´ 1.1 Introduccion

TALLER de GEOPLANO 1.1.

Introduccion ´

´ de gran parte de los conceptos geom´etricos; El geoplano es un recurso did´actico para la introduccion ˜ una mayor comprension ´ de toda una serie de el car´acter manipulativo de e´ ste permite a los ninos ´ t´erminos abstractos, que muchas veces o no entienden o no generan ideas erroneas en torno a ellos. El inventor del Geoplano fue el pedagogo contempor´aneo, Caleb Gattegno, profesor del Instituto de ´ de la Universidad de Londres. Este material did´actico es de construccion ´ muy sencilla. Educacion Consiste en un tablero cuadrado con clavos dispuestos en filas a igual distancia unos de otros, y se trabaja sobre e´ l con bandas el´asticas. Las actividades que se realizan con el Geoplano permiten que se pongan en juego procedimientos ´ la descripcion ´ que involucre propiedades de las figuras, la reproduccion ´ tales como la clasificacion, ´ matem´atica en la que se de figuras a partir de modelos obtenidos en este tablero, la investigacion utilizan conceptos y relaciones geom´etricas. Las actividades a realizarse con este material pueden ` ser tanto individuales como colectivas. ˜ y nina ˜ tenga su propio geoplano, esto permitir´a que cada uno haga Es recomendable que cada nino sus propias exploraciones y trabaje a su propio ritmo. Hacer un geoplano es relativamente f´acil. Al ´ se contribuye a la unidad familiar y a la particInvitar a los padres a participar en su elaboracion ´ de los padres en las acciones educativas. Se pueden confeccionar varios modelos de geoipacion ´ planos, los cuales se logran al modificar el numero de clavos 2 × 2, 3 × 3, 4 × 4 · · · La figura muestra uno de 3 × 3 y otro de 5 × 5

Es muy conveniente, luego de las primeras actividades, dibujar geoplanos en papel, y multiplicarlos, para que los alumnos puedan dejar graficadas las tareas realizadas. La figura anterior muestra una hoja de Geoplano.

1.1.1.

Construccion ´ de un Geoplano

Se necesita un trozo de madera de 20 × 20 cent´ımetros (figura 1). Se marca cada 5 cent´ımetros para formar una cuadr´ıcula de 5 × 5 (figura 2). 1

´ 1.1 Introduccion

En cada una de las intersecciones de los trazos hechos se pone un clavo, de los 81 necesarios (figura 3). Debe quedar como la figura 4.

Ahora se puede hacer geometr´ıa. Con el´asticos de colores se enganchan los clavos y se pueden formar figuras como muestra la figura 5.

1.1.2.

Actividades con el geoplano

´ se representar´an con una X. Puntos: Los clavos del geoplano representan puntos y en el pizarron Tocar los puntos. Contar los puntos por l´ınea y luego el total. Representar gr´aficamente en una hoja los puntos del geoplano ´ o surcos que forman el geoplano representan l´ıneas rectas. L´ıneas: La union Unir con bandas el´asticas, dos puntos cualquiera representando rectas. Unir con bandas el´asticas, puntos formando rectas. ´ Trazar rectas en el pizarron. 2

´ 1.1 Introduccion Trazar con bandas el´asticas, en el geoplano todas las rectas que pasan por un punto. Trazar con bandas el´asticas, rectas horizontales, verticales y oblicuas. Se mostrar´a que con un simple giro las rectas pueden transformarse en horizontales, verticales u obl´ıcuas. Girar las bandas el´asticas transformando las rectas. Representar con bandas el´asticas, en el geoplano rectas en distintas posiciones formando objetos o figuras. Juegos: Buscamos figuras geom´etricas Buscamos tri´angulos y cuadrados en el geoplano uniendo 3 o 4 puntos con 1 banda el´astica. Buscamos todos los cuadrados que se puedan construir en el geoplano usando mas bandas el´asticas. Dibujamos en la hoja del Geoplano cuadrados uniendo 4 puntos. Buscamos con bandas el´asticas, nuevas uniones de puntos: 2, 3, 4 y 5, con ello nos iniciamos en ´ de otras figuras geom´etricas. la nocion ´ del cuadrado, es decir levantando y liberando Construimos un tri´angulo por transformacion un v´ertice de la banda el´astica. Realizar el mismo ejercicio en sentido inverso. Actividad 1.1.1. Traza en el Geoplano o en hoja, un segmento vertical de 2 unidades de longitud, un segmento horizontal de 3 unidades de longitud, y un segmento distinto a los dos anteriores de longitud 4. Usa el´asticos o l´apices de colores diferentes.

