ sen φ o ⇒ sen φ o = 0 :  o φ o = π rad

 φ o = 0 rad ⇒ v(t = 0) = Aω ⋅ cos 0 > 0  Si :   ⇒φ o = 0 rad φ o = π rad ⇒ v(t = 0) = Aω ⋅ cos π < 0 La ecuación del movimiento es : x (t ) = 0,02 ⋅ sen (1,5 t ) b. Teniendo en cuenta que en el movimiento armónico simple, si se desprecia el rozamiento, la energía mecánica se conserva. EM = Ec + Ep

E p = E M − E c = 0,9 ⋅ 10−3 − 0,3 ⋅ 10 −3 = 0,6 ⋅ 10 −3 J Ep =

1 k x2 2

x=

2E p

=

k

2 ⋅ 0,6 ⋅ 10 − 3 ≈ 0,0163 m 4,5

Pregunta 3.- Dos cargas puntuales, q1 = 3 µC y q2 = 9 µC, se encuentran situadas en los puntos (0,0) cm y (8,0) cm. Determine: a) El potencial electrostático en el punto (8,6) cm. b) El punto del eje X, entre las dos cargas, en el que la intensidad del campo eléctrico es nula. Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N m2 C‒2. Solución. a. Según el principio de superposición, el potencial eléctrico creado por las cargas q1 y q2 en el punto C es: q q q V= K⋅ i = K⋅ 1 +K⋅ 2 ri r1 r2

∑

 3 ⋅ 10 −6 9 ⋅ 10 −6  q q   = 1,62 ⋅ 106 v V = K ⋅  1 + 2  = 9 ⋅ 109 ⋅  +  0,1  0 , 06  r1 r2    b.

Se busca el punto donde se cumpla: r r r r E1 + E 2 = 0 E1 = −E 2

r r E1 = E 2

Aplicando la ley de Coulomb:

q q K ⋅ 21 = K ⋅ 22 r1 r2

q1

q2 = 2 x (8 − x )2

(8 − x )2 x2

Despejando: x = 2,93 cm

2

q = 2 q1

8−x = x

q2 9 ⋅ 10 − 6 = = 3 q1 3 ⋅ 10 − 6

Pregunta 4.- Se sitúa un objeto de 2 cm de altura 30 cm delante de un espejo cóncavo, obteniéndose una imagen virtual de 6 cm de altura. a) Determine el radio de curvatura del espejo y la posición de la imagen. b) Dibuje el diagrama de rayos. Solución. a. y = 2 cm; s = ‒30 cm; y´= 6 cm. Para calcular la posición de la imagen, se aplica la ecuación de aumento lateral para espejos. y′ s′ y′ 6 =− s′ = −s ⋅ = −(− 30) ⋅ = 90 cm y s y 2 Conocida la posición de la imagen, la ecuación fundamental de los espejos esféricos permite calcular la distancia focal y con esta, se calcula el radio de curvatura. 1 1 1 1 1 1 1 1 + = + = =− f = −45 cm s′ s f 90 − 30 f f 45 R f = ⇒ R = 2 ⋅ f = 2 ⋅ (− 45) = −90 cm 2 b.

Pregunta 5.- El isótopo radiactivo 131I es utilizado en medicina para tratar determinados trastornos de la glándula tiroides. El periodo de semidesintegración del 131I es de 8,02 días. A un paciente se le suministra una pastilla que contiene 131I cuya actividad inicial es 55·106 Bq. Determine: a) Cuántos gramos de 131I hay inicialmente en la pastilla. b) La actividad de la pastilla transcurridos 16 días. Datos: Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol‒1; Masa atómica del 131I, MI = 130,91 u. Solución. El número de núcleos iniciales se puede calcular a partir de la actividad inicial. a. Ao = λ ⋅ No La constante de desintegración (λ) se calcula con el periodo de semidesintegración (tiempo necesario para reducir el número de núcleos iniciales a la mitad). No 1 Ln 2 Ln 2 −λ t −λ t N = N oe−λ t = N oe 1 2 = e 12 λ= = = 1,0 ⋅ 10− 6 s −1 2 2 t1 2 8,02 ⋅ 24 ⋅ 3600

No =

Ao 55 ⋅ 106 = = 5,5 ⋅ 1013 núcleos λ 1,0 ⋅ 10− 6

Conocidos el número de núcleos iniciales, se calcula la masa de 131 I

( )

m 131 I = 5,5 ⋅ 1013 Núcleos ⋅ b.

