MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Septiembre 2016. Pregunta 2A.- Un cuerpo que se mueve describiendo un movimiento armónico r simple a lo largo del eje X presenta, en el instante inicial, una aceleración nula y una velocidad de -5 i cm s‒1. La frecuencia del movimiento es 0,25 Hz. Determine: a) La elongación en el instante inicial. Justifique su respuesta. b) La expresión matemática que describe la elongación del movimiento en función del tiempo. Solución. a. Si la aceleración es nula, la elongación es cero, el cuerpo se encuentra en la posición de equilibrio. Las ecuaciones de elongación y aceleración de un M.A.S. son:
x = A sen (ω t + φ o ) ; a = Aω 2 sen (ω t + φ o ) Combinando estas ecuaciones, se puede expresar la aceleración en función de la velocidad angular y la elongación x = A sen (ω t + φ o ) 2 :a = ω ⋅x a = Aω2 sen (ω t + φ o ) Teniendo en cuenta que en un M.A.S. ω = constante ≠ 0 , si: a = ω2 ⋅ x a =0 ⇒x =0 ω ≠ 0
b.
x = A sen (ω t + φ o ) La velocidad angular se obtiene de la frecuencia:
π rad s 2 La amplitud del movimiento se puede obtener del módulo de la velocidad inicial, que es la velocidad máxima ya que corresponde a la velocidad en el punto de equilibrio, como se ha demostrado en el apartado anterior (x (t = 0) = 0) . v = Aω cos (ω t + φ o ) Si cos (ω t + φ o ) = 1 ⇒ v = v max = Aω ω = 2π f = 2π ⋅ 0,25 =
v(t = 0 ) v max 5 10 = = = cm π ω ω π 2 El desfase inicial se obtiene con la elongación inicial y el signo de la velocidad inicial. φ = 0 rad x (t = 0) = A sen (ω ⋅ 0 + φ o ) = A sen φ o = 0 ⇒ sen φ o = 0 : o φ o = π rad A=
Para seleccionar el desfase se tiene en cuenta que la velocidad inicial es negativa. v(t = 0) = Aω cos (ω ⋅ 0 + φ o ) = Aω cos φ o
Si φ o = 0 rad cos φ o = 1 v = Aω > 0 no cumple la condición inicial ⇒φ o = π rad Si φ o = π rad cos φ o = −1 v = −Aω < 0 cumple la condición inicial 10 π x = sen t + π (t (s ), x (cm )) π 2
Junio 2016. Pregunta 2A.- Un bloque de 2 kg de masa, que descansa sobre una superficie horizontal, está unido a un extremo de un muelle de masa despreciable y constante elástica 4,5 N m‒1. El otro extremo del muelle se encuentra unido a una pared. Se comprime el muelle y el bloque comienza a oscilar sobre la superficie. Si en el instante t = 0 el bloque se encuentra en el punto de equilibrio y su energía cinética es de 0,90·10‒3 J, calcule, despreciando los efectos del rozamiento: a) La ecuación del movimiento x(t) si, en t = 0, la velocidad del bloque es positiva. b) Los puntos de la trayectoria en los que la energía cinética del bloque es 0,30·10‒3 J. Solución.
1
a.
Movimiento armónico simple. Su ecuación sinusoidal tiene la forma: x (t ) = A ⋅ sen (ω t + φ o ) La velocidad angular del movimiento, se puede calcular a partir de la constante elástica del
muelle.
k = m ω2
ω=
k = m
4,5 = 1,5 rad s −1 2
La amplitud del movimiento se calcula mediante la energía mecánica, teniendo en cuenta que en el punto de equilibrio, la energía mecánica es igual a su energía cinética máxima y que en el punto de máxima elongación, es igual a la energía potencial máxima, punto en el cual la elongación máxima coincide con la amplitud del movimiento. E M = E c (max ) = E p (max )
E c (max )x = 0 = E p (max )x = A =
1 k ⋅ A2 2
A=
2E c (max ) = k
2 ⋅ 0,9 ⋅ 10 −3 = 0,02m 4,5
El desfase inicial se calcula con la posición inicial y la velocidad inicial (x (t = 0) = 0 ; v(t = 0) > 0)
x (t = 0) = A ⋅ sen (ω ⋅ 0 + φ o ) = A ⋅ sen φ o v(t ) =
d x (t ) = Aω ⋅ cos (ω t + φ o ) ⇒ v(t = 0) = Aω ⋅ cos (ω ⋅ 0 + φ o ) = Aω ⋅ cos φ o dt φ = 0 rad x (t = 0) = 0 = A ⋅ sen φ o ⇒ sen φ o = 0 : o φ o = π rad φ o = 0 rad ⇒ v(t = 0) = Aω ⋅ cos 0 > 0 Si : ⇒φ o = 0 rad φ o = π rad ⇒ v(t = 0) = Aω ⋅ cos π < 0
La ecuación del movimiento es : x (t ) = 0,02 ⋅ sen (1,5 t )
b. Teniendo en cuenta que en el movimiento armónico simple, si se desprecia el rozamiento, la energía mecánica se conserva. EM = Ec + Ep
E p = E M − E c = 0,9 ⋅ 10−3 − 0,3 ⋅ 10 −3 = 0,6 ⋅ 10 −3 J Ep =
1 k x2 2
x=
2E p k
=
2 ⋅ 0,6 ⋅ 10 − 3 ≈ 0,0163 m 4,5
Modelo 2016. Pregunta 2B.- Una masa puntual de 2 g unida a un muelle de masa despreciable se 3π π mueve con una velocidad dada por la expresión: v(t ) = 5 sen t + cm s‒1. Determine: 2 2 a) La amplitud de oscilación y la fase inicial del movimiento. b) Las energías cinética y potencial en el instante t = 1s. Solución. a. Teniendo en cuenta que la ecuación de la velocidad viene dada en seno, la expresión de la elongación tiene que expresarse en coseno. x (t ) = A cos(ω t + φ o ) La velocidad se obtiene derivando la ecuación de la elongación respecto al tiempo. v(t ) = −Aω sen (ω t + φ o ) Por ángulos asociados (ángulos que diferencian π radianes), se puede cambiar el signo de la función trigonométrica: sen (α + π ) = −sen α
2
v(t ) = −Aω sen (ω t + φ o ) = Aω sen (ω t + φ o + π ) Comparando las ecuaciones, se calcula la amplitud y la fase inicial 5 5 10 Aω = 5 A = ω = π 2 = π cm 3π π π v(t ) = Aω sen (ω t + φ o + π ) = 5 sen t + ⇒ : ω = 2 2 2 φ o = 3π − π = π rad 3 π φ + π = 2 2 o 2 b.
1 mv 2 2 La velocidad se calcula mediante su ecuación particularizando para t = 1 s 1 3π π v(t = 1) = 5 sen ⋅ 1 + = 5 sen (2π ) = 0 ⇒ E c = 2 × 10 −3 ⋅ 0 2 = 0 2 2 2 - Ec =
2
K = m ⋅ω 1 1 Kx 2 = m ⋅ ω2 x 2 2 2 10 π π x (t ) = A cos(ω t + φ o ) = cos t + 2 π 2
- Ep =
x (t = 1) =
10 π 10 10 π cos ⋅ 1 + = cos(π ) = − cm 2 π π π 2
2
Ep =
2
1 π 10 ⋅ 2 × 10 −3 ⋅ ⋅ − × 10− 2 = 2,5 × 10 − 6 J 2 π 2
Septiembre 2015. Pregunta 2A.Un objeto de masa 0,5 kg, unido a un muelle de constante elástica 8 N m‒1, oscila horizontalmente sobre una superficie sin rozamiento con un movimiento armónico simple de amplitud 10 cm. a) Calcule los módulos de la aceleración y de la velocidad cuando el objeto se encuentra a 6 cm de la posición de equilibrio. b) Si el objeto comienza el movimiento desde la posición de equilibrio en sentido positivo, ¿qué tiempo mínimo habrá transcurrido cuando alcance una elongación de 8 cm? Solución. a. Partiendo de la ecuación del M.A.S. se deducen expresiones para la velocidad y la aceleración. x (t ) = A sen (ωt + φ o ) dx v(t ) = = Aω cos(ωt + φ o ) ; v 2 = A 2 ω 2 cos 2 (ωt + φ o ) ; v 2 = A 2 ω 2 1 − sen 2 (ωt + φ o ) dt
(
(
)
(
)
)
v 2 = ω 2 A 2 − A 2 sen 2 (ωt + φ o ) ; v 2 = ω 2 A 2 − x 2 ; v = ±ω A 2 − x 2 a (t ) =
dv = −Aω 2 sen (ωt + φ o ) dt
x = A sen (ωt + φ o )
⇒
a = ±ω 2 x
La velocidad angular se obtiene de la expresión de la constante elástica
k = mω 2
ω=
k = m
8 = 4 rad s 0,5
v = ±4 0,12 − 0,06 2 = ±0,32 m
s
2
a = ±4 ⋅ 0,06 = ±0,96 m b.
