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CINEMÁTICA DEL PUNTO MATERIAL: SÍNTESIS CONCEPTUAL Sistemas de Referencia: Cuando hablamos de posición, lo hacemos en función de una referencia. A efectos de tener Referencias que tengan validez, sean comparables y al mismo tiempo cumplan la función de simplificar los algoritmos que describen el movimiento de la partícula, se han establecido distintos Sistemas de Referencia, cada uno de los cuales tiene distintas ventajas y desventajas en su uso. En ese sentido, podemos discriminar dos grandes grupos: Sistemas Extrínsecos (están separados del movimiento), y Sistemas Intrínsecos (acompañan el movimiento). Dentro del primer grupo (Extrínsecos) están, el Sistema Cartesiano Ortogonal, las Coordenadas Cilíndricas (en el plano llamadas "Polares"), las Coordenadas Esféricas y las Coordenadas Generalizada (nosotros analizaremos las dos primeras). En el segundo grupo tenemos el Sistema de Frenet o Triedro de Frenet. Recapitulando: los vectores posición, velocidad y aceleración (que son únicos y específicos del movimiento del punto), se pueden expresar en cualquiera de los Sistemas de Referencia mencionados. Lo importante, es usar el Sistema de Referencia que mejor sirva a nuestros propósitos de análisis, dado que tal como se mencionó son totalmente compatibles entre sí. Cinemática: conjunto de leyes que rigen los movimientos (no se tienen cuenta las causas que los producen). Punto material: cuerpo rígido cuyas dimensiones pueden ser despreciadas frente a las del movimiento. Movimiento: todo cambio de posición del punto material. Posición: la materializamos a través de un vector que está expresado en función de un sistema de coordenadas y basta con que varíe una sola de ellas para que se produzca el movimiento. Trayectoria: es el lugar geométrico que resulta de la unión de los puntos de las sucesivas posiciones que fue ocupando el punto mate rial durante su movimiento, y en general es una curva. Distancia recorrida – camino/espacio recorrido: es la medida tomada sobre la curva trayectoria a partir de un origen arbitrario ubicado sobre esta y la posición del punto.
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Si se puede conocer la distancia recorrida en función del tiempo empleado en recorrerla, es decir L = L(t), se dice que se tiene la ley horaria del movimiento ó ecuación horaria (es una expresión escalar). Nota: no confundir la representación gráfica de la ley horaria con 1 curva trayectoria, mientras que la segunda es un aspecto geométrico (por donde se mueve) la primera brinda el aspecto dinámico (como se mueve).
Velocidad: cambio de posición que experimenta el punto en función del tiempo.
l l1 l (nos da un valor aproximado) t t1 t l dl Velocidad escalar instantánea: v(t ) lim . t 0 t dt Velocidad escalar media: Vm
Para darle carácter vectorial hacemos:
Se llama R al vector desplazamiento, va desde R a R1 . R R R Vector velocidad media: Vm . Si bien nos sigue dando un valor aproximado, 1 t t1 t además nos dice en que dirección y en que sentido se hace el cambio de posición. CINEMATICA DEL PUNTO
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R d R Vector velocidad instantánea: v(t ) lim . Como se puede ver, la dirección la da el t 0 t dt vector desplazamiento y como al tender al límite, los vectores desplazamiento van rectificando su dirección hasta transformarse (en el límite) en el vector desplaza miento infinitésimo, que es el vector que une los dos puntos sucesivos de la curva trayectoria que determinan la dirección tangente a la misma. Notación de Grasman: indica a los vectores como resta de punto; extremo menos origen (R - O): vector posición, origen en O y el extremo R sigue al punto durante su movimiento. Sistema de Referencia Cartesiano
R O x xo i y yo j z zo k x i y j z k
R R1 R x1 x i y1 y j z1 z x i y j z k Retomando
R O x (t ) i y (t ) j z (t ) k
d d R dO dx i dy j dz k Derivando respecto al tiempo: v(t ) R O dt dt dt dt dt dt
v Vector velocidad expresado en sistema de referencia cartesiano (t ) vx i v y j vz k Siendo el módulo
v
vx 2 v y 2 vz 2 (velocidad, siempre tangente a la trayectoria).
