UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Septiembre 2015 INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN

Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos (1 punto cada apartado). TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.- Una nave espacial aterriza en un planeta desconocido. Tras varias mediciones se observa que el planeta tiene forma esférica, la longitud de su circunferencia ecuatorial mide 2·105 km y la aceleración de la gravedad en su superficie vale 3 m s‒2. a) ¿Qué masa tiene el planeta? b) Si la nave se coloca en una órbita circular a 30.000 km sobre la superficie del planeta, ¿cuántas horas tardará en dar una vuelta completa al mismo? Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2. Solución. a. La intensidad de campo gravitatorio (g) en la superficie de un planeta, se puede expresar en función de la masa del planeta y del radio, teniendo en cuenta que el peso de los cuerpos en la superficie del planeta es la fuerza con la que este le atrae. Trabajando en módulo: Mm M P = FG mg = G g=G 2 R R2 Expresión que permite despejar la masa del planeta en función de g y R.

M=

g ⋅R2 G

El radio del planeta se calcula conocida la longitud de la circunferencia ecuatorial

L(ecuatorial) = 2πR M=

R=

L(ecuatorial) 2 ⋅105 = ≅ 31830 Km 2π 2π

(

3 ⋅ 31,83 ⋅106 6,67 ⋅10

)

2

−11

= 4,56 ⋅10 25 kg

b. Se pide calcular el periodo de la nave en una órbita conocida la altura. Para calcular el periodo, se tiene en cuenta que en una orbita circular, y teniendo en cuenta que la nave describe un movimiento circular uniforme, la suma de todas as fuerzas que actúan sobre la nave debe ser igual a la fuerza centrípeta.

FG = Fc

G

Mm r

2

=m

v2 r

v2 = G

M r

Por otro lado, la velocidad orbital se puede expresar en función del período. 2 v = ω ⋅ r  2π M 4π 2 M  2π  2π  : v = ⋅r ⇒ ⋅ r = G =G  2 ω= T T r   T r3 T 

r3 T = 2π = 2π G⋅M

(R + h )3 G⋅M

= 2π

(31,83 ⋅10

6

+ 30 ⋅106

)

3

6,67 ⋅10 −11 ⋅ 4,56 ⋅10 25

1

= 55407 s = 15 h 23' 27' '

Pregunta 2.- En un punto situado a igual distancia entre dos fábricas, que emiten como focos puntuales, se percibe un nivel de intensidad sonora de 40 dB proveniente de la primera y de 60 dB de la segunda. Determine: a) El valor del cociente entre las potencias de emisión de ambas fábricas. b) La distancia a la que habría que situarse respecto de la primera fábrica para que su nivel de intensidad sonora fuese de 60 dB. Suponga en este caso que solo existe esta primera fábrica y que el nivel de intensidad sonora de 40 dB se percibe a una distancia de 100 m. Dato: Intensidad umbral de audición, I = 10‒12 W m‒2. Solución. a. Intensidad sonora de la primera fábrica: β A = 40 dB 0

Intensidad sonora de la segunda fábrica: β B = 60 dB La potencia de un sonido se puede despejar de la definición de intensidad. Ondas

esféricas P = 4 π ⋅ I A rA2 PA 4 π ⋅ I A r 2 I A P I = ⇒ P = I ⋅ S = I ⋅ 4π ⋅ r 2 :  A = = S  PB = 4π ⋅ I B rB2 PB 4π ⋅ I B r 2 I B

El cociente entre las potencias de emisión de ambas fábricas, teniendo en cuenta que ambas están a igual distancia (r), es:

PA 4π ⋅ I A r 2 I A = = PB 4π ⋅ I B r 2 I B La intensidad se obtiene de la intensidad sonora (β).

β = 10 log

β I ⇒ I = 10 10 Io

Aplicando al cociente entre las potencias, simplificando y sustituyendo: βA

β A −β B

PA I o ⋅10 10 = = 10 10 βB PB I o ⋅10 10

40 − 60

= 10 10

=

1 10

2

=

1 100

b. En este apartado, teniendo en cuenta que no varía el foco emisor, lo que se mantiene constante es la potencia. P I = ⇒ P = I ⋅S S Aplicando a las dos distancias: Ondas esféricas

