El método Van Hiele aplicado a la enseñanza de las matemáticas. Juan López Sánchez

El método Van Hiele aplicado en el área de Matemáticas. Una propuesta de trabajo en el aula. En este documento pretendo mostrar una metodología de trabajo en el aula, basada en las investigaciones de los esposos Van Hiele, que responde a varias premisas de gran actualidad en la didáctica de las matemáticas, a saber: ●

Es una metodología activa por parte de alumnado y profesorado, con bases en el constructivismo y con la finalidad de la adquisición de competencias básicas en el área de matemáticas.

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Implica partir de un trabajo manipulativo para ir afianzando el conocimiento y llegar a etapas posteriores de abstracciones y generalizaciones de los conceptos trabajados.

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Se adecúa a distintos ritmos de trabajo y a distinto nivel competencial tal y como se da en la realidad del aula entre el alumnado presente.

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Favorece la organización del trabajo en distintos modelos de aprendizaje en cada actividad que organicemos, desde gran grupo a trabajo individual pasando por el trabajo en pequeños grupos.

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Es extrapolable a todos los contenidos del currículo que trabajemos en el área de matemáticas, aunque en un principio fue concebido para su uso en el área de Geometría.

Para ello, en principio voy a explicar en qué consiste el método Van Hiele de enseñanza de la Geometría, tal y como estos esposos lo concibieron para después pasar a explicar con varios ejemplos como se puede extrapolar a distintas situaciones del currículo de Educación Primaria para su puesta en práctica.

Investigaciones de los esposos Van Hiele en el área de Geometría Para los esposos Van Hiele, una persona frente a una actividad de tipo geométrico se encuentra en uno de estos cinco niveles: ●

Nivel 0 : ○ los individuos sólo reconocen figuras globalmente. ○ No reconocen partes ni componentes. ○ No pueden explicitar las propiedades determinantes de una figura. ○ Pueden reproducir una copia de la figura o reconocerla entre otras. ■ Ejemplos: ● Identifica paralelogramos entre otras figuras. ● Identifica triángulos en distintas posiciones y en imágenes que se le presenten. 1

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Nivel 1: ○ Los individuos pueden analizar las partes de una figura. ○ Las propiedades se establecen experimentalmente. ■ Ejemplos: ● Los cuadrados tienen lados iguales. ● Los cuadrados tienen ángulos iguales. Nivel 2: ○ Los individuos determinan las figuras por sus propiedades. ○ Se pueden comprender las definiciones que describen las relaciones entre figuras y sus partes constituyentes. ■ Ejemplos: ● Los individuos comprenden la expresión: “En un paralelogramo lados opuestos iguales implican lados opuestos paralelos.” Nivel 3: ○ Los individuos pueden desarrollar secuencias de proposiciones para deducir una propiedad de otra. Los esposos Van Hiele definen este nivel como “la esencia de la matemática”. Nivel 4: ○ Los individuos pueden apreciar el rigor, la completitud e independencia de los axiomas de la geometría.

Los esposos Van Hiele, concluyen que una persona, frente a una situación concreta, puede tener diferentes niveles de conocimiento, independientemente de su edad y desarrollo cognitivo. El objetivo de la enseñanza de la geometría consiste pues en conseguir que una persona avance en el nivel que se encuentra frente a actividades que se propongan.

Aplicación en clase del método Van Hiele en Geometría En principio tenemos que tener en cuenta que todas las actividades que planteemos tienen que ser en forma de problemas. Las fases del método Van Hiele son las propuestas por el matrimonio holandés, para comprender mejor como se plasma cada fase he usado un ejemplo que he trabajado en mi clase de 6º de Primaria durante el curso 2008/09. Aplicaremos el método Van Hiele siguiendo una serie de fases en el orden indicado: ●

Fase de Consulta ○

Es importantísimo el uso de material de tipo manipulativo.

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Se trata de hacer un diagnóstico de ideas previas sobre lo que sabe nuestro alumnado sobre el objeto de estudio.

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Podemos aprovechar para introducir términos que se van a necesitar y unificar el lenguaje sobre el particular que posee el alumnado.

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La organización de la clase es en Gran Grupo.

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Ejemplo: 2

El método Van Hiele aplicado a la enseñanza de las matemáticas. Juan López Sánchez

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Objeto de estudio: tipos de ángulos, rectas secantes (como caso especial estudiaremos las perpendiculares) y rectas paralelas (que no determinan ningún ángulo entre ellas).

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Material: callejero de la localidad. Se puede extraer de google.maps

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Se reparte el callejero al alumnado y se estudian los ángulos que forman las distintas calles de la localidad. Se buscan calles perpendiculares y paralelas.

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Se sondea entre el alumnado los conceptos de ángulos agudos, llanos y obtusos y sus medidas en grados. Se pueden tener dibujados en la pizarra y reforzaremos el vocabulario empleado (rectas secantes – como caso especial las rectas perpendiculares-, paralelas, lados de un ángulo, vértice...). Se debaten las ideas que den pie a ello (ideas erróneas, preconcebidas, etc...) intentando llegar a conclusiones satisfactorias.