s2
Aplicando la expresión de la elongación en función del tiempo: 4t = 0,9273 rad 0,08 x (t ) = 0,1 sen (4t + 0 ) = 0,1 sen 4t = 0,08 sen 4t = = 0,8 4 t = arcsen(0,8) : 0,1 4t = 2,2143 rad La primera vez será para t =
0,9273 = 0,23 s 4
3
Junio 2015. Pregunta 2A.- Un muelle de masa despreciable y de longitud 5 cm cuelga del techo de una casa en un planeta diferente a la Tierra. Al colgar del muelle una masa de 50 g, la longitud final del muelle es 5,25 cm. Sabiendo que la constante elástica del muelle es 350 N m‒1: a) Determine el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie del planeta. b) El muelle se separa con respecto a su posición de equilibrio 0,5 cm hacia abajo y a continuación es liberado. Determine, la ecuación que describe el movimiento de la masa que cuelga del muelle. Solución. a. Aplicando la Ley de Hooke: F = − k ⋅ ∆x La fuerza aplicada al muelle es el peso de la masa que se cuelga de él. −k ⋅ ∆x m ⋅ g = −k ⋅ ∆x ∆x = l − l o = 5,25 − 5 = 0,25 cm g= m
g=
(
− 350 ⋅ − 0,25 × 10 −2 50 × 10
−3
) = 17,5 m
s2
b. La masa colgada del muelle comienza un movimiento armónico simple de amplitud 0,5 cm, que esta representado por la ecuación: y(t ) = A sen (ω t + φ o ) La velocidad angular del movimiento se calcula a partir de la constante del muelle y la masa colgada de él.
k 350 = = 10 70 rad = 83,67 rad s s m 50 × 10− 3 La fase inicial se obtiene de las condiciones iniciales (y(0) = −A ) k = m ⋅ ω2
ω=
y(0) = −A = A sen (ω ⋅ 0 + φ o )
sen φ o = −1
φo = −
π rad 2
π y(t ) = 5 × 10−3 sen 10 70 t − 2
Modelo 2015. Pregunta 2A.- Un bloque de masa m = 0,2 kg está unido al extremo libre de un muelle horizontal de constante elástica k = 2 N· m‒1 que se encuentra fijo a una pared. Si en el instante inicial el muelle está sin deformar y el bloque comienza a oscilar sobre una superficie horizontal sin rozamiento (comprimiendo el muelle) con una velocidad de 15,8 cm·s‒1. Calcule: a) El periodo y la amplitud del movimiento armónico simple que realiza el bloque b) La fuerza máxima que actúa sobre el bloque y la energía potencial máxima que adquiere. Solución. 2π a. El periodo se calcula a partir de la velocidad angular ω = , y la velocidad angular de puede T obtener del la constate elástica k = mω 2 .
(
)
k = mω 2 4π 2 2π : k = m 2 ; ω= T T
T = 2π
m 0,2 = 2π ≈ 2s k 2
En el instante inicial, el muelle se encuentra en la posición de equilibrio (sin deformar) y por tanto su velocidad es máxima. d x (t ) x (t ) = A sen (ω t + φ o ) v(t ) = = Aω cos(ω t + φ o ) dt v max ⇔ cos(ωt + φ o ) = 1 ⇒ v max = A ⋅ ω
A=
v max v 15,8 × 10 −2 = max = = 0,05 m ω k 2 m 0,2
4
b.
Según la ley de Hook, F = − k ⋅ x , por lo tanto, Fmax = −k ⋅ x max = −k ⋅ A
Fmáx = −2 ⋅ 0,05 = −0,1 N E p (máx ) = E c (máx ) =
(
1 1 mv 2max = ⋅ 0,2 ⋅ 15,8 × 10 − 2 2 2
)
2
= 0,0025 J
Septiembre 2014. Pregunta 2B.- La figura representa la elongación de un oscilador armónico en función del tiempo. Determine: a) La amplitud y el periodo. b) La ecuación de la elongación del oscilador en función del tiempo. Solución. a. De la gráfica se pueden obtener lo que se pide: Amplitud ≡ distancia desde la posición de máxima elongación hasta la posición de equilibrio (x = 0). A=8m
Periodo ≡ mínimo tiempo que separa a dos puntos que están en igualdad de fase T = 60 s
b.
La ecuación matemática de un movimiento armónico simple esta expresada por la ecuación: y(t ) = A sen (ω t + φ o ) 2π 2π π rad ω= = = s T 60 30 La fase inicial se calcula con el dato de la elongación inicial (y(0) = 4 m ) .
π 1 φ o = 6 rad y(0) = A sen (ω ⋅ 0 + φ o ) = 8 sen φ o = 4 ; sen φ o = : 2 φ = 5π rad o 6 Si se toma hacia arriba el desplazamiento positivo, la velocidad inicial también es positiva, por lo tanto el desfase inicial es π/2 radianes ya que: φ o = π v(0) = Aω cos π > 0 dy 2 6 v(t ) = = Aω cos (ω t + φ o ) : v(0) = Aω cos φ o 5π 5π < 0 dt φ = v ( 0 ) = A ω cos o 6 6 π π La ecuación del M.A.S es: y(t ) = 8 sen t + 6 30
Junio 2014. Pregunta 2A.- Un muelle de longitud en reposo 25 cm cuya constante elástica es k = 0,2 N cm‒1 tiene uno de sus extremos fijos a una pared. El extremo libre del muelle se encuentra unido a un cuerpo de masa 300 g, el cual oscila sin rozamiento sobre una superficie horizontal, siendo su energía mecánica igual a 0,3 J. Calcule: a) La velocidad máxima del cuerpo. Indique en qué posición, medida con respecto al extremo fijo del muelle, se alcanza dicha velocidad. b) La máxima aceleración experimentada por el cuerpo. Solución. E M = E c + E p = E c (max ) = E p (max ) a.
5
1 2E M 2 ⋅ 0,3 mv 2máxz v máx = = = 2 m = 1,41m s s m 0,3 2 La velocidad máxima se alcanza cuando la masa pasa por la posición de equilibrio, y en este caso se encontrará a 25 cm del extremo fijo. E M = E c (max ) =
b. La aceleración máxima se puede calcular conocida la fuerza máxima que actúa sobre el muelle, la cual se produce en el punto de mayor elongación (x = A). F = m ⋅ a k ⋅A a max = : Fmax = m ⋅ a max = k ⋅ A F = k⋅x m El valor de A se obtiene mediante la energía mecánica igualándola a la energía potencial máxima.
E M = E p (max ) =
1 k ⋅ A2 ; A = 2 a max =
2E M N 100 cm N 2 ⋅ 0,3 = k = 0,2 ⋅ = 20 = = 0,173 m k cm m m 20 k ⋅ A 20 ⋅ 0,173 = = 11,55 m 2 s m 0,3
Septiembre 2013. Pregunta 2B.- La velocidad de una partícula que describe un movimiento armónico simple alcanza un valor máximo de 40 cm s‒1. El periodo de oscilación es de 2,5 s. Calcule: a) La amplitud y la frecuencia angular del movimiento. b) La distancia a la que se encuentra del punto de equilibrio cuando su velocidad es de 10 cm s‒1. Solución. a. La expresión matemática de un movimiento armónico simple es: y(t ) = A sen (ω t + φ o ) La velocidad del m.a.s. es la derivada de la posición con respecto al tiempo. d y(t ) d v(t ) = = (A sen (ω t + φ o )) = Aω cos (ω t + φ o ) dt dt La expresión de la velocidad máxima será cuando la parte trigonométrica de la ecuación valga 1. v max = Aω La velocidad angular o frecuencia angular se puede calcular a partir del periodo: 2π 2π 4 π ω= = = rad s T 2,5 5 Conocida la velocidad angular, se calcula la amplitud del movimiento a partir de la velocidad máxima.
v max = Aω
A=
v max 40 × 10−2 1 = = ≈ 0.16 m = 16 cm 4π ω 2π 5
b. Partiendo de la expresión de la velocidad y operando con la ecuación se puede obtener una ecuación que relaciona la velocidad y la posición.
v = Aω cos (ω t + φ o ) Elevando al cuadrado v 2 = A 2 ω 2 cos 2 (ω t + φ o ) Por trigonometría se transforma el coseno en seno: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 v = A ω 1 − sen (ω t + φ o ) v = ω A − A sen (ω t + φ o ) 144 42444 3 x2 La última expresión permite despejar x en función de v
(
)
A2 − x2 =
v2 ω2
v2 ; x2 = A2 − 2 ω
6
;
v2 x = A2 − 2 ω
(
v 2 = ω2 A 2 − x 2
)
2
(
10 × 10 − 2 1 x= − 2π (4π 5)2
)
2
= 0,154 m = 15,4 cm
Junio 2013. Pregunta 2B.- En el extremo libre de un resorte colgado del techo, de longitud 40 cm, se cuelga un objeto de 50 g de masa. Cuándo el objeto esta en posición de equilibrio con el resorte, este mide 45 cm. Se desplaza el objeto desde la posición de equilibrio 6 cm hacia abajo y se suelta desde el reposo. Calcule: a) El valor de la constante elástica del resorte y la función matemática del movimiento que describe el objeto. b) La velocidad y la aceleración al pasar por el punto de equilibrio cuando el objeto asciende. Solución. a. l o = 0,4 m m = 50 g l = 0,45 m A = 0,06 m F 50 × 10 −3 ⋅ 9,8 = = 9,8 N m 0,05 ∆l La función matemática del movimiento es: y(t ) = A sen (ω t + φ o ) F = k ⋅ ∆l
k=
F = m⋅a k 9,8 a = −ω 2 x : −mω 2 x = −kx ; k = mω 2 ; ω = = = 14 rad s m 50 × 10 − 3 F = −k ⋅ x Para calcular el desfase inicial, se tiene en cuenta que: y(t ) = A sen (ω t + φ o ) π sen φ o = −1 ⇒ φ o = − rad : −A = A sen (ω ⋅ 0 + φ o ) Para t = 0, y(0) = −A 2 π y(t ) = 0,06 sen 14t − 2 b.