P = I1 ⋅ S1 = I 2 ⋅ S2  → I1 ⋅ 4πr12 = I 2 ⋅ 4πr22 I1 ⋅ r12 = I 2 ⋅ r22 r2 = r1

I1 I2

Teniendo en cuenta la relación del apartado a β1 − β 2

r2 = r1 ⋅ 10 10

40 − 60

= 100 ⋅ 10 10

2

= 100 ⋅ 10 − 2 = 10 m

Pregunta 3.Cuatro conductores muy largos y paralelos transportan intensidades de corriente iguales, de valor 5 A. La disposición de los conductores y sus sentidos de circulación de la corriente vienen indicados en la figura (A y B, con cruces, conducen la corriente hacia dentro del papel mientras que C y D, con puntos, lo hacen hacia fuera). El lado del cuadrado mide 0,2 m. Calcule: a) El vector campo magnético producido por el conductor A en el punto P, situado en el centro del cuadrado. b) El vector campo magnético producido por los cuatro conductores en el centro del cuadrado. Dato: Permeabilidad magnética del vacío, µ0 = 4π·10‒7 N A‒2. Solución. a. Aplicando la regla de la mano derecha, se determina el sentido de las líneas de campo magnético generadas por el hilo A Regla de la mano derecha: si se coge el conductor con la mano derecha de manera que el pulgar apunte en el sentido de la corriente, los demás dedos rodearán al conductor el conductor en el mismo sentido de giro que lo hacen las líneas de campo. Conocido el sentido de las líneas de campo, se representa el vector campo magnético en el punto P. Dada la geometría de la disposición, el ángulo que forma el campo magnético con el eje x negativo es 45º. El módulo del campo vendrá dado por la ley de Biot y Savart:

 µ ⋅ I  I = 5 A 4π ⋅10 −7 ⋅ 5 B= o : = 7,07 ⋅10 − 6 T :B = 2 2 2 π ⋅ d d = 0,1 + 0,1 = 0,1 2 m  2π ⋅ 0,1 2 Para calcular la distancia del hilo al centro del cuadrado se aplica el teorema de Pitágoras teniendo en cuenta que la longitud de los catetos es la mitad del lado del cuadrado, 0,1m. Conocido el módulo del campo se puede escribir el vector: r r r B = −B ⋅ cos 45º i − B ⋅ sen 45º j r r r 2r 2r B = −7,07 ×10 − 6 ⋅ i − 7,07 × 10 − 6 ⋅ j = −5 ⋅10 − 6 i − −5 ⋅10 − 6 j 2 2 b. Aplicando la regla de la mano derecha, se determinan las líneas de campo magnético y se representan los vectores campo magnético en el punto P como muestra la figura. Teniendo en cuenta que por todos los hilos pasa la misma intensidad de corriente, y la geometría de la disposición, los vectores campo magnético serán: r r r B A = −5 ⋅10 −6 i − 5 ⋅10 −6 j T r r r B B = 5 ⋅10 −6 i − 5 ⋅10 −6 j T r r r BC = 5 ⋅10 −6 i − 5 ⋅10 −6 j T r r r B D = −5 ⋅10 −6 i − 5 ⋅10 −6 j T El campo magnético total es la suma vectorial de todos ellos r r r B T = ∑ Bi = − 2 ⋅10 −5 j T

3

Pregunta 4.- Considere un espejo esférico cóncavo con un radio de curvatura de 60 cm. Se coloca un objeto, de 10 cm de altura, 40 cm delante del espejo. Determine: a) La posición de la imagen del objeto e indique si ésta es real o virtual. b) La altura de la imagen e indique si ésta es derecha o invertida. Solución. 1 1 1 a. Ecuación fundamental de los espejos esféricos: + = s' s f R = ‒60 cm ⇒ f = ‒30 cm s = ‒40 cm 1 1 1 1 1 1 1 + = = − =− ⇒ s'−120 < 0 ⇒ Imagen REAL s' − 40 − 30 s' 40 30 120 y' s' =− y s

b.

Aumento lateral en los espejos esféricos: A L =

y' = − y ⋅

s' −120 = −10 ⋅ = −30 < 0 Imagen invertida y de mayor tamaño s − 40

Aunque en el enunciado no se pide la construcción gráfica, y por tanto en el examen no se debería hacer, para que la solución quede un poco más clara la construcción gráfica seria de la siguiente forma:

Pregunta 5.- El isótopo 18F (ampliamente utilizado en la generación de imágenes médicas) tiene una vida media de 110 minutos. Se administran 10 µg a un paciente. a) ¿Cuál será la actividad radiactiva inicial? b) ¿Cuánto tiempo transcurre hasta que queda sólo un 1% de la cantidad inicial? Datos: Masa atómica del 18F, M = 18 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol‒1. Solución. a. La actividad inicial es el número de núcleos que se descomponen inicialmente en la unidad de tiempo. Ao = No ⋅ λ

