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GRAFICACIÓN: Dispersión y Funciones. Gráficos de Dispersión. Los gráficos de dispersión son la antesala para llegar a los gráficos de funciones. La Dispersión lo que hace es comparar pares de valores correspondientes a una misma variable numérica, y esto de por sí ya nos está indicando que en el eje horizontal deben ir VALORES NUMÉRICOS. La vida real está llena de ejemplos que permiten utilizar el concepto de dispersión:    

Contrastación de instrumentos de medición. Diferencias entre valores por cálculo y por medición. Diferencias entre valores esperados estadísticamente y los que realmente se dan. etc.

Se dispone de una serie de opciones para la presentación del gráfico:

de las cuales normalmente se utiliza la primera (la que sólo contiene los “bornes”). Así como en los gráficos circulares era imposición que sólo contuviesen una sola serie de datos numéricos, aquí es imposición que el ítem del cual dependen los valores a contrastar, sea un valor numérico. Si tratamos de hacerle trampas, EXCEL numeraliza de alguna manera y cumple con sus propias reglas de juego.

Vamos a desarrollar dos ejemplos interesantes.

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Ejemplo 01: Contrastación de dos termómetros atmosféricos. “Desde las 08:00 de la mañana hasta las 20:00 horas, se toman muestras horarias de la temperatura ambiente (con ambos termómetros) obteniéndose la siguiente planilla:”

IMPORTANTE: Nótese que la columna HORA se halla efectivamente en formato Hora. Si seleccionamos la tabla de datos y utilizamos el Asistente de graficación, obtenemos la siguiente imagen:

35,00 30,00 25,00 20,00

T1 [ºC]

15,00

T2 [ºC]

10,00 5,00 0,00 0:00

4:48

9:36

14:24

19:12

0:00

que no está mal, pero que no responde a nuestras aspiraciones: que arranque a partir de las 08:00 de la mañana y llegue hasta las 20:00 horas. EXCEL ha realizado un gráfico más general que va desde las 00:00 horas hasta la medianoche. Si observamos detenidamente el gráfico veremos que efectivamente el primer par de valores pareciera comenzar a las 08:00 y el último finalizar a las 20:00, pero con excesiva poca precisión.

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INFORMATICA – C.B.I. (Ciclo Básico de Ingeniería) - 2012 GRUPO II - Dictado: Ing. Juan Manuel Conti Estudiemos cómo solucionar esto: colocamos el puntero del mouse en el eje horizontal y solicitamos Formato de ejes:

Como en definitiva la estructura interna de lo ejes no pueden contener valores que no sean estrictamente numéricos (sin formato), EXCEL utilizó el siguiente truco:

00:00

24:00

0

1

Como por defecto la planilla tomó 5 divisiones en el eje horizontal, realizó el siguiente cálculo: 1/5 = 0,2 que pasado nuevamente al formato HORA para ser visualizado externamente, deber afectarse de la siguiente operación: 0,2 x 24 = 4,8 (lo cual es lógico asumiendo que 0,2 es una fracción de 24 horas). Acabamos de obtener: 4 horas + 0,8 horas. Si pasamos las fracciones de hora a minutos: 0,8 x 60 = 48, llegamos a 4:48 que aparecía en el gráfico. A partir de allí las otras calibraciones son múltiplos de 4:48. Una vez descubierto este truco de EXCEL ya estamos en condiciones de imponer NUESTRAS condiciones de graficado: calibraciones horarias y no cada 4:48 minutos y que además arranque de 08:00 y no de las 00:00. ¿Cómo lo logramos? De la siguiente manera: Clase Teórica Nro 4

