UNIDAD 05: GEOMETRIA DE REFERENCIA. CONTENIDOS: ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐ ‐
Introducción Conocimientos previos Conceptos Básicos de plano Planos coordenados Planos paralelos a los planos coordenados Planos en SolidWorks Ejes Sistemas de coordenadas
Introducción a la Geometría de Referencia: Bien, comencemos por preguntarnos ¿Qué es la geometría de referencia? Son aquellas opciones que propone el programa para crear entes o lugares geométricos que permiten un trabajo más sencillo a la hora de diseñar piezas o de reproducir dibujos. Son utilizadas tanto en los croquizados como así en muchas funciones del programa, ya que solucionan problemas del modelado de piezas. Como por ejemplo matrices circulares de piezas excéntricas. Creación de extrusiones planas sobre caras circulares, etc. Muestras de planos paralelos a los planos coordenados
Si bien el programa realiza todas los cálculos/aproximaciones necesarias para poder generar los planos, reorganizar sistemas de coordenadas. Hay conocimientos previos del cálculo y de la geometría analítica que debemos conocer, el cual desarrollaremos de una manera superficial y simple a manera ilustrativa de manera de centrarnos en el funcionamiento y la importancia de estas operaciones. Para quienes deseen profundizar sobre el tema de geometría analítica en cualquier libro de Geometría Analítica se encuentran todas las definiciones necesarias con sus explicaciones y una serie de ejercicios de aplicación.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Conceptos Básicos: Comenzaremos por definir algunas figuras algebraicas importantes para el entendimiento de la unidad. Comenzaremos por definir puntos en el espacio. Un punto en el espacio es la representación gráfica de una terna ordenada, que usualmente usamos , , .
Habiendo definido un punto en el espacio manera simple lo que es un vector:
, definiremos ahora de
“se llama vector de dimensión a la n‐pla (enupla) de números reales (llamados componentes del vector). El conjunto de todos los vectores de dimensión se representa como ” Ahora debemos aclarar que nosotros solo trabajaremos en que son los denominados plano y espacio respectivamente. Un ejemplo muy práctico de vectores son los vectores velocidad, aceleración, fuerza. Veamos un ejemplo de un vector en el espacio: ,
,
Daremos a continuación definición de operaciones y relaciones entre vectores que necesitamos conocer para el análisis.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Producto escalar de vectores (producto punto): Dados dos vectores , , , , ambos pertenecientes a o espacio. Se define producto escalar de A y B y lo notamos A.B a: ∙
∙
∙
∙
El producto escalar de dos vectores da un número real, NO un vector. Vectores paralelos: Dados dos vectores , , , , ambos pertenecientes a o espacio. Dos vectores son paralelos cuando existe al menos UN número real que cumple la siguiente condición: ∙ Vectores perpendiculares: Dados dos vectores , , , , ambos pertenecientes a o espacio. Dos vectores son perpendiculares si y solo si el producto escalar entre ambos vectores es 0. Simbólicamente: ⟺
∙
0
Producto vectorial de vectores: Dados dos vectores , , , , ambos pertenecientes a o espacio. Se define producto vectorial (o producto cruz) de A por B denotado por ∙
∙
,
(en ese orden) al siguiente vector:
∙
∙
,
∙
∙
Una propiedad MUY importante del producto vectorial es que el producto cruz de A por B, es perpendicular a ambos vectores: Ésta propiedad nos ayudara mucho a la hora de determinar planos.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Planos: Para comprender que son los planos coordenados, debemos partir de la pregunta: ¿Qué es un plano? Geométricamente hablando el plano es un ente ideal que posee solo dos dimensiones y contiene a infinitos puntos y rectas. Algebraicamente hablando definimos a plano de la siguiente manera: “Dados un punto fijo , , ∈ , un punto , , ∈ y un vector que llamaremos vector normal , , ∈ , definimos plano y denotamos al mismo con la letra griega al siguiente conjunto:
∈
⁄
”
Ahora expliquémonos un poco para poder entenderlo. Un plano matemáticamente hablando son todos los puntos del espacio que cumplen la condición que el vector determinado por un punto cualquiera y un punto fijo son siempre es siempre perpendicular a un vector normal dado. Entonces haciendo un pequeño análisis podemos obtener la ecuación general que rige para cualquier plano: :
0
Donde a, b y c son las coordenadas del vector normal y d es una constante. (El desarrollo de todo el tema con definiciones rigurosas y las demostraciones correspondientes se encuentran en el apéndice XX). Formas de determinar un plano: Las formas de determinar un plano son 3 (el desarrollo matemático lo obviaremos): ‐
Un plano puede ser determinado por 3 puntos: Dados 3 puntos cualesquiera del espacio, consideraremos , , ; , , ; , , . Al conocer estos puntos podemos armar dos vectores. Por ejemplo: . Luego realizamos el producto vectorial de ambos vectores, lo cual nos dará el vector normal al plano y consideramos cualquier punto (de los 3 dados) para obtener el plano.
