TRABAJO PRACTICO Nº 1 : CONJUNTOS NUMERICOS ASIGNATURA: RAZONAMIENTO Y RESOLUCION DE PROBLEMAS ESCUELA DE ECONOMIA, ADMINISTRACION Y TURISMO U.N.R.N. – AÑO: 2012 Problema 1 Para cada uno de los siguientes enunciados: a) plantear la ecuación que lo modeliza (la que se necesita resolver para hallar la respuesta) b) analizar cuál se podría utilizar para justificar la necesidad de ampliar, respectivamente, N a Z; Z a Q; Q a R; R a C. Enunciados: A. Sofía pesa 27 kg, el doble de lo que pesa su hermanito Juan. ¿Cuántos kilos pesa Juan? B. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1cm? C. Manuela recibió para su cumpleaños $50 de regalo. Con lo que tenía ahorrado, le alcanza justo para comprar un pantalón que vale $136.-¿Cuánto dinero tenía ahorrado Manuela? D. Cuando queremos calcular dónde una parábola corta al eje x, calculamos sus “ceros” (ponemos y=0 en la fórmula y resolvemos la ecuación). Así por ejemplo, la parábola y = x 2 − 1 corta al eje x en x=1 y en x=-1. ¿Qué ecuación debemos resolver para hallar los “ceros” de la parábola y = x 2 + 1 ? ¿Qué quiere decir, respecto del gráfico de la parábola, que esta ecuación no tiene solución en R? ¿Cuáles serían las soluciones de la ecuación? E. ¿Hay algún número que al sumarle 5, de el mismo resultado que si al doble del número le sumamos 8? Problema 2 Marta y Juan están buscando con qué tono de verde pintar su cuarto. Hicieron varias muestras de pintura con las siguientes relaciones de partes de pintura verde 3 2 3 9 3

blanca 10 7 8 21 7

a) ordenarlas de la más oscura a la más clara. b) graficar en la recta numérica las fracciones que representan, para cada muestra, la relación

partes de p int ura verde . partes de p int ura blanca c) ¿por qué podemos decir que que

3 3 π sin pasar las fracciones a número decimal? ¿cómo? ¿y 10 8

2 3 π ? 7 7

d) expresar para cada mezcla la cantidad de pintura blanca en función de la cantidad de pintura verde y ordenar las constantes de proporcionalidad. e) ¿es cierto que

3 2 7 10 φ ⇒ φ ?, ¿por qué? 10 7 2 3

f)

expresar para cada mezcla la cantidad de pintura verde en función de la cantidad de pintura blanca, ¿qué relación tienen las constantes de proporcionalidad con las del punto d)? ¿por qué?

Problema 3 a) decidir si es verdadero o falso y justificar (b es cualquier número racional) i. ii. iii. iv.

25% de b =

1 de b 4

1 × b = 0,4 b 4 b 25 = b= 0,25 b 4 100 5 125% de b = b 4

b) si de un valor b se descuenta el 30%, se obtiene ¿

2 7 b ó b? 3 10

Problema 4 a) ¿Cuántas fracciones hay entre 17 y 18? ¿Cuántas fracciones con denominador 5 hay entre 17 y 18?, ¿y con denominador 9?, ¿y con denominador 21? b) ¿Cuántas fracciones con denominador una potencia de 10 hay entre 61/100 y 62/100?, ¿y con denominador 10?, ¿y con denominador 100?, ¿y con denominador 1000? c) ¿Es verdad que 334/1000 es la primera fracción después de 1/3? ¿Por qué? Problema 5 Encontrar, si es posible, un número decimal a, de modo que el número a+0,000001 a) tenga la misma cantidad de cifras decimales no nulas que a b) tenga mayor cantidad de cifras decimales no nulas que a c) tenga mayor cantidad de cifras decimales no nulas que a, y que a tenga seis cifras decimales no nulas d) tenga menor cantidad de cifras decimales no nulas que a e) tenga exactamente dos cifras decimales no nulas f) sea un número entero En los casos en que sea posible, analizar si hay más de uno. Problema 6 a) María y Jorge compraron un terreno cuadrado para construir una casa. El arquitecto les trajo como propuesta los planos de una casa rectangular, cuyo largo son las tres cuartas partes del largo del terreno, y el ancho dos quintos del ancho del mismo. ¿Qué parte del terreno ocupará la casa (expresarlo en fracción y en porcentaje)? b) A María le gusta que la casa sea rectangular, y está de acuerdo con el área de la misma, pero quiere que uno de sus lados sea la mitad del lado del terreno, en ese caso, ¿qué parte del lado del terreno ocuparía el otro lado de la casa? c) Jorge prefiere que la casa ocupe un quinto del área del terreno, i. ¿qué parte del ancho y el largo del terreno podrían ser el ancho y el largo de la casa?, ii. ¿hay más de uno?, iii. el área de la casa, ¿sería mayor o menor que en la propuesta del arquitecto? Problema 7

Leonardo da Vinci, tomando como figura al ser humano, creó un canon de las proporciones. Allí consideraba que un rostro femenino es “matemáticamente hermoso” si la línea C de los ojos divide a la medida total AB en media y extrema razón:

