Los niveles de van-Hiele El modelo de van-Hiele parte de los trabajos de Dina van Hiele-Geldof y Pierre van Hiele. Sus trabajos tienen repercusión en un principio en la Unión Soviética, donde se realizan muchas investigaciones en esta línea y se desarrollan currículos siguiendo el modelo. Más tarde tiene alguna repercusión en Estados Unidos gracias al investigador Izaak Wirszup y a partir de aquí se difunde por todo el mundo. Aunque el modelo se centre en la geometría y tenga como objetivo llegar a una geometría muy tradicional, su conocimiento nos puede dar pistas de cómo partiendo de la realidad se puede se puede ir creando modelos cada vez más abstractos. El modelo consiste en cinco niveles de comprensión: Nivel Básico: Visualización En este estado inicial, los estudiantes tienen conciencia del espacio como algo que existe alrededor de ellos. Los conceptos geométricos se ven como entidades totales más que sus componentes o atributos. Las figuras geométricas, por ejemplo, se reconocen por su forma como un todo, esto es, por su apariencia física, no por sus partes o propiedades. Una persona que funcione en este nivel puede aprender vocabulario, puede identificar figuras específicas, y dada una figura, puede reproducirla. Por ejemplo dados los diagramas en la figura-1, un estudiante podría ser capaz de reconocer que hay cuadrados en (a) y rectángulos en (b) porque son similares en su forma a cuadrados y rectángulos que ha visto antes. Mas aún, dado un geoplano o un papel, los estudiantes podrían copiar la figura. Una persona en este estado, no obstante, puede que no reconozca que las figuras tiene ángulos rectos o que los lados opuestos son paralelos.

(a)

(b) Fig. 1

Nivel Análisis En el nivel-1 comienza un análisis de los conceptos geométricos. Por ejemplo, mediante la observación y la experimentación los estudiantes empiezan a discernir las características de las figuras. Estas propiedades emergentes se utilizan para conceptualizar clases de figuras. Se ven las partes de las figuras y se reconocen éstas. Dada una rejilla de paralelogramos como la de la figura-2, los estudiantes podrían, "coloreando" los ángulos iguales, "establecer" que los ángulos opuestos de los paralelogramos son iguales. Después de utilizar ejemplos de este tipo, podrían hacer generalizaciones a la clase de los paralelogramos. No obstante, los estudiantes en este nivel todavía no pueden explicar las relaciones entre las propiedades, todavía no se ven las interrelaciones entre las figuras, y la definición no se comprende.

1

Fig. 2 Nivel Deducción informal En este nivel, los estudiantes pueden establecer las interrelaciones de las propiedades de las figuras (en un cuadrilátero, para que los lados opuestos sean paralelos se necesita que los ángulos opuestos sean iguales) y entre figuras (un cuadrado es un rectángulo porque tiene todas las propiedades de un rectángulo). Pueden deducir propiedades de las figuras y reconocer clases de figuras. Se entiende la inclusión de clases. Las definiciones son significativas. Se pueden seguir e incluso construir argumentos informales. En este nivel el estudiante, no obstante, no comprende el significado de la deducción como un todo o el papel de los axiomas. Con frecuencia se utilizan resultados empíricos junto con técnicas deductivas. Se puede seguir la demostración formal, pero el estudiante no ve cómo se podría cambiar el orden lógico y no ve cómo construir una demostración partiendo de premisas diferentes o no familiares. Nivel Deducción En este nivel, se entiende la deducción como un camino para establecer la verdad geométrica dentro de un sistema axiomático. Se ve la interrelación y el papel de los términos no definidos, axiomas, postulados, definiciones, teoremas y demostraciones. Una persona en este nivel puede construir, y no sólo memorizar, las demostraciones; se ve la posibilidad de desarrollar una demostración de varias formas; se entiende la relación entre las condiciones necesaria y suficiente; se distingue una afirmación y su inversa. Nivel Rigor En este estado el alumno puede trabajar en una variedad de sistemas axiomáticos, esto es, se pueden estudiar las geometrías no-Euclídeas, y se pueden comparar sistemas diferentes. Se ve la geometría en abstracto. El último nivel es el menos desarrollado en los trabajos originales y ha recibido poca atención por parte de los investigadores. P. M. van Hiele ha reconocido que está interesado en los tres primeros niveles en particular (comunicación personal a Alan Hoffer del 25 de Febrero de 1985). A nosotros nos van a interesar los primeros niveles, y sobre todo, la forma de trabajar para que se pueda pasar de un nivel a otro. En los documentos complementarios tenemos un artículo de Mary L. Crowley donde se desarrolla el modelo con muchos ejemplos. Propiedades del modelo Además de dar luz sobre el pensamiento que es específico en cada nivel, los van Hiele identifican algunas generalidades que caracterizan el modelo. Estas propiedades son particularmente significativas para los educadores porque dan una guía para tomar decisiones instructivas. 1. Secuencial. Como en la mayoría de las teorías del desarrollo, una persona debe pasar por los niveles en un orden. Para funcionar con éxito en un nivel particular, un estudiante debe haber adquirido las estrategias del nivel precedente. 2. Progresivo. El progreso (o su falta) de un nivel a otro depende más del contenido y método de instrucción recibido que de la edad: Ningún método de instrucción permite a un 2

