Trabajo Práctico Movimiento Oscilatorio Armónico Objetivos Reconocer características de un movimiento oscilatorio armónico. Entontrar la relación que existe entre el cuadrado del período de oscilación y la masa que oscila en un oscilador armónico simple; hallar la constante del resorte.
Incluye
Oscilador Armónico Simple Resorte Cronómetro Cuerpos de diferente peso
Procedimiento Se consideran varios carros y se miden sus masas. En el extremo libre de un resorte se adosa uno de los carros, se lo separa de la posición de equilibrio y se lo deja oscilar. Se toma el tiempo de n oscilaciones completas y se calcula el período de T. Se repite la operación con todos los carros. Es importante tener en cuenta, al tomar dichas mediciones, todos los factores que se ven involucrados en los errores que puedan ser cometidos al momento de tomar los tiempos, las masas e incluso de aplicar la fórmula correspondiente. Errores del ojo humano, de observación, de transmisión de datos, el tambaleo del resorte, etc. A esto, le sumamos el error cometido por despreciar el rozamiento del aire. Es por esto, que a estas indeterminaciones, les asignamos el siguiente valor:
∆𝑚 = 0.003 𝑘𝑔 ∆𝑡 = 0.03 𝑠
Puesto que las fuerzas en Y no aportan a la búsqueda de la constante, puesto que no hay movimiento (idealmente) en esa dirección. Por tanto, consideramos únicamente las fuerzas en x.
∑ 𝐹𝑥 = 𝑚. 𝑎 𝐹𝑒 = 𝑚. 𝑎 En esta expresión, Fe es la fuerza elástica del resorte, que por la Ley de Hooke sabemos que es 𝐹𝑒 = −𝑘. 𝑥 −𝑘. 𝑥 = 𝑚. 𝑎 Por lo visto en cinemática, sabemos que la aceleración es la derivada segunda de la posición respecto del tiempo: −𝑘. 𝑥(𝑡) = 𝑚. 𝑥´´(𝑡) (1) Considerando las ecuaciones paramétricas escritas en sistema masa-resorte, a partir de la posición en función del tiempo, llegamos a la aceleración en función del tema. Las funciones armónicas cumplen la relación de (1) 𝑋(𝑡) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 (𝑤. 𝑡 + ∅) (2) 𝑋´(𝑡) = 𝐴. 𝑤. 𝑐𝑜𝑠 (𝑤. 𝑡 + ∅) (3) 𝑋´´(𝑡) = −𝐴. 𝑤 2 . 𝑠𝑒𝑛 (𝑤. 𝑡 + ∅) (4) 𝐴 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑊 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑢𝑙𝑠𝑎𝑐𝑖ó𝑛 ∅ = 𝑓𝑎𝑠𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑤. 𝑡 = 𝑎𝑟𝑔𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 ó 𝑓𝑎𝑠𝑒 Reemplazamos en la expresión (1), (2) y (3). −𝑘. 𝑥(𝑡) = 𝑚. 𝑥´´(𝑡) −𝑘. 𝐴. 𝑠𝑒𝑛 (𝑤. 𝑡 + ∅) = −𝑚. 𝐴. 𝑤 2 . 𝑠𝑒𝑛 (𝑤. 𝑡 + ∅) 𝑘 = 𝑤2 𝑚 Como sabemos,
W=
2𝜋 𝑡
= 2𝜋. 𝑓
Por ello, 𝑘 2𝜋 = 2 𝑚 𝑡
Consideramos a 𝑇 2 = 𝑦 y a 𝑚 = 𝑥
2
𝑘 4𝜋 2 = 2 𝑚 𝑇 𝑚 2 𝑇 = 4𝜋 2 . 𝑘 𝑥 𝑘 𝑇 2 = 𝑓 (𝑚) 𝑌 = 4𝜋 2 .