Actividad 1.1.2. Usa el´asticos de diferentes colores en cada segmento para: 1. Trazar una l´ınea poligonal abierta, formada por 4 segmentos de recta. 2. Trazar una l´ınea poligonal cerrada, formada por 5 segmentos de recta. 3. Trazar una l´ınea poligonal cerrada, formada por 4 segmentos de recta de igual longitud. 3

´ 1.1 Introduccion

Actividad 1.1.3. Usa el´asticos de diferentes colores en cada segmento para: 1. Trazar dos segmentos de recta, de 3 y 4 unidades de longitud, respectivamente, que sean paralelos. 2. Trazar dos segmentos de recta que sean perpendiculares. 3. Trazar dos segmentos que se corten, pero no perpendicularmente.

Actividad 1.1.4. Traza en la hoja de Geoplano de 3 × 3 seis segmentos de longitudes diferentes.

Actividad 1.1.5. Trazar dos segmentos, no perpendiculares, que se corten. 1. ¿Cu´antos a´ ngulos se han formado? 2. Mide con el transportador esos a´ ngulos. ¿C´omo son sus medidas? 3. Trazar dos segmentos que se corten perpendicularmente. ¿Cu´anto miden esos a´ ngulos? 4. Coloca otro el´astico, de color diferente, en el v´ertice del a´ ngulo recto y que quede entre los lados del a´ ngulo recto. Elimina una de las gomas que formaban el a´ ngulo recto. El a´ ngulo que queda ¿mide m´as o menos de 90◦ ? ................ ¿Qu´e nombre reciben esos a´ ngulos? ....................... 4

´ 1.1 Introduccion

Actividad 1.1.6. Trazar dos segmentos perpendiculares e indicar los segmentos con colores diferentes. 1. Coloca otro el´astico, de color diferente, en el v´ertice del a´ ngulo recto y que quede fuera de los lados del a´ ngulo recto. Elimina la goma que era el final del a´ ngulo recto. El a´ ngulo que queda ¿mide m´as o menos de 90◦ . ¿Qu´e nombre reciben esos a´ ngulos? 2. Traza en geoplanos distintos. Un a´ ngulo recto, uno obtuso y otro agudo

Actividad 1.1.7. Une con el´asticos tres puntos del Geoplano. 1. ¿C´omo se llama esa figura? ................................... 2. Ubica los el´asticos de forma que los tres a´ ngulos sean agudos ¿Cu´al es el nombre de esos tri´angulos? ................................ 3. Ubica ahora los el´asticos de modo que uno de los a´ ngulos sea obtuso ¿Cu´al es el nombre de esos tri´angulos? ............................ 4. Ubica ahora los el´asticos de modo que uno de los a´ ngulos sea recto ¿Cu´al es el nombre de esos tri´angulos? ............................

Actividad 1.1.8. Une con el´asticos tres puntos del Geoplano. 5

´ 1.1 Introduccion 1. Ubica los el´asticos de forma que los tres lados tengan la misma medida ¿Cu´al es el nombre de esos tri´angulos? ......................... 2. Ubica ahora los el´asticos de modo que dos de los lados tengan igual medida, pero no as´ı el tercero ¿Cu´al es el nombre de esos tri´angulos? ......................... 3. Ubica ahora los el´asticos de modo que los tres lados tengan medidas distintas ¿Cu´al es el nombre de esos tri´angulos? ..........................

Actividad 1.1.9. En la hoja de Geoplano dibujar, con lapiz de color, 4 tri´angulos de distinto tamano. ˜ Mide sus lados. Entre los que dibujaste ¿alguno de ellos tiene un par de lados iguales? ¿existe alguno con todos sus lados de distinta longitud? ¿Hay alguno con todos sus lados iguales?

Actividad 1.1.10. En una hoja de Geoplano de 3 × 3 hallar cu´antos tri´angulos de diferentes formas pueden obtenerse. Una vez hecho esto clasificar aquellos “repetidos”, que en realidad son congruentes pero se encuentran en diferente posici´on.

Actividad 1.1.11. En un Geoplano de 2 × 2 ¿cu´antos tri´angulos puedes formar? 6

´ 1.1 Introduccion

Actividad 1.1.12. En un Geoplano de 3 × 3 fija una liga en un clavo ¿cu´antos tri´angulos puedes formar?

Actividad 1.1.13. En un Geoplano de 3 × 3 fija una liga en dos clavos ¿cu´antos tri´angulos puedes formar?

7

´ 1.1 Introduccion

Actividad 1.1.14. Traza en la hoja de Geoplano de 3 × 3 seis pares diferentes de segmentos paralelos.

Actividad 1.1.15. Traza en la hoja de Geoplano de 3 × 3 seis pares diferentes de segmentos perpendiculares.