Fase de Orientación Dirigida ○

A partir del diagnóstico obtenido en la fase de consulta, se crearán una serie de tareas unipaso encaminadas a que todos los estudiantes alcancen un nivel mínimo de competencias sobre el tema de estudio.

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Las instrucciones serán del tipo: “haz x, construye z, dibuja y....”

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Organización de clase: Pequeño Grupo. La finalidad es que todos los estudiantes se apoyen entre sí y sobre todo se preste ayuda a los menos capacitados por parte de sus compañeros/as. El trabajo y colaboración entre los componentes del grupo es fundamental y así se ha de hacer saber en clase.

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Ejemplo: ■

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Usando el callejero de la localidad se encargará la siguiente tarea a los grupos formados: ●

Escribe el nombre de calles que formen entre sí ángulos agudos, rectos y obtusos.

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Escribe el nombre de calles que sean perpendiculares y paralelas.

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¿Qué ángulos forman las calles “x” e “y” al cruzarse? ¿Forman un único ángulo? ¿Cuánto suman los ángulos que forman?

Fase de Explicitación ○

En esta fase, cada grupo expone al resto los logros alcanzados. Lo hace mediante un portavoz cada vez que el grupo es interpelado. Se puede establecer un diálogo o debate de sus soluciones encauzado por el profesor/a y se procurará que intervengan todos los componentes del grupo.

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Al obligar al estudiante a dirigirse a la clase, tendrá que ordenar sus ideas, lo que le conducirá a un segundo nivel de conocimiento (no le basta con saber las cosas, sino que tiene que saber explicarlas).

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El trabajo es en Gran Grupo, pero explicitando los logros de cada pequeño grupo.

Al terminar la Fase de Explicitación puede hacerse una retroalimentación en función de los resultados obtenidos, volviendo a la fase de Orientación Dirigida.

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Fase de Orientación Libre ○

Este es el momento de investigar en clase.

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Se introducen problemas-tema encaminados al afianzamiento, diferenciación y apoyo.

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El trabajo es Individual.

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Ejemplo: ■

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A la vista del callejero y partiendo de tu calle haz una ruta en la que tengas que incluir ángulos de todos los tipos estudiados. Dibuja el croquis de esa ruta poniendo el nombre de las calles por las que pasas y los ángulos que forman entre ellas.

Fase de Integración ○

En esta fase el profesor/a hace una recopilación del trabajo de los estudiantes. Ordena los resultados y hace una explicación final del objeto de estudio a partir de las situaciones vividas en clase. Se pueden usar los resultados de los trabajos de la fase de Orientación Libre para esta explicación.

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Es el momento del debate de clase, con la resolución de dudas y aclaración de términos y vocabulario del tema, estudio de las propiedades de los objetos estudiados y su posible traslación a otras situaciones cotidianas (siempre daremos pie a sugerencias por parte del alumnado sobre este particular).

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La organización del trabajo es en Gran Grupo.

Aplicando el método Van Hiele en todo el área de matemáticas Me propongo explicar de forma práctica cómo podemos usar el método Van Hiele para desarrollar cualquier contenido del área de matemáticas. Creo que lo mejor es exponer varios ejemplos desarrollados en mis clases de 6º de Primaria aplicando este método.

Experiencia para introducir las potencias Material manipulativo: trozos de hueveras con tres huecos cada uno y garbanzos.

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Fase de Consulta ○

Se muestra al grupo tres trozos de hueveras. A la vista de todos se depositan tres garbanzos en cada hueco de cada trozo.

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Se preguntan cuántos garbanzos hay en total en la huevera. Se intentará que todo el alumnado ofrezca su solución y estrategia de cálculo, haciendo especial hincapié en darle participación al que detectemos menos competente en el tema. 4

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Se anotan en la pizarra las distintas respuestas y se interroga sobre las distintas estrategias de cálculo empleadas. Hay que debatir en clase la idoneidad de todas ellas.

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Vocabulario importante: veces, multiplicar, suma repetida o reiterada.

Fase de Orientación dirigida ○

Se reparte en pequeños grupos trozos de hueveras y garbanzos.

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Se plantea el siguiente problema: "idear una estrategia para contar los garbanzos de tres niños/as, cada uno con tres trozos de huevera y con tres garbanzos en cada hueco de las mismas".

Fase de Explicitación ○

Cada grupo expondrá a la clase sus conclusiones, incluyendo no sólo el resultado sino las posibles estrategias empleadas en el cálculo.

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Según el resultado de la fase de Explicitación procederemos a realizar otra experiencia como retroalimentación, volviendo a la fase de Orientación Dirigida.

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Fase de Orientación Libre

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Proponemos para resolver individualmente el siguiente problema: “Tenemos dos bolsas, en cada bolsa hay dos paquetes, en cada paquete dos bastoncillos de los oídos, en cada bastoncillo hay dos algodones. ¿Cuántos algodones hay en total?.