estudiante saltarse un nivel; algunos métodos favorecen el progreso, mientras otros lo retrasan o bloquean el movimiento entre niveles. Van Hiele señala que es posible enseñar "a un estudiante diestro habilidades por encima de su nivel actual, igual que se puede entrenar a los niños en la aritmética o las fracciones sin decirles qué es lo que significan las fracciones, o a alumnos mayores a derivar e integrar aunque no sepan qué son las derivadas e integrales" (Freudenthal 1973, p. 25). Los ejemplos geométricos incluyen la memorización de la fórmula de un área o las relaciones del tipo "un cuadrado es un rectángulo". En situaciones como éstas lo que ha ocurrido es que la cuestión se ha reducido a un nivel inferior y no ha habido comprensión. 3. Intrínseco y extrínseco. Los objetos inherentes a un nivel se convierten en los objetos de estudio del nivel siguiente. Por ejemplo, en el nivel 0 sólo se percibe la forma de una figura. La figura es, estamos de acuerdo, determinada por sus propiedades, pero no es hasta el nivel-1 que se analiza y se descubren sus componentes y propiedades. 4. Lingüístico. "Cada nivel tiene sus propios símbolos lingüísticos y un sistema propio de relaciones que conectan estos símbolos" (P. van Hiele 1984a, p. 246). Una relación que es "correcta" en un cierto nivel se puede modificar en otro. Por ejemplo, una figura puede tener más de un nombre (inclusión de clases)- un cuadrado es también un rectángulo (¡y un paralelogramo!). Un estudiante en el nivel-1 no conceptualiza que este tipo de inclusiones se pueda dar. Este tipo de nociones y el lenguaje que viene acompañado, no obstante, es fundamental en el nivel-2. 5. Emparejamiento. Si el estudiante está en un nivel y la instrucción en otro diferente, puede que no se dé el aprendizaje deseado y el progreso. En particular, si el profesor, los materiales, el contenido, el vocabulario, y todo lo demás, está en un nivel superior al del alumno, el estudiante no será capaz de seguir el proceso de pensamiento utilizado. Fases de aprendizaje Como se dijo antes, los van Hiele afirman que el progreso a través de los niveles depende más de la instrucción recibida que de la edad o la madurez. Por tanto el método y la organización de la instrucción, así como los contenidos y el material utilizado, son áreas importantes de interés pedagógico. Para conseguir esto, los van Hiele proponen cinco fases de aprendizaje: preguntas, orientación dirigida, explicación, orientación libre e integración. Ellos afirman que la instrucción que se desarrolla de acuerdo a esta secuencia promueve la adquisición de un nivel (van Hiele-Geldof 1984b). Para ilustrar esto damos un ejemplo de actividades del nivel-2 al trabajar con rombos. 1. Preguntas/Información. En el estado inicial, el profesor y los estudiantes conversan y hacen actividades sobre el objeto de estudio en este nivel. Se hacen observaciones, preguntas, y se introduce un nivel específico de vocabulario (Hoffer 1983, p 208). Por ejemplo, el profesor pregunta a los estudiantes, "¿Qué es un rombo? ¿Un cuadrado? ¿Un paralelogramo? ¿En qué se parecen? ¿En qué se diferencian? ¿Piensas que un cuadrado podría ser un rombo? ¿Un rombo podría ser un cuadrado? ¿Por qué dices esto? . . .". El propósito de estas actividades es doble: (1) el profesor ve cuáles son los conocimientos previos de los estudiantes en relación al tema, y (2) los estudiantes ven qué dirección tomarán los estudios posteriores.

