LAS LEYES DEL PENDULO FISICO OSCILACION Y PERIODO FRECUENCIA

LAS LEYES FÍSICAS DEL PENDULO: PERÍODO Y FRECUENCIA INTRODUCCIÓN: ¿Qué es un péndulo? Es un cuerpo cualquiera que suspendido de un punto fijo puede oscilar libremente por la acción de su propio peso, o que puede girar, también libremente, alrededor de un eje horizontal. Se lo conoce desde los tiempos anteriores a nuestra era, y la palabra castellana que se usa para nombrarlo deriva del latín que hablaban los antiguos romanos, es decir, de la voz pendulus, que significa pendiente. El péndulo de un reloj, o el constituido por una pequeña esfera pesada suspendida por medio de un hilo, se denomina péndulo físico. Un péndulo idealizado por un puntomaterial sumamente pequeño, suspendido de un punto fijo con un hilo inextensible y sin peso, es un péndulo simple o ideal. Las leyes que rigen el movimiento del péndulo fueron descubiertas porGalileo Galilei.

Ellas expresan: a) La duración de las oscilaciones es independiente de la amplitud, siempre que éstas no pasen de unos 8o (Ley del isocronismo); b) El tiempo de oscilación no depende de la masa del péndulo (Ley de las masas), y c) Los tiempos de oscilación de dos péndulos de diferentes longitudes están relacionados entre sí como las raíces cuadradas de sus respectivas longitudes (Ley de las longitudes). Explicación:

PÉNDULO: Llamamos péndulo a todo cuerpo que puede oscilar con respecto de un eje fijo. Péndulo ideal, simple o matemático: Se denomina así a todo cuerpo de masa m (de pequeñas dimensiones) suspendido por medio de un hilo inextensible y sin peso. Estas dos últimas condiciones no son reales sino ideales; pero todo el estudio que realizaremos referente al péndulo, se facilita admitiendo ese supuesto . Péndulo físico: Si en el extremo de un hilo suspendido sujetamos un cuerpo cualquiera , habremos construido un péndulo físico. Por esto, todos los péndulos que se nos presentan (columpios, péndulo de reloj, una lámpara suspendida, la plomada) son péndulos físicos. Oscilación – Amplitud – Período y Frecuencia: 1

A continuación estudiaremos una serie de procesos que ocurren durante la oscilación de los péndulos y que permiten enunciar las leyes del péndulo. Daremos previamente los siguientes conceptos:

Longitud del péndulo (L) es la distancia entre el punto de suspensión y el centro de gravedad del péndulo. Oscilación simple es la trayectoria descrita entre dos posiciones extremas (arco AB). Oscilación completa o doble oscilación es la trayectoria realizada desde una posición extrema hasta volver a ella, pasando por la otra extrema (arco ABA). Angulo de amplitud o amplitud (alfa) es el ángulo formado por la posición de reposo (equilibrio) y una de las posiciones extremas. Período o tiempo de oscilación doble (T) es el tiempo que emplea el péndulo en efectuar una oscilación doble. Tiempo de oscilación simple (t) es el tiempo que emplea el péndulo en efectuar una oscilación simple. Elongación (e). Distancia entre la posición de reposo OR y cualquier otra posición. Máxima elongación: distancia entre la posición de reposo y la posición extrema o de máxima amplitud. Frecuencia (f). Es el número de oscilaciones en cada unidad de tiempo.

f=numero de oscilaciones/tiempo Relación entre frecuencia y periodo T = período ; f = frecuencia Supongamos un péndulo que en 1 seg. cumple 40 oscilaciones. 2

En consecuencia: 40 oscilaciones se cumplen en 1 seg., por lo que 1 osc. se cumple en T=1/40 seg (periodo) . Obsérvese que: el período es la inversa de la frecuencia. En símbolos: T=1/f y f=1/T Leyes del péndulo: Ley de las masas Suspendamos de un soporte (por ejemplo: del dintel de una puerta) tres hilos de coser de igual longitud y en sus extremos atemos sendos objetos de masas y sustancias diferentes . Por ejemplo: una piedra, un trozo de hierro y un corcho. Saquémolos del reposo simultáneamente. Verificaremos que todos tardan el mismo tiempo en cumplir las oscilaciones, es decir, que todos “van y vienen” simultáneamente. Esto nos permite enunciar la ley de las masas:

LEY DE MASAS: Las tres mas de la figura son distintas entre si, pero el periodo (T) de oscilación es el mismo. (T1=T2=T3) Los tiempos de oscilación de varios péndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su naturaleza, o también El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de su masa y de su naturaleza. Ley del Isócrono: Dispongamos dos de los péndulos empleados en el experimento anterior. Separémolos de sus posiciones de equilibrio, de tal modo que los ángulos deamplitud sean distintos (pero no mayores de 6 o 7 grados). Dejémolos libres: comienzan a oscilar, y notaremos que, también en este caso, los péndulos “van y vienen” al mismo tiempo. De esto surge la llamada Ley del isocronismo (iguales tiempos): Para pequeños ángulos de amplitud, los tiempos de oscilación de dos péndulos de igual longitud son independientes de las amplitudes, o también: El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de la amplitud (o sea, las oscilaciones de pequeña amplitud son isócronas).

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La comprobación de esta ley exige que los pendulos tengan la misma longitud para determinar que en efecto los péndulos son isocronos*, bastaràverificar que pasan simultáneamente por la posición de equilibrio. Se llegara notar que las amplitudes de algunos de ellos disminuyen mas que las de otros, pero observaremos que aquella situación —el isocronismo— subsiste. Si disponemos de un buen cronometro, podemos aun mejorar los resultados de esta experimentación . Procedemos a tomar los tiempos empleados por cada uno, para 10 o 100 oscilaciones. Dividiendo esos tiempos por el número de oscilaciones obtendremos el de una sola (en casos de mucha precisión se llegan a establecer tiempos para 1.000, lo que reduce el error por cada oscilación De este modo puede verificarse que en realidad se cumple la ley. (*) Isocronos tiempos iguales.

Ley de las longitudes: Suspendamos ahora tres péndulos cuyas longitudes sean: Péndulo A = (10cm) 1 dm. Péndulo B = (40 cm) 4 dm. Péndulo C = (90 cm) = 9 dm.

Procedamos a sacarlos del reposo en el siguiente orden: 1) El de 1 dm. y el de 4dm. 2) El de 1 dm. y el de 9dm. Observaremos entonces que: a) El de menor longitud va más ligero que el otro, o sea: “a menor longitud menor tiempo de oscilación y a mayor longitud mayor 4

tiempo de oscilación”. b) Mientras el de 4 dm. cumple una oscilación, el de 1 dm. cumple dos oscilaciones. c) Mientras el de 9 dm. cumple una oscilación, el de 1 dm. cumple tres oscilaciones. Esta circunstancia ha permitido establecer la siguiente ley de las longitudes: Los tiempos de oscilación (T) de dos péndulos de distinta longitud (en el mismo lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes. En símbolos

T1 y T2: tiempos de oscilación; l1 y l2 : longitudes. Para nuestro caso es: T1= 1 oscilación y l1= 1dm T2 = 2 oscilaciones y l2 =4 dm. luego:

Osea: 1/2=1/2

Ahora para: T1=1 oscilación y l1=1 T3=3 oscilaciones y l3=9 luego:

Osea: 1/3=1/3

Ley de las aceleraciones de las gravedades: Al estudiar el fenómeno de la oscilación dejamos aclarado que la acción gravitatoria tiende a hacer parar el péndulo, pues esa es la posición más cercana 5

a la Tierra. Significa esto, en principio, que la aceleración de la gravedad ejerce una acción primordial que evidentemente debe modificar el tiempo de oscilación del péndulo. Si tenemos presente que la aceleración de la gravedad varía con la latitud del lugar, resultará que los tiempos de oscilación han de sufrir variaciones según el lugar de la Tierra. En efecto, al experimentar con un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra (gravedad distinta) se pudo comprobar que la acción de la aceleración de la gravedad modifica el tiempo de oscilación del péndulo. Por ejemplo: si en Buenos Aires el tiempo de oscilación es T1, y la gravedad g1, en Río de Janeiro el tiempo de oscilación es T2 y la gravedad g2, se verifica la siguiente proporcionalidad:

