1. (Puntuación máxima: 4 puntos) Se va a confeccionar una dieta con tres clases de alimentos, A, B y C. El alimento A tiene 10 calorías por cada 100 gr, el B tiene 30 calorías por cada 100 gramos y el C 40 calorías por cada 100gr. 1) Si la dieta consta de G gramos de alimento por día, está restringida a exactamente 840 calorías y la cantidad de alimento A ingerida debe ser doble en peso que la de C, hallar en función de G las cantidades que debe ingerirse de cada no de los alimentos. 2) Hallar los valores entre los que está comprendido G para que las condiciones exigidas a la dieta se puedan cumplir. Solución: 1) Se pide plantear y resolver un sistema de tres incógnitas en función de un parámetro G, para ello se da información para plantear tres ecuaciones. x ≡ Gramos de alimento A y ≡ Gramos de alimento B z ≡ Gramos de alimento C x+y+z = G x+y+z = G 0 ' 1 x + 0 ' 3 y + 0 ' 4 z = 840 ordenando: x + 3y + 4z = 8400 x = 2z x − 2z = 0 Estudio del sistema: 1 1 1 A = 1 3 4 1 0 − 2
G 1 1 1 A' = 1 3 4 8400 1 0 − 2 0
1 1 1 A = 1 3 4 = −1 ≠ 0 ⇒ rgA = 3 = rgA' = n. S.C.D. (Método de Cramer) 1 0 −2
x=
y=
Ax A
Ay A
z=
=
=
Az A
G 1 1 8400 3 4 0 0 −2 −1 1 G 1 1 8400 4 −2 1 0 −1
=
1 1 G 1 3 8400 1 0 0 −1
=
16800 − 6G = 6G − 16800 −1
=
6G − 25200 = 25200 − 6G −1
=
8400 − 3G = 3G − 8400 −1
2) En este apartado se pide calcular el intervalo entre el que se debe encontrar el valor de G. Para ello habrá que tener en cuenta que los valores de x, y, z, deben ser positivos: 6G − 16800 ≥ 0 G ≥ 2800 25200 − 6G ≥ 0, resolviendo : G ≤ 4200 3G − 8400 ≥ 0 G ≥ 2800 Por lo tanto para que las tres variables sean positivas: 2800gr. ≤ G ≤ 4200gr.
2. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 20 monedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener unas ganancias del 20 %, del 50% y del 25 %, respectivamente, con lo que su beneficio total seria de 6 monedas de oro. Pero consigue más (cosa que hoy no llama mucho la atención), pues con la venta que obtiene de ellos ganancias del 80 %, del 90 % y del 85 %, respectivamente, lo que arroja un beneficio total de 17 monedas de oro, ¿cuánto le costó cada objeto? Solución: x , y, z ≡ precio de compra en monedas de oro de cada objeto x + y + z = 20 50 25 20 x+ y+ z=6 100 100 100 80 x + 90 y + 85 z = 17 100 100 100
Simplificando:
x + y + z = 20 4x + 10 y + 5z = 120 16x + 18y + 17z = 340
Resolviendo por el método de Cramer: x = 5,
y = 5,
z = 10
3. (Calificación máxima: 3 puntos). Se dispone de tres cajas A, B y C con monedas de 100 pesetas. Se sabe que en total hay 3600 pesetas. El número de monedas A excede en 2 a la suma de monedas de las otras dos cajas. Si se traslada una moneda de la caja B a la caja A, ésta tendrá el doble de monedas que B. Averiguar cuántas monedas había en la caja Solución: x ≡ nº de monedas en A y ≡ nº de monedas en B z ≡ nº de monedas en C 100x + 100 y + 100z = 3600 x + y + z = 36 x−2 = y+z Simplificando: x − y − z = 2 x − 2 y = −3 x + 1 = 2(y − 1) Resolviendo por el método de Cramer: x = 19;
y = 11;
z=6
4. Un almacenista dispone de 3 tipos de café: él A, a 980 Ptas./kg.; el B a 875 Ptas./kg.; y el C a 950 Ptas. /kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de café para suministrar un pedido de 1050 kg. a un precio de 940 Ptas. /kg. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos? Solución: x ≡ kg de café A en la mezcla y ≡ kg de café B en la mezcla z ≡ kg de café C en la mezcla x + y + z = 1050 x + y + z = 1050 980x + 875y + 950z = 1050·940 ordenando y simplificando 196x + 175y + 190z = 197.400 z = 2·(x + y ) 2x + 2 y − z = 0 operando con las ecuaciones en este caso se resuelve muy fácilmente el valor de z. 2E1 − E 3 : {3Z = 2100 : z = 700kg Sustituyendo el valor de z, se obtiene un sistema de 2×2.
x + y = 350 196x + 175y = 64.400 x = 150 Resolviendo por cualquier método: y = 200 5. Calificación máxima: 2 puntos. Un cajero automático contiene 95 billetes de 100, 200 y 500 € Y un total de 20.000 Ptas.. Sí él número de billetes de 100 € es el doble que él número de billetes de 200, averiguar cuantos billetes hay de cada tipo. Solución: x ≡ nº de billetes de 100€ y ≡ nº de billetes de 200€ z ≡ nº de billetes de 500€ x + y + z = 95 100x + 200 y + 500z = 20.000 x − 2y =0
x + y + z = 95 x + 2 y + 5z = 200 x − 2y =0
Resolviendo por Cramer: x ≡ 50 de billetes de 100€ y ≡ 25 de billetes de 200€ z ≡ 20 de billetes de 500€ 6. (Puntuación máxima: 2 puntos) Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo mejor tendrá 42 años. Solución: x ≡ Edad de la madre y ≡ Edad del hijo mayor z ≡ Edad del hijo menor
x − 14 = 5(y − 14 + z − 14) x + 10 = y + 10 + z + 10 z + x − y = 42
simplificando y ordenando: x − 5 y − 5z = −126 x − y − z = 10 x − y + z = 42 Se resuelve por el método de Cramer x = 44, y = 18, z = 16
7. (Puntuación máxima: 3 puntos) Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a 3 establecimientos que demandan toda la producción. En una determinada semana, el primer establecimiento solicitó tantas unidades como el segundo y tercero juntos, mientras que el segundo establecimiento pidió un 20 % mas que la suma de la mitad de lo pedido por el primero mas la tercera parte de lo pedido por el tercero. ¿Cuáles fueron las cantidades solicitadas por los tres establecimientos? Solución Se trata de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que se debe plantear: x≡Número de unidades con que se abastece al primer establecimiento y≡ Número de unidades con que se abastece al segundo establecimiento z≡ Número de unidades con que se abastece al tercer establecimiento x + y + z = 42 x + y + z = 42 = + x y z Ordenando el sistema: x−y−z = 0 3x − 5 y + 2z = 0 20 x z ⋅ + y = 1 + 100 2 3 Resolviendo por Cramer: x=21; y=15; z=6