v = v máx En el punto de equilibrio: a =0 y(t ) = A sen (ω t + φ o ) dy d v(t ) = = (A sen (ω t + φ o )) = Aω cos (ω t + φ o ) dt dt
v max ⇔ cos(ω t + φ o ) = 1 ; v max = A ⋅ ω = 0,06 ⋅14 = 0,84 m s −1
Modelo 2013. Pregunta 2A.- Un objeto está unido a un muelle horizontal de constante elástica 2×104 Nm‒1. Despreciando el rozamiento: a) ¿Qué masa ha de tener el objeto si se desea que oscile con una frecuencia de 50 Hz? ¿Depende el periodo de las oscilaciones de la energía inicial con que se estire el muelle? Razone la respuesta. b) ¿Cuál es la máxima fuerza que actúa sobre el objeto si la amplitud de las oscilaciones es de 5 cm? Solución. a. Teniendo en cuenta la Ley de Hooke, el 2º principio de la dinámica y la expresión de la aceleración en un movimiento armónico simple (MAS), se obtiene una relación para la constante elástica en función de la masa y la velocidad angular. F = −k x : −k x = m a 2 2 F= ma : −k x = −m ω x ⇒ k = m ω a = −ω 2 x
k 2 × 10 4 k = m ω 2 2 : k = m ( 2 π f ) ⇒ m = = = 0,2 kg ω = 2 π f 4π 2 f 2 4 π 2 ⋅ 502 El periodo de oscilación no depende de la energía inicial con la que se estire el muelle, depende de la masa unida al muelle y de la constante recuperadora del muelle.
7
2 k = m ω 2 k 2π 2π : k = m ⇒ T = 2π ω= m T T
b.
Aplicando la ley de Hooke (F = ‒kx), si x = A ⇒ F = Fmax
Fmax = −k ⋅ A = −2 × 10 4 ⋅ 0,05 = −1000N
Septiembre 2012. Pregunta 1A.- Un objeto de 100 g de masa, unido al extremo libre de un resorte de constante elástica k, se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Se estira, suministrándole una energía elástica de 2 J, comenzando a oscilar desde el reposo con un periodo de 0,25 s. Determine: a) La constante elástica y escriba la función matemática que representa la oscilación. b) La energía cinética cuando han transcurrido 0,1 s. Solución. a. Teniendo en cuenta la Ley de Hooke, el 2º principio de la dinámica y la expresión de la aceleración en un movimiento armónico simple (MAS), se obtiene una relación para la constante elástica en función de la masa y la velocidad angular. F = −k x : −k x = m a 2 2 F= ma : −k x = −m ω x ⇒ k = m ω a = −ω 2 x 2 2 k = m ω 2 2π − 3 2π = 63,17 N m −1 2π : k = m = 100 × 10 ⋅ ω= T 0,25 T
La posición de un MAS viene dada por la expresión: x (t ) = A sen (ω t + φ o ) El valor de la energía mecánica suministrada al estirar el muelle, permite calcular la amplitud (A) de movimiento.
EM =
1 k A2 2
A=
2E M = k
2⋅2 = 0,25 m 63,17
Para calcular el desfase inicial (ϕo), se tiene en cuenta que la masa empieza a oscilar desde la posición de elongación máxima “Se estira, suministrándole una energía elástica de 2 J, comenzando a oscilar desde el reposo”. π x (t = 0 ) = A = Asen (ω ⋅ 0 + φ o ) sen φ o = 1 φo = 2 La velocidad angular (ω) se calcular a partir del periodo 2π 2π ω= = = 8π rad s −1 T 0,25 Sustituyendo en la expresión de la posición, se obtiene la función matemática que representa la oscilación. π x (t ) = 0,25 sen 8π t + 2
b.
El apartado se puede resolver por dos caminos diferentes: •
Mediante la definición de energía cinética, calculando la velocidad para t = 1 s: 1 E c = mv 2 2
8
v(t ) =
dx d π π π = 0,25 ⋅ sen 8π t + = 0,25 ⋅ cos 8π t + ⋅ 8π = 2 π ⋅ cos 8π t + dt dt 2 2 2 π v(0,1) = 2π ⋅ cos 8π ⋅ 0,1 + = −3,7 m s −1 2 1 1 E c = mv 2 = ⋅ 100 × 10− 3 ⋅ (− 3,7 )2 = 0,7 J 2 2
• Expresando la energía cinética en función de la posición: 1 1 1 1 E c = mv 2 = m A 2ω 2 cos 2 (ω t + φ o ) = K A 2 1 − sen 2 (ω t + φ o ) = K A 2 − A 2sen 2 (ω t + φ o ) 2 2 2 2 1 2 2 Ec = K A − x 2
( (
)
(
)
)
La posición para t = 0,1 s es:
π x (0,1) = 0,25 sen 8π ⋅ 0,1 + = −0,2 2 Sustituyendo en la expresión se obtiene la energía cinética. 1 1 E c = K A 2 − x 2 = 63,2 ⋅ 0,252 − (− 0,2)2 = 0,7 J 2 2
(
(
)
)
Nota: Para que en los cálculos coincidan ambos resultados se tienen dos opciones, o arrastrar los datos en todos los cálculos utilizando todos los decimales, o redondear los resultados a la primera cifra decimal.
Modelo 2012. Pregunta 2A.- Un objeto de 2 kg de masa unido al extremo de un muelle oscila a lo largo del eje X con una amplitud de 20 cm sobre una superficie horizontal sin rozamiento. El objeto tarda 9 s en completar 30 oscilaciones, y en el instante de tiempo t = 0 su posición era xo = +10 cm y su velocidad positiva. Determine: a) La velocidad del objeto en el instante t = 1,2 s. b) La energía cinética máxima del objeto. Solución. 9 A = 20 cm T= = 0,3 s 30 y = 10 cm = 0,1 m Si t = 0 : v > 0 a. Para calcular la velocidad del objeto en un instante determinado (t = 1,2 s) es necesario conocer la ecuación que describe el movimiento. El objeto realiza un movimiento armónico simple que viene descrito por la ecuación: y = A sen (ω t + φ o ) Donde A = 20 cm = 0,2 m; ω =
2π 2π 20π rad = = ; y el desfase inicial se calcula con los s T 0,3 3
datos de condiciones iniciales. Para t = 0: y = 0,1 = 0,2 sen (ω ⋅ 0 + φ o )
π 1 φ o = 6 : sen φ o = : 2 φ = 5π o 6
Las posibles expresiones de la posición son: π 5π 20π 20π y = 0,2 sen t + y = 0,2 sen t+ 3 6 3 6 El signo de la velocidad para t = 0 nos permite deducir cual de las dos expresiones es la que corresponde al movimiento La expresión de la velocidad, es la derivada de la posición respecto del tiempo.
9
v= v=
dy d π 20π π 4π π 20π 20π 20π = 0,2 sen t + = 0,2 cos t+ = cos t+ dt dt 6 3 6 3 6 3 3 3
dy d 5π 20π 5π 4 π 5π 20π 20π 20π = 0,2 sen t+ cos t+ = cos t+ = 0,2 dt dt 3 6 3 3 6 3 3 6
4π π 20π cos ⋅0 + = v= 3 3 6 Para t = 0: 4 π 20 π 5 π v = cos ⋅0 + = 3 6 3 •
π 20π Posición: y = 0,2 sen t+ 6 3
•
Velocidad: v =
4π π 20π t+ cos 6 3 3
Para t = 1,2: v(t = 1,2 ) =
b.
4π π cos > 0 3 6 4π 5π cos 0 La expresión matemática de la elongación en función del tiempo tiene por expresión: x = A sen (ω t + φ o ) 2π 2π ω= = = π rad s T 2 Para calcular el desfase inicial (ϕ), se tienen en cuenta los datos de que para t = 0, la velocidad es nula y la elongación positiva. dx d v= = (A sen (ω t + ϕ)) = Aω cos(ω t + ϕ) dt dt φ o = π 2 v(t = 0) = Aω cos(ω ⋅ 0 + φ o ) = Aω cos φ o = 0 ⇔ cos φ o = 0 : π φ = − o 2 Para saber cual desfase corresponde al movimiento propuesto, se tiene en cuenta que para t = 0, la elongación es positiva Si = π : x (t = 0) = A sen ω ⋅ 0 + π = A sen π = A ⋅ 1 = A 2 2 2 :x > 0 ⇔ = π2 : Si = − π : x (t = 0) = A sen ω ⋅ 0 − π = A sen − π = A ⋅ (− 1) = −A 2 2 2
(
(
)
)
La elongación en función del tiempo viene dada por la expresión:
12
(
x (t ) = 0,1 sen π t + π b.