Repitiendo los experimentos para lugares de distinta latitud (por tanto, distinta gravedad) se puede verificar proporcionalidad semejante. De lo cual surge el siguiente enunciado de la Ley de las aceleraciones de la gravedad: Los tiempos de oscilación de un mismo péndulo en distintos lugares de la Tierra son inversamente proporcionales a las raíces cuadradas de las aceleraciones de la gravedad. Fórmula del tiempo de oscilación del péndulo: Para poder obtener el tiempo de oscilación de un péndulo se aplica la siguiente expresión:

t: tiempo de oscilación; l: longitud de péndulo; g: aceleración de la gravedad. que equivale al período o tiempo de oscilación completa. Si fuera el correspondiente para una oscilación simple, aplicamos:

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Esta fórmula condensa en sí las cuatro leyes del péndulo. En efecto, observamos: 1) En esa expresión no figura la masa m del péndulo, por lo que “el tiempo de oscilación es independiente de la masa”. 2) Como tampoco figura el ángulo de amplitud, “el tiempo de oscilación es independiente de la amplitud”. 3) La 3ra. y 4ta. leyes están incluidas en el factor:

,es decir: “los tiempos de oscilación son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de las longitudes e inversamente proporcionales a la de las aceleraciones de las gravedades”. Péndulo que bate el segundo: De la expresión:

(tiempo de oscilación simple) resulta que el tiempo de oscilación depende de la longitud y de la aceleración de la gravedad. Si en determinado lugar (g: conocida) deseamos construir un péndulo cuyo tiempo de oscilación sea un segundo, tendremos que modificar su longitud. Ello se logra aplicando la expresión:

luego:

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y

De este modo para t=1 seg. se logra un péndulo que “bate el segundo”. Por ello decimos: Péndulo que bate el segundo es aquel que cumple una oscilación simple en un segundo. Para el lugar cuya aceleración de la gravedad es normal (g=9,806) la longitud del péndulo que bate el segundo es 0,9936 m, mientras que para el que cumple una oscilación doble en un segundo será l= 24,84 cm. Caracterìsticas del movimiento del péndulo – Fuerzas que actúan: Supongamos el péndulo en la posición de equilibrio AM (Fig. izquierda). El peso P es anulado por la reacción del hilo y no hay oscilación. Consideremos la posición OA, procedamos a descomponer la fuerza peso P, según las direcciones m y n. Obtendremos las fuerzas F1 y F’. La fuerza F’ queda anulada por la reacción del hilo. (Fig. abajo) En consecuencia, en el punto A actúa solamente la fuerza F1, tangente al arco AMB y que provoca el movimiento del péndulo hacia M. Si en el punto A’ efectuamos el mismo proceso de descomposición de la fuerza (P) peso, observaremos que F2 es menor que F1 obtenida anteriormente. Resulta entonces que, a medida que a medida que, el péndulo se acerca a su posición de equilibrio OM la fuerza que provoca el movimiento disminuye hasta hacerse cero en el punto M (peso y reacción se anulan).

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A pesar de ello, el péndulo continúa oscilando. Ello se debe a la inercia que posee. Si durante este movimiento actúa una fuerza F1, F2, etc., el movimiento es acelerado (no uniformemente acelerado). Cuando el péndulo pasa al punto M, el peso del cuerpo actúa como fuerza negativa, es decir, el movimiento es retardado. Así llegará a un punto B en que su velocidad se anula, y no sube más (caso análogo al del cuerpo lanzado hacia arriba al alcanzar su altura máxima). En ese momento el proceso se invierte, repitiéndose en sentido contrario, es decir, de B hacia M, continuando hasta A. En síntesis: 1) En A, la fuerza F1 hace desplazar al péndulo hasta M (movimiento acelerado). 2) En M péndulo debiera quedar en reposo, pero por inercia continúa con movimiento retardado pues va en contra de la fuerza gravitatoria. 3) En B, la velocidad del péndulo se ha anulado (y = 0). En ese instante se invierte el movimiento y se desplaza hacia M. El péndulo continúa oscilando y cumpliendo el mismo proceso. En consecuencia: a) La fuerza que hace mover al péndulo no es constante. b) La dirección y sentido de esas fuerzas son tales, que tienden a que el pendulo adquiera la posición de equilibrio c) Como la fuerza F1 no es constan te, la aceleración tangencial no es constante. Su dirección y sentido cambian instante por instante. d) La velocidad tangencial se anula en los puntos extremos y no es constante. Es máxima al pasar por la posición de reposo. Por lo tanto: El movimiento del péndulo es variado. 9