En la figura podemos ver como a partir de tres puntos generamos un plano.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
‐ Un plano puede ser determinado por una recta y un plano no perteneciente a la recta: Al tener una recta y un punto, basta tomar el punto de paso de la recta y formar un vector entre el punto de paso de la recta y el punto dado, y realizamos un producto vectorial entre el vector formado y el vector dirección de la recta dada. Así obtendremos el vector normal al plano. Podemos ver en la figura, como a partir de un punto y una recta es posible determinar un plano.
‐ Un plano puede ser determinado por dos rectas no paralelas: Este tal vez es el caso más simple de obtención de planos, ya que solo basta con realizar el producto vectorial de los vectores dirección, obtenemos así el vector normal al plano, y consideramos alguno de los puntos de paso de alguna de las rectas. Ahora que vimos unos pequeños conceptos matemáticos sobre planos podemos continuar definiendo los planos básicos.
Planos Coordenados: Conociendo que es un plano. Partamos de los planos que ya conocemos. Que son los planos ortogonales coordenados. El más conocido es en el plano matemática de la secundaria.
con el cual trabajamos toda la
El cual sabemos es un plano en el cual la cota (valor de z) es nula. Por lo tanto podemos concluir que: : Nos quedarían los planos y analizando un poco podemos decir que: :
0 , que son los 3 planos coordenados. Luego
0 ∧
:
0
Aplicando lo visto al programa de SolidWorks vamos a redefinir los nombres. El plano es lo que SolidWorks llama plano “alzado”, el plano pasará a llamarse ahora plano “lateral” y el plano es el plano de “planta”.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Planos paralelos a los planos coordenados: Los planos paralelos a los planos coordenados son aquellos donde en la ecuación del plano solo aparece una variable igualada a una constante. Entonces: ∥
→
:
;
∈
∥
→
:
;
∈
∥
→
:
;
∈
Lo que quiere decir que son planos paralelos a un plano coordenado separado una distancia k del origen.
En el caso de este caso podemos ver un plano paralelo al plano distanciado 3 unidades del origen de coordenadas
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Planos en SolidWorks: A continuación en esta parte de la unidad, veremos lo que realmente nos incumbe de planos, la aplicación, el uso y la importancia de los planos en SolidWorks. Primero debemos ubicar dicha operación. La cual está en la solapa de operaciones, veremos un símbolo donde dice “Geometría de Referencia” al cliquear en él nos abrirá una pequeña lista de comandos disponibles, ahí seleccionamos la opción plano.
Al abrir la opción “plano” vemos que en el panel lateral izquierdo se ha cerrado el árbol de operaciones y cambió al PropertyManager donde nos da ciertas opciones: Analizaremos una por una las opciones que dan: El primer cuadro de diálogo propuesto por el PropertyManager es la selección de entidades de referencia. Aquí es donde aparecerán las caras, puntos, planos o superficies que seleccionemos para referenciar el plano. Luego mas abajo tenemos una serie de íconos que explicaremos que significan: ‐ Líneas/Puntos pasantes: esta opción crea un plano a partir de 3 puntos, o una recta y un punto o simplemente dos rectas. Una vez definido los parámetros que el programa necesita, automáticamente generara el plano del tamaño. Veremos ahora una serie de ejemplos de todos los casos posibles para generar un plano por líneas o puntos pasantes.
