UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA

UNEFA NÚCLEO CARABOBO-SEDE GUACARA ASIGNATURA: Física Moderna ELABORADO POR: Lic. Lisbeth Giesurin

GUÍA INSTRUCCIONAL N° 1. Unidad N° 1. Interpretar el M.A.S., la ecuación de las ondas y las ecuaciones de Maxwell

El movimiento de un cuerpo que se repite regularmente se conoce como “movimiento periódico”, el cuerpo regresa a una posición dada después de un intervalo fijo. Algunos ejemplos de este movimiento se tienen el movimiento armónico simple, péndulo simple, la tierra girando alrededor del Sol.

MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:

El MAS es el movimiento vibratorio que experimenta un sistema que obedece la ley de Hooke. Debido a la semejanza de su gráfica con las curvas de las funciones seno y coseno, el MAS se llama con frecuencia movimiento sinusoidal o movimiento armónico. Una característica central del MAS es que el sistema oscila a una sola frecuencia constante. Eso es lo que lo hace armónico simple.

Desplazamiento (y)

Amplitud=yo

y=yo

Tiempo (t)

y=0

b

a

c

d

T

Gráfica 1. Representación gráfica del Movimiento Armónico Simple

SISTEMAS DE HOOKE: (es decir, que obedecen la ley de Hooke, como un resorte, un alambre, una varilla, etc.), es aquel que regresa a su configuración original después de haberse deformado y luego liberado. Cuando dicho sistema se estira una distancia x (para compresión, x es negativa), la fuerza restauradora ejercida por el resorte está dada por la ley de Hooke.

F

kx

(1)

El signo menos indica que la fuerza restauradora siempre tiene dirección opuesta al desplazamiento. La constante del resorte (o elástica) k tiene unidades de N/m y es una medida de la rigidez (dureza) del resorte. La mayoría de los resortes obedecen la ley de Hooke si las deformaciones son pequeñas.

En algunas ocasiones es útil expresar la ley de Hooke en términos de la fuerza externa Fext necesaria para estirar el resorte una cierta cantidad x. Esta fuerza es el negativo de la fuerza restauradora, y por lo tanto

Fext

(2)

kx

FUERZA RESTAURADORA: es aquella que se opone al desplazamiento del sistema; es necesaria para que ocurra una vibración. Es una fuerza cuya dirección siempre es tal que empuja o jala al sistema a su posición de equilibrio (reposo). En el caso de una masa en el extremo de un resorte, el resorte estirado jala a la masa de vuelta a su posición de equilibrio, mientras que el resorte comprimido la empuja de vuelta a la posición de equilibrio.

DESPLAZAMIENTO: (x o y) es la distancia del objeto que vibra desde su posición de equilibrio, es decir, desde el centro de su trayectoria de vibración. Al desplazamiento máximo se le llama amplitud.

PERIODO (T): es el tiempo que requiere el sistema para completar un ciclo. En el caso de la vibración, es el tiempo total para el movimiento combinado, atrás y adelante, del sistema. El periodo es el número de segundos por ciclo.

FRECUENCIA (f): es el número de vibraciones que se realizan en la unidad de tiempo o el número de ciclos por segundo. Como T es el tiempo para un ciclo, f

1 . La unidad T

de frecuencia es el hertz, donde un ciclo/s es un hertz (Hz).

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA (U): es la energía almacenada en un resorte de Hooke que se deforma una distancia es:

U=

1 2 kx 2

(3)

Si la amplitud del movimiento es xo para una masa sujeta en el extremo de un resorte, entonces la energía del sistema en vibración es en todo momento:

U

1 2 kxo 2

(4)

Esta energía se almacena por completo en el resorte sólo cuando x

x o , esto es,

cuando la masa tiene su máximo desplazamiento.