Resulta alternativamente acelerado y retardado una vez cumplida cada oscilación simple y como la aceleración no es constante no es uniformemente variado. Càlculo de la fuerza F: Se puede demostrar matemáticamente que la fuerza F se puede calcular mediante la expresión:

donde: P: peso del péndulo; l: longitud del péndulo; e: máxmia elongación. El péndulo y sus aplicaciones: Las aplicaciones del péndulo son variadas. Las más importantes son: a) Determinación de la aceleración de la gravedad. Sabemos que:

Elevando al cuadrado miembro a miembro es:

y despejando g, es:

en esta igualdad es: numero pi (constante=3.1415), y l: medible fácilmente, T: se determina con un buen cronómetro. Por lo que esta ultima expresión nos permite calcular con relativa facilidad la aceleración de la gravedad en un lugar determinado. Esto constituye la aplicación científica de mayor importancia del péndulo. Para estas determinaciones se emplean péndulos reversibles, es decir, péndulos que pueden oscilar primero alrededor de un eje y después alrededor de otro. Colocado de tal modo que en cada una de esas posiciones el péndulo posea la misma longitud, y por lo tanto las oscilaciones son isócronas (igual tiempo de oscilación).

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Así se logran valores de gran precisión. Se debe tener en cuenta en estas determinaciones la temperatura, amplitud de las oscilaciones y las influencias del rozamiento del aire y del soporte del péndulo. El método de medición de g, con el péndulo, lo imaginó y expresó Huygens, y fue aplicado por el físico matemático Borda. b) Determinación del movimiento de rotación de la Tierra. Si disponemos de un péndulo suspendido de un alambre como indica la figura, y procedemos a sacarlo de su posición de equilibrio, observaremos que el plano de oscilación del péndulo no varía al girar el alambre sostén. Por tanto: El plano de oscilación de un péndulo se mantiene invariable al modificarse la posición del “plano sostén”. (figura abajo)

Foucault, haciendo uso de esa propiedad, pudo demostrar la existencia del movimiento de rotación de la Tierra. Empleó un péndulo que constaba de una esfera de cobre de 25 kilogramos provista de un fiel y suspendida de la cúpula del Panteón (París) por medio de un alambre de acero de 79 m de largo. En el suelo dispuso una capa de arena húmeda en la cual el fiel de la esfera pendular marcaba los trazos de sus oscilaciones. Así se pudo ver que, a medida que transcurría el tiempo, esas marcas se iban modificando. Como el plano de oscilación es constante, significaba ello que lo variable era el plano del soporte, es decir, el Panteón o, lo que es igual, la Tierra. En realidad, este experimento puede realizarse en una sala ordinaria con péndulo más corto. J. BI. Foucault: Físico francès, nacido y muerto en París (1819-68). Entre sus trabajos recordamos la invención del giroscopio, con el que puede determinarse la dirección del meridiano del lugar sin necesidad de la observación astronc5mica, el método para calcular la velocidad de la luz en el aire y en el agua, así como la demostración del movimiento de rotaciòn de la Tierra valiendose del pendulo.