v(t ) = Aω cos(ω t +
)
) = 0,1 π cos(π t + π 2 )
(
v(t = 0,25) = 0,1 π cos π ⋅ 0,25 + π a (t ) =
2
dv d = (Aω cos(ω t + dt dt
2
) = 10π cos 34π = −
2π m s 20
)) = −Aω2sen (ω t + ) = −0,1 π 2sen (π t + π 2 )
(
a (t = 0,25) = −0,1 π 2sen π ⋅ 0,25 + π
2
π 3π ) = − 10 sen =− 2 4
2π 2 m 20 s2
Septiembre 2010 F.G. Problema 2A.- Una partícula se mueve en el eje X, alrededor del punto x = 0, describiendo un movimiento armónico simple de periodo 2 s, e inicialmente se encuentra en la posición de elongación máxima positiva. Sabiendo que la fuerza máxima que actúa sobre la partícula es 0,05 N y su energía total 0,02 J, determine: a) La amplitud del movimiento que describe la partícula. b) La masa de la partícula. c) La expresión matemática del movimiento de la partícula. d) El valor absoluto de la velocidad cuando se encuentre a 20 cm de la posición de equilibrio. Solución. a. La amplitud del movimiento se puede obtener a partir de la fuerza máxima y la energía mecánica total. La fuerza a la que se ve sometida la partícula esta expresada por la ley de Hook (F = −k · x), alcanzando su valor máximo cuando la elongación se iguala a la amplitud. Fmáx = −k ⋅ A Las fuerzas involucradas en el movimiento armónico simple son centrales y, por tanto, conservativas. En consecuencia, la expresión de la energía potencial en función de la elongación (x), se obtiene integrado la expresión de la fuerza con respecto a la elongación y cambiándola de signo. 1 EP = k ⋅ x2 2 En el punto de elongación máxima (x = A), toda la energía mecánica es potencial (v = 0), obteniendo una expresión para la energía mecánica total en función de la amplitud. 1 ET = k ⋅A2 2 Con las expresiones de la fuerza máxima y la energía mecánica se plantea un sistema que permite despejar la amplitud, que se toma en valor absoluto. 1 k ⋅A2 Fmáx = −k ⋅ A E A E T = 0,02 J 0,02 J A P 2 : = = : = : A = 0,8 m 1 : E T = k ⋅ A 2 Fmáx −k⋅A 2 Fmáx = 0,05 N 0,05 N 2 2
b.
El valor de la masa se puede obtener a partir de la constante (k = m ω2) 2 k = m ω 2 1 1 2π 2π 2 m A 2 2 2 2 1 A = 2 : ET = m ω ⋅A = m ET = k ⋅A 2 2 T T2 2
ET = c.
2π 2 m A 2 T
2
: m=
T2 ⋅ET 2
2π ⋅ A
2
=
2 2 ⋅ 0,02 2
2π ⋅ 0,8
2
= 6,3 ⋅10 −3 kg
Ecuación general del movimiento armónico simple: x = A sen (ω t + ϕ) A = 0,8 m
13
2π 2 π = = π rad s T 2 Desfase inicial: Para t = 0 ⇒ x = A: A = A sen (π ⋅ 0 + ϕ) ω=
π 2 Sustituyendo los valores se obtiene la ecuación del movimiento armónico simple π x = 0,8 sen π t + 2 sen ϕ = 1 : ϕ = arcsen 1 =
d. A partir de la energía cinética se puede obtener una expresión de la velocidad en función de la posición. 1 dx d 1 E c = mv 2 = v = = (A sen (ω t + ϕ)) = A ω cos(ω t + ϕ) = m (A ω cos(ω t + ϕ))2 2 dt dt 2
1 1 mv 2 = m (A ω cos(ω t + ϕ))2 : v 2 = A 2 ω 2 cos 2 (ω t + ϕ) 2 2 Teniendo en cuenta: cos 2 (ω t + ϕ) = 1 − sen 2 (ω t + ϕ)
v = A ω 1 − sen (ω t + ϕ) : v = ω A − A sen (ω t + ϕ) : v 2 = ω 2 A 2 − x 2 1442443 x2 2
2
2
(
)
2
2
2
2
2
(
2
v = ω A 2 − x 2 = π 0,8 2 − 0,2 2 = 2,4 m
)
s
Junio 2010. La gráfica muestra el desplazamiento horizontal: x = x(t) respecto del equilibrio de una masa de 0,5 kg unida a un muelle.
a) Obtenga la constante elástica del muelle b) Determine la energía cinética y potencial del sistema en el instante: t = 0,25 s. Solución. a. La constante del muelle se puede relacionar con la masa y la frecuencia angular (ω) 2
2π 4π 2 2π k = m ⋅ ω 2 = ω = = m⋅ = m⋅ 2 T T T En la gráfica adjunta se puede leer el periodo T = 0,4 s k = 0,5 ⋅ b.
4π 2 0,4 2
= 123,37 N m
La energía potencial viene dada por la expresión: 1 Ep = k ⋅ x2 2 La posición de la partícula esta expresada por la ecuación: x (t ) = A sen (ω t + φ o ) 2π 2π Donde: ω = = = 5π rad s T 0,4 De la gráfica adjunta: A = 0,05 m El desfase inicial, se obtiene teniendo en cuenta que x(t = 0) = A
x (0) = A sen (ω ⋅ 0 + φ o ) = A
sen φ o = 1
φo =
π La posición de la partícula viene dada por: x (t ) = 0,05 sen 5π t + 2
14
π rad 2
π 7π 2 x (0,25) = 0,05 sen 5π 0,25 + = 0,05 sen = −0,05 ≈ −0,035 m 2 2 2 1 1 E p = k ⋅ x 2 = ⋅ 123,37 ⋅ (− 0,035)2 = 0,077 J 2 2 La energía cinética se calcula teniendo en cuenta que la suma de energía cinética y potencial es la energía mecánica, que se puede calcular como energía potencial máxima. 1 E mecánica = E potencial + E cinética E mecánica = E potencial (máxima ) = k ⋅ A 2 2 1 2 E cinética = E mecánica − E potencial = k ⋅ A − E potencial 2 1 2 E cinética = 123,37 ⋅ 0,05 − 0,077 = 0,077 J 2
Junio 2010 F.M. Cuestión 1B.- Una partícula realiza un movimiento armónico simple. Si la frecuencia de oscilación se reduce a la mitad manteniendo constante la amplitud de oscilación, explique qué ocurre con: a) el periodo; b) la velocidad máxima; c) la aceleración máxima y d) la energía mecánica de la partícula. Solución. f f= o 2 a. Periodo. El periodo es inverso a la frecuencia 1 1 1 T= = =2 = 2To f f fo o 2 El periodo se duplica. b. Velocidad máxima. Para un movimiento armónico simple, la velocidad es la derivada de la posición respecto del tiempo. dy(t ) d v= = (Asen (ω t + ϕ o )) = Aω cos (ω t + ϕ o ) dt dt La velocidad será máxima cuando la componente trigonométrica sea 1 v máx = Aω La velocidad angular se puede expresar en función de la frecuencia ( ω =2πf). v máx = A 2πf = 2πAf
f 2πAf o v máx o v máx = 2πAf = 2πA o = = 2 2 2 La velocidad máxima se reduce a la mitad. c. Aceleración máxima. Siguiendo un procedimiento análogo al apartado anterior de calcula la aceleración máxima. dv(t ) d a= = (Aω cos (ω t + ϕ o )) = −Aω 2 sen (ω t + ϕ o ) dt dt a = a máx ⇔ sen (ω t + ϕ o ) = 1
a máx = −Aω 2 Sustituyendo ω por 2πf:
f a máx = −A(2πf )2 = −4π 2 Af 2 = −4π 2 A o 2 La aceleración máxima se reduce la cuarta parte. d.
Energía mecánica. E m =
2 − 4π 2 Af o2 a máx o = = 4 4
1 k ⋅ A 2 La dinámica permite expresar k en función de ω y m (k = ω2m). 2
15
1 2 1 ω m ⋅ A 2 = {ω = 2πf } = (2πf )2 m ⋅ A 2 = 2π 2 f 2 mA 2 2 2 2 2π 2 f o2 mA 2 E mo f = E m = 2π 2 f 2 mA 2 = 2π 2 o mA 2 = 4 4 2 La energía mecánica se reduce la cuarta parte. Em =
Junio 2010 F.G. Problema 1A.- Un sistema masa-muelle está formado por un bloque de 0,75 kg de masa, que se apoya sobre una superficie horizontal sin rozamiento, unido a un muelle de constante recuperadora K. Si el bloque se separa 20 cm de la posición de equilibrio, y se le deja libre desde el reposo, éste empieza a oscilar de tal modo que se producen 10 oscilaciones en 60 s. Determine: a) La constante recuperadora K del muelle. b) La expresión matemática que representa el movimiento del bloque en función del tiempo. c) La velocidad y la posición del bloque a los 30 s de empezar a oscilar. d) Los valores máximos de la energía potencial y de la energía cinética alcanzados en este sistema oscilante. Solución. m = 0,75 Kg Movimiento armónico simple. A = 20 × 10 − 2 cm f = 10 = 1 s −1 60 6 a. Según la ley de Hooke F = −Kx, siendo K la constante recuperadora y x la elongación del muelle. Teniendo en cuenta el 2º principio de la dinámica F = m a, e igualando: −K x = m a Si se aplica la igualdad al punto de elongación máxima: − K x máx = m a máx Si la masa unida al muelle inicia un movimiento armónico simple, la posición, velocidad y aceleración vienen dados por: • Posición o elongación: x = A sen (ω t + ϕ) ; x máx = A dx = A ω cos(ω t + ϕ) ; v máx = A ω dt dv • Aceleración: a = = −A ω 2 sen (ω t + ϕ) ; a máx = −A ω 2 dt Si en la igualdad se sustituyen los valores de x máx y a máx por las expresiones obtenidas del movimiento armónico simple: •
Velocidad: v =
(
− K ⋅ A = m ⋅ − A ω2 Simplificando: K = m ω
)
2
La velocidad angular se puede expresar en función de la frecuencia. ω =
2π = 2π f T
2
1 K = m (2π f )2 = 4π 2 m f 2 = 4π 2 0,75 Kg ⋅ s −1 = 0,82 N m 6 2π 2π π rad = 2π f = = s T 6 3 Para determinar la fase inicial se tiene en cuenta que para t = 0 la elongación es máxima, y por tanto la parte trigonométrica de la expresión debe ser uno. π Para t = 0: x = x máx = A ⇔ sen (ω 0 + ϕ) = 1 : sen ϕ = 1 : ϕ = rad 2 π π x (t ) = 0,2 sen t + 3 2
b.
x (t ) = A sen (ω t + ϕ) : ω =
16
c.
v(t ) =
dx π π π 2π π 2π π cos10π + = cos = 0 = A ω cos(ω t + ϕ ) = 0,2 ⋅ cos ⋅ 30 + = dt 3 2 30 2 30 2 3
π π π π x = A sen (ω t + ϕ) = 0,2 sen 30 + = 0,2 sen 10π + = 0,2 sen = 0,2 ⋅1 = 0,2 m 3 2 2 2 d.