Actividad 28 En tu Geoplano, verifica cu´ales de las siguientes relaciones entre tri´angulos son posibles y cuales no. Anota SI o bien NO en la tabla y justifica ´ Lado/ Angulo Equil´atero

´ Isosceles

Escaleno

8

Acut´angulo

Rect´angulo

Obtus´angulo

´ 1.1 Introduccion Actividad 1.1.16. Une con el´asticos cuatro puntos del Geoplano. 1. ¿C´omo se llaman esas figuras? ................................. 2. Ubica los el´asticos de modo que los cuatro lados tengan la misma medida, sean paralelos dos a dos y todos sus a´ ngulos rectos. ¿Cu´al es el nombre de esas figuras? ......................... 3. s´olo un par de lados paralelos sean de igual medida, los dos restantes paralelos de distinta medida y todos sus a´ ngulos rectos. ¿Cu´al es el nombre de esas figuras? .........................

4. Ubica ahora los el´asticos de modo que los cuatro lados tengan igual medidas pero ningun ´ a´ ngulo recto. ¿Cu´al es el nombre de esas figuras? .......................... 5. Ubica los el´asticos de manera que los cuatro lados son iguales y los a´ ngulos iguales dos a dos. ¿Cu´al es el nombre de esas figuras? .......................... 6. Ubica los el´asticos de manera que s´olo dos lados sean paralelos. ¿Cu´al es el nombre de esas figuras? .......................... 7. Ubica los el´asticos de manera que no tenga lados paralelos. ¿Cu´al es el nombre de esas figuras? ....................

Actividad 1.1.17. Traza en la hoja de Geoplano de 3 × 3 seis figuras diferentes de 4 lados.

9

´ 1.1 Introduccion Actividad 1.1.18. Observa los cuadril´ateros de las figuras que se muestran a continuaci´on. ¿Qu´e caracter´ısticas observas?

Actividad 1.1.19. Halla cu´antos cuadrados se pueden construir en un Geoplano de 5 × 5

Actividad 1.1.20. En una hoja de geoplano de 3 × 3 encontrar y clasificar todos los cuadril´ateros posibles.

´ Aqu´ı debieran aparecer, en las diferentes clasificaciones, los conceptos de figuras concavas y convexas, cuadril´ateros con un par de lados paralelos y con dos, y como e´ stas otras que le permitir´an al docente presentar las clasificaciones correspondientes, pero que ahora tendr´an significado para los ˜ ninos. 10

´ 1.1 Introduccion

1.1.3.

Unidad lineal y Unidad de a´ rea

´ Se muestra como se enlaza la unidad lineal y la unidad de a´ rea para formar el per´ımetro y el a´ rea respectivamente.

Observe en la figura anterior, que la distancia entre dos puntos alineados vertical u horizontalmente, representa la unidad lineal o longitud unitaria. En el Sistema Internacional de Medidas esta unidad ´ ´ ´ lineal puede representar kilometro, metro, cent´ımetro, mil´ımetro, u otro multiplo o submultiplo del metro como tambi´en unidades de otro sistema de medida. As´ı por ejemplo, en la figura se puede observar que la l´ınea poligonal (a) tiene una longitud de 6 unidades lineales y si cada unidad equivale a un metro, por ejemplo, se dice que la longitud es de 6 m. Si la unidad lineal es 1 km, la longitud de la l´ınea poligonal es de 6 km. Como Ud. ve, la longitud de la l´ınea poligonal es de 6 longitudes unitarias una tras otra. En la figura est´a representado un rect´angulo (b), los lados del rect´angulo forman una l´ınea poligonal cerrada y si mide la longitud de esa l´ınea se dar´a cuenta de que mide 14 unidades lineales. Si cada unidad lineal mide 1 cm se dice que la longitud de los lados del rect´angulo mide 14 cm, si la unidad lineal es 1 ´ se denota esta longitud con la mm entonces la longitud de los lados ser´a de 14 mm. Por convencion letra P y se llama per´ımetro. ´ ˜ (c), el cual tiene dos dimensiones. Este En la figura se observa un cuadrado pequeno representa una unidad de a´ rea o cuadrado unitario. Si la medida del lado de este cuadrado es un mil´ımetro, entonces la unidad de a´ rea es un mil´ımetro cuadrado, si el lado mide un metro entonces la unidad de a´ rea es un metro cuadrado. As´ı, si el lado mide una unidad lineal cualquiera, la unidad de a´ rea es ´ la unidad cuadrada. Una unidad de a´ rea puede ser kilometro cuadrado, metro cuadrado, cent´ımetro cuadrado u otra medida. Observando el rect´angulo (b), Ud. puede contar cu´antos cuadrados unitarios caben en e´ l. Observe que caben 12 cuadrados unitarios y en este caso se dice que el a´ rea del rect´angulo es de 12 cuadrados unitarios. Si cada cuadrado unitario representa un metro cuadrado entonces decimos que el a´ rea del rect´angulo es de 12 metros cuadrados que simbolizamos por 12 m2 . Si se denota el a´ rea con la letra A, se tiene A = 12 m2 . Observe que el a´ rea es un conjunto de cuadrados unitarios. Actividad 1.1.21. Determinar el per´ımetro y el a´ rea de los rect´angulos inclu´ıdos en la figura siguiente. Indicar las medidas de sus lados 11