Podemos ver en la figura ya usada anteriormente, como definir un plano de acuerdo a la opción “líneas/puntos pasantes”.
Unidad 5
‐
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Plano Paralelo en un punto: esta opción genera un plano paralelo a una cara (plana obvio esta) en un punto cualquiera del dibujo. Veremos entonces como trabajar con el mismo.
Podemos ver en esta imagen como definir un plano mediante un plano de referencia y un punto en el cual necesitamos este el plano
‐
En el ángulo: para poder generar un plano con esta opción, debemos definir ya sea una recta o una serie de puntos de la cual tomaremos de referencia, e indicaremos al programa que genere un plano a un cierto ángulo de la recta o serie de puntos.
Podemos ver en esta imagen como definir un plano usando la opción “en el ángulo”, en este caso mediante una recta y un plano de referencia
‐
Equidistante: esta opción crea un plano paralelo a un plano definido o una cara (plana) a una cierta distancia que debemos indicarle al programa.
Al utilizar la función de plano “equidistante” veremos que tenemos la opción también de hacer múltiples planos todos equidistantes uno de otro
Unidad 5
‐
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Normal a la curva: esta opción crea un plano el cual es normal a una curva la cual seleccionaremos, por defecto SolidWorks utiliza el punto inicial de la curva como punto de paso del plano.
En el caso de un plano normal a una curva, debemos seleccionar la curva y si es necesario un punto de paso de la misma
‐
En la superficie: esta opción crea un plano en una superficie curva o angular, en el cual se necesita seleccionar la superficie y el punto por donde se desea que pase el plano. Este plano que se genera, es el denominado “plano tangente” a la superficie.
Podemos ver aquí un ejemplo de un plano tangente a una superficie no regular, donde simplemente definiendo un punto de tangencia y la superficie obtenemos el plano tangente
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Ejes: Los ejes si bien no necesitan mucha presentación, sabemos ya que son muy importantes para la representación de piezas (como se puede ver en las figuras).
Podemos ver en la figura, la diferencia (o conflicto) que puede generar el no utilizar los ejes
Ahora veremos el uso que le vamos a dar en SolidWorks Comencemos por ver como activar esta opción y que alternativas ofrece. Nuevamente en la solapa de operaciones cliqueamos en la parte de geometría de referencia y veremos la opción de ejes. La seleccionaremos a continuación:
Al seleccionar la opción el árbol de operaciones cambiara por un cuadro de dialogo de PropertyManager. En cual nos pedirá que primeramente las entidades de referencia (ya sea una línea o una superficie, etc.)
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Veremos entonces las opciones dadas: ‐ Una línea arista o eje: como el nombre lo indica al seleccionar una arista un eje provisorio o simplemente una línea croquizada, el programa lo convierte en un eje fijo. Veremos un pequeño ejemplo. ‐ Dos planos: como sabemos, la intersección de planos da por resultado una recta, en el programa al seleccionar dos planos, convertirá la recta de intersección en un eje fijo. ‐ Dos puntos o vértices: sabemos que una recta queda unívocamente definida por dos puntos, al seleccionar los dos puntos el programa definirá un eje fijo pasante entre los dos puntos. ‐ Superficie cilíndrica, cónica: al seleccionar alguna superficie cónica o cilíndrica, el programa automáticamente dibujara el eje de revolución de la misma. ‐ Punto y plano: esta opción lo que hace es generar un eje entre un plano cualquiera y un punto exterior al plano. Conociendo ahora los tipos de ejes. Veremos para que se les usa principalmente: Comúnmente usamos esto a manera de referencia, pero por ejemplo al realizar matrices de tipo circulares nos veremos obligados a designar un eje de rotación, o para referenciar piezas con otras. Veremos una serie de ejemplos para comprender el uso de los ejes. Ejemplo: Para comenzar con este ejemplo vamos a abrir el programa y vamos a crear una nueva pieza.