INTERCABIO DE ENERGÍA: El intercambio de energía cinética y potencial ocurre constantemente en un sistema que vibra. Cuando el sistema pasa por su posición de equilibrio, K=máxima y U= 0. Cuando el sistema tiene su máximo desplazamiento, entonces K=0 y U= máxima. De la ley de conservación de energía, en ausencia de fricción K + U = constante. Para una masa m que se encuentra en el extremo de un resorte, esto se convierte en 1 mv 2 2

1 2 kx 2

1 kxo 2

Donde xo es la amplitud del movimiento.

RAPIDEZ EN UN MAS: está dada por

xo2

v

x2 k m

Cuando x=0, la rapidez es máxima, entonces

v

xo k m

PERIODO EN EL MAS: el periodo T en un MAS es el tiempo que emplea un punto P en dar una vuelta completa, es decir, un ciclo.

T

2

mk

ACELERACIÓN EN UN MAS: está dada por la ley de Hooke, F

kx y F

m a ; una

vez desplazado y liberado, la fuerza restauradora impulsa al sistema. Al igualara estas dos ecuaciones para F, se obtiene k x m

a

O en términos del periodo 4 2 x T2

a

EL PÉNDULO SIMPLE: describe de manera aproximada un MAS si el ángulo de oscilación no es muy grande. El periodo de oscilación de un péndulo de longitud L en un lugar donde la aceleración de la gravedad es g, está dada por

T

2

Lg

EL MAS se puede expresar analíticamente el desplazamiento horizontal de un punto P que gira alrededor de un círculo como x

x 0 .Cos .t (elongación), donde

2 f , que

es la frecuencia angular. En forma similar, la componente vertical del movimiento del punto P está dada por

y

x 0 .Sen( .t )

La velocidad y la aceleración, podemos expresarlas de la siguiente manera: v a

.x 0 .Sen .t 2

.x 0 .Cos .t

DEFINICIÓN DE ONDA

Es una perturbación de un medio que viaja de un punto a otro, llevando (transportando) energía y cantidad de movimiento sin que haya transporte de materia.

LAS ONDAS SEGÚN SU NATURALEZA: Ondas Mecánicas: son aquellas que se producen en medios deformables (un resorte, un gas, una cuerda). Se originan por la alteración del equilibrio normal del medio y debido a sus propiedades elásticas, la perturbación se propaga entre sus diferentes porciones sin que el medio se desplace en su conjunto.

v y x

Ondas mecánicas

Ondas Electromagnéticas: las ondas EM, como la luz visible, las ondas de radio, de TV o los rayos X, son producidas por cargas eléctricas oscilantes en átomos o moléculas o en una antena transmisora. La perturbación se propaga mediante campos eléctricos y magnéticos por todo el espacio sin requerir de ningún medio material.

y Ondas electromagnéticas

E

x

B TIPOS DE ONDAS: Onda Transversal: en una onda transversal, las partículas del medio se mueven en dirección perpendicular respecto a la dirección del movimiento ondulatorio. Son ondas transversales las que se generan cuando damos una sacudida vertical a una cuerda o un resorte horizontal.

Onda Longitudinal: en una onda longitudinal, las partículas del medio oscilan hacia uno y otro lado en la misma dirección que el movimiento ondulatorio. Son ondas longitudinales, las ondas sonoras en fluidos o las que se producen en un resorte cuando es comprimido o alargado repentinamente. Las ondas superficiales en el agua no son transversales ni longitudinales, sino una combinación de ambas.

LONGITUD DE ONDA: La longitud de onda ( λ ) es la distancia a lo largo de la dirección de propagación entre puntos correspondientes de la onda. En un tiempo t, una cresta que se mueve con rapidez v recorrerá una distancia λ hacia la derecha. Por consiguiente,

v.t produce v.t

v f

y

v

.f

Esta relación es válida para todas las ondas, no sólo para las ondas en una cuerda.