AB AC = AC CB

Esta misma relación (conocida como la relación áurea) muy utilizada en arquitectura, aparece también aproximadamente, por ejemplo: - entre la altura de un ser humano y la altura de su ombligo. - entre la distancia del hombro a los dedos y la distancia del codo a los dedos. - entre la altura de la cadera y la altura de la rodilla. - entre la cantidad de abejas macho y abejas hembra en un panal. - en la distribución de las hojas en un tallo. - entre las nervaduras de las hojas de los árboles - en la distancia entre las espirales de una Piña. Reemplazando en la relación

AB AC AC = , AB por AC+CB, y llamando x = , se obtiene la AC CB CB

ecuación cuadrática

x2 − x −1 = 0 a) Desarrollar los pasos necesarios para llegar a la ecuación b) Resolver la ecuación. La única solución positiva de la ecuación es el número de oro, que se indica con la letra griega ϕ = 1,61803 ... ¿Por qué sólo sirve la solución positiva? ¿por qué la otra solución es negativa? ¿es ϕ un número racional, por qué? c) Llamando en la relación

AC + CB AC CB = , x= , resolver la ecuación obtenida y comparar AC CB AC

el resultado con el anterior (1/ϕ = 0,61803 ...).Este número es un número racional, por qué? Problema 8 a) Representar sobre una recta los números 0, 1, 2, 3 y 4. Construir un cuadrado que tenga al segmento [0, 1] como uno de sus lados. Tomar con un compás la medida de la diagonal del cuadrado y marcar sobre la recta esa medida (desde el 0). ¿Qué número representa el punto que marcaron sobre la recta? ¿Es un número racional? b) Usar un rectángulo de lados 1 y 2 para encontrar sobre la recta el punto que representa 3 . ¿Es un número racional? c) Representar aproximadamente sobre la recta el número de oro ϕ = 1,61803 ... .

Problema 9 Jorge y Juan resolvieron de distintas maneras el siguiente cálculo, llegando a diferentes resultados. Jorge:

9 ⋅ 45 − (6 − 2 3 ) 2 + 5 − 2 ⋅ (5 − 6) = 9 5 − (6 − 8) 2 + 5 − 2 ⋅ (5 − 6) =

= 9 5 − 4 + 5 − (2 ⋅ 5 − 2 ⋅ 6) = 9 5 − 4 + 5 − 10 + 12 = 10 5 + (−4 − 10) + 12 = = −2 + 10 5 Juan:

9 ⋅ 45 − (6 − 2 3 ) 2 + 5 − 2 ⋅ (5 − 6) = 3 36 + 9 − 4 + 5 − 2 ⋅ (−1) = = 3(6 + 3) − 4 + 5 + 2 = 27 − 4 + 5 + 2 = 23 + 2 + 5 = 25 + 5 a) Encuentra el error en la que está mal, explicando por qué. ¿Qué propiedad no válida se aplicó? b) Señala en la que está bien, en qué pasos se aplicaron las siguientes propiedades de las operaciones con números reales: a. Distributiva del producto con respecto a la resta b. Distributiva de la radicación con respecto al producto c. Asociativa del producto d. Conmutativa de la suma e. Asociativa de la suma Problema 10 En un cuadrado de 5cm de lado se trazan las dos diagonales, quedando determinados cuatro triángulos rectángulos congruentes. a) ¿Cuánto miden cada uno de los dos catetos de cada triángulo?, ¿y su hipotenusa? b) Verifiquen que con las medidas halladas e a) se verifica el teorema de Pitágoras (la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa). c) ¿Cuál es el área de cada triángulo?, ¿qué parte del área del cuadrado representa? d) ¿Cuál es el perímetro de cada triángulo? e) ¿Cuáles serían las medidas pedidas en a), b) y c) si el cuadrado original tuviera 10 cm de lado? Problema 11 Con aparatos especiales puede medirse la intensidad de un sonido, que es la cantidad de potencia sonora por centímetro cuadrado que produce una fuente de sonido. Esta intensidad se mide usualmente en vatios por centímetro cuadrado (W/cm2). Por ejemplo: Sonido Motor de un avión a chorro (al lado) Concierto de rock (en el altoparlante) Fortísimo de una orquesta sinfónica Ruido del subterráneo en marcha Ruido promedio de tráfico urbano Conversación en voz alta Conversación en voz baja Levísimo rumor de hojas Umbral de absoluto silencio

Intensidad (W/cm2) 10-3 10-4 10-5 10-6 10-9 10-10 10-14 10-15 10-16

Intensidad (dB)