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c) Medición del tiempo: Huygens fue quien ideó un mecanismo para poder medir el tiempo. Sabemos que, para determinada longitud, el péndulo cumple una oscilación simple en un segundo. Por tanto, dando a un péndulo esa longitud, nos indicará, para cada oscilación, un tiempo igual a un segundo. En otras palabras, si construimos un péndulo que efectúe en un día solar medio 86.400 oscilaciones, cada una de éstas nos indica un segundo. Un péndulo que reúna estas condiciones, aplicado a un mecanismo motor (cuerda o pesas, que harán mover el péndulo) y a un sistema destinado a contar las oscilaciones, o sea, los segundos, constituye un reloj de péndulo.(figura izquierda) En los relojes portátiles (de bolsillo, despertadores, etc.) el péndulo está reemplazado por el volante (rueda) que produce el movimiento oscilatorio del péndulo. Cristian Huygens: Matemático y astrónomo holandéss (1629-1695). Fue un verdadero genio de su siglo. Inventa el reloj de pèndulo, y luego, el resorte espiral, para los de bolsillo. Enunciò la teoría ondulatoria de la luz, esbozó’ lo que hoy llamamos teorema de las fuerzas vivas; haciendo girar una esfera de arcilla, dedujo que la Tierra no podía ser esferica. PENDULO

DE

TORSION Y DE TRACCION: Péndulo de torsión Llamamos péndulo de torsión al dispositivo formado por un alambro MN, sujeto por uno de sus extremos —M— a un punto fijo y el otro extremo N unido a una barra AB que a su vez termina en dos esferas. Torsión: Fenómeno que se produce al aplicar al extremo de un cuerpo una cupla, mientras el otro extremo está fijo. También puede producirse torsión al aplicar simultáneamente un par de cuplas en cada uno de sus extremos. El péndulo de torsión permite calcular el momento de una fuerza F perpendicular al eje de torsión (alambre MN). Factores que determinan su perìodo o frecuencia: 12

Apliquemos a los extremos de la barra AB la cupla F1=F2. La barra AB pasaría a la posición A’B’ girando un ángulo a y el alambre sufre una determinada torsión. Liberada la barra AB de esa cupla, el alambre tiende a volver a su posición primitiva debido a la existencia de fuerzas elásticas recuperadoras. En estas condiciones la barra AB comienza a oscilar como un verdadero péndulo físico. Si deseamos detener al péndulo en el momento que forma el ángulo a será necesario aplicar una fuerza que anule la torsión del alambre. Esta fuerza será mayor o menor según sea el punto de aplicación respecto del centro de giro (respecto del alambre). Puede verificarse que la intensidad de esta fuerza es la misma que hubiéramos necesitado para que desde la posición de reposo la barra AB formara el ángulo de torsión alfa. De lo expuesto surge que todo depende del momento de la fuerza aplicada (fuerza por distancia). Se puede comprobar que entre el momento de la fuerza aplicada y el ángulo de torsión a determinado, se cumple la siguiente relación:

En el péndulo de torsión, se cumple: El tiempo de oscilación es independiente del ángulo de amplitud. El tiempo de oscilación se calcula mediante la expresión:(*)

(*):Para el péndulo físico es:

(Para ángulos pequeños: P.d=K) Similar a la del péndulo físico en I: momento de inercia respecto al K:constante que resulta del cociente entre M y alfa.

la

cual es eje (hilo);

Péndulo de tracción: Elasticidad por tracción: Es el fenómeno producido por fuerzas que provocan el aumento de longitud de un cuerpo. 13

Sea el alambre a sujeto por un extremo M, y en el otro extremo, un platillo. Si sobre éste colocamos una pesa P, cualquiera, se provocará una fuerza que permitirá verificar un estiramiento o aumento de longitud del alambre. El dispositivo descripto constituye un péndulo de tracción. Repitamos el experimento variando los pesos y observaremos que a mayor fuerza (peso) se verifica mayor estiramiento. Como es natural pensar, hay ciertos valores para la carga o fuerza F aplicada, en que los estiramientos dejan de ser proporcionales a esas fuerzas. Existe entonces una tensión (fuerza aplicada) máxima para la cual se produce el estiramiento que permite recobrar al cuerpo su longitud inicial una vez desaparecida esa tensión. Las fuerzas elásticas recuperadoras tienden a llevar al cuerpo —alambre— a su posición o longitud primitiva. Se produce así un movimiento oscilatorio que tiene un determinado período, que puede calcularse mediante la expresión:

Formula similar a la estudiada inicialmente para un péndulo de longitud l.

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