E c (máx ) = E p (máx ) = E m (máx ) =
1 1 K A 2 = ⋅ 0,82 ⋅ 0,2 2 = 0,016 J 2 2
Modelo 2010 Cuestión 1A.- Un sistema elástico, constituido por un cuerpo de masa 200 g unido a un muelle, realiza un movimiento armónico simple con un periodo de 0,25 s. Si la energía total del sistema es 8 J: a) ¿Cuál es la constante elástica del muelle? b) ¿Cuál es la amplitud del movimiento? Solución. Si se aplica la Ley de Hooke (F = − k ⋅ x ) al punto de máxima elongación (x = A): a)
F = −k ⋅ A En el punto de máxima elongación, la aceleración del sistema es máxima, si se aplica la 2ª ley de la dinámica: F = m ⋅ a máx Igualando ambas expresiones: − k ⋅ A = m ⋅ a máx La aceleración se puede obtener a partir de la ecuación del movimiento armónico simple: y(t ) = A sen (ω t + φ o ) d y(t ) d v(t ) = = (A sen (ω t + φ o )) = Aω cos(ω t + φ o ) dt dt d v(t ) d a (t ) = = (Aω cos(ω t + φ o )) = −Aω 2sen (ω t + φ o ) dt dt La aceleración será máxima cuando la seno valga 1, quedando: a máx = −Aω 2 Sustituyendo en la expresión − k ⋅ A = m ⋅ a máx y simplificando se obtiene una relación entre la constante de elasticidad y la velocidad angular, la cual se puede expresar en función del periodo ó la frecuencia 2
− k ⋅ A = −Aω 2 m : k = ω 2 m : ω = 2
2π 2π : k = m T T
2π k = ⋅ 200 × 10 −3 = 12,8π 2 N m 0,25
( )
b) En el punto de máxima elongación la energía total del sistema será igual a la energía potencial elástica ya que en punto la velocidad es nula. 1 Ep = k ⋅ x2 2 La energía potencial es máxima en el punto de máxima elongación (x = A) y velocidad nula.
E p (máx ) = E T =
1 1 8⋅2 k ⋅ A 2 : 8 = 12,8π 2 ⋅ A 2 : A = = 0,356 m 2 2 12,8π 2
Septiembre 2009. Cuestión 2.- Una partícula realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud y tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad es nula y la elongación positiva, determine: a) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s. Solución. a. La posición de un cuerpo que describe un M.A.S. viene dada por una ecuación de tipo senoidal:
17
A = 10 cm = 0,1 m 2π 2π y(t ) = A ⋅ sen (ω·t + φ ) : : y(t ) = 0,1 ⋅ sen (π·t + φ ) T = 2s:ω = = = π rad s T 2 Para calcular el desfase (ϕ) se tiene en cuenta que para t = 0, la velocidad es nula. d y(t ) d v(t ) = = [0,1 ⋅ sen (π·t + φ )] = 0,1π ⋅ cos(π·t + φ ) dt dt π v(t = 0) = 0,1π ⋅ cos(π·0 + φ ) = 0 : 0,1π cos φ = 0 : cos φ = 0 : φ = ± 2 Teniendo en cuenta que para t = 0, la elongación (y) es positiva: π φ=+ 2 La expresión matemática que expresa la elongación del movimiento es: π y(t ) = 0,1 ⋅ sen π·t + 2
b.
v(t ) =
π π d y(t ) d = 0,1 ⋅ sen π·t + = 0,1π ⋅ cos π·t + dt dt 2 2 π 3π v(t = 0,25) = 0,1π ⋅ cos π·0,25 + = 0,1π ⋅ cos = −0,22 m s 4 2
d v(t ) d π π = 0,1π ⋅ cos π·t + = −0,1π 2 ⋅ sen π·t + dt dt 2 2 π 3π a (t = 0,25) = −0,1π 2 ⋅ sen π·0,25 + = −0,1π 2 ⋅ sen = −0,7 m 2 2 4 s a (t ) =
Junio 2009. Problema 1A.- Una partícula de 0,1 kg de masa se mueve en el eje X describiendo un movimiento armónico simple. La partícula tiene velocidad cero en los puntos de coordenadas x = −10 cm y x = 10 cm y en el instante t = 0 se encuentra en el punto de x = 10 cm. Si el periodo de las oscilaciones es de 1,5 s, determine: a) La fuerza que actúa sobre la partícula en el instante inicial. b) La energía mecánica de la partícula. c) La velocidad máxima de la partícula. d) La expresión matemática de la posición de la partícula en función del tiempo. Solución. Las magnitudes posición, velocidad y aceleración de un movimiento armónico simple que describe una partícula sobre el eje OX vienen dadas por las expresiones: x = A cos(ω t + ϕo ) dx d (A cos(ω t + ϕo )) = −Aω sen (ω t + ϕo ) v= = dt dx dv d (− Aω sen (ω t + ϕo )) = −Aω2 cos(ω t + ϕo ) = −ω2 x a= = dt dx Donde A es la amplitud, ω la velocidad angular y ϕ0 la fase inicial. Para calcular la amplitud se tiene en cuenta que en los puntos donde la velocidad es nula, la elongación es máxima y coincide con el valor de amplitud. v = 0 : x = x max = A = 0,1 m La velocidad angular se obtiene a partir de periodo (T = 1,5 s) 2π 2π 4 rad ω= = = π s T 1,5 3 La fase inicial se calcula teniendo en cuenta que para t = 0 x = 0,1m, sustituyendo en la ecuación general:
18
t=0 x = A cos(ω t + ϕo ) : A = 0,1 m : 0,1 = 0,1 cos(ω ⋅ 0 + ϕo ) : cos ϕo = 1 ; ϕo = 0 rad x = 0,1 m Conocidos todos los parámetros del movimiento, sus ecuaciones son: 4 x = 0,1 cos π t 3 4 2 4 4 v = −Aω sen (ω t + ϕo ) = −0,1 ⋅ π sen π t = − π sen π t 3 15 3 3
a = −Aω2 cos(ω t + ϕo ) = −
a.
F = m ⋅ a Para t = 0: a = −
2 4 8 4 4 π ⋅ π sen π t = − π 2 cos π t 15 3 3 45 3
8 2 4 8 π cos π ⋅ 0 = − π 2 m 2 45 45 s 3
8 2m F = m ⋅ a = 0,1 kg ⋅ − π = −0,175 N s2 45 El signo negativo corresponde al sentido de la fuerza
b. En un movimiento armónico simple, hay una transformación continua entre la energía cinética y potencial, pero, en cualquier instante, la suma es constante y es igual a la energía mecánica total. Al valor máximo de energía cinética le corresponde un valor mínimo de energía potencial (nula) y viceversa. 1 1 1 1 E m = E c + E p = mv 2 + k x 2 = mv 2máx = kA 2 2 2 2 2 Con los datos de enunciado, se calcula la energía mecánica como la energía potencial máxima. 1 E m = kA 2 2 El valor de k se puede obtener si se tiene en cuenta: F = m⋅a : m ⋅ a = −k ⋅ x F = − k ⋅ x
a = − ω2 x : − m ⋅ ω2 x = − k ⋅ x : k = m ⋅ ω2 Sustituyendo en la energía mecánica: 2
Em =
c.
v=
1 1 4 m ⋅ ω2 A 2 = 0,1 ⋅ π ⋅ 0,12 = 8,8 × 10 − 3 J 2 2 3
dx d (A cos(ω t + ϕo )) = −Aω sen (ω t + ϕo ) = dt dx v = −Aω sen (ω t + ϕo ) 4 v máx ⇔ sen (ω t + ϕo ) = 1 ; v máx = −Aω = −0,1 ⋅ π = −0,42 m s 3
d.
4 x = A cos(ω t + ϕo ) : x = 0,1 cos π t 3
19
Modelo 2009. Problema 1A.- En la figura se muestra la representación gráfica de la energía potencial (Ep) de un oscilador armónico simple constituido por una masa puntual de valor 200 g unida a un muelle horizontal, en función de su elongación (x). a) Calcule la constante elástica del muelle b) Calcule la aceleración máxima del oscilador c) Determine numéricamente la energía cinética cuando la masa está en la posición x = +2,3 cm. d) ¿Dónde se encuentra la masa puntual cuando el módulo de su velocidad es igual a la cuarta parte de su velocidad máxima? Solución. a. En un movimiento armónico simple, la energía potencial 1 elástica viene dada por la expresión E p = k x 2 2 Particularizando para x = 5 cm y tomando los valores del gráfico se calcula la constante elástica del muelle. 2 1 0,1 = k 5 × 10 − 2 : k = 80 N m 2
(
b.