En la vida cotidiana, para indicar intensidad, utilizamos los decibelios que se definen por la siguiente fórmula dB = 10 log ( I / I0 ) donde log significa logaritmo decimal, I es la intensidad del sonido que queremos medir, I0 es la intensidad del sonido umbral de absoluto silencio. a) ¿Cuál es la razón entre los sonidos de mayor y menor intensidad? (este factor indica la extremada sensibilidad del oído humano) b) Completar la columna de la tabla, calculando la intensidad en decibelios de cada sonido. c) ¿Cuál es el rango, en decibelios, de los sonidos de la tabla? Problema 12 a) ¿Qué relación hay entre la altura y el lado de un triángulo equilátero? b) En una parte de un terreno rectangular de 5 metros de ancho y 7 metros de largo, hay que construir un corral con forma de triángulo. Marcos usó la siguiente notación para calcular cuánto metros de alambre necesita para cercar el corral: el rectángulo es ABCD donde AB es el largo y BC el ancho. H es el punto medio de CD y K es el punto medio de BC. El corral es el triángulo AHK. ¿Cuántos metros de alambre necesita Marcos? Problema 13 Analicen si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones. En los casos en que la afirmación sea falsa, den un contraejemplo. a) La suma de dos números enteros es siempre un número entero. b) La suma de un entero y un racional no entero es siempre un racional no entero. c) La suma de dos racionales no enteros es siempre un racional no entero. d) La suma de dos racionales es siempre un racional. e) La suma de un racional y un irracional es siempre un irracional. f) La suma de dos irracionales es siempre un irracional. g) El producto de dos racionales es siempre un racional. Problema 14 Se sabe que hay microorganismos, tales como bacterias o levaduras, que presentan un crecimiento exponencial de su población mientras tengan a su disposición suficiente cantidad de nutrientes en el medio donde se encuentran. Dentro de ese límite de crecimiento exponencial se han estudiado la población de tres microorganismos y se encontró que su crecimiento variaba en el tiempo conforme las siguientes exponenciales: Población microorganismo A:

a(t) = 104 t

Población microorganismo B:

b(t) = 215 t

Población microorganismo C:

c(t) = 20t

Para saber cuál crece más rápidamente, Jorge graficó las tres funciones en una escala lineal, Miguel lo hizo en una escala logarítmica.

Gráfico en escala lineal

Gráfico en escala logarítmica

a) Explicar cómo se obtiene el gráfico en escala logarítmica, y por qué se obtienen rectas. b) ¿Cuál de las poblaciones crece más rápidamente?, ¿por qué? c) Expresar las tres funciones con una misma base (base 10 o base e), y comparar el crecimiento con esas expresiones, ¿se llega al mismo resultado? Problema 15 Encontrar: a) un número irracional entre 0 y 2 ; b) un racional y un irracional entre 1,03 y 1,0300300030003... Problema 16 a) El número 0,99999... es periódico. Escríbanlo como fracción. b) ¿Es verdadero o falso que 5 - 2,999999... = 2,111111....? c) ¿Es verdadero o falso que 2,111111... = 2? Justifiquen en cada caso la respuesta. Problema 17 a) Jorge por fin logró independizarse y compró un departamento de un solo ambiente de 2,40 m de ancho, 6 m de largo y 3,20 m de alto. Quiere construir un entrepiso, para ubicar su cama, de 1,20 m de largo por el ancho del departamento, a 2,40 m del piso y desde la pared del fondo del departamento. Para sostener el entrepiso es necesario colocar una viga cruzada desde el extremo izquierdo del frente del entrepiso hasta el extremo derecho del fondo del mismo. ¿Cuánto debe medir la viga de largo? b) Jorge quiere poner una escalera que vaya apoyada sobre una de las paredes laterales del departamento, comenzando a 3,60 m del frente, ¿qué longitud tendrá la escalera? c) Si se sabe que los escalones deben tener no más de 18 cm de alto, ¿cuántos escalones debe hacer? ¿Qué profundidad tendrá cada uno? ¿Les parece una escalera razonable? ¿Por qué? Problema 18 En el final de la temporada de invierno, varios negocios ofrecen “ofertas por fin de temporada. Javier quiere comprar un pantalón, que encontró en 3 negocios diferentes. En el negocio A, que ofrece un descuento del 25% por pago en efectivo, terminaría pagando $156,00. El negocio B, que tiene el mismo precio de lista que el negocio A, ofrece un descuento del 20% pagando con tarjeta de débito (la que además recibe un 5% de devolución del IVA por el pago realizado). En el negocio C, el precio de lista es un 10% menor que en el negocio A. Además se ofrece un 15% de descuento por pago en efectivo. ¿Cuál es la mejor de las 3 ofertas? Problema 19 Miguel tiene que armar un presupuesto para pintar 4 ambientes de una casa: el living-comedor, la cocina y tres dormitorios de igual tamaño. La superficie que debe pintar en cada cuarto es tres quintos de la que debe pintar en el living, y la de la cocina es un tercio de uno de los cuartos. Calculó que va a necesitar tres litros de pintura para pintar la cocina. ¿Cuál será el costo total de la pintura, si cada lata de 5 litros cuesta $49.-, y cada lata de un litro cuesta $12? Problema 20 El conjunto solución de una inecuación lineal es el intervalo (-∞, 4], y el de una segunda inecuación es el conjunto {x∈R : -2 ≤ x < 7}. ¿Cuál es el conjunto solución del sistema formado por las dos inecuaciones (recuerden que las soluciones deben verificar ambas inecuaciones)?