El tiempo que un objeto tarda en realizar una oscilación completa se llama período y lo nombraremos con la letra T. El periodo es el tiempo que tarda en regresar a la posición inicial. Dicho periodo depende del tipo de resorte (del diámetro, del material del que está compuesto, de su resistencia y conformación) y de la masa que pende de él. La cantidad de oscilaciones completas en una unidad de tiempo, se llama frecuencia (f). 1 1 𝑓= 𝑦𝑇 = 𝑇 𝑓 Traduciendo esto a nuestro sistema masa resorte:
𝑡 𝑡2 𝑦 𝑇2 = 2 𝑛 𝑛 Por lo considerado en el inicio del trabajo, realizamos la propagación de errores correspondiente a T y 𝑇2. 𝑇 =
𝑡
𝑇𝑜 = 0 𝑛 𝑇 = { 𝑛 𝜀𝑇 = 𝜀𝑇 + 𝜀𝑛 ∆𝑇 ∆𝑡 ∆𝑡 = ∆𝑇 = 𝑡
𝑇𝑜
𝑡𝑜
𝑛
𝑇 = 𝑇𝑜 ∓ ∆𝑇
𝑍𝑜 = 𝑇𝑜 2 𝑛2 𝜀𝑍 = 𝜀𝑇 + 𝜀𝑇 = 2. 𝜀𝑇 ∆𝑍 ∆𝑡 = 2. ∆𝑍 = 2. ∆𝑡. 𝑇𝑜 𝑇2 =
𝑍𝑜
𝑡2
Tomo a 𝑇 2 = 𝑧 {
𝑡𝑜
𝑍 = 𝑍𝑜 ∓ ∆𝑍
Δm
m0 Kg
Kg
0,070 0,080 0,090 0,100 0,110
0,003 0,003 0,003 0,003 0,003
n Osc comp 10 10 10 10 10
Δt
t0 s
s
8,93 9,42 10,03 10,42 11,06
0,03 0,03 0,03 0,03 0,03
𝑡0
𝑻𝟎 =
𝑛
s 0,893 0,942 1,003 1,042 1,106
∆𝑻 =
∆𝒕 𝒏
T02
∆(𝑻𝟐 ) =
2. ∆𝑡. 𝑇𝑜 s2
s 0,03 0,03 0,03 0,03 0,03
s2
0,7974 0,8873 1,0060 1,0857 1,2232
0,05 0,06 0,06 0,06 0,07
Tomando lo realizado en cuenta, realizamos 5 mediciones, que colocamos en la siguiente tabla con todos los datos que corresponden.
A continuación, buscamos obtener las pendientes máxima y mínima respectivamente, que identifican a las dos rectas que representan el intervalo de incerteza donde se sabe que se encuentra T2 . Por conceptos trigonométricos, sabemos que dicha pendiente es p = y/x. En base a las rectas graficadas, calculamos los valores de las mismas: 𝑃𝑚𝑎𝑥 =
𝑌𝑚𝑎𝑥 𝑋0
𝑌𝑚𝑖𝑛 𝑋0
Y
𝑃𝑚𝑖𝑛 =
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 140 𝑚𝑚 .
Y
𝑃𝑚𝑖𝑛 = 140 𝑚𝑚 .
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 11,4286
Y
𝑃𝑚𝑖𝑛 = 10,7143
64 𝑚𝑚 . 1 𝑠2 ÷80 𝑚𝑚 0,1 𝑘𝑔 ÷200 𝑚𝑚
60 𝑚𝑚 . 1𝑠2 ÷80 𝑚𝑚 0,1 𝑘𝑔 ÷200 𝑚𝑚
Con las pendientes, hacemos el cálculo de la constante elástica del resorte. 4π2 𝟒𝛑𝟐 𝐤𝐠 𝑃 𝑀Á𝑋 = → 𝐤 𝐦í𝐧 = = 𝟑, 𝟒𝟒𝟓𝟒𝟑𝟓𝟐𝟗𝟎𝟒 𝟐 k mín 𝐏𝐌Á𝐗 𝐬 2 𝟐 4π 𝟒𝛑 𝐤𝐠 𝑃 𝑀Í𝑁 = → 𝐤 𝐦á𝐱 = = 𝟑, 𝟔𝟖𝟒𝟔𝟒𝟕𝟑𝟗𝟕 𝟐 k máx 𝐏𝐌Í𝐍 𝐬 A partir de los valores máximos y mínimos, calculamos el valor representativo de la constante elástica del resorte y su respectivo error absoluto. k mín + k máx kg 𝐾0 = = 3,565041344 2 2 s k −k kg ∆K = máx 2 mín = 0,1196060533 s2 Redondeamos a la primer cifra significativa, primero ∆K = 0.1 Entonces, puedo decir que kg 𝐾 = (3,6 ± 0.1) 2 s
kg s2
y luego 𝐾0 = 3,6
kg s2
Conclusión Luego de haber realizado los cálculos correspondientes para la obtención de las pendientes máxima y mínima, hemos podido averiguar el valor de la constante K, del resorte, con un error más que aceptable.
