REGLAS y TABLAS

i. ii. iii.

(K ⋅ f (x ) ) ' = K ⋅ f ' (x ) (f ( x ) + g(x )) ' = f ' (x ) + g' (x ) (f ( x ) ⋅ g(x )) ' = f ' ( x ) ⋅ g(x ) + f (x ) ⋅ g (x )' '

iv. v.

 f ( x )  f ' ( x ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g' ( x )   = (g(x ))2  g(x )  (f (g (x ) ))' = f ' (g(x ))⋅ g ' (x )

Derivación logarítmica. y = (f ( x ) ) Se toman logaritmos neperianos en los dos miembros y teniendo en cuenta las propiedades de los logaritmos queda: Ln y = g ( x ) ⋅ Ln f(x) derivando esta expresión: y' f ' (x) = g ' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅ y f (x ) despejando Y' y sustituyendo Y por su expresión:  f ' (x )  f ' (x )  g(x )  y' = y ⋅ g ' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅ ⋅ g ' ( x ) ⋅ Ln f(x) + g ( x ) ⋅  = (f ( x ) )  f (x)  f (x)    g(x)

Derivación en forma implícita. Hasta ahora se ha supuesto el caso de funciones explícitas, es decir la y aparece despejada. Se llama función implícita a una función de dos variables x e y sin que la y aparezca despejada. Para derivar una función implícita se siguen las misma reglas que para las explícitas, teniendo en cuenta que la derivada de la de y es y'. Basta después despejar y'.

Tabla de derivadas FUNCIÓN COMPUESTA REGLA DE LA CADENA

FUNCION SIMPLE

y = f n (x )

y' = n·f n−1 ( x )·f ' ( x )

y = f (x )

y' =

y = n f (x )

1

·f ' ( x )

2· f ( x )

y' = n·x n −1

y = xn

y= x

y' =

1 2· x

·f ' ( x )

y' = n x

y = a f (x)

y' = a f ( x ) ⋅ f ' ( x ) ⋅ Ln (a )

y = ax

y' = a x ⋅ Ln (a )

y = e f (x)

y' = e f ( x ) ⋅ f ' ( x )

y = ex

y' = e x

y = Lg a (f ( x ) )

1

y' =

n·n (f ( x ) )n−1

y = Ln (f ( x ) ) y = sen (f ( x ) )

y = cos(f ( x ) ) y = tg(f ( x ) )

y = arcsen (f ( x ) ) y = ar cos(f ( x ) ) y = arctg(f ( x ) )

1 ·f ' ( x ) f ( x ) ⋅ Ln(a )

y' =

y' =

1 ·f ' ( x ) f (x )

y' = cos(f ( x ) )⋅ f ' ( x )

y' = −sen (f ( x ) )⋅ f ' ( x ) 1

y' =

(

⋅ f ' (x ) =

2

y = Lg a (x )

)

= 1 + tg 2 f ( x ) ⋅ f ' ( x ) y' = y' = y' =

1 2

1 − f (x ) −1 1 − f 2 (x ) 1 1 + f (x ) 2

⋅ f ' (x ) ⋅ f ' (x )

⋅ f ' (x)

y = ar cos(x ) y = arctg(x )

1 x

y' = cos(x )

y = cos(x )

y = arcsen (x )

1 x ⋅ Ln(a )

y' =

y = sen (x )

cos f ( x )

n· x n −1 n

y' =

y = Ln (x )

y = tg(x )

1

y' =

y' = −sen (x ) y' =

1 cos 2 x

y' = y' = y' =

= 1 + tg 2 x

1 1− x 2 −1 1− x 2 1 1+ x 2