10 −6 g 18 F 1 mol 18 F 6,02 ⋅10 23 núcleos 18 F ⋅ ⋅ = 3,34 ⋅1017 núcleos 18 F 1 µg 18 F 18 g 18 F 1 mol 18 F 1 1 λ= = = 1,52 ⋅10 − 4 s −1 τ 110 ⋅ 60 A o = N o ⋅ λ = 3,34 ⋅ 1017 ⋅ 1,52 ⋅ 10 −4 = 5,06 ⋅ 1013 Núcleos s

N o = 10 µg 18 F ⋅

b.

Se calcula aplicando la ecuación fundamental de la radioactividad:

N = N o ⋅ e − λt N=

1 1 1 No ⇒ N o = N o ⋅ e − λt = e − λt 100 100 100 Ln 100 Ln 100 t= = = 30297s = 8h 25' λ 1,52 ⋅10 − 4

4

− λt = Ln

1 100

OPCIÓN B Pregunta 1.- El radio de uno de los asteroides, de forma esférica, perteneciente a los anillos de Saturno es de 5 km. Suponiendo que la densidad de dicho asteroide es uniforme y de valor 5,5 g cm‒3, calcule: a) La aceleración de la gravedad en su superficie. b) La velocidad de escape desde la superficie del asteroide. Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2. Solución. a. En la superficie del asteroide se cumple que el peso es la fuerza con la que el asteroide atrae a las masas. Mm M P = FG mg = G g=G 2 R R2 La masa se calcula con la densidad y el volumen. Esfera 4 3 4 kg M = V ⋅d = πR 3 ⋅ d = π 5 ⋅103 m ⋅ 5,5 ⋅103 = 2,88 ⋅1015 kg 3 3 3 m

(

)

Sustituyendo en al expresión de la intensidad gravitatoria:

g = 6,67 ⋅10 −11

2,88 ⋅1015

(5 ⋅10 )

3 2

= 7,68 m s − 2

b. La velocidad de escape se calcula por energías. Teniendo en cuenta que el campo gravitatorio es conservativo y que el objeto que escapa del asteroide llega al infinito con velocidad nula, se cumplirá que: E(Superficie) = E(Infinito ) = 0

E c (Superficie) + E p (Superficie) = 0 1 Mm   mv e2 +  − G =0 2 R  

1 Mm mv e2 = G 2 R

v e = 2 ⋅ 6,67 ⋅10 −11

2,88 ⋅1015 5 ⋅103

v e = 2G

M R

= 8,77 m s −1

Pregunta 2.Un objeto de masa 0,5 kg, unido a un muelle de constante elástica 8 N m‒1, oscila horizontalmente sobre una superficie sin rozamiento con un movimiento armónico simple de amplitud 10 cm. a) Calcule los módulos de la aceleración y de la velocidad cuando el objeto se encuentra a 6 cm de la posición de equilibrio. b) Si el objeto comienza el movimiento desde la posición de equilibrio en sentido positivo, ¿qué tiempo mínimo habrá transcurrido cuando alcance una elongación de 8 cm? Solución. a. Partiendo de la ecuación del M.A.S. se deducen expresiones para la velocidad y la aceleración. x (t ) = A sen (ωt + φ o ) dx v(t ) = = Aω cos(ωt + φ o ) ; v 2 = A 2 ω 2 cos 2 (ωt + φ o ) ; v 2 = A 2 ω 2 1 − sen 2 (ωt + φ o ) dt

(

(

)

(

)

v 2 = ω 2 A 2 − A 2 sen 2 (ωt + φ o ) ; v 2 = ω 2 A 2 − x 2 ; v = ±ω A 2 − x 2 a (t ) =

dv = −Aω 2 sen (ωt + φ o ) dt

x = A sen (ωt + φ o )

⇒

a = ±ω 2 x

La velocidad angular se obtiene de la expresión de la constante elástica

k = mω 2

ω=

k = m

8 = 4 rad s 0,5

v = ±4 0,12 − 0,06 2 = ±0,32 m

5

s

)

a = ±4 2 ⋅ 0,06 = ±0,96 m 2 s b.