´ 1.1 Introduccion

Actividad 1.1.22. En una escuela tienen 4 sectores rectangulares para cerrar con mallaa. El auxiliar se acordaba del geoplano, as´ı que fue e hizo un dibujo como el siguiente

Determina la cantidad lineal de malla para cerrar cada sector. Halla el a´ rea de cada sector rectangular. ¿Cu´al es el sector de mayor a´ rea? Actividad 1.1.23. Representa las siguientes figuras: a) Tri´angulo is´osceles de a´ rea 32 b) Tri´angulo escaleno de a´ rea 18 c) Tri´angulo rect´angulo de a´ rea 24 12

´ 1.1 Introduccion

Actividad 1.1.24. Encuentra todos los caminos diferentes de longitud cuatro que puedas en tu Geoplano de 3 × 3. Registra tus hallazgos en una hoja de Geoplano.

Actividad 1.1.25. Consideren la mayor cantidad posible de caminos de A hasta B, sin pasar dos veces por un mismo punto, pudiendo pasar por las diagonales.

Hallen sus longitudes. Indiquen cu´al es el m´as corto y cu´al es el m´as largo. Registren sus hallazgos en la hoja del geoplano. Actividad 1.1.26. Expliquen por qu´e cada una de las figuras rayadas tiene a´ rea 2. 13

´ 1.1 Introduccion

Actividad 1.1.27. Busquen todas las figuras que puedan de a´ rea 2 en un Geoplano de 3 × 3. Registren sus hallazgos en geoplanos de papel. Comparen sus respuestas con las de otros grupos. ¿Qui´en encontr´o m´as?

Actividad 1.1.28. La flecha que muestran las hojas de Geoplano, dibujarlas ↑ y ←

Actividad 1.1.29. En la hoja de Geoplano traslada la figura 5 lugares hacia la derecha y tres hacia arriba.

Actividad 1.1.30. En la hoja de Geoplano hallar el a´ rea de la figura. 14

´ 1.1 Introduccion

Actividad 1.1.31. Copia en la hoja de Geoplano y halla el a´ rea de la figura.

Actividad 1.1.32. Forma en tu Geoplano y luego dibuja en las hojas las siguientes figuras.

Actividad 1.1.33. Construir en el geoplano otra figura que sea sim´etrica a la primera con respecto a la l´ınea AB, que es el eje de simetr´ıa. Para verificar colocar un espejo de forma rectangular a largo sobre la liga AB. En el espejo se ver´a reflejada la figura construida.

15

´ 1.1 Introduccion Actividad 1.1.34. Construir en el geoplano: 1. Un tri´angulo rect´angulo cuyas medidas sean 2 unidades de base y 2 unidades de altura, y un cuadrado sobre cada uno de los lados del tri´angulo. 2. Otro tri´angulo de una unidad de base y una unidad de altura y sus cuadrados correspondientes. 3. Por ultimo, ´ se construye un tri´angulo escaleno con sus correspondientes cuadrados. 4. Calculan las a´ reas de los cuadrados y se anotan en la tabla. Hay que hallar la relaci´on que existe entre las medidas de las a´ reas de los cuadrados A y B y la del cuadrado C.

Tri´angulo 1 2 3

´ Area cuadrado A

´ Area cuadrado B

´ Area cuadrado C

Se analizan los datos contenidos en la tabla y se pregunta: ¿Qu´e relaci´on tienen las a´ reas de los cuadrados A y B con respecto al a´ rea del cuadrado C en los tres tri´angulos? Actividad 1.1.35. Formar en el geoplano (o en la hoja) un tri´angulo y a partir de e´l y cambiando s´olo el v´ertice superior hallar otros tri´angulos con la misma base y la misma medida de la altura. Actividad 1.1.36. Calcula el a´ rea de la siguiente figura

16

´ 1.1 Introduccion Actividad 1.1.37. Dibuja en la hoja del geoplano las dos figuras siguientes. Calcula sus a´ reas y per´ımetros.

Actividad 1.1.38. Dibuja en la hoja del geoplano las dos figuras siguientes. Calcula sus a´ reas y per´ımetros.

17

´ 1.1 Introduccion

Actividad 1.1.39. Enlaza 5 clavos en la hoja del geoplano 1. ¿C´omo se llama a dichas figuras? 2. Trata ahora de que los cinco lados tengan la misma longitud ¿Qu´e nombre tienen ahora? ............................. 3. Anota su per´ımetro ............................... 4. Anota su a´ rea .........................

18