)
Para un movimiento armónico simple, la aceleración viene dada por la expresión:
a=
d2x dt
2
= −Aω 2 sen (ωt + ϕ o )
Al ser el seno una función que oscila entre –1 y 1; la aceleración máxima vale Aω 2 . Para un muelle, la velocidad angular se puede expresar en función de la constante de elasticidad y de la masa unida al muelle por la expresión:
K K ⇒ ω2 = m m
ω=
Sustituyendo en la expresión de la aceleración máxima: 80 N K m a max = Aω 2 = A = 5 × 10 −2 m = 20 m 2 m s 200 ×10 −3 kg
c.
Por el principio de conservación de la energía, se cumple: E m (x = 2,3 cm ) = E m (x = 5 cm ) = E m (Total ) = 0,1 J
(
)
(
) (
E m x = 2,3 × 10 −2 m = E p x = 2,3 × 10 −2 m + E c x = 2,3 × 10 −2 m
)
1 Teniendo en cuenta la expresión de la energía potencial elástica E p = k x 2 y el valor de la 2 constante de elasticidad del muelle calculada en el apartado a: 2 1 N 0,1 J = 80 ⋅ 2,3 ×10 − 2 m + E c : E c x = 2,3 ×10 −2 m = 0,08 J 2 m
(
)
(
)
d. Se aplica de nuevo el principio de conservación de la energía, pero en este caso para obtener la energía potencial conocida la energía cinética. Conocida la energía potencial se calcula la elongación (posición). La energía cinética se puede calcular de dos formas diferentes: Por comparación de energías cinéticas y teniendo en cuenta que la energía cinética es máxima cuando la potencial elástica es nula y por tanto coincide con la energía mecánica total.
20
1 1 m ⋅ v 2max m ⋅ v 2max ( ) v E máx E (max ) E m (T ) max c 2 2 = = 16 ⇒ E c (x ) = c = : : vx = 2 1 2 ( ) 4 E x 16 16 c v 1 E c (x ) = m ⋅ v x max ⋅ m 2 4 2
E c (máx ) =
E c (x ) =
E m (T ) 0,1 J = = 0,006 J 16 16
Con la definición de energía cinética y calculando la velocidad máxima.
v=
dx = Aω cos(ω t + ϕ o ) : v max = Aω = ω = dt
80 N K K m = 1m = 5 × 10 −2 =A s m m 0,2 kg
Conocida la velocidad máxima, se calcula la energía cinética cuando la elongación es x mediante la relación propuesta por el enunciado: 2 v 1 1 1 v x = max = = 0,25 m ⇒ E c (x ) = mv 2x = 0,2 kg ⋅ 0,25 m = 0,006 J s s 4 4 2 2
(
)
Conocida la energía cinética en el punto de elongación x, se calcula la energía potencial elástica teniendo en cuenta que la energía mecánica total es constante. E m (T ) = E p (x ) + E c (x ) : E p (x ) = E m (T ) − E c (x ) = 0,1 − 0,006 = 0,094 J Conocida la energía potencial elástica se calcula la posición. 1 E p (x ) = k x 2 2 1 N 0,094 ⋅ 2 0,094 J = ⋅ 80 ⋅ x 2 ⇒ x = = 0,048 m = 4,8 cm 2 m 80
Septiembre 2008. Cuestión 2. Una partícula que realiza un movimiento armónico simple de 10 cm de amplitud tarda 2 s en efectuar una oscilación completa. Si en el instante t = 0 su velocidad era nula y la elongación positiva, determine: a) La expresión matemática que representa la elongación en función del tiempo. b) La velocidad y la aceleración de oscilación en el instante t = 0,25 s. Solución. a. La elongación x, velocidad v y aceleración a, vienen dadas por las ecuaciones: dx x = A ⋅ sen (ω t + ϕ) : v = = Aω ⋅ cos(ω t + ϕ) : a = −Aω 2 ⋅ sen (ω t + ϕ) dt Conocido el periodo (T = 2 s), se calcula la pulsación o velocidad angular: 2π 2 π ω= = = π rad s T 2 El desfase (ϕ) se puede calcular con el dato de la velocidad a t = 0. π ϕ= 2 Si cuando t = 0 la velocidad es nula: v = Aω ⋅ cos(ω ⋅ 0 + ϕ) = 0 ⇔ cos ϕ = 0 : π ϕ = − 2 •
Para ϕ = −
•
Para ϕ =
π π en t = 0: x = A ⋅ sen ω ⋅ 0 − = − A < 0 2 2
π π en t = 0: x = A ⋅ sen ω ⋅ 0 + = A > 0 2 2
Teniendo en cuenta que para t = 0, la elongación (x) es positiva, el desfase deberá ser ϕ = π
π la elongación viene expresada por : x = 0,1 ⋅ sen π t + 2
21
2
,
π v = 0,1 π ⋅ cos π t + 2 Las expresiones para la velocidad y la aceleración de la partícula son: 2 a = −0,1 π ⋅ sen π t + π 2
b.
t = 0,25 s:
π 3π - v = 0,1 π ⋅ cos π 0,25 + = 0,1 π ⋅ cos = −0,22 m s 2 4 π 3π - a = −0,12 π ⋅ sen π 0,25 + = −0,1 π 2 ⋅ sen = −0,698 m
2
4
s2
Junio 2008. Cuestión 1. Un cuerpo de masa m está suspendido de un muelle de constante elástica k. Se tira verticalmente del cuerpo desplazando éste una distancia X respecto de su posición de equilibrio, y se le deja oscilar libremente. Si en las mismas condiciones del caso anterior el desplazamiento hubiese sido 2X, deduzca la relación que existe, en ambos casos, entre: a) las velocidades máximas del cuerpo; b) las energías mecánicas del sistema oscilante. Solución. Se trata de un movimiento armónico simple vertical, las ecuaciones que lo rigen son: F = −K · x x = A ⋅ cos(ω t + ϕ) dy = x ′ = −A ω ⋅ sen (ω t + ϕ) ; v máx = −A ω dt E(mec) = E(c) + E(p), cuando la energía potencial es máxima, la energía cinética es nula 1 E Mec = K ⋅ A 2 2 v=
Aplicando el 2º principio de la dinámica a la ley de Hook m a = −K x Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x = A ⋅ cos(ω t + ϕ) 2 m x ′′ = −K x : : − m Aω cos(ω t + ϕ) = −K A ⋅ cos(ω t + ϕ) 2 ′ ′ ( ) x = − A ω cos ω t + ϕ
ω=
K ; No depende de la amplitud m
Si se aplica a cada caso teniendo en cuenta que lo único que varía es la amplitud y que no hay desfase:
a.
La relación entre las velocidades máximas es la misma que la de las amplitudes v(max )1 −xω 1 = = ⇒ v(max )2 = 2v(max )1 v(max )2 − 2x ω 2
b.
La relación entre las energías mecánicas es el cuadrado que la de las amplitudes 1 K⋅x2 E(mec )1 1 2 = = ⇒ E(mec )2 = 4E(mec )1 E(mec )2 1 4 K ⋅ (2x )2 2
22
Junio 2007. Cuestión 2.- Un objeto de 2,5 kg está unido a un muelle horizontal y realiza un movimiento armónico simple sobre una superficie horizontal sin rozamiento con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 3,3 Hz. Determine: a) El periodo del movimiento y la constante elástica del muelle. b) La velocidad máxima y la aceleración máxima del objeto. Solución a) Para resolver esta cuestión necesitamos recordar ciertas fórmulas del movimiento armónico y de los muelles: 1 2π T= ω= = 2π ⋅ ν ν T k F ω2 = a= m m De donde fácilmente resulta: 1 1 T= = = 0,3 s ν 3,3 ω = 2π ⋅ f = 2π ⋅ 3.3 = 20,7 rad s
k = m ⋅ ω 2 = 2,5 ⋅ 20,7 2 = 1074,8 N ⋅ m −1 b) Para conocer la aceleración máxima calcularemos la fuerza máxima, que se produce en el extremo, y dividiremos por la masa, despreciando la masa del muelle: F k ⋅ A 1074,8 ⋅ 0,05 a máx = máx = = = 21,5 m s 2 m m 2,5 Para calcular la velocidad máxima utilizaremos el principio de conservación de la energía, ya que la energía potencial en el extremo será igual a la cinética máxima, que se tiene cuando la masa pasa por el punto de equilibrio. E cinética (máx ) = E potencial (máx )
1 1 k k ⋅ A 2 = m ⋅ v 2máx ; v máx = A ⋅ 2 2 m 1074,8 v máx = 0,05 ⋅ = 1,04 m s 2,5
Septiembre 2006. Cuestión 2.- Una partícula que describe un movimiento armónico simple recorre una distancia de 16 cm en cada ciclo de su movimiento y su aceleración máxima es de 48 mls2. Calcule: a) la frecuencia y el periodo del movimiento; b) la velocidad máxima de la partícula. Solución. Un ciclo supone recorrer 4 veces la amplitud (A).
