Instituto Ntra. Sra. de la Consolación – Tafí Viejo

APLICACIONES DE

FUNCIONES LOGARITMICAS

EMMELY MARIA ZAR 3º POLIMODAL CS. SOCIALES

Dentro del campo de las ciencias, los logaritmos son una herramienta fundamental a la hora de resolver ecuaciones, de analizar ciertos fenómenos mediante la función logarítmica (función recíproca de la función exponencial), y muchas cosas más. Pero dejando lo estrictamente matemático, una de las mayores aplicaciones de los logaritmos son las escalas logarítmicas.

¿QUE SON Y PARA QUE SE UTILIZAN LAS ESCALAS LOGARITMICAS? En la Naturaleza se dan situaciones en que se tienen que utilizar medidas de órdenes muy diferentes. Por ejemplo, Los pesos de los seres vivos: un hombre puede pesar 90 Kg. = 90.000 gr. = 10 elevado a 4,96 gr. un rotífero (el menor animal pluricelular): 0,00000000603 gr. = 10 elevado a –8,22 gr. una ballena (el mayor de todos los animales): 120 Tm. = 120.000.000 gr. = 10 elevado 8,08 gr.

Así que si tenemos que referirnos a diferentes animales por sus pesos o hacer una gráfica con los mismos, es un gran inconveniente que haya tan enormes diferencias entre unos y otros. Una solución para abreviar la expresión de esas diferencias es asignar a cada animal el logaritmo decimal de su peso, al que llamaremos el “orden de magnitud”. Por ejemplo: El rotífero:-8'22, la mosca:-5’30, el escarabajo gigante (mayor insecto): 2'00, el hombre: 4'96, el avestruz: 5'20, el cocodrilo: 6'25, el elefante: 6'99, la ballena: 8'08 Ahora ya podemos, por ejemplo, hacer una escala con todos los animales que no sea excesiva. El orden de cada animal será un número entre –8 y 8 y llamaremos: • • • • •

muy pequeños, a los animales de órdenes entre -8 y –5 pequeños, entre –5 y –2 medianos, entre –2 y 2 grandes, entre 2 y 5 muy grandes, entre 5 y 8.

Esto es lo que se llama una escala logarítmica. En un rango pequeño, en este caso de -8 a 8, que consigue expresar realidades muy diferentes.

EJEMPLOS FAMOSOS DE ESCALAS LOGARITMICAS SON: 1. La escala para la medición de la intensidad del sonido. La presión del sonido que llega hasta nuestros oídos se mide en pascales. El intervalo de sonidos que puede percibir el ser humano oscila entre 0’00002 y los 100 pascales (umbral del dolor), es un intervalo tan amplio que resulta inmanejable, por lo que se adopta un escala logarítmica expresada en decibelios desde 0 a 180 db. 2. El Ph. Que es una medida de la acidez de una concentración (número de iones H3O+). 3. La escala Richter. Mide la intensidad de los terremotos que es una magnitud que oscila entre 3’5 (casi imperceptible) y 8 (Gran terremoto) 4. La magnitud aparente. La magnitud aparente de una estrella, planeta o de otro cuerpo celeste es una medida de su brillo aparente, es decir, la cantidad de luz que se recibe del objeto (el brillo aparente no es igual al brillo real, porque un objeto muy brillante puede estar muy muy lejos). Así por ejemplo, en esta escala al sol le corresponde una magnitud aparente de –26’8, a la luna –12’6, y a las estrellas más débiles visibles por el ojo humano +6.

3-LA ESCALA DE RICHTER: 1. La escala sismológica de Richter, también conocida como escala de magnitud local (ML), es una escala logarítmica arbitraria que asigna un número para cuantificar el efecto de un terremoto, denominada así en honor del sismólogo estadounidense Charles Richter (19001985).

2. Esta escala de magnitud local y solo aplicable a los terremotos originados en la falla de San Andrés, fue desarrollada por Charles Richter con la colaboración de Beno Gutenberg en 1935, ambos investigadores del Instituto de Tecnología de California, con el propósito original de separar el gran número de terremotos pequeños de los menos frecuentes terremotos mayores observados en California en su tiempo. La escala fue desarrollada para estudiar únicamente aquellos terremotos ocurridos dentro de un área particular del sur de California cuyos sismo gramas hayan sido recogidos exclusivamente por el sismómetro de torsión de Wood-Anderson. Richter reportó inicialmente valores con una precisión de un cuarto de unidad, sin embargo, usó números decimales más tarde.

3. Richter calculó que la magnitud de un terremoto o sismo puede ser medida conociendo el tiempo transcurrido entre la aparición de las ondas P y las ondas S, y la amplitud de éstas. Las primeras hacen vibrar el medio en la misma dirección que la del desplazamiento de la onda, son ondas de compresión y expansión. De velocidad de propagación muy rápida (de 5 a 11 Km./s), son las primeras en aparecer en un sismo grama. A continuación, llegan las llamadas ondas S, que hacen vibrar el medio terrestre en sentido perpendicular a la dirección de su desplazamiento. Basándose en estos hechos, Richter desarrolló la siguiente ecuación:

donde: = amplitud de las ondas en milímetros, tomada directamente en el sismo grama. = tiempo en segundos desde el inicio de las ondas P al de las ondas S. = magnitud arbitraria pero constante a terremotos que liberan la misma cantidad de energía. Como se muestra en esta reproducción de un sismo grama, las ondas P se registran antes que las ondas S: el tiempo transcurrido entre ambos instantes es ∆t. Este valor y el de la amplitud máxima (A) de las ondas S, le permitieron a Richter calcular la magnitud de un terremoto.

4. El uso del logaritmo en la escala es para reflejar la energía que se desprende en un terremoto. El logaritmo incorporado a la escala hace que los valores asignados a cada nivel aumenten de forma exponencial, y no de forma lineal. Richter tomó la idea del uso de logaritmos en la escala de magnitud estelar, usada en la astronomía para describir el brillo de las estrellas y de otros objetos celestes. Richter arbitrariamente escogió un temblor de magnitud 0 para describir un terremoto que produciría un desplazamiento horizontal máximo de 1 µm en un sismograma trazado por un sismómetro de torsión Wood-Anderson localizado a 100 km de distancia del epicentro. Esta decisión tuvo la intención de prevenir la asignación de magnitudes negativas. Sin embargo, la escala de Richter no tenía límite máximo o mínimo, y actualmente habiendo sismógrafos modernos más sensibles, éstos comúnmente detectan movimientos con magnitudes negativas.

5. Debido a las limitaciones del sismómetro de torsión Wood-Anderson usado para desarrollar la escala, la magnitud original ML no puede ser calculada para temblores mayores a 6,8 grados.