1 mol 131I 6,02 ⋅ 1023 Núcleos

⋅

130,91 g 131I mol 131I

= 1,196 g 131I

La actividad al cabo de un tiempo t viene expresado por: −6 A = A o e − λ t = 55 ⋅ 106 e −1,0⋅10 ⋅16⋅24⋅3600 = 13,8 ⋅ 106 Bq

3

OPCIÓN B Pregunta 1.- Un astronauta utiliza un muelle de constante elástica k = 327 N m‒1 para determinar la aceleración de la gravedad en la Tierra y en Marte. El astronauta coloca en posición vertical el muelle y cuelga de uno de sus extremos una masa de 1 kg hasta alcanzar el equilibrio. Observa que en la superficie de la Tierra el muelle se alarga 3 cm y en la de Marte sólo 1,13 cm. a) Si el astronauta tiene una masa de 90 kg, determine la masa adicional que debe añadirse para que su peso en Marte sea igual que en la Tierra. b) Calcule la masa de la Tierra suponiendo que es esférica. Datos: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2; Radio de la Tierra, RT = 6,37·106 m. Solución. a. Lo primero que se necesita es calcular la aceleración de la gravedad en Marte y en la Tierra, para ello se utiliza la experiencia del muelle. k⋅x F = −k ⋅ x = − mg g= m • •

327 ⋅ 3 ⋅ 10−2 = 9,81 m s − 2 1 327 ⋅ 1,13 ⋅ 10−2 Marte: g M = = 3,69 m s − 2 1 Tierra: g T =

P = m ⋅ g T = (m′ + m ) ⋅ g M 90 ⋅ 9,81 90 ⋅ 9,81 = (m′ + 90) ⋅ 3,69 m′ = − 90 = 149 kg 3,69 b.

P = FG

m⋅g = G⋅

M⋅m R2

g =G⋅

M R2

(

g ⋅ R 2 9,8 ⋅ 6,37 ⋅ 106 M= = G 6,67 ⋅ 10−11

)

2

= 5,97 ⋅ 10 24 kg

Pregunta 2.- Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda tensa. En un cierto instante se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos es de 1 m. Además, se comprueba que un punto de la cuerda pasa de una elongación máxima a nula en 0,125 s y que la velocidad máxima de un punto de la cuerda es de 0,24π m s‒1. Si la onda se desplaza en el sentido positivo del eje X, y en t = 0 la velocidad del punto x = 0 es máxima y positiva, determine: a) La función de onda. b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración transversal máxima de cualquier punto de la cuerda. Solución. a. “La distancia entre dos máximos consecutivos es de 1 m” λ = 1 m T “Un punto de la cuerda pasa de una elongación máxima a nula en 0,125 s” = 0,125 s 4

v max = 0,24π m s −1 . v(0,0) > 0 . La onda se desplaza en OX+ Conocido el periodo, se calcula la velocidad angular. T 2π 2π = 0,125 s ⇒ T = 0,5 s ω= = = 4π rad s −1 4 T 0,5 La longitud de onda permite calcular el número de onda 2π 2π K= = = 2π m −1 λ 1 La amplitud de la onda se obtiene a partir de la velocidad máxima de vibración. y(x , t ) = A sen (ω t − Kx + φ o ) dy v(x, t ) = = Aω cos (ω t − Kx + φ o ) dx

4

v = v max ⇒ cos (ω t − Kx + φ o ) = ±1 ⇒ v max = Aω 0,24 0,24π = A ⋅ 4π A= = 0,06 m 4  y(0, 0) = 0 Para calcular el desfase inicial se tiene en cuenta:   v(0, 0) > 0 φ = 0 rad y(0,0) = A sen (ω ⋅ 0 − K ⋅ 0 + φ o ) = A sen φ o = 0 ⇒ sen φ o = 0 :  o φ o = π rad

 v(0,0) = Aω cos 0 > 0  v(0,0) = Aω cos (ω ⋅ 0 − K ⋅ 0 + φ o ) = Aω cos φ o :   : φ o = 0 rad v(0,0) = Aω cos π < 0 La ecuación de la onda es: y(x , t ) = 0,06 sen (4π t − 2π x )(m, s ) b.