4A = 16cm
A = 4cm
a max = 48 m
s2 a) Frecuencia (ν) y período (T). A partir de la ecuación del movimiento armónico simple y derivando sucesivamente se obtienen las expresiones de la velocidad y aceleración de movimiento. x = A ⋅ sen (ω t + ϕ ) dx = v = Aω ⋅ cos(ω t + ϕ) dt dv = a = −Aω 2 ⋅ sen (ω t + ϕ) dt El valor absoluto de la aceleración máxima será: a máx = ω 2 A Conocida la aceleración máxima y la amplitud se calcula la velocidad angular (ω).
23
m a máx 48 s 2 = = 1200 ⇒ ω = 34´6 rad s A 0´04 m Conocida la velocidad angular se calcula el período y la frecuencia en el orden que uno quiera mediante las tres ecuaciones que la relacionan. 2π 1 ω= ω = 2π ⋅ ν ν= T T 2π 2π rad • Período. T = = = 0 ′18 s ω 34'6 rad s rad ′ 3 4 6 ω s = 5′5 Hz s −1 • Frecuencia. ν = = 2π 2π rad ω2 =
( )
b) Velocidad máxima de la partícula. Se puede resolver de dos formas. Según la expresión de la velocidad de un movimiento armónico simple (v = Aω ⋅ cos(ω t + ϕ)) , alcanzará su valor máximo cuando la componente trigonométrica valga 1, y en ese caso la velocidad máxima será: v máx = Aω = 0 ′04 ⋅ 34 ′6 = 1'38 m s A la misma expresión se puede llegar teniendo en cuenta que la velocidad máxima de la partícula se produce en el origen x = 0 , donde la energía mecánica es toda cinética: 1 1 kA 2 = mv 2max mω 2 A 2 = m v 2max v máx = Aω 2 2
Junio 2006. Problema 2B.- Una masa puntual de valor 150 g unida a un muelle horizontal de constante elástica k = 65 N m−1 constituye un oscilador armónico simple. Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, determine: a) La expresión de la velocidad de oscilación de la masa en función de la elongación. b) La energía potencial elástica del sistema cuando la velocidad de oscilación es nula. c) La energía cinética del sistema cuando la velocidad de oscilación es máxima. d) La energía cinética y la energía potencial elástica del sistema cuando el módulo de la aceleración de la masa es igual a 13 m s−2. Solución. m = 150gr k = 65 N m A = 5cm
a) En un momento cualquiera del movimiento en que la elongación es x y la velocidad v, la energía del sistema es: 1 1 E = E p + E c = kx 2 + mv 2 2 2 Cuando la elongación es máxima y la velocidad es cero la energía será: 1 E = kA 2 2 Como la energía se conserva:
1 1 1 kA 2 = kx 2 + mv 2 ⇒ v = 2 2 2
(
k A2 − X2 m
)
Dando valores:
v = 20,8 25 − x 2 (cm ) cm
s
b)
La energía potencial elástica cuando la velocidad es nula es simplemente: 1 E p = KA 2 = 0,081 J 2
c)
Cuando la velocidad es máxima la elongación es nula y la energía cinética coincida con la
24
energía total
E c = 0,081 J d) Las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración son respectivamente: x (t ) = Asen (ωt + φ o )
dx (t ) = Aω cos(ωt + φ o ) dt dv(t ) a (t ) = = −Aω 2 sen (ωt + φ o ) dt v(t ) =
donde ω =
k = 20,8 rad s -1 m
Si llamamos t1 al instante en que a = 13ms −2
a (t 1 ) = 13 m s −2 = −21,7sen(ωt 1 + φ o ) Operando se despeja sen(ωt1 + φo) y mediante le ecuación fundamental de la trigonometría (sen2α + cos2α = 1) se despeja el cos(ωt1 + φo). 13 sen (ωt 1 + φ o ) = = −0'6 − 21'7 cos(ωt 1 + φ 0 ) = 1 − sen 2 (ωt 1 + φ 0 ) = 1 − (− 0'6)2 = 0,8 Conocidas las razones trigonométricas se calcula la posición y la velocidad para t1, y a partir de estas las energías potencial y cinética. x (t ) = Asen (ωt + φ o ) −2 −2 : x (t 1 ) = 5 × 10 m ⋅ (− 0,6) = −3 × 10 m sen (ωt 1 + φ o ) = −0'6
v(t ) = Aω cos(ωt + φ o ) −2 : v(t 1 ) = 5 × 10 ⋅ 20'8 ⋅ 0'8 = 0'832 m s cos(ωt 1 + φ o ) = 0'8 • •
(
)
2 1 2 1 kx = ⋅ 65 ⋅ − 3 × 10 − 2 = 0'029 J 2 2 1 1 2 Energía cinética es E c = mv = ⋅ 0'150 ⋅ 0'832 2 = 0'052 J 2 2
Energía potencial Ep =
Modelo 2006. Problema 1B. a) Determine la constante elástica k de un muelle, sabiendo que si se le aplica una fuerza de 0,75 N éste se alarga 2,5 cm respecto a su posición de equilibrio. Uniendo al muelle anterior un cuerpo de masa 1,5 kg se constituye un sistema elástico que se deja oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sabiendo que en t = 0 el cuerpo se encuentra en, la posición de máximo desplazamiento, x = 30 cm, respecto a su posición de equilibrio, determine: b) La expresión matemática del desplazamiento del cuerpo en función del tiempo. c) La velocidad y la aceleración máximas del cuerpo. d) Las energías cinética y potencial cuando el cuerpo se encuentra a 15 cm de la posición de equilibrio. Solución. a.
El punto de equilibrio es donde se igualan las fuerzas. La fuerza elástica será entonces Fe = k ⋅ x o
k x ⋅ 0'025m = 0'75N ⇒ k x = 30 N
25
m
Uniendo al muelle anterior un cuerpo de masa 1,5 kg se constituye un sistema elástico que se deja oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Sabiendo que en t = 0 el cuerpo se encuentra en, la posición de máximo desplazamiento, x = 30 cm, respecto a su posición de equilibrio, determine:
b.
De la masa del objeto y la constante elástica deducimos la frecuencia de oscilación del sistema
k 30 = = 20 s −1 = 4'47 s −1 m 1'5 la amplitud del movimiento es el máximo desplazamiento ⇒ A = 30cm ω=
(
x (t ) = A ⋅ sen (ωt + φ ) ⇒ x (t ) = 30 cm ⋅ sen 4'47 s −1 t + φ
)
Para calcular el desfase (φ) se tiene en cuenta que en t = 0 : x (0) = 30 cm
30 cm = 30 cm ⋅ sen φ ⇒ sen φ = 1 ⇒ φ =
π 2
sustituyendo en la ecuación:
π x (t ) = 30 cm ⋅ sen 4'47 s −1 t + 2 c.
Por definición, la velocidad es la derivada de la posición con respecto de x. d x (t ) v(t ) = dt d v(t ) = [A ⋅ sen (ω t + φ )] = A ⋅ ω cos(ω t + φ ) dt La velocidad máxima se obtiene cuando la expresión trigonométrica vale 1 v(t ) = A ⋅ ω cos(ω t + φ ) : v máx = A ⋅ ω v máx ⇔ cos(ω t + φ ) = 1
Sustituyendo valores
v max = 30 cm ⋅ 4'47 s −1 = 134'1 cm = 1'341 m s s La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo d d a (t ) = v(t ) = [Aω ⋅ cos(ω t + φ )] = −Aω 2 sen (ω t + φ) dt dt Al igual que en el caso de la velocidad, la aceleración máxima se obtiene cuando la expresión trigonométrica vale 1.
a max = Aω 2 = 30 cm ⋅
( 20 s )
−1 2
= 600 cm
s2
= 6m
s2
d.
Cuando la masa está en el extremo toda la energía es potencial, 1 1 1 E = E pot = k ⋅ x 2 = k ⋅ A 2 = 30 ⋅ 0'3 2 = 1'35 J 2 2 2 y coincide con la energía total el sistema.
E pot
Cuando x = 15 cm, la energía potencial es: 1 1 = k ⋅ x 2 = 30 ⋅ 0'15 2 = 0,3375 J ⇒ E pot = 0,3375 J 2 2
La energía cinética se calcula como diferencia entre la energía total del sistema y la energía
26
potencial en este punto. E = E cin + E pot ⇒ E cin = E − E pot = 1,35 − 0,3375 = 1,1625 J
E cin = 1,1625 J
Septiembre 2005. Cuestión 1. Se tienen dos muelles de constantes elásticas k1 y k2 en cuyos extremos se disponen dos masas m1 y m2 respectivamente, y tal que m1 k 2 b.
La frecuencia de oscilación de un muelle es:
ω=
k m
y la relación de esta con el periodo es:
2π T igualando ambas expresiones se puede despejar el periodo en función de la masa y de la constante elástica. k ω= m : k = 2π → T = 2π ⋅ m 2π m k T ω= T Aplicando la expresión anterior a ambos muelles y comparando: m1 m1 2π ⋅ T1 = 2π ⋅ k1 k1 T1 T m1 k 2 = → 1 = ⋅ : T2 m 2 k1 m 2 T2 m2 T2 = 2π ⋅ 2π ⋅ k 2 k2 Teniendo en cuenta la relación de masas del enunciado y la relación del constantes del apartado anterior: m m1 < m 2 ⇒ 1 < 1 T m1 k 2 m2 ⋅ 0 x = A sen 5,3 < 0 φ o = 2,1 rad : ; φ o = 5,3 rad : v = A ω cos 2 , 1 < 0 v = Aω cos 5,30 El desfase inicial es φ o = 2,1 rad Conocido el desfase inicial se calcula la amplitud.