Aplicando la expresión de la elongación en función del tiempo: 4t = 0,9273 rad 0,08 x (t ) = 0,1 sen (4t + 0 ) = 0,1 sen 4t = 0,08 sen 4t = = 0,8 4 t = arcsen(0,8) :  0,1 4t = 2,2143 rad La primera vez será para t =

0,9273 = 0,23 s 4

Pregunta 3.- Tres cargas iguales, cada una de 1µC, están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 10 cm de lado. Calcule: a) La energía potencial electrostática de cualquiera de las cargas. b) El potencial eléctrico en el punto medio de cualquier lado. Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N m2 C‒2. Solución. a. La energía potencial electrostática (U) de una de las cargas es la carga por el potencial que generan las otras dos en el punto donde esta.  1 ⋅10 −6 1⋅10 −6  q  r =l q   q q  = 0,18 J U = q1 ⋅ V = q1 ⋅  K 2 + K 3  = q1K ⋅  2 + 3  = 1 ⋅10 − 6 ⋅ 9 ⋅109 ⋅  +  0,1  r  l  0 , 1  r  l   b. Para calcular el potencial en el punto P, se calcula la distancia d mediante el teorema de Pitágoras

d = 0,12 − 0,05 2 = 0,0075

 10 −6 10 −6 q q q 10 −6  VP = ∑ Vi = K 1 + K 2 + K 3 = 9 ⋅109  + + = 4,64 ⋅105 v  0,05 0,05  r1 r2 r3 0 , 0075  

Pregunta 4.Un vidrio de índice de refracción n = 1,5 tiene depositada encima una capa de aceite cuyo índice de refracción varía con la longitud de onda según n = 1,3 + 82 (con λ medida en nm). Al hacer incidir un λ haz de luz procedente del vidrio sobre la interfase vidrio-aceite, se observa que el ángulo crítico para la reflexión total es de 75º. a) ¿Cuánto vale la longitud de onda de dicha luz? b) ¿Cuál sería el máximo valor de λ para que ocurra la reflexión total si el haz de luz procede del aceite? Solución. a. Aplicando la ley de Snell al caso particular del ángulo límite: ) n v ⋅ sen l = n a ⋅ sen 90º

82   1,5 ⋅ sen 75º = 1,3 +  ⋅1 λ  

λ=

82 = 550,7 nm 1,5 ⋅ sen 75º −1,3

b. La condición necesaria para que se produzca el fenómeno de la reflexión total es que la luz pase de un medio más refringente a otro menos refringente (n a > n v ) . 82 82 82 1,3 + > 1,5 ; > 0,2 ; λ < = 410 nm λ λ 0,2

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Pregunta 5.a) Un haz de electrones se acelera desde el reposo con una diferencia de potencial de 1000 V. Determine la longitud de onda asociada a los electrones. b) Si una determinada radiación electromagnética, cuya longitud de onda vale λ = 0,04 nm, incide sobre una superficie de platino, cuyo trabajo de extracción equivale a 6,4 eV, ¿qué energía cinética máxima tendrán los electrones extraídos por efecto fotoeléctrico? Datos: Masa del electrón, me = 9,1·10‒31 kg; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10‒19 C; Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108 m s‒1; Constante de Planck, h = 6,63·10‒34 J s. Solución. a. Según la hipótesis de De Broglie, cada partícula en movimiento lleva asociada una onda, cuya longitud de onda viene dada por la ecuación: h λ= mv Para un electrón que adquiere una energía cinética bajo la acción de una diferencia de potencial V, se cumple: 1 E c = mv 2 = q e ⋅ V 2 Operando con la igualdad:

mv 2 = 2q e ⋅ V

m 2 v 2 = 2m e ⋅ q e ⋅ V

mv = 2m e ⋅ q e ⋅ V

Sustituyendo en la expresión de la longitud de onda de De Broglie:

λ=

h = mv

h 2m e ⋅ q e ⋅ V

=

6,63 ⋅10 −34 2 ⋅ 9,1⋅10

− 31

⋅1,6 ⋅10

−19

= 3,885 ⋅10 −11 m ⋅1000

b. La energía cinética máxima de los electrones emitidos por efecto fotoeléctrico se calcula mediante un balance de energía. E (cinética )max = E(Radiación ) − W (extracción )

E (radiación ) = h ⋅ ν = h ⋅

3 ⋅108 c = 6,63 ⋅10 − 34 ⋅ = 4,97 ⋅10 −15 J ≈ 31078 eV J λ 0,04 ⋅10 − 9 ÷1,6 ⋅10 −19 eV

E (cinética )max = 31078,1 − 6,4 = 31071,7 eV ≈ 4,97 ⋅10 −15 J

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