Vamos a comenzar por realizar el siguiente croquis sobre la vista de alzado:
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Luego vamos a usar el comando de extrusión plana, dándole una profundidad de 20 mm, obtendremos lo siguiente:
Una vez debemos utilizar el comando eje de tal manera q el radio mayor del excéntrico que dibujamos tenga dibujado un eje. (en este caso usamos la opción cara cilíndrica, y seleccionamos la cara cilíndrica del radio mayor que dibujamos)
Luego crearemos un croquis nuevo sobre la cara que se encuentra sobre el plano alzado, y realizaremos el siguiente croquis:
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Una vez realizado el croquis, vamos a cortar con la forma de tal croquis, de tal manera que obtengamos lo siguiente:
Una vez logrado el corte, vamos a hacer una matriz de tipo circular de la pieza:
Y así obtuvimos un excéntrico con una serie de reducciones de peso, que si bien no es una pieza común, es utilizada en maquinarias grandes. Así también vimos cómo aplicar uno de los tipos de ejes que vimos en esta sección.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Sistemas de Coordenadas: Comenzamos por pensar de que nos podría servir definir (o redefinir) un nuevo sistema de coordenadas. En nuestro caso, nosotros utilizaremos los nuevos sistemas para realizar las medidas necesarias de la pieza. Como por ejemplo, si dibujamos una pieza que no tenga una superficie común (o conocida) y necesitamos saber los valores de centro de masa, momentos de inercia, etc. Referentes a un cierto punto, debemos anclar un nuevo sistema de coordenadas en ese punto. En conclusión, los sistemas de coordenadas alternativos los utilizamos en algunos casos para facilitar la medición de las propiedades físicas de la pieza, así también veremos qué es útil también a la hora de trabajar con comandos más avanzados. Esta función se encuentra en la solapa de operaciones en la parte de geometría de referencia como ya vimos anteriormente:
Al seleccionar la opción veremos nuevamente que el árbol de operaciones cambiará por un cuadro de dialogo de PropertyManager. El cual nos daremos con un cuadro como el de la figura lateral: Veamos entonces, lo primero que nos pedirá como parámetro es un punto de origen que queramos ubicar, luego nos pedirá una serie de referencias para direccionar las abscisas y las ordenadas, o bien las ordenadas y las cotas del sistema de referencia. El programa nos pedirá solo un par de líneas, ya que si pensamos los sistemas ortogonales como su nombre lo indica cada eje es perpendicular a los otros dos. Entonces definiendo la dirección y el sentido de dos de los ejes, el tercero quedara unívocamente definido. Veamos entonces un pequeño y simple ejemplo para utilizar el comando de sistemas de coordenadas alternativos.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Ejemplo:
Vamos a tomar el ejemplo que hicimos previamente en la parte de ejes:
Como vemos, el origen está situado a una cierta distancia. Veamos entonces. Vamos a abrir el comando de “sistemas de coordenadas”.
Al seleccionar las aristas que vemos y el punto, vemos que genera automáticamente un nuevo sistemas de coordenadas, aquí como vemos es con el eje x paralelo a la arista q vemos señalada en azul. Ahora veamos cómo cambian los resultados del análisis de propiedades físicas de la pieza.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Como vemos, en este caso las propiedades físicas que dependen del sistema de referencia (así como los momentos de inercia, centro de gravedad, etc) cambian, esto nos sirve a la hora de calcular las piezas, así también veremos más adelante que este comando también nos sirve a la hora de trabajar con operaciones avanzadas.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Ejemplo Integrador: Veremos a continuación un pequeño ejemplo en donde trataremos de usar todos los comandos vistos en esta unidad.
Comenzaremos abriendo una pieza nueva en el programa.