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INFORMATICA – C.B.I. (Ciclo Básico de Ingeniería) - 2012 GRUPO II - Dictado: Ing. Juan Manuel Conti Dividiendo el intervalo 0 – 1 en 24 partes en lugar de las 5 que toma EXCEL por defecto. 1/24 = 0,0416666… (equivalente numérico decimal de 01:00) El valor de arranque del eje sería el desplazamiento de las 8 primeras horas: 1/24 x 8 = 1/3 = 0,3333… (equivalente numérico de 08:00) y el valor de final sería: 1/24 x 20 = 0,83333… (equivalente numérico de 20:00) Si introducimos estos valores en el cuadro de diálogo del Formato de Ejes:

tendremos totalmente solucionado nuestro problema:

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35,00 32,50 30,00 27,50 25,00 22,50 20,00 17,50 15,00 12,50 10,00 8:00

9:00

10:00

11:00

12:00

13:00

14:00

15:00

16:00

17:00

18:00

19:00

20:00

Una sencilla aplicación de la Ley de Ohm. El siguiente circuito elemental permite determinar el valor de la resistencia R, mediante la expresión: Rm = Vvolt / Iamp (tensión del voltímetro sobre la corriente del amperímetro). Ra A

E

Iv

Ia Ir

R

V

Rv

Sin embargo una simple observación nos permite ver que la corriente del amperímetro no circula toda por la resistencia R, sino que parte de ella se deriva por el voltímetro, puesto que como elemento no es ideal (R=infinito) sino que posee una resistencia finita Rv. Queremos determinar cuál será la dispersión de la medición con respecto al valor real que posee R. Partamos por lo tanto de la expresión: Rm = Vvolt / Iamp Iamp = Ir + Iv lo cual nos lleva a: Rm = Vvolt / (Ir + Iv)

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Rm 

Vvolt Vvolt R.Rv   Vvolt Vvolt ( R  Rv ) R  Rv  Vvolt. R Rv R.Rv

que puede ser expresada como:

Rm 

R 1

R Rv

Claramente se nota que si Rv >>>> R, entonces el cociente R/Rv puede considerarse cero y la resistencia medida Rm= R. Esto nos indica que el método descripto es excelente cuando la resistencia a medir anda muy debajo del valor de la resistencia interna del voltímetro. Llamemos a a la relación R/Rv a fin de determinar la dispersión en la medición según la resistencia incógnita se relacione con la del voltímetro:

Rm 

R 1 a

Supongamos además que tenemos un conjunto de resistencias incógnitas R, que arranca con 1000 Ohm y se extiende hasta R=57000 Ohm, siendo Rv=40000 Ohm.

La tabla se extiende hasta R=57000 Ohm. Nótese a simple vista cómo a medida que la relación R/Rv se va haciendo más grande, los valores de Rm comienzan a alejarse del valor verdadero de R. Puesto sobre una gráfica de dispersión obtendríamos lo siguiente:

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Graficación de Funciones. Habrá notado lo siguiente: los gráficos de Dispersión requieren necesariamente que los valores a graficar dependan de un ítem numérico lo cual implica que estamos graficando F=f(x) siendo “x” cualquiera, ese ítem o elemento del cual depende el valor sobre el eje vertical. Ahora bien, si elegimos la opción:

queda más que claro que lo que estamos graficando es una F(x). IMPORTANTE: Cuando a Ud. se le pida graficar una función matemática NO ELIJA GRÁFICO DE LÍNEAS, sino DISPERSIÓN CON LÍNEAS SUAVIZADAS.

Graficación de una función senoidal. Las funciones senoidales tienen la forma F(x)=Ampl.sen(x) donde Ampl es una constantes equivalente a la amplitud de la misma. Armemos la siguiente planilla:

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donde X continúa hasta alcanzar 180 grados. El hecho de que las funciones trigonométricas requieran forzosamente su argumento angular en radianes no quiere decir que para su graficación no podamos tomar el ángulo en grados. En definitiva sean grados o radianes, se trata del mismo ángulo y de magnitudes numéricas simples. Tomaremos por lo tanto la primera y la última columna, llamamos al asistente y seleccionamos Dispersión con Líneas suavizadas. Colocamos el Título y alguna leyenda para los ejes y llegamos a una primera aproximación de nuestro gráfico:

Función senoidal 12,000 10,000 8,000 6,000 4,000 2,000 0,000 0

50

100

150

200

X [grados]

Ahora debemos trabajar sobre esta figura para obtener algo más preciso y estético. Para ello debemos hablar un poco de lo que se denomina Escalas.

