Lic. Ana Julia Nayar

LÓGICA MATEMÁTICA O FORMAL O SIMBÓLICA La lógica formal o simbólica, a diferencia de la lógica clásica, utiliza un lenguaje artificial, es decir, está rigurosamente construido, no admite cambios en el tiempo y es universal; por otra parte, no puede aplicarse al lenguaje en su función expresiva. Dicho con otras palabras, prescinde de todo tipo de contenido y es absolutamente formal. El procedimiento por el cual se pasa de un razonamiento o de una proposición de lenguaje común a su forma lógica lo llamamos: ABSTRACCIÓN. Al procedimiento inverso lo llamamos INTERPRETACIÓN. Esto se logra asignando un contenido a sus formas vacías. Astricción e interpretación son dos procedimientos útiles para considerar la corrección o incorrección de los razonamientos. La Lógica Formal se divide en tres partes: - Lógica Proposicional - Lógica de Predicados - Lógica de Clases Nosotros estudiaremos sólo una de sus ramas: la lógica proposicional. Lógica Proposicional l) Las proposiciones atómicas y moleculares: Las proposiciones se dividen en dos grandes grupos: - atómicas - moleculares Una expresión es atómica cuando no se puede descomponer en otra más simple, y de la que tiene sentido predicar su verdad o falsedad. Se simboliza con las letras “p”, “q”, “r”, “s”, ... Una expresión es molecular cuando se forma combinando enunciados atómicos. Su valor de verdad depende del valor de verdad de las proposiciones atómicas que lo conformen.

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II) Conectivas lógicas: Se llaman conectivas lógicas o nexos lógicos a la/s palabra/s que sirve/n para conectar proposiciones entre sí o para modificar el valor de verdad de una proposición. Teniendo en cuenta los nexos lógicos de las proposiciones tenemos las siguientes clases de proposiciones moleculares: - Conjuntivas Una proposición conjuntiva es verdadera sí y sólo sí ambos componentes son verdaderos. El nexo “y” puede ser reemplazado por aunque, pero, además, etc.. Ej.: “Paula es maestra y Marina es estudiante.” “Paula es maestra y directora.” Simbolización: p . q - Disyuntivas incluyentes y excluyentes Una proposición disyuntiva inclusiva es falsa sí y sólo sí ambos componentes son falsos. Una proposición disyuntiva exclusiva es falsa sí y sólo sí ambos componentes tienen el mismo valor de verdad. Ej.: “Me iré de vacaciones o comenzaré a escribir un nuevo libro.” “Me quedaré en Buenos Aires, o me iré de vacaciones a Córdoba.” Simbolización:

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p v q

p w q

- Condicionales Una proposición condicional es falsa sí y sólo sí el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. Los nexos pueden ser: “... es condición suficiente para...”, “...cuando...., ....”, etc.. Ej.: “Si nació en Buenos Aires, entonces es porteño.” Simbolización: p >

q

- Bicondicionales: Una proposición bicondicional es verdadera sí y sólo sí ambos componentes tienen el mismo valor de verdad. Las expresiones más usadas son “... es equivalente a ...”, “... es condición necesaria y suficiente para...”. Ej.: “Un número es para sí y sólo sí es divisible por dos.” Simbolización: p = q - Negación: La negación de una proposición verdadera es falsa y viceversa. Algunas expresiones pueden ser: “no”, “no es cierto que”, “no se da el caso que”, etc.. Ej.: “No es verdad que todos los políticos son corruptos”.

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Simbolización: -p

Simbolización y confección de una tabla de verdad

- A cada proposición atómica se le debe asignar una variable proposicional (Abstracción). - Si se repite una proposición, debe repetirse la variable. - Se deben usar paréntesis, corchetes y llaves para indicar el alcance de las conectivas. - Se debe asignar los valores de verdad a cada variable agotando todas las combinaciones posibles. - Se resuelve la tabla de verdad que afecta a cada conectiva, comenzando, en primer lugar por las de menor alcance.

Resultado de las Tablas de Verdad.

TAUTOLOGÍA: son formas proposicionales que corresponden a proposiciones lógicamente verdaderas. El resultado final es verdadero en todos los casos. CONTRADICCIÓN: son formas proposiciones lógicamente falsas.

proposicionales

que

corresponden

a

El resultado final es falso en todos los casos. CONTINGENCIA: son formas proposicionales que corresponden a proposiciones lógicamente indeterminadas.

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El resultado final es verdadero en algunos casos y falso en otros.

Ejemplo:

“Si es metal, se dilata con el calor. El oro es un metal. Entonces, se dilata con el calor.”

[( p

>

q )

.

p ]

>

q

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

Resultado Final: tautología. III) Los Razonamientos: La lógica proposicional permite determinar cuándo una proposición es lógicamente verdadera, lógicamente falsa o ni lo uno ni lo otro, como ya lo hemos visto al aplicar Tablas de Verdad. Pero para ello hay varios procedimientos: a) Condicional Asociado b) Método demostrativo c) Prueba de invalidez

Método del Condicional Asociado: Permite verificar mecánicamente la validez o invalidez de un razonamiento.

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1) Dado un razonamiento se abstrae su forma lógica. 2) De la forma de razonamiento se pasa a la forma de una proposición condicional, de manera tal que el antecedente resulte una conjunción de las premisas del razonamiento, conectado lógicamente con el consecuente a través de un condicional. 3) Se realiza la Tabla de Verdad. 4) Si el resultado obtenido es una tautología, el razonamiento es válido, si no, no lo es.

Ejemplo: “Si estudio lógica, tengo posibilidades de aprobar filosofía; y si apruebo filosofía, puedo recibirme de bachiller. Apruebo filosofía. Por lo tanto, puedo recibirme de bachiller.”

Forma de razonamiento:

Forma de Proposición:

p > q

q > r

q _______

r

{[(p > q) . (q >

r) ]

.

q } > r

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