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También podemos calcular el módulo del vector velocidad dando carácter escalar al vector desplazamiento infinitésimo. dR v y como R x i y j z k , dt Resultando dR
2
2
dx dy dz
2
dl (diferencial de arco)
dR dl v dt dt El módulo del vector velocidad es igual a la velocidad escalar instantánea. Entonces
v
La expresión que nos permite relacionar mediante la integración al módulo del vector velocidad con la ley horaria del movimiento (espacio: en función del tiempo) es: l
t
l (t ) dl v dt lo
(expresión escalar)
to
Esta expresión equivale a la longitud de la curva, y de lo único que hace referencia es de la distancia recorrida y no del tipo de curva por la que se mueve el cuerpo. Si ahora derivamos nuevamente el vector posición respecto del tiempo, obtendremos el vector aceleración expresado en coordenadas cartesianas.
d 2 d 2x d2y d 2z a 2 R O 2 i 2 j 2 k dt dt dt dt dv (t ) dv dv dv a x i y j z k dt dt dt dt a(t ) ax i a y j az k
Siendo el módulo:
a
ax 2 a y 2 az 2
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Importante: La velocidad escalar instantánea del punto material no depende del tipo de trayectoria por la que éste se mueva. Sistema de Referencia intrínseco de Frenet (o de componentes intrínsecas). Es un sistema de referencia muy útil cuando se conoce la curva trayectoria.
El espacio vectorial se materializa a través de dos versores, el tangente lº y el normal cº que tiene la dirección de la normal principal (hacia el centro de curvatura de la curva trayectoria). Son versores móviles que se mueven con el punto. En este sistema de referencia, el vector velocidad se expresa rápida mente, ya que tiene la dirección de la tangente. dl v(t ) v lº lº dt en consecuencia, el vector aceleración se obtiene por derivación, d dv dlº d lº v a (t ) v lº lº v , como c º , siendo rc el radio de curvatura de la curva dt dt dt dt rc trayectoria, reemplazando queda finalmente dv v2 a(t ) lº cº dt rc dv a , componente tangencial. dt v2 a , componente normal ó centrípeta. rc
El módulo resulta
a
a 2 a 2
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Sistema de referencia radial transversal o polar: válido solamente para curvas planas. Es bueno cuando se conoce la curva trayectoria en coordenadas polares: ( ) . El espacio vectorial lo materializamos a través de un versor radial (tiene la dirección del radio vector) y otro versor transversal (perpendicular al radial) siendo el sentido de este último el que corresponde de barrer al versor radial en el mismo sentido que se miden los arcos crecientes. En este sistema, el vector posición se expresa rápidamente, ya que tiene solo dirección radial. También son versores móviles R O r .
d d d r d d De donde v(t ) R O r , v (t ) r tr dt dt dt dt dt d Con , velocidad angular dt d : componente radial de la velocidad. dt
d : componente transversal de la velocidad. dt
Derivando ahora al vector velocidad respecto del tiempo y operando tenemos al vector aceleración:
2 d v(t ) d 2 d 2 d d d a 2 r 2 tr dt dt dt dt 2 dt dt
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d 2 d aceleración angular. dt 2 dt Para el caso de una trayectoria en el espacio hacemos la siguiente consideración: Con
R O R O R R R O r y R R z k Derivando: d d dz v (t ) r tr k dt dt dt
Volviendo a derivar: 2 d 2 d 2 d 2 z d d d a 2 2 tr 2 k r 2 dt dt dt dt dt dt
Nos brindan las expresiones de los vectores de la velocidad aceleración en cilíndricas.
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Ejemplifícación del vector velocidad expresado en los 3 sistemas de referencia mencionados. Para el caso de un movimiento en el plano.
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