Acerca de las Escalas. Una Escala es un relación entre el mundo real y su representación y llamaremos mundo real a aquello que estamos intentando representar, ya sean Fuerzas, Medidas lineales, Temperaturas, etc. En nuestro caso ángulos en grados y Amplitudes adimensionales. EXCEL nos libera por completo de la construcción del gráfico, pues él toma

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INFORMATICA – C.B.I. (Ciclo Básico de Ingeniería) - 2012 GRUPO II - Dictado: Ing. Juan Manuel Conti todas las decisiones y nos arroja un prototipo sobre el cual sí podemos modificar y dejarlo a nuestra medida. Si observamos el Eje Horizontal y el Vertical observaremos que poseen un espacio adicional para que la figura no quede tan “oprimida” en el recuadro y que las divisiones se hallan bastante espaciadas. Además ha tomado como formato de las magnitudes de Ejes las que habíamos puesto en la planilla. Vamos a modificar todo eso: Acercamos el mouse al Eje Horizontal, hacemos clic derecho y elegimos:

Estos son los valores que eligió EXCEL. Ahora cambiamos:

El extremo izquierdo del Eje será 0 grados, el derecho 180 y las divisiones verticales cada 15 grados. Luego en las solapas Fuente y Número configuramos a nuestro gusto y llegamos a:

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Función senoidal 12,000 10,000 8,000 6,000 4,000 2,000 0,000 0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

165

180

X [grados]

¡Mucho mejor! Aún nos queda trabajo por hacer: el Eje Vertical. Lo llevaremos a un valor máximo de 10, con divisiones de 1 en 1 y formato numérico con 1 sólo decimal.

Ahora tendremos:

Función senoidal 10,000 9,000 8,000 7,000 6,000 5,000 4,000 3,000 2,000 1,000 0,000 0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

165

180

X [grados]

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INFORMATICA – C.B.I. (Ciclo Básico de Ingeniería) - 2012 GRUPO II - Dictado: Ing. Juan Manuel Conti Trabajando con el recuadro en sí: retrayendo un poco en sentido horizontal y estirando en sentido vertical llegamos finalmente a:

Función senoidal 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 0

15

30

45

60

75

90

105 120 135 150 165 180

X [grados]

con lo cual se cumple nuestro objetivo. La posibilidad de poder manipular con tanta facilidad los ejes y demás configuraciones traen grandes ventajas como veremos en el problema siguiente.

Intersección de dos funciones senoidales. Consideremos las funciones: Fn1(x) = Ampl1. seno(x) Fn2(x) = Ampl2. cos(x) en el rango 0 a 180 grados y donde Ampl1 = 10 y Ampl2 = 6. Deseamos obtener no solamente su gráfica, sino el valor de “x” para el primer punto de intersección de ambas funciones. Armemos la planilla:

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(continúa hasta X = 180). Vamos a seleccionar las columnas X [grados], Fn1(x) y Fn2(x) y luego a llamar al Asistente de Gráficos eligiendo como siempre Dispersión con líneas suavizadas. Una vez obtenida la primera versión del gráfico que nos proporciona EXCEL, pasamos a trabajar un poco como hicimos con el ejemplo anterior, fundamentalmente con los ejes, a fin de ajustar a los valores de nuestros rangos. Mejoramos luego la presentación con trazos gruesos, colores y enfatizados para los valores de los ejes, etc. y llegamos a:

Intersección de funciones

10,00 9,00 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 -1,00 0 -2,00 -3,00 -4,00 -5,00 -6,00