ONDA VIAJERA:

Sea un pulso que viaja en una cuerda de forma tal que, en el instante t=0 podemos representar el desplazamiento vertical de la cuerda por cierta función y

f x . ¿Qué

requisito debe cumplir esta función para que represente al pulso que viaja sin distorsión con velocidad v?

y

y´ v.t v

x

Tiempo t=0

Tiempo t

x´

En un marco de referencia que se mueve con el pulso a velocidad v, el desplazamiento vertical de la cuerda, en cualquier instante de tiempo será y x . Las coordenadas de un punto cualquiera de la cuerda en estos dos marcos de referencia están relacionados por la transformación Galileana: x

x

vt

y

y

y

Por lo tanto, la función debe ser del tipo y x, t

f x vt

En el caso en que la onda viaja hacia la izquierda, la función será:

y x, t

f x

vt

El argumento

x  vt

representa la fase de la onda. Si nos fijamos en una

determinada parte de la onda que tenga un valor fijo x en el transcurso del tiempo:

x

x  vt cons tan te

Al derivar respecto al tiempo, se obtiene la velocidad de fase o velocidad de onda.

dx

dt

 vt 0

dx

dt

v

ó

v

x t

La velocidad v de la onda no debe confundirse con la velocidad vY

dy dx , de las

partículas de la cuerda. En resumen, hay tres velocidades asociadas con el movimiento ondulatorio y que están conectadas matemáticamente. Ellas son:

 Velocidad de Partícula: Es la velocidad del oscilador armónico simple donde la masa pasa alrededor de su posición de equilibrio.  Velocidad de Fase o de Onda: Es la velocidad con que los planos de igual fase (crestas o valles), se mueven a través del medio.  Velocidad de Grupo: Al superponer un número de ondas de diferentes frecuencias, longitudes de ondas y velocidades de fases se forma un grupo. La velocidad con que se movería esa onda, se denomina velocidad de grupo.

ONDA VIAJERA ARMÓNICA:

Un caso de especial interés se presenta cuando se sacude el extremo de una cuerda con movimiento armónico simple. El tren de ondas que se genera es del tipo sinusoidal:

y x, t

y

A Sen k x vt

λ v A *

X1

*

X2

x 0

λ

Siendo A la amplitud de la onda o el máximo desplazamiento de las partículas desde el equilibrio. La cantidad k se denomina número de onda. k

2.

t T

La longitud de onda λ es la distancia entre dos crestas sucesivas, o entre dos puntos que tengan igual fase 2. k

En una onda armónica se presentan dos periodicidades: una espacial dada por la longitud de onda λ y otra temporal dada por el periodo T. Si nos fijamos en un punto x de

la cuerda y consideramos dos instantes de tiempo separa dos por un periodo: T= t 1 – t2, tal que el argumento del seno varíe en 2 , su desplazamiento vertical será: 2

k x vt1

k x vt2

kv

2 T

Encontramos así una expresión equivalente para la función de onda: A Sen2 x

y x, t

t

T

El periodo T del movimiento armónico de cada punto es el inverso de la frecuencia f

1 , la onda viaja una distancia λ, de modo que la f

1 . Durante un periodo T T

velocidad viene dada por v

f.

T

La velocidad de la onda está determinada por las propiedades del medio elástico (la cuerda, el aire, …), mientras que la frecuencia de la onda está determinada por la frecuencia de vibración de la fuente. Si llamamos

2 f

2 T la frecuencia angular, podemos escribir la función de

onda de la forma: y x, t

A Sen2 kx

v

T

f

t

k

FASE Y CONSTANTE DE FASE:

En la expresión y x, t hemos supuesto que en el instante inicial el desplazamiento vertical de la cuerda es cero en x=0. En general, si y 0,0 es distinto de cero, podemos escribir: y x, t

A Sen kx

t

Donde

es una constante de fase (en radianes), que está determinada por las

condiciones iniciales. La constante

puede ser positiva o negativa y su efecto es un

corrimiento de la onda hacia adelante o hacia atrás en el espacio o en el tiempo.

2

2

x1

x2

2 t1 T

t2

t T ; Fase de la onda

x

2

x ; Diferencia de fase para t fijo.

2 T

t ; Diferencia de fase para x fijo.