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Nos interesa crear estrategias de resolución del tipo: ■

2 bolsas x 2 paquetes x 2 bastoncillos x 2 algodones y que se resuman en la siguiente forma:

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2 bolsas x 2 paquetes x 2 bastoncillos x 2 algodones

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Fase de Integración ○

Explicitaremos todas las estrategias empleadas en la resolución de los problemas propuestos. Subrayaremos aquellas que empleen una multiplicación reiterada y le daremos sentido a la misma tal y como se explica en la fase anterior.

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Después procederemos a introducir la operación potenciación como una forma nueva de escribir esas multiplicaciones donde siempre se repite el mismo factor, explicaremos la representación formal de una potencia y la denominación de sus términos.

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Como complemento, usaremos las calculadoras para calcular potencias con las teclas adecuadas a ello.

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Experiencia para introducir las raíces cuadradas Material manipulativo: geoplanos y gomas, hoja cuadriculada. ●

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Fase de Consulta ○

Se pide al alumnado que dibuje en su cuaderno cuadriculado cuadrados de por ejemplo 6x6, 10x10 cuadraditos y se les pregunta por el número de cuadrados totales que hay dentro de cada uno de ellos. Se hace un sondeo de resultados y estrategias de cálculo, anotando todas ellas en la pizarra y debatiéndolas.

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Posteriormente se reparten geoplanos y se pide que se representen con gomas cuadrados de un área dada. La pregunta será cuánto mide el lado de dichos cuadrados. Se procede a sondear resultados y estrategias de cálculo debatiendo tanto las correctas como las que no lo son. (Como siempre, en esta fase es fundamental la detección de ideas previas y por lo tanto hay que intentar extender el sondeo a la totalidad del alumnado y además podemos conocer si hay un error de base común a la mayoría de nuestro alumnado que nos haga replantearnos el trabajo de otra forma).

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En esta fase, el vocabulario fundamental será: área, cuadrado, lado, potencia.

Fase de Orientación Dirigida ○

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Usando los geoplanos en pequeños grupos se plantearán varios problemas del tipo: “¿Qué dimensiones tiene que tener un cuadrado de área dada?. Usaremos números que no sean demasiado evidentes a simple vista e incluso algunos que no sean factibles de realizar en el geoplano. También propondremos áreas que no sean cuadrados perfectos para que nos digan que no se pueden realizar esos cuadrados en el geoplano.

Fase de Explicitación ○

Cada grupo expondrá sus resultados. Se anotarán y discutirán posteriormente en Gran Grupo. Tendremos mucho cuidado de anotar las respuestas dadas a las áreas que no son cuadrados perfectos.

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Posible retroalimentación

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Fase de Orientación Libre ○

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Se propondrá el siguiente problema para resolverlo de forma individual: “Un solar cuadrado contiene 2500 baldosas cuadradas, todas iguales, de 50 cm de lado cada baldosa. ¿Cuántas baldosas caben en cada lado del solar? ¿Cuáles son las dimensiones del solar?”

Fase de Integración ○

Se recapitularán todas las experiencias realizadas en clase, las estrategias de cálculo empleadas en ellas, resaltando las más eficaces. Se debatirá el problema propuesto en la fase de orientación libre y se discutirán las propuestas de resolución empleadas.

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Se introducirá la raíz cuadrada como la manera de encontrar el número que se busca en cada uno de estos problemas y se verá pues que es la inversa de elevar un número al cuadrado (o de multiplicarlo por sí mismo dos veces). Se practicará el cálculo mental de varias raíces sencillas y se enseñará a usar la calculadora para el cálculo de raíces más 6

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complicadas. ○

Se empleará la nueva operación en resolver los problemas que se habían propuesto en clase.

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Se hará hincapié en la simbología de esta operación y en el vocabulario matemático propio de la misma.

Como se ha visto en estas dos sencillas propuestas de trabajo, el método Van Hiele se puede aplicar para trabajar cualquier tema en clase de matemáticas. La condición indispensable es la de repasar nuestro propio papel como docentes y convertirnos en verdaderos facilitadores del aprendizaje del alumnado, haciendo que sea éste el verdadero protagonista de sus logros. Por supuesto, el uso de material manipulativo es fundamental en las primeras fases de este método y esa es otra tarea que tenemos por delante. No se trata de olvidarnos sin más de los libros de texto, pero no podemos dejar que el libro sea el que marque el trabajo y el ritmo de la clase de matemáticas, en ese caso, estaríamos haciendo dejación de nuestro papel docente. La aplicación de esta metodología es compatible con el trabajo en clase en tareas individuales de afianzamiento, refuerzo y ampliación de los temas trabajados, siempre sin olvidar la premisa de no convertir las clases de matemáticas en aburridas colecciones de ejercicios o repetición de algoritmos no encuadrados en situaciones problemáticas atrayentes (que además de motivar al alumnado y despertar su interés por resolverlas, nos causa una gran satisfacción en nuestra tarea como enseñantes de matemáticas). Bibliografía y URL's de interés: "La geometría: de las ideas del espacio al espacio de las ideas en el aula". Varios autores/as. Claves para la innovación educativa. Editorial Graó.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teoría_de_van_Hiele

Juan López Sánchez [email protected] http://www.omerique.net/calcumat http://www.omerique.net/twiki/bin/view/CEIPsanjose/TallerMatematicas

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