15

30

45

60

Fn1(x)=seno(x)

75

90

105

120

Fn2(x)=cos(x)

135

150

165

180

X [grados]

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INFORMATICA – C.B.I. (Ciclo Básico de Ingeniería) - 2012 GRUPO II - Dictado: Ing. Juan Manuel Conti con lo cual tenemos cumplida nuestra primera etapa: mostrar ambas curvas. En cuanto al punto de intersección podemos afirmar a simple vista que se halla “un poquito” por arriba de 30 grados (¿pero cuánto?). Vamos a aumentar la precisión trabajando nuevamente con los ejes, con ambos, expandiendo tanto el eje horizontal como el vertical He aquí las primeras modificaciones para el eje “X”:

Debemos modificar también el eje vertical para que las curvas no se “aplasten”. Para ello nos fijamos en el gráfico original qué valores toman los Fn(x) a cada extremo del nuevo intervalo de “x” y llenamos:

con lo cual llegamos a este nuevo gráfico:

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Intersección de funciones

Fn1(x)=seno(x)

Fn2(x)=cos(x)

30

39

7,50 7,00 6,50 6,00 5,50 5,00 4,50 4,00 3,50 3,00 2,50 15

18

21

24

27

33

36

42

45

X [grados]

Ahora estamos mucho mejor !! Ya sabemos que corta entre 30 y 33 grados (probablemente en 31). ¿Cómo podemos mejorar esta apreciación? Volviendo a expandir ambos ejes!! Esta vez entre 30 y 33 grados y entre 5 y 5,5 para el eje vertical:

obteniendo ahora la siguiente figura:

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Intersección de funciones

Fn1(x)=seno(x)

Fn2(x)=cos(x)

5,50 5,45 5,40 5,35 5,30 5,25 5,20 5,15 5,10 5,05 5,00 30

30,3

30,6

30,9

31,2

31,5

31,8

32,1

32,4

32,7

33

X [grados]

Ya podemos asegurar que el punto de corte se halla entre 30,9 y 31,2 (¿será en 31?) El mismo método para una tercera expansión de ejes, nos colocaría en los nuevos valores:

llegando finalmente a:

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Intersección de funciones

Fn1(x)=seno(x)

Fn2(x)=cos(x)

5,180 5,174 5,168 5,162 5,156 5,150 5,144 5,138 5,132 5,126 5,120 30,9

30,93 30,96 30,99 31,02 31,05 31,08 31,11 31,14 31,17

31,2

X [grados]

Donde sin ningún lugar a dudas podemos manifestar que el punto de intersección se halla en X=30,9 (las diferencias aparecen recién en la segunda cifra decimal). Si deseásemos más apreciación tendríamos que volver a expandir hasta alcanzar 2, 3 ó más cifras exactas. Lo dejamos como práctica para Ud.

Graficación de una circunferencia en notación cartesiana. Consideremos en primer lugar que la circunferencia se halla centrada en el origen. Las ecuaciones cartesianas de esta curva se expresan de la siguiente manera:

Fn( x)  y  R 2  x 2 valor obtenido de considerar: x 2  y 2  R 2 Sin embargo el problema algo engorroso que este método plantea para trabajar con una planilla, es el doble signo de la raíz. Ello implica un juego doble de valores para “x”, uno para el signo positivo de la raíz y el otro para el signo negativo: R = 10

 R2  x2

- 10

x

+ 10

 R2  x2

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se extendería de nuevo hasta -10. De esta manera entre x = -10 y x = +10 iría la fórmula con la raíz positiva, y entre x = +8 y x = -10 la raíz negativa. NOTA: en realidad el paso de “x” debería ser más pequeño a fin de que la gráfica de la circunferencia no salga deformada, pero para ilustración de la tabla es más que suficiente. Además se aclara que en la práctica esta tabla va en forma vertical y no horizontal como se muestra aquí (por razones de espacio). Cumpliendo con las indicaciones para la tabla de valores, llegamos a ésto que es lo que en realidad queríamos destacar:

Circunferencia en notación cartesiana 15,00 10,00 5,00

-15,00

-10,00

-5,00

0,00 0,00 -5,00

5,00

10,00

15,00

-10,00 -15,00

El aspecto de la circunferencia parece más bien una elipse. ¿A qué se debe? a que por defecto EXCEL ha tomado la escala horizontal diferente de la escala vertical. ¿Cómo lo arreglamos? simplemente trabajando un poco con los bornes de estiramiento del cuadro. Mejorando primero todo lo que haya que mejorar y recién ajustando las escalas llegamos a:

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Circunferencia en notación cartesiana 10 8 6 4 2 0 -10

-8

-6

-4

-2

-2

0

2

4

6

8

10

-4 -6 -8 -10

de manera perfecta.

Graficación de una circunferencia en notación paramétrica.

R Fi

y

x

Para la notación paramétrica consideramos las proyecciones del Radio de módulo constante que gira en sentido antihorario generando en uno de sus extremos a la circunferencia. Si llamamos Fi al ángulo de este radio con el eje horizontal, tendremos: x = R.cos(Fi) y = R.sen(Fi)

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INFORMATICA – C.B.I. (Ciclo Básico de Ingeniería) - 2012 GRUPO II - Dictado: Ing. Juan Manuel Conti con Fi variando entre 0 y 360 grados (obviamente expresado en radianes). La correspondiente planilla tendrá la forma:

que en realidad se extiende hasta los 360 grados. Seleccionamos las columnas x é y para obtener el gráfico de la circunferencia:

Circunferencia en notación paramétrica 10 8 6 4 2 0 -10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

-2 -4 -6 -8 -10

Esta forma paramétrica es mucho más sencilla que la cartesiana, pero no siempre es recomendable. Cuando la circunferencia forma parte de varias figuras que deben graficarse juntas y la variable para todas es “x”, no nos queda más remedio que utilizar esa variable.

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Graficación de figuras desplazadas del origen. Aquí tenemos que entrar a considerar desplazamientos de ejes. Volvamos a nuestra circunferencia, pero esta vez corrida de la siguiente manera: Eje Y

Eje y

R Fi

Y Eje X

X Yo

y

Eje x Xo x y apliquemos la notación paramétrica. En el sistema de ejes XY, sus ecuaciones son de la forma: X = R. cos(Fi) Y = R. sen(Fi) siendo: X = x – Xo Y = y – Yo Reemplazando más arriba, obtenemos: x = Xo + R. cos(Fi) y = Yo + R. sen(Fi) Naturalmente Fi varía entre 0 y 360 grados. Armemos una planilla para poner en práctica este ejemplo:

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que se extiende hasta 360 grados. En “x” y en F(x) hemos aplicado las fórmulas del desplazamiento. Seleccionando finalmente las columnas “x” y F(x), llegamos a la siguiente figura:

Circunferencia desplazada 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -2 -3 -4 -5 -6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-7

desplazada 5 unidades a la derecha y 3 hacia arriba.

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El método del desplazamiento de los ejes es universal, de manera que podemos aplicarlo en cualquier función. Sólo debemos escribir la fórmula de la misma en los nuevos ejes XY (centrada allí) y luego aplicarle el desplazamiento correspondiente.

Función seno desplazado. Consideremos una función senoidal de la forma F(x) = Ampl.sen(x) con Ampl. = 10 y desplazada únicamente 15 unidades hacia arriba. Luego de hacer un esquema y aplicar la traslación de ejes, la expresión matemática queda como: F(x) = Yo + Ampl.sen(x) (puesto que Xo = 0)

y su gráfica: Fn senoidal desplazada. 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0

30

60

90

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120 150 180 210 240 270 300 330 360

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