Movimiento Armónico Simple Ejercicio 1 Una partícula vibra con una frecuencia de 30Hz y una amplitud de 5,0 cm. Calcula la velocidad máxima y la aceleración máxima con que se mueve. En primer lugar atenderemos a la ecuación del movimiento armónico simple dada por:

x = Asen(ω t + ϕ ) dónde A representa la amplitud del movimiento, ω la frecuencia angular y ϕ la fase inicial. Atendiendo a los datos del enunciado tenemos los siguientes datos (los cuales es obligatorio transformarlos al sistema metro/kg/segundo): A = 5 cm = 0,05 m ω = 2π f = 2π ⋅ 30 = 60π rad / s Por tanto la onda queda expresada como:

x = 0, 05sen(60π t + ϕ ) En este caso la fase inicial no se haya especificada en el problema. Sin embargo para resolver el ejercicio es no es necesaria. Puesto que nos piden la velocidad máxima, en primer lugar será necesario encontrar la expresión de la velocidad del movimiento. Esta viene dada por la derivada con respecto al tiempo de la ecuación, es decir:

v=

dx d(0, 05sen(60π t + ϕ ) = = 0, 05 ⋅ 60π cos(60π + ϕ ) dt dt

Para encontrar la velocidad máxima se tiene en cuenta que los valores que puede tomar la función coseno se mueven entre [-1,1], por lo que la velocidad máxima se obtiene en el momento en que el coseno vale 1, es decir:

vmax = 0, 05 ⋅ 60π = 3π m / s Por otra parte, la aceleración de un movimiento armónico simple se calcula mediante la derivada con respecto al tiempo de la velocidad, es decir:

a=

dv d(3π cos(60π t + ϕ ) = = −60π ⋅ 3π sen(60π + ϕ ) dt dt

Y al igual que antes, al moverse el seno entre los valores [-1,1], la aceleración máxima ocurre cuando el seno toma como valor 1, es decir:

amax = −180π 2 m / s

2

Ejercicio 2 ¿Cómo se modifica la energía mecánica de un oscilador en los siguiente casos? a) Si se duplica la frecuencia. La expresión de la energía mecánica para un movimiento armónico simple viene dada por la siguiente expresión:

Em =

1 2 kA 2

Como se puede ver, la energía mecánica del oscilador depende de la amplitud y de la constante elástica / recuperadora k, la cual tiene la siguiente expresión:

k = ω 2m Por tanto, podemos reescribir la ecuación de la energía mecánica de la siguiente forma:

1 Em = ω 2 mA 2 2 Por tanto si se duplica la frecuencia, y teniendo en cuenta que la velocidad angular ω viene dada por:

ω = 2π f la velocidad angular se duplicará también, y por tanto la energía mecánica será cuatro veces más grande:

2ω = 2π (2 f ) → Em =

1 1 m(2ω )2 A 2 = m4ω 2 A 2 = 4Em 2 2

b) Si se duplica la masa. Al igual que antes, partimos de la expresión de la energía mecánica:

1 Em = ω 2 mA 2 2 Si la masa se duplica, la energía mecánica será el doble:

1 Em = ω 2 (2m)A 2 = 2Em 2 c) Si se duplica el periodo. La velocidad angular tal y como se dijo antes posee la siguiente expresión:

ω = 2π f =

2π T

Por tanto si se duplica el periodo, la velocidad angular se verá reducida a la mitad:

ω'=

2π ω = 2T 2

Y por tanto la expresión de la energía mecánica queda como:

Em' =

1 ω 2 2 1 1 2 2 1 m( ) A = m ω A = Em 2 2 2 4 4

Es decir, se ve reducida 4 veces menos. d) Si se duplica la amplitud. Finalmente si se duplica la amplitud, la expresión de la energía mecánica queda como:

Em' =

1 1 mω 2 (2A)2 = m4ω 2 A 2 = 4Em 2 2

Es decir, aumenta en cuatro veces más. Ejercicio 3 Una partícula vibra con una frecuencia de 5Hz. ¿Cuánto tiempo tardará en desplazarse desde un extremo hasta la posición de equilibrio? El periodo de un movimiento armónico simple representa el tiempo que tarda la partícula en realizar una oscilación completa, es decir:

Por tanto, el tiempo que tarda en desplazarse desde un extremo hasta la posición de equilibrio será la cuarta parte del periodo, puesto que la posición de equilibrio se alcanza en el corte de la función con el eje de las x. Así que, si la partícula vibra con una frecuencia de 5Hz, el movimiento que genera tiene un periodo de:

T=

1 1 = s f 5

Y por tanto, el tiempo que tardará en desplazarse desde un extremo (parte más alta de la onda) hasta la posición de equilibrio será:

T = 0, 05s 4 Ejercicio 4 Una masa de 0,50 kg cuelga de un resorte con constante de elasticidad k = 50N / m . Si la desplazamos 5,0 cm y la soltamos, calcula: a) La frecuencia. En primer lugar es necesario visualizar el siguiente dibujo:

Al estirar el objeto hasta abajo estamos generando un movimiento armónico simple que tendrá como amplitud los metros que hayamos estirado, en este caso 5 cm = 0,05 m. Así que:

A = 0, 05m Por otra parte, y puesto que conocemos el valor de la constante de elasticidad y la masa que cuelga del muelle, es posible obtener mediante la fórmula:

k = ω 2m La velocidad angular del movimiento, la cual vale:

k = m

ω=

50 = 10rad / s 0, 50

Y conocida la velocidad angular, la frecuencia se obtiene mediante:

f =

ω 10 = = 1, 6Hz 2π 2π

b) La velocidad que tiene cuando pasa por la posición de equilibrio. Para este apartado en primer lugar será necesario escribir la ecuación del movimiento armónico simple con los datos proporcionados, es decir:

x = 0, 05sen(10t + ϕ ) La velocidad por tanto queda como:

v=

dx d(0, 05sen(10t + ϕ ) = = 0, 5 cos(10t + ϕ ) dt dt

Puesto que nos piden la velocidad cuando pasa por la posición de equilibrio, en primer lugar será necesario calcular los instantes en los cuales la partícula pasa por la posición de equilibrio, es decir, cuando x = 0:

0 = 0, 05sen(10t + ϕ ) → sen(10t + ϕ ) = 0 Dado que en el enunciado no especifican la fase inicial, y ya que el objeto se supone en reposo podemos suponer que esta es 0, por lo que la ecuación queda como:

se n(10t) = 0 → 10t = 0 + π k → t =

πk s 10

Es decir, la partícula atraviesa la posición de equilibrio de forma periódica siempre que t πk s. valga 10 Finalmente, tomando por ejemplo k=0, obtenemos t = 0, y por tanto la velocidad en la posición de equilibrio es:

v = 0, 5 cos(10 ⋅ 0) = 0, 5m / s

Ejercicio 5 Una partícula vibra de modo que tarda 0,50 s en ir desde un extremo a la posición de equilibrio, distantes entre sí 8,0 cm. Si para t = 0 la elongación de la partícula es de 4,0 cm, halla la ecuación que define este movimiento. La ecuación de un movimiento armónico simple viene definida por:

x = Asen(ω t + ϕ ) Es decir, es necesario definir el valor de la amplitud del movimiento, la fase inicial y la velocidad angular. Por el enunciado sabemos que la partícula tarda 0,5 s en ir desde un extremo a la posición de equilibrio. En un movimiento armónico simple, el periodo es el tiempo que tarda en realizar una vibración completa, por ejemplo, entre los dos extremos. Por tanto, y atendiendo al dibujo:

si la partícula tarda 0,5 s en ir desde un extremo a la posición de equilibrio, el periodo será:

T = 4 ⋅ 0, 5 = 2s Y conociendo el periodo la velocidad angular vale:

ω=

2π = π rad / s T

En cuanto a la amplitud, esta vale 0,08 m, pues la amplitud representa la distancia entre un extremo y la posición de equilibrio. Así que el movimiento tiene la siguiente ecuación:

x = 0, 08sen(π t + ϕ ) Es decir, solo queda calcular la fase del movimiento. Para ello hay que tener en cuenta que para t = 0 s, la elongación vale 0,04 m, es decir:

0, 04 = 0, 08sen(π ⋅ 0 + ϕ ); ⎧π ⎪⎪ 6 1 = sen(ϕ ) → ϕ = ⎨ 2 ⎪ 5π ⎪⎩ 6 Por lo que la ecuación del movimiento queda finalmente definida por:

π ) 6 5π x = 0, 08sen(π t + ) 6 x = 0, 08sen(π t +

Ejercicio 6 Un muelle se alarga 25 cm cuando se cuelga de él una masa de 2,0 kg. Calcula la frecuencia y la velocidad máxima de oscilación de la masa, sabiendo que la amplitud del movimiento es 5,0 cm. Dato: g0 = 9, 8m / s 2 Cuando colgamos de un muelle una determinada masa aparecen dos fuerzas iguales y de sentido opuesto: - La fuerza recuperadora del muelle que tira hacia arriba. - El peso del objeto que tira hacia abajo.

Como ambas fuerzas además han de ser iguales, se tiene que:

Frecuperadora = Peso → kx = mg → k ⋅ 0, 25 = 2 ⋅ 9, 8 → k = 78, 4N / m Por otra parte sabemos que la amplitud del enunciado es de 0, 05m . Con estos datos ya es posible responder a las preguntas del enunciado, pues la frecuencia del movimiento es posible calcularla mediante:

k →ω = m ω f = = 1Hz 2π

ω=

78, 4 = 6, 26rad / s; 2

El movimiento producido tiene la siguiente forma (pudiendo considerar que la fase inicial es 0):

x = Asen(ω t + ϕ ) → x = 0, 05sen(6, 26t)m Por tanto la expresión de la velocidad queda como:

v=

dx d(0, 05sen(6, 26t) = = 0, 313cos(6, 26t)m / s dt dt

La velocidad máxima se alcanza cuando el coseno vale 1, es decir:

vmax = 0, 313m / s Ejercicio 7 Una masa m oscila en el extremo de un resorte vertical con una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 5cm. Cuando se añade otra masa de 300 g, la frecuencia de oscilación pasa a ser de 0,5 Hz. Determinar: a) El valor de la masa m y de la constante recuperadora del resorte. La constante recuperadora del muelle es siempre la misma independientemente de la masa, por tanto:

ω 1 = 2π f1 = 2π ⋅1 = 2π rad / s ω 2 = 2π f2 = 2π ⋅ 0, 5 = π rad / s k = k → mω 12 = (m + 0, 3)ω 22 → m4π 2 = (m + 0, 3)π 2 → 4m = m + 0, 3 → m = 0,1kg; k = mω 2 = 0,1⋅ 4π 2 = 3, 94N / m b) El valor de la amplitud de oscilación en el segundo caso, si la energía mecánica es la misma en ambos casos:

Em1 = Em2 →

1 2 1 2 kA1 = kA2 → A12 = A22 → A1 = A2 = 0, 05m 2 2

Ejercicio 8 Un astronauta ha instalado en la Luna un péndulo simple de 0,86 m de longitud y comprueba que oscila con un periodo de 4,6 s. ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en la Luna? Un péndulo de longitud l que oscila en una localización con gravedad g tiene el siguiente periodo:

T = 2π

l T2 l 4π 2 l → = → g = 2 = 1, 6m / s 2 g 2π g T

Ejercicio 9 Una partícula de 250 g de masa vibra con m.a.s. de forma que, para t = 0, pasa por la posición de equilibrio en sentido positivo. Si tarda 1 min y 40 s en dar 125 oscilaciones completas y el valor máximo de la fuerza recuperadora es 25 N, calcula: a) Las constantes del movimiento. Por las constantes del movimiento se entiende la amplitud, la velocidad / frecuencia angular y la fase inicial. En primer lugar calcularemos el periodo del movimiento sabiendo que da 125 oscilaciones en 1 min y 40 s, es decir:

125oscilaciones 100s 100 = →T = = 0, 8s 1 T 125 Conocido el periodo podemos calcular la frecuencia angular:

ω=

2π 2π = = 7, 85rad / s T 0, 8

Y de la frecuencia angular podemos extraer el valor de la constante recuperadora del muelle:

k = ω 2 m = 15, 42N / m Además, para un movimiento armónico simple, la fuerza recuperadora tiene la siguiente expresión:

F = −kx Siendo máxima cuando x = A, por tanto:

Fmax = −kA → A =

Fmax = 1, 62m k

b) La expresión del movimiento Por tanto, la expresión del movimiento queda dada como:

x = 1, 62sen(7, 85t + ϕ ) Para obtener la fase inicial, el enunciado nos dice que para t = 0 la partícula pasa por la posición de equilibrio en sentido positivo, es decir:

⎧0 0 = 1, 62sen(7, 85 ⋅ 0 + ϕ ) → 0 = sen(ϕ ) → ϕ = ⎨ ⎩π Pese a haber dos valores para la fase inicial posibles, escogemos ϕ = 0 puesto que la partícula va en sentido positivo cuando atraviesa la posición de equilibrio. Ejercicio 10 Un muelle elástico de 10,0 cm tiene uno de sus extremos fijo en la pared vertical, mientras que el otro está unido a una masa que descansa en una superficie horizontal sin rozamiento. Se le aplica una fuerza de 20 N para mantenerlo estirado hasta una longitud de 15,0 cm. En esta posición se suelta para que oscile libremente con una frecuencia angular de 1,57 rad/s. Calcular: a) La constante recuperadora del muelle. Para calcular la constante recuperadora del muelle aplicaremos la siguiente fórmula:

F = −kΔx → k =

F Δx

Es decir, la fuerza es igual a la constante por el incremento de longitud experimentado en el muelle. En este caso el muelle tiene una longitud inicial de 0,1 m y cuando se le estira llega hasta 0,15 m, por lo que el incremento es igual a:

Δx = 0, 05m Y por tanto la constante recuperadora vale:

k= b) La masa que oscila.

20 = 400N / m 0, 05

Conociendo la constante recuperadora, la masa que oscila se calcula mediante:

k = mω 2 → m =

k 400 = = 162, 27kg 2 ω 1, 57 2

c) La ecuación del m.a.s resultante. Un m.a.s tiene la siguiente ecuación:

x = Asen(ω t + ϕ ) La amplitud del movimiento será el incremento de longitud que ha experimentado el muelle al estirar del objeto, es decir, 0,05 m. Por otra parte, para calcular la fase tenemos en cuenta que cuando t = 0 el objeto se encuentra en la posición de elongación máxima, es decir en la amplitud:

⎧π ⎪⎪ 2 t = 0 → A = Asen(ω ⋅ 0 + ϕ ) → 1 = sen(ϕ ) → ϕ = ⎨ ⎪ 3π ⎪⎩ 2 Tomando ϕ =

π la ecuación queda como: 2 x = 0, 05sen(1, 57t +

π ) 2

d) La energía cinética y potencial cuando x = 2 cm. La energía cinética cuando la elongación es x = 0,02 m tiene como valor:

Ec =

1 k(A 2 − x 2 ) = 0, 5 ⋅ 400(0, 05 2 − 0, 02 2 ) = 0, 42J 2

Y la energía potencial es:

Ep =

1 2 kx = 0, 5 ⋅ 400 ⋅ (0, 02)2 = 0, 08J 2

Ejercicio 11 Una partícula de 0,050 kg vibra con una amplitud de 0,40 m y una frecuencia de 25 Hz. a) ¿En qué puntos de la trayectoria la energía cinética es el 80% de la energía total? Las ecuaciones de la energía cinética y mecánica (total) en un m.a.s son las siguientes:

1 k(A 2 − x 2 ) 2 1 Em = kA 2 2 Ec =

Según el enunciado nos piden:

Ec = 0, 8Em →

1 0, 8 2 k(A 2 − x 2 ) = kA → A 2 − x 2 = 0, 8A 2 → x 2 = 0, 2A 2 → x = ± 0, 2A = ±0,18m 2 2

b) ¿En qué puntos la energía cinética y la energía potencial coinciden? Atendiendo a las ecuaciones de la energía cinética y de la energía potencial tenemos que:

1 k(A 2 − x 2 ) 2 1 E p = kx 2 2 1 1 Ec = E p → k(A 2 − x 2 ) = kx 2 → A 2 = 2x 2 → x = ±A 0, 5 = ±0, 28m 2 2 Ec =

c) ¿Cuánto vale la energía total? La energía total o mecánica del sistema tiene como valor:

Em =

1 2 kA ; 2

Para calcularla necesitaremos saber la constante recuperadora del muelle, con valor:

k = mω 2 = m(2π f )2 = 0, 05 ⋅ 4π 2 ⋅ 25 2 = 1233, 7N / m Y por tanto la energía mecánica vale:

Em =

1 ⋅ 392, 7 ⋅ (0, 4)2 = 99J 2

Ejercicio 12 Una masa de 0,2 kg cuelga de un resorte. Si añadimos a la masa anterior otra de 0,5 kg, el resorte se alarga 4,0 cm. Al retirar la segunda masa, la primera empieza a oscilar. ¿Con qué frecuencia lo hará? Dato: g0 = 9, 8m / s 2 Sabemos que la fuerza recuperadora de un muelle tiene la siguiente expresión:

F = −kΔx Al tener un objeto colgado, el sistema posee dos fuerzas iguales y de sentidos opuestos, la recuperadora que empuja la masa hacia arriba y el propio peso del objeto que empuja hacia abajo. Por tanto se tiene que:

Frecuperadora = Peso → kΔx = mg → k =

mg (2 + 0, 5) ⋅ 9, 8 = = 612, 5N / m Δx 0, 04

Conociendo la constante de recuperación del muelle se tiene la frecuencia:

k = mω 2 → k = m(2π f )2 → f =

1 2π

k = 2, 78Hz m

Ejercicio 13 Una partícula está animada de m.a.s tiene una aceleración de 8, 0m / s 2 cuando se encuentra a 0,15 m de la posición de equilibrio. Calcula su periodo. Sabemos que la aceleración en un m.a.s en función de la posición viene dada por la siguiente fórmula:

a = −ω 2 x → ω = ± f =

a = ±7, 3rad / s; x

ω = 1,16Hz → T = 0, 86s 2π

Ejercicio 14 Una masa de 100 g está unida a un resorte de constante elástica k = 80 N / m. Se separa de la posición de equilibrio 20 cm y se deja en libertad para que oscile libremente. Calcula: a) La frecuencia con que oscila. Atendiendo a la fórmula:

k = mω 2 → k = m ( 2π f ) → f = 2

1 2π

k = 4, 5Hz m

b) La energía mecánica con que inicia el movimiento.

Em =

1 2 1 kA = 80(0, 2)2 = 1, 6J 2 2

c) La velocidad que posee cuando tiene una elongación de 15 cm.

Para encontrar la velocidad cuando posee una elongación de 0,15 m usaremos el valor de la energía cinética en ese instante la cual es:

Ec =

1 2 1 mv = k(A 2 − x 2 ) → v = 2 2

k(A 2 − x 2 ) = m

80 ⋅ (0, 2 2 − 0,15 2 ) = 3, 74m / s 0,1

d) La ecuación que define el movimiento. En primer lugar será necesario obtener el valor de la velocidad angular ω .

w = 2π f = 2π ⋅ 4, 5 = 28, 27rad / s Por tanto la ecuación del movimiento queda como:

x = 0, 2sen(28, 27t + ϕ ) Para obtener la fase inicial ϕ hay que tener en cuenta que cuando t = 0, el objeto se encuentra con amplitud máxima, puesto que es cuando estiramos el muelle cuando se inicia el m.a.s. Por tanto:

⎧π ⎪⎪ 2 t = 0 → A = Asen(ω ⋅ 0 + ϕ ) → 1 = sen(ϕ ) → ϕ = ⎨ ⎪ 3π ⎪⎩ 2 Puesto que el enunciado no especifica ninguna condición más podemos tomar ambos valores para la fase inicial, por ejemplo:

x = 0, 2sen(28, 27t +

π )m 2

Ejercicio 15 Una masa con m.a.s tiene una velocidad de 2,0 m/s cuando se encuentra a 0,05 m de la posición de equilibrio, y cuando se encuentra a 0,02 m de dicha posición la velocidad es de 3,0 m/s. Calcula la frecuencia angular y la amplitud. Atendiendo a los datos proporcionados por el problema tenemos que:

1 2 1 1 mv = k(A 2 − x 2 ) = mω 2 (A 2 − x 2 ) 2 2 2 2 2 ⎪⎧9 = ω (A − 0, 0004) mv 2 = mω 2 (A 2 − x 2 ) → ⎨ 2 2 2 2 2 ⎪⎩ 4 = ω (A − 0, 05 ) → 4 = ω (A − 0, 0025) 9 ⎧ 2 ⎪⎪ω = A 2 − 0, 0004 9 4 → 2 = 2 → 9A 2 − 0, 0225 = 4A 2 − 0, 0016 → 5A 2 = 0, 0209 → A = 0, 06m ⎨ 4 A − 0, 0004 A − 0, 0025 ⎪ω 2 = ⎪⎩ A 2 − 0, 0025 Ec =

ω=

9 = 49rad / s (0, 06) − 0, 0004 2

Ejercicio 16 A un resorte de constante k se le une una masa m y se le hace oscilar. ¿Cuánto debe variar la masa m para que la frecuencia angular aumente en un 20%? Según el enunciado necesitamos que ocurra lo siguiente:

ω 2 = ω 1 + 0, 2ω 1 → ω 2 = 1, 2ω 1; k k k k m = 1, 2 → = 1, 44 → m2 = 1 = 0, 69m1 m2 m1 m2 m1 1, 44 Es decir, debe de disminuir en un 31%. Ejercicio 17 Si la longitud de un péndulo se aumenta en un 25%. ¿En qué porcentaje varía el periodo? El periodo de un péndulo en función de la longitud viene dado por:

T = 2π

l g

Los periodos para los dos tipos de péndulo son:

T1 = 2π

l1 g

T2 = 2π

l1 + 0, 25l1 g

Por tanto la relación entre ambos periodos es:

T1 = T2

2π 2π

l1 g

1, 25l1 g

=

l1 1, 25l1

=

1 = 0, 89 → T1 = 0, 89T2 → T2 = 1,12T1 1, 25

Es decir, aumenta en un 12 %. Ejercicio 18 ¿Qué característica básica distingue un m.a.s de un movimiento vibratorio cualquiera? De entre todos los movimientos vibratorios que tienen lugar en la Naturaleza, los más importantes son los armónicos simples, puesto que se pueden expresar mediante funciones armónicas, como lo son el seno y el coseno de una sola variable. Estos movimientos, característicos de cuerpos elásticos, son producidos por fuerzas que en todo momento son directamente proporcionales al desplazamiento de la partícula que vibra y dirigidas siempre hacia la posición de equilibrio estable. Ejercicio 19 Una cuerda cuelga de una torre alta de modo que el extremo superior es invisible e inaccesible, pero el extremo inferior sí se ve y se puede tocar. ¿Como averiguarías la longitud de la cuerda? Sabemos que la expresión del periodo para un péndulo simple es la siguiente:

T = 2π

l g

Puesto que el extremo inferior de la cuerda sí es visible y además podemos presuponer que estamos en la Tierra dónde existe una aceleración de la gravedad equivalente a 9, 8m / s 2 , la longitud del péndulo la podemos calcular midiendo el tiempo que tarda el péndulo en hacer una oscilación completa (periodo) y despejar de la ecuación anterior la longitud.