ECUACIÓN DE ONDA:

Cualquier onda unidimensional de la forma y

f x

vt satisface la ecuación que

relaciona las derivadas espaciales de y x, t con las derivadas temporales: 2

y

x

2

1 v2

2

y

t

2

Esta ecuación de onda se deduce de la segunda ley de Newton aplicada a un segmento de cuerda.

VELOCIDAD DE ONDA:

La velocidad de las ondas mecánicas es una propiedad del medio que la transmite. Para el caso de una cuerda tensa, la velocidad de la onda es:

v Donde cuerda.

es la tensión de la cuerda y

la masa por unidad de longitud de la

REFLEXIÓN Y TRANSMISIÓN DE ONDAS:

Cuando una onda se encuentra con un obstáculo, o con la frontera del medio donde se propaga, sucede que al menos parte de ella se refleja. Suponga un pulso que viaja por una cuerda y consideremos dos casos extremos: a) Extremo fijo: Si el extremo de la cuerda está fijo, el pulso regresa invertido (cambio de fase de 180°). Esto se debe a que allí el pulso causa que la cuerda jale la conexión hacia arriba y debido a la tercera ley de Newton, la conexión jala a la cuerda con una fuerza igual y opuesta hacia abajo. Esta fuerza hacia abajo provoca que el pulso se invierta en la reflexión.

b) Extremo libre: Si el extremo de la cuerda está suelto, por ejemplo, conectado a un anillo liviano que pueda deslizar sin rozamiento verticalmente sobre un poste; entonces cuando llega el pulso, ejerce una fuerza hacia arriba sobre el anillo, la cuerda se estira al máximo sobrepasando la altura inicial del pulso, originando que el pulso se devuelva sin sufrir ninguna inversión.

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN:

Según el principio de la superposición, cuando dos o más ondas pasan simultáneamente por una misma región, el desplazamiento resultante es la suma algebraica de los desplazamientos que produciría cada una de las ondas que actúe en forma individual: y x, t

y1 x, t

y 2 x, t

Como consecuencia del principio de superposición, dos ondas que viajen en direcciones opuestas pueden cruzarse en el espacio sin sufrir alteración alguna.

El principio de superposición en medios elásticos se cumple cuando la fuerza de restitución sobre una partícula sea proporcional al desplazamiento (para ondas lineales). Podrían ocurrir situaciones en que no se cumple este principio porque la amplitud de la onda sea tan grande que se llegue a superar el límite elástico (ondas no lineales). y1 y2

y1+y2

y1+y2

y2

y1

Dos pulsos que se cruzan

INTERFERENCIA DE ONDAS:

Se

denomina interferencia al fenómeno resultante de combinar ondas

independientes en la misma región del espacio.

Sean dos ondas sinusoidales de igual amplitud A y frecuencia diferencia de fase

y con una

, que se propagan en la misma dirección en una cuerda tensa.

y1

A Sen kx

t

y2

A Sen kx

t

Para hallar la onda resultante, aplicamos el principio de superposición y usamos la identidad { Sen

Sen

trigonométrica 2Sen

2

para

Cos

2

la

suma

de

los

senos

}. Se obtiene así una onda sinusoidal de la misma

frecuencia y longitud de onda que viaja en la misma dirección:

yR

y1

y2

2 ACos

2

Sen kx

t

2

Vemos que la onda resultante tiene una diferencia de fase de originales y su amplitud 2ACos

2 de ambas ondas

2 , depende de esta diferencia de fase.