Comenzamos haciendo la siguiente extrusión: (la cual tiene 60 mm de profundidad, extrusión de Plano medio)
Una vez hecha la extrusión, pasamos a cortar la pieza de la siguiente manera:
Esta operación de corte (12 mm de profundidad) la repetiremos del otro lado, ya sea realizando otra extrusión de corte o realizando una operación de simetría.
Luego haremos el siguiente plano auxiliar:
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Donde tomaremos como referencia la cara de fondo de la extrusión de corte que hicimos en la pieza anterior, y seleccionaremos un plano equidistante al plano de la cara seleccionada, y le daremos una distancia de 3 mm hacia el centro de la pieza (en el caso de la imagen hacia la derecha). Ahora realizaremos el siguiente corte, solo que no lo haremos sobre el plano que acabamos de crear, sino sobre la cara que usamos de referencia. Sobre la Cara mencionada realizaremos el siguiente Croquis:
Le daremos una profundidad de corte de 3 mm de esa manera quedará sobre el Plano que generamos previamente. Ahora sobre el Plano que generamos realizamos el siguiente croquis:
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Y luego a partir de ese croquis realizaremos una extrusión de corte con una profundidad de corte de 1,10 mm. Y por último haremos una simetría para poder lograr las dos ranuras para anillos de retención. De esta manera la sección debería quedarnos así:
Ahora generaremos un segundo plano paralelo al plano de la vista lateral a una distancia de 20 mm:
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Una vez generado el plano, realizaremos el siguiente croquis sobre el mismo:
Y realizaremos una extrusión plana, y le agregaremos como condición un ángulo de salida hacia adentro de 15°, y 10 mm de profundidad, deberían obtener un resultado así:
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Ahora haremos una extrusión de corte para dejar la forma de la ranura (notese que el croquis no está sobre el “plano 2”, sino que está sobre la cara que sobresale que acabamos de crear):
Luego haremos la extrusión de corte a una profundidad de 20 mm. Por ultimo haremos una operación de simetría, y obtendremos así la pieza final:
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Y para finalizar pondremos el eje de revolución a la pieza, como así también dos sistemas de coordenadas alternativos: Para colocar el eje seleccionaremos cualquiera de las caras circulares del cubo:
De esta manera tendremos el eje de revolución como ayuda o posible referencia en caso de ser necesario. Ahora para colocar los Sistemas Coordenados, debemos ir a “Geometría de Referencia>Sistemas de coordenadas”, y lo configuraremos de la siguiente manera:
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Repetiremos el proceso para el otro lado:
De esta manera tendremos lista nuestra pieza donde vimos cómo aplicar los comandos de la unidad.
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Anexo Unidad 5: Cambio de Entorno Gráfico SolidWorks 2009 – SolidWorks 2012 Debido a que el curso lo estamos dando actualmente con SolidWorks 2012, debemos aclarar que ciertas funciones a medida que el programa avanzo cambió ciertos aspectos en el entorno gráfico o en la definición de parámetros En el caso de la Unidad 5 nos incumbe hablar sobre el comando plano:
Entorno gráfico SolidWorks 2009
Entorno gráfico SolidWorks 2012
Como vemos a primera vista, la diferencia es grande. ¡Bien!, expliquemos ahora las diferencias. Para definir un plano en SolidWorks 2012, lo primero que debemos tener en cuenta es los métodos para definir un plano (Explicado en la introducción de la unidad). Como sabemos cómo máximo podemos tener 3 referencias para definir un plano (3 puntos no alineados). Entonces para generar por ejemplo un plano por tres puntos deberemos seleccionar los 3 puntos, y automáticamente se generará el plano
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
De igual manera serán las definiciones en cada caso de los planos, con la única diferencia que previamente tendremos que seleccionar las referencias, para luego así definir el tipo de plano. ‐
Plano equidistante:
‐
Plano en ángulo:
Unidad 5
Geometría de Referencia
Curso SolidWorks 2009
Y así de igual manera a como está explicado en el apunte, la única diferencia es será que deberán definir primero los parámetros para poder definir el plano. En cuanto a lo que respecta a la Unidad 5, no hay diferencia entre los comandos de las versiones anteriores a SolidWorks 2009