vp =

λ 1 = = 2 m s −1 T 0,5 a (x , t ) =

dv = −Aω 2 sen (ω t − Kx + φ o ) dt

a = a max ⇔ sen (ω t − Kx + φ o ) = ±1 ⇒ a max = Aω 2 = 0,06 ⋅ (4π )2 = 9,47 m s −2

π Pregunta 3.- Un campo magnético variable en el tiempo de módulo B = 2 cos 3π t −  T, forma un

4  ángulo de 30º con la normal al plano de una bobina formada por 10 espiras de radio r = 5 cm. La resistencia total de la bobina es R = 100 Ω. Determine: a) El flujo del campo magnético a través de la bobina en función del tiempo. b) La fuerza electromotriz y la intensidad de corriente inducidas en la bobina en el instante t = 2 s. Solución. r r r r r a. Φ = N B o S = N B ⋅ S ⋅ cos α = N B ⋅ π r 2 ⋅ cos α

π  Φ = 10 ⋅ 2 cos 3π t −  ⋅ π 0,052 ⋅ cos 30º 4  π  Φ = 0,136 cos 3π t −  wb 4  b.

dΦ dx    d π  π π    ε (t ) = −  0,136 cos  3π t −   = − − 0,136 sen  3π t −  ⋅ 3π  = 1,282 sen  3π t −  v dx  4  4 4      

Según la Ley de Faraday: ε = −

π  ε(t = 2) = 1,282 sen  3π ⋅ 2 −  = − 0,906 = 0,906 v 4  Aplicando la Ley de Ohm

V = I⋅R

I=

V 0,906 v = = 9,06 ⋅ 10 − 3 A R 100 Ω

Pregunta 4.- Un rayo de luz incide desde un medio A de índice de refracción nA a otro B de índice de refracción nB. Los índices de refracción de ambos medios cumplen la relación nA + nB = 3. Cuando el ángulo de incidencia desde el medio A hacia el medio B es superior o igual a 49,88º tiene lugar reflexión total. a) Calcule los valores de los índices de refracción nA y nB. b) ¿En cuál de los dos medios la luz se propaga a mayor velocidad? Razone la respuesta. Solución. El ángulo límite para la refracción de A a B es de 49,88º. Aplicando la Ley de Snell: a. n A sen 49,88º = n B sen 90º

5

nB = sen 49,88º = 0,76 nA Se puede plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que permite calcular los índices de ambos medios. n B = 0,76 ⋅ n A n A = 1,7 :   n A + n B = 3  n B = 1,3 b.

Por la definición de índice de refracción n =

c , se puede obtener la relación entre el índice de v

c  refracción y la velocidad en el medio  v =  , a mayor índice de refracción, menor velocidad, por lo tanto, n  ira mas rápido en el medio de menor índice de refracción, en el medio B.

Pregunta 5.- Al incidir luz de longitud de onda λ = 276,25 nm sobre un cierto material, los electrones emitidos con una energía cinética máxima pueden ser frenados hasta detenerse aplicando una diferencia de potencial de 2 V. Calcule: a) El trabajo de extracción del material. b) La longitud de onda de De Broglie de los electrones emitidos con energía cinética máxima. Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108 m s‒1; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10‒19 C; Constante de Planck, h = 6,63·10‒34 J s; Masa del electrón, me = 9,1·10‒31 kg. Solución. a. El valor numérico del potencial de frenado expresado en voltios de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico, coincide con el valor de l energía cinética de estos expresada en electrón-voltio. En el efecto fotoeléctrico, se cumple: E (Radiación ) = WExtracción + E Cinética

WExtr = E(Radiación ) − E Cinética = h ⋅ f − E c = h ⋅

WExtr = 6,63 ⋅ 10− 34 J ⋅ s ⋅

b.

3 ⋅ 108 m s −1 276,25 ⋅ 10− 9 m

− 2 eV ⋅

c − Ec λ

1,6 ⋅ 10−19 J = 4 ⋅ 10−19 J eV

h mv La cantidad de movimiento se puede calcular a partir de la energía cinética. 1 mv 2 = E c mv 2 = 2E c m 2 v 2 = 2mE c mv = 2mE c 2

λ DB =

λ DB =

h 2mE c

=

6,63 ⋅ 10 −34 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10

− 31

6

⋅ 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10

−19

= 8,69 ⋅ 10−10 m