Interferencia Constructiva: Cuando las dos ondas están en fase

0 , tanto

crestas como valles se encuentran alineados, y la amplitud resultante es el doble de la de las ondas individuales, y R

2A .

y1

x

y2

x

y1+y2 x

0 : Interferencia Constructiva

Interferencia Destructiva: Cuando las dos ondas están fuera de fase , las crestas de una onda se encuentran con los valles de la otra, y la amplitud resultante es cero.

y1

x

y2

x

y1+y2 :Interferencia Destructiva

x

ONDAS ESTACIONARIAS:

Ahora consideremos lo que sucede cuando dos ondas sinusoidales de igual amplitud A y frecuencia

, se propagan en una cuerda en sentidos opuestos: y1

A Sen kx

t

y2

A Sen kx

t

Utilizando la identidad trigonométrica para la suma de los senos, da como resultado: yR

y1

y2

2 ASenkx Cos t

La onda resultante yR no se propaga como lo hacen las ondas componentes: es una onda estacionaria. En cualquier lugar las partículas vibran con MAS con la frecuencia angular

, y la amplitud 2Senk.x , depende de la posición de x.

Hay puntos donde Senk.x 0 y no hay vibración. Estos lugares donde la cuerda no se mueve son llamados Nodos.

y1

x

y2

x

Vientres

Vientres

x Nodos

Nodos

Entre dos nodos consecutivos quedan los antinodos o vientres, y son donde ocurre interferencia constructiva, Senk.x

Nodos: kx Vientres: kx

x

,2 ,3 ,...

2

,3

2

,5

1 y la amplitud es máxima, 2A.

2

,...

2 x

, ,3

4

,3

2

4

,...

,5

4

,...

MODOS NORMALES EN UNA CUERDA:

Cuando se rasga una cuerda que está fija en ambos extremos, las ondas que reflejan en un extremo interfieren con las que viajan en dirección contraria. Como resultado, una cuerda de longitud fija L no puede vibrar con cualquier frecuencia arbitraria.

Las condiciones de frontera exigen que haya un nodo en cada extremo, de modo que para ciertas longitudes de onda pueden producirse ondas estacionarias. Como la separación entre nodos adyacentes de una onda estacionaria es número entero de

2 , debe caber un

2 en toda la longitud L de la cuerda:

fn

nv ; L 2L

n

v n n

2L n

n 1,2,3,...

Donde el número n se refiere al n-simo modo de vibración. Si la velocidad de la onda en la cuerda es v, entonces las ondas estacionarias posibles corresponden a las frecuencias:

fn

v n

nv 2L

n 2L

n 1,2,3,...

Es decir, la cuerda tiene un número infinito de frecuencias naturales que constituyen una serie de armónicos. Comenzando por la frecuencia fundamental

f0

v 2 L y los

demás modos son múltiplos enteros de la fundamental f 0 . Para una cuerda de longitud

fija L, estas frecuencias naturales se puede incrementar si se aumenta la tensión o se disminuye la masa de la cuerda.

RESONANCIA:

Las frecuencias naturales f n a las que se producen las ondas estacionarias son también llamadas frecuencias resonantes de la cuerda.

fn

n 2L

Si se sacude una cuerda tensa a un ritmo que difiera de una de las frecuencias resonantes, no se produce un patrón fijo de onda estacionaria. En cambio, si la frecuencia de la fuerza impulsora se acerca a cualquiera de las frecuencias resonantes, la cuerda aprovecha la mayor cantidad de energía, compensando las pérdidas por amortiguamiento y produciendo así una onda estacionaria de amplitud relativamente grande.

Todos los instrumentos musicales, tanto los de cuerda como los de viento, dependen de estos modos de vibración resonantes para producir sus sonidos. El ejecutante de una guitarra selecciona las frecuencias controlando la longitud L, densidad de masa

tensión

de la cuerda. Cuando se puntea una cuerda, se establece un

conjunto de ondas estacionarias y el lugar y la forma en que se puntea determina la amplitud de cada onda armónica y por lo tanto, la calidad del sonido. Las vibraciones de la caja contribuyen a reforzar la intensidad de las ondas sonoras.