3

2. Orientación Dirigida. Los estudiantes exploran el tema de estudio a través de los materiales que el profesor ha secuenciado cuidadosamente. Estas actividades deberían revelar gradualmente a los estudiantes las estructuras características de este nivel. Por tanto, la mayoría del material consistirá en tareas cortas diseñadas para obtener respuestas específicas. Por ejemplo, el profesor podría pedir a los estudiantes que utilizaran un geoplano para construir un rombo con diagonales iguales, para construir otro mayor, para construir otro menor. Otra actividad sería construir un rombo con cuatro ángulos rectos, tres ángulos rectos, dos ángulos rectos, un ángulo recto. . . . 3. Explicación. A partir de las experiencias previas, los estudiantes expresan e intercambian su visión emergente de las estructuras que acaban de observar. En vez de asistir a los alumnos en la utilización de un lenguaje preciso y apropiado, el papel del profesor es mínimo. Es durante esta fase en la que el sistema de relaciones propias del nivel comienza a ser obvio. Continuando con el ejemplo del rombo, los estudiantes podrían discutir entre ellos y con el profesor qué figuras y propiedades aparecieron en la actividad anterior. 4. Orientación libre. Los estudiantes se enfrentan con tareas más complejas con muchos pasos, tareas que se pueden completar de distinta forma, tareas abiertas. "Adquieren experiencia al buscar su propio camino o resolviendo la tarea. Al orientarse a sí mismos en el campo de investigación, se hacen explícitas muchas relaciones entre los objetos de estudio". Por ejemplo, los estudiantes podrían completar una actividad como la siguiente. "Doblar un folio por la mitad, otra vez por la mitad (fig. 3a). Intenta imaginar que tipo de figura obtendrías si cortaras la esquina de los dobleces (fig. 3b). Justifica tu respuesta antes de cortar. ¿Qué tipo de figura obtendrías si cortaras la esquina con un ángulo de 30°? ¿Y con uno de 45°? Describe los ángulos en el punto de intersección de las diagonales. ¿En qué punto se intersectan las diagonales? ¿Por qué es el área de un rombo el producto de la mitad de sus diagonales?"

(a)

(b) Fig. 3

5. Integración. Los estudiantes revisan y resumen lo que han aprendido con el objeto de formarse una visión panorámica de la nueva red de objetos y relaciones. El profesor puede ayudar en esta síntesis "dando un análisis global" (van Hiele 1984a, p. 247) sobre lo que los estudiantes han aprendido. Sin embargo, es importante, que este resumen no presente nada nuevo. Las propiedades del rombo que han aparecido se deberían resumir y revisar sus orígenes. Al final de la quinta fase, los estudiantes han alcanzado un nivel nuevo de pensamiento. El nuevo dominio de pensamiento reemplaza al viejo, y los estudiantes están preparados para repetir las fases de aprendizaje en el nivel siguiente.

4