Unidad 05 Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio y en el plano Ing. Ana E. Kronawetter E.

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Coordenadas Rectangulares Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formado por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada, y lo dividen al plano en 4 cuadrantes. Un punto en el plano se define P(x,y) En en el espacio se agrega z llamada cota y dividen al espacio en 8 octantes. Un punto en el espacio se define P(x,y,z) Ing. Ana E. Kronawetter E.

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Transformación de coordenadas cartesianas. Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslación (del origen) y Rotación (alrededor de un eje).

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Traslación de ejes

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Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y

S1 = {O; x; y}

y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:

A = (x A ; y A )

dado un segundo sistema de referencia S2

S 2 = {O' ; x' ; y '}

Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0´, puntos distintos, y los ejes x, x´; y e y´ paralelos dos a dos, y las coordenadas de O´, respecto a S1:

O' = ( xo ' ; yo ') Ing. Ana E. Kronawetter E.

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Se dice traslación de ejes, a calcular las coordenadas de A en S2, según los datos anteriores. Que llamaremos:

A' = ( x A ' ; y A ') Dados los puntos O, O’ y A, tenemos:

x A = x A '+ xo

y A = y A '+ yo Y ampliándolo a 3 dimensiones

z A = z A '+ zo

Que son las ecuaciones de Traslación de ejes Ing. Ana E. Kronawetter E.

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Rotación de ejes

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De la figura anterior se observa que: 0 A = 0 C - A C ; como A C = B D , se deduce: 0 A = 0 C - B D …...(1) Análogamente, se observa que: A P = A D + D P ; como A D = B C , se deduce: A P = B C + D P ......(2) Ahora en el triángulo rectángulo 0BC de la figura se tiene por definición trigonométrica que: OC

cos θ =

OB

Por tanto despejando a : 0 C = 0 B cos θ ......(3)

BC senθ = OB Por tanto despejando a : B C = 0 B sen θ ......(3’) Ing. Ana E. Kronawetter E.

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Por otra parte en el triángulo rectángulo BDP, de la misma figura se tiene también que: BD

senθ =

BP

Por tanto despejando a : B D = B P sen θ ......(4) DP BP Por tanto despejando a : D P = B P cos θ cos θ =

......(4’)

Sustituyendo (3) y (4) en (1) y (2), respectivamente tenemos: 0 A = 0 B cos θ - B P sen θ A P = 0 B sen θ + B P cos θ Ing. Ana E. Kronawetter E.

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Pero según la figura: 0 A = x ; 0 B = x’ ; A P = y ; B P = y’ Por lo que al sustituir en las expresiones anteriores quedan como: x = x′ cos θ - y′ sen θ y = x′ senθ + y′ cos θ Que son las ecuaciones de rotación de ejes, aplicables para cualquier posición del punto P y cualquier valor de θ

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Ejemplos 1- Por medio de una traslación de ejes transformar la ecuación 3x2- 4y2+6x+24y=135 en otra en la cual los coeficientes de los términos de 1er. grado sean nulos. Aplicamos las fórmulas x = x’ + h, y = y’ + k 3(x’+h)2- 4(y’+k)2+6(x’+h)+24(y’+k)=135 Efectuando y agrupando variables del mismo grado 3x’2 – 4y’2 + (6h+6)x’ – (8k-24)y’+3h2- 4k2+6h+24k=135 6h+6=0… h=-1 8k- 24=0…k=3 , nuevo centro O’(-1,3) Ecuación final 3x’2- 4y’2=102 Ing. Ana E. Kronawetter E.

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Hallar el ángulo de rotación de ejes necesario para eliminar el término en xy de la ecuación 7x2- 6 3 xy +13y2=16 2-

Sustituyendo en la ecuación dada

x = x' cos θ − y ' senθ y = x' senθ + y ' cos θ

Se obtiene

7( x' cos θ − y ' senθ ) 2 − 6 3 ( x' cos θ − y ' senθ )( x' senθ + y ' cos θ ) +

+ 13( x' senθ + y ' cos θ ) 2 = 16 Efectuando y reduciendo términos semejantes

[

(

)]

(7 cos 2 θ − 6 3senθ cos θ + 13sen 2θ ) x'2 + 12senθ cosθ − 6 3 cos 2 θ − sen 2θ x' y '+ + (7 sen 2θ + 6 3senθ cos θ + 13 cos 2 θ ) y '2 = 16 …..(1) Ing. Ana E. Kronawetter E.

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Igualando a cero el coeficiente del término en x’y’ 12 senθ cos θ − 6 3 cos 2 θ − sen 2θ = 0

(

O sea

)

6 sen2θ − 6 3 (cos 2θ ) = 0 tg 2θ = 3 ⇒ 2θ = 60º ⇒ θ = 30º

Sustituyendo el valor de θ en la ecuación (1) se obtiene x’2+ 4y’2=4 que representa una elipse de centro en el origen y sus ejes sobre los nuevos.

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