EJERCICIOS:

EJERCICIO N° 1. Cuando una masa de 400 gr cuelga en el extremo de un resorte vertical, el resorte se estira 35 cm. ¿Cuál es la constante del resorte, y cuánto más se estirará si de él se cuelga una masa adicional de 400gr? Solución: Como Fext

k . y , y también Fext

m.g , entonces Fext

Despejando k de la primera fórmula: k

Fext y

3,92 N 0,35 m

0,4 Kg 9,81m / s 2

3,92 N

11,2 N / m

Con la carga adicional de 400 gr, la fuerza total que estira el resorte es 2(3,92 N) = Fext k

7,84 N. Entonces, y

7,84 N 11,2 N / m

0,7 m

EJERCICIO N° 2. Una masa de 50 gr sujeta al extremo de un resorte oscila con MAS. La amplitud del movimiento es de 12 cm y el periodo es de 1,7s. Calcule: a) La frecuencia; b) la constante de Hooke, c) la máxima rapidez de la masa; d) la aceleración máxima de la masa; e) la rapidez cuando el desplazamiento es de 6 cm y f) la aceleración cuando x=6cm. Solución: Datos: m=0,05Kg; A=12cm=0,12m; T=1,7s a)

f

1 T

?; f

b) k ? ;

k k

T 2

4 T

2

0,588 Hz

m ; k

2

4

m

1 1,7 s

2

entonces,

despejando

a

k,

tenemos:

0,05 Kg

1,7 s

2

0,68N / m

c) La vo

máxima x0

k m

rapidez

0,12 m 0,68 N / m

es 0,05 Kg

cuando 0,44 m / s

x=0,

entonces:

k x : a tiene magnitud máxima cuando x tiene magnitud máxima; es decir, m

d) a

en los puntos extremos x k x0 m

a0

f)

0,68 N / m 0,12 m 0,05 Kg

x 02

e) v

k m

x2 k x m

a

x 0 . De este modo,

0,12 m

1,6m / s 2

2

0,06

0,68 N / m 0,06 m 0,05 Kg

2

0,68 N / m 0,05 Kg

0,38 m / s

0,82 m / s 2

EJERCICIO N° 3. Experimentalmente se encuentra que la longitud de onda de una onda sonora en cierto material es de 18cm. la frecuencia de la onda es de 1900Hz. ¿Cuál es la rapidez de la onda? Solución: Datos:

18cm ; f

Planteamiento:

1900Hz . vT

v f

v

f

v 0,18m 1900 342m / s

EJERCICIO N° 4. Suponga que se muestran ondas estacionarias sobre una cuerda metálica tensada con 88,2N. Su longitud es de 50cm y su masa de 0,5gr. a) Calcule v para las ondas transversales sobre la cuerda. b) Determine las frecuencias de su fundamental, primer sobretono y segundo sobretono. Solución: Datos:

88,2 N ; L 50cm 0,5m ; m 0,5 gr

a) v

;

?;

0,5 10 3 Kg 0,5m

0,5 10 3 Kg

m , sustituyendo los datos y calculando, tenemos: L 0,001 Kg / m

88,2 N 0,001Kg / m

v

297m / s v 2L

b) Para el fundamental, n=1: f 0

297 m / s 2 0,5m

297 Hz

Para el 1° sobretono, n=2: f 2

nv 2L

2 297 m / s 2 0,5m

594 Hz

Para el 2° sobretono, n=3: f 3

nv 2L

3 297 m / s 2 0,5m

891 Hz

PROBLEMA N° 1. Dada la función para la onda armónica viajera: y x, t

0,5Sen 20

x t .

Donde x e y están en m. Determine: a) La amplitud, longitud de onda, periodo y velocidad. b) ¿Cuál es la diferencia de fase entre los movimientos de dos puntos separados por 5 cm? c) ¿Cuál es la distancia

x más corta entre dos puntos que tienen una

diferencia de fase de 30°? d) ¿Qué cambio de fase hay en un punto dado en 0,2s? e) ¿Cuántas ondas han pasado por allí en ese tiempo?

PROBLEMA N° 2. Una cuerda de 2 m de largo está accionada por un vibrador de 240 Hz colocado en uno de sus extremos. La cuerda resuena en 4 bucles (segmentos) formando un patrón de onda estacionaria. ¿Cuál es la rapidez de una onda transversal sobre tal cuerda?