A sen φ o = 4 × 10 −2 ; A = b.
4 × 10 −2 4 × 10−2 = = 0,046 m sen φ o sen 2,1
La constante elástica del muelle se saca combinando la 2ª ley de Newton y la ley de Hooke.
F = ma = − mω 2 x 2 2 −1 : K = m ω = 0,2 ⋅ 8 = 12,8 N m F = −Kx Em =
1 1 K ⋅ A 2 = ⋅ 12,8 ⋅ 0,046 2 = 0,0135 J 2 2
Septiembre 2001. Cuestión 2.- Una partícula efectúa un movimiento armónico simple cuyo período es igual a 1 s. Sabiendo que en el instante t = 0 su elongación es 0’70 cm y su velocidad 4,39 cm/s, calcule: a. La amplitud y la fase inicial b. La máxima aceleración de la partícula. Solución. 2π 2π a. T = 1s ⇒ ω = = = 2 π rad s −1 T 1 La posición de una partícula que realiza un movimiento armónico simple viene descrita por la expresión: x (t ) = A sen (ω t + φ o ) ⇒ x (0) = A sen (ω ⋅ 0 + φ o ) = A sen φ o La velocidad de un M.A.S es la derivada de la posición respecto del tiempo: d x (t ) d v(t ) = = A = [sen (ω t + φ o )] = Aω cos(ω t + φ o ) ⇒ v(0) = Aω cos(ω ⋅ 0 + φ o ) = Aω cos φ o dt dt Dividiendo la posición y la velocidad, se despeja el desfase inicial. x (0) A sen φ o 1 ω ⋅ x (0) 2π ⋅ 0,70 × 10 −2 π = = tg φ o ⇒ φ o = arctg = arctg ≈ arctg 1 = rad − 2 v(0 ) Aω cos φ o ω v(0 ) 4 4,39 × 10 Conocido el desfase inicial se calcula la amplitud.
x (0) = A sen φ o ⇒ A =
b.
x (0) 0,70 × 10 −2 = = 9,9 × 10 − 3 m π sen φ o sen 4
d v(t ) d = [Aω cos (ω t + φ o )] = −Aω 2sen (ω t + φ o ) dt dt El valor máximo de la aceleración será cuando la parte trigonométrica de la expresión valga ±1. a (t ) =
a máx = Aω 2 = 9,9 × 10 −3 ⋅ (2 π )2 ) = 0,39 m s −2
Junio 2001. Cuestión 2. Un muelle cuya constante de elasticidad es k está unido a una masa puntual de valor m. Separando la masa de la posición de equilibrio el sistema comienza a oscilar. Determine: a) El valor del período de las oscilaciones T y su frecuencia angular ω. b) Las expresiones de las energías cinética, potencial y total en función de la amplitud y de la elongación del movimiento del sistema oscilante. Solución.
33
a.
La masa oscila realizando un M. A. S. De ecuación: x (t ) = A cos(ωt + φ o ) La frecuencia del movimiento viene dada por:
ω=
k m
ω=
2π T
La relación entre ω y T es:
por tanto:
T=
b.
2π ω
2π
T=
T=
k m
La Energía cinética viene expresada por E c =
m ·2 π seg k
1 mv 2 2
Si la posición de la masa viene expresada por x (t ) = A cos(ωt + φ o ) derivando se obtiene la expresión de la velocidad de la partícula d x (t ) v(t ) = −Aωsen (ωt + φ o ) dx con estas expresiones se plantea el sistema:
- 1 - v(t ) = −Aωsen (ωt + φ o ) - 2 - x (t ) = A cos(ωt + φ o ) Si operamos con las ecuaciones (1) y (2) de la posición y la velocidad: v2 = A 2sen 2 (ωt + φ o ) 2 ω 2 2 2 x = A cos (ωt + φ o ) sumando estas ecuaciones y sacando factor común en el segundo miembro de A2 v2 ω
v2 ω2
+ x2 = A2
2
(
= A2 − x2
v2 = ω2 A 2 − x 2
)
por tanto, la energía cinética es:
Ec =
(
1 mω 2 A 2 − x 2 2
)
La energía Potencial viene expresada por:
Ep =
1 2 kx 2
Energía total es la suma de ambas: E T = E c + E p
(
)
1 1 mω 2 A 2 − x 2 + mω 2 x 2 2 2 1 1 E T = mω 2 A 2 E T = kA 2 2 2 ET =
Septiembre 2000. Problema 1B.- Un oscilador armónico constituido por un muelle de masa despreciable, y una masa en el extremo de valor 40 g, tiene un periodo de oscilación de 2 s. a) ¿Cuál debe ser la masa de un segundo oscilador, construido con un muelle idéntico al primero, para que la frecuencia de oscilación se duplique? b) Si la amplitud de las oscilaciones en ambos osciladores es 10 cm, ¿cuánto vale, en cada caso, la máxima energía potencial del oscilador y la máxima velocidad alcanzada por su masa?
34
Solución. a.
1 1 = = 0'5 Hz y la velocidad angular T 2
Si el periodo es T = 2 s, la frecuencia es ν =
es ω = 2π · ν, sustituyendo, ω = π rad
s Con estos datos se puede hallar la constante del muelle:
(
k = m ⋅ ω 2 = 0'4 kg ⋅ π rad
s
)2 = 0'4π 2 N m
La masa del segundo oscilador m’ debe duplicar la frecuencia: 1 ν ' = 2ν ν ' = 2 ⋅ = 1Hz 2 al duplicar la frecuencia, también se duplica la velocidad angular ω = 2π rad s Si se despeja la masa en la ecuación de la constante(k es una característica del muelle, y por tanto constante)
k = m·ω 2 b. que:
m=
k
m=
ω2
0'4π 2
(2π)2
m = 0'1kg
Si la amplitud de los dos osciladores es la misma, su energía potencial máxima también lo es, ya
E p máx = E mec =
1 k·A 2 2
y su valor por tanto es:
E p máx =
1 0'4π2 ·(0'1)2 = 0'0197 J 2
La máxima velocidad alcanzada por la masa, dependerá del máximo valor alcanzado por la energía mecánica
puesto que la E cmáx
1 1 k ⋅ A 2 = E p máx = E mecmáx = E c máx = m ⋅ v2máx 2 2 , es igual a la energía mecánica máxima 0'0197 =
para el primer oscilador:
1 m ⋅ v 2máx 2
m = 40gr
v máx =
2E c máx m
=
2 ⋅ 0'0197 = 0'993 m s 0'040
=
2 ⋅ 0'0197 = 1'987 m s 0'010
para el segundo: m = 10gr
v máx =
2E c máx m'
En un columpio de 2 metros de longitud se cuelga una masa de 2 kg. Se desplaza hasta que la cuerda forma un ángulo de 10º con la vertical y se suelta para que empiece a oscilar. Calcular: a) Periodo de oscilación b) Velocidad y aceleración máxima c) Energía mecánica d) Ecuación del movimiento Solución. a. Se columpio se puede considerar un péndulo simple, y el movimiento que describe un movimiento armónico simple ya que sen θ ≈ θ(radianes ) .
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10º⋅π = 0,1745 180 En un péndulo simple que describe un m.a.s., se cumple: sen10º = 0,1736 ≈
2π
ω=
g ω= T 2π → = L T
T = 2π
g L
L 2 = 2π ≈ 2,84 s g 9,8
b.
La máxima velocidad del columpio se puede hacer de dos formas diferentes: Por energías: Teniendo en cuenta que la velocidad será máxima en el punto de equilibrio, la energía mecánica en ese punto será únicamente cinética. Igualando la energía potencial máxima con la energía cinética máxima se despeja la velocidad máxima. 1 E p (máx ) = E c (máx ) v máx = 2gh max mgh max = mv 2máx 2 La altura máxima se puede obtener por trigonometria.
v máx = 2g(L − L ⋅ cos θ ) = 2 ⋅ 9,8 ⋅ (2 − 2 ⋅ cos 10º ) = 0,77 m s x (t ) = A sen (ω t + φ o ) v(t ) = Aω cos (ωt + φ o ) v máx = Aω La amplitud se calcula por trigonometria (A = L ⋅ sen θ = 2 ⋅ sen 10º = 0,35 m ) 2π 2π v máx = Aω = A ⋅ = 0,35 ⋅ ≈ 0,77 m s T 2,84 Por m.a.s.
2
a = −Aω2sen (ω t + φ o ) c.
2π a máx = Aω 2 = 0,35 ⋅ ≈ 1,71m s 2 2 , 84
a máx = −Aω 2
E mecánica = E c + E p = E c (máx ) = E p (máx ) E mecánica = E c (máx ) =
1 1 mv 2máx = ⋅ 2 ⋅ 0,77 2 = 0,59 J 2 2
O también: E mecánica = E p (máx ) = mgh máx = mg ⋅ (l − l ⋅ cos 10º ) = 2 ⋅ 9,8 ⋅ (2 − 2 ⋅ cos 10º ) = 0,59 J
d.
Movimiento armónico simple:
2π 2π x (t ) = A ⋅ sen (ω t + φ o ) = A ⋅ sen t + φ o = 0,35 ⋅ sen t + φ o T 2,84 El desfase inicial se calcula teniendo en cuenta que el columpio se suelta desde la posición más elevada, y por tanto, x (0 ) = A π x (0 ) = A = A ⋅ sen (ω ⋅ 0 + φ o ) sen φ o = 1 φ o = rad 2 π x (t ) = 0,35 ⋅ sen 2,21 t + 2
36
