Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación
EJERCICIOS RESUELTOS DE ECUACIO ECUACIONES NO LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre
Ejercicios:
1) Sea la ecuación ! ), donde g satisface | ( ! )| ) * ) 1 + , , -., /0. a) Probar que también se cumple | ! 8 ) 9 ! : )| ; *| 8 9 : | + 8 , : , -., /0. b) Demostrar que si se cumple la condición en !a), la ecuación ! ), tiene a lo mas, una solución en el intervalo - 8 , : 0.
Sol:
Se tiene que ! ) !=>?/@AB. CA =DEF? GHI?), y que la función g!x) satisface la condición de | ( ! )| ) * ) 1 + , , -., /0. a) Del problema de punto fijo ! ) se desprende que: 8 ! 8 ) : ! : )
Si se restan queda: | 8 9 : | | ! 8 ) 9 ! : )|
Ocuparemos el T.V.M. !Teorema de Valor Medio), el cual está dado por: ( ! )
O!PQ )RO!PS ) PQ RPS
| 8 9 : || ( ! )| | ! 8 ) 9 ! : )|
Se sabe por el enunciado que | ( ! )| ) *, por lo que podemos relacionar la resta entre 2 problemas de punto fijo con el T.V.M., entonces se tendría que: | ! 8 ) 9 ! : )| | ( ! )|| 8 9 : | ) *| 8 9 : |
Por lo tanto | ! 8 ) 9 ! : )| ) *| 8 9 : | + 8 , : , -., /0. Queda probado.
b) Se desea demostrar que ! ) tiene 1 sola solución en - 8 , : 0.
Suponiendo que existen en g!x) 2 puntos fijos !o soluciones), entonces: ! 8 ) 8 ! : ) : Al ser restados queda:
| ! 8 ) 9 ! : )| | 8 9 : | , ahora aplicamos TVM !| 8 9 : || ( ! )| | ! 8 ) 9 ! : )|).
| 8 9 : || ( ! )| | 8 9 : | que:
, y por el enunciado principal !| ( ! )| ) *), se tiene
| 8 9 : | | ( ! )|| 8 9 : | ) *| 8 9 : |
| 8 9 : | ) *| 8 9 : |
Siendo que L está entre -0,10, la ecuación anterior resulta ser una contradicción Entonces, se concluye que para g!x) existe un único punto fijo en el intervalo - 8 , : 0, siempre y cuando se cumpla la condición de que | ( ! )| ) * ) 1 + , , -., /0.
2) La ecuación 2 Z [ 24 ] [ 61 : 9 16 [ 1 0 tiene dos raíces cerca de 0.1 (0.1213203436; 0.1231056256), encuéntrelas mediante el método de NewtonRaphson.
Sol:
El método de N-R, es el método iterativo que requiere de la función, su derivada y un punto de inicio, la formula está dada por: f(P )
de8 d 9 fh (Pg ) ; n 0, 1,2,….
Entonces:
g
G( ) 2 Z [ 24 ] [ 61 : 9 16 [ 1 Gj( ) 8 ] [ 72 : [ 122 9 16
Con m 0.1
Al reemplazar los datos, se obtiene: de8 d 9
2 d Z [ 24 d ] [ 61 d : 9 16 d [ 1 8 d ] [ 72 d : [ 122 d 9 16
Entonces las iteraciones son: ₁ 0.1111328125
₂ 0.11664780053787 ₃ 0.11936143263559 ₄ 0.12064808476922 ₅ 0.12117604663885 ₆ 0.12131031004941 ₇ 0.12132028783201
₈ 0.12132034355771
Aproximación a la raíz buscada (0.1213203436)
Ahora buscaremos la otra raíz, tomando como punto de inicio m 0.13 ₁ 0.12616290927433 ₂ 0.1242900624559
₃ 0.12344358909839 ₄ 0.12315206375549 ₅ 0.123106774549
₆ 0.12310562635671 ₇ 0.1231056256179
Aproximación a la raíz buscada (0.1231056256)
3) Demuestre que al usar el método de Newton-Raphson, para aproximar el reciproco de un numero S, S>0 se obtiene la formula iterativa ye8 y !2 9 z { y ), | 0,1 … 8 Calcular 8} usando el algoritmo. Sol: El algoritmo de N-R, esta dado por ye8 y 9 El reciproco de un número S, es: Gj! )
8
z
f!P~ ) f h !P~ ) 8 P
8
G! ) z 9 0 P
1 :
Ahora reemplazamos los datos en la ecuación de N-R Q ~ Q ~ S
R
ye8 y 9
ye8 y 9
!{P~ R8) P~
{
P~ S 8
y 9 !z { y: 9 y ) 2 y 9 z { y: y { !2 9 z { y ) Entonces: ye8 y { !2 9 z { y ) Para calcular 1/17, por el algoritmo encontrado, se considera S 17, por lo tanto, la ecuación quedaría: ye8 y { !2 9 17 { y ) Se sabe que 1/17 está entre 0 y 0.1. Por lo que consideraremos como punto de inicio m 0.05 Las iteraciones queda igual a: ₁ 0.0575 ₂ 0.05879375 ₃ 0.058823514335938 ₄ 0.058823529411764 El error absoluto de ₃ es: ! ₃) | ₄ 9 ₃| |0.05882352941176490.058823514335938| 1.5075826*10R
! ₃) 1.5075826*10R
< ℰ 10R} Después de 4 iteraciones se llego a ₄ 0.058823529411764 que es una aproximación 8 de con un < ℰ 10R
. 8}
f ! ₄ 0.058823529411764 ) 0 ₄ es raíz de f!x) con S 17
4) Determine el intervalo de convergencia del método de Newton-Raphson cuando se 8 aplica a la función G! ) 2P 9 ] Sol: Para aplicar el algoritmo de Newton-Raphson, se tiene: G! ) 2P 9
1 3
Gj! ) 2P ln 2 !Derivada implícita) :g R
Q
Entonces: de8 d 9 :g :
O!Pg )
( ! ) d
19 1 9
1 !2Pg ln 2 { 2Pg ln 2 9 2P 9 3 { 2P !ln 2): 2:Pg !ln 2):
8
]{:
Según la propiedad | ( ! )| ) * ; 1 Entonces: 1 9 -91 ; 1 9
8
]{:
8
]{:
;1
;1
……… 6 > 2RP >0 /*Ln ln 6 > 9 { ln 2 > ln 0/*-1 9
:
; ; ln 0
, [9
:
, ∞]
Por lo tanto el intervalo de convergencia es [9
:
, ∞]
P
5) Encuentre el punto positivo donde la función G! ) S alcanza su valor mínimo P calculando los ceros de Gj! ) con el método de Newton-Raphson. Calcule dicho valor mínimo. Sol:
Se necesita saber la función a la cual se le aplicará el método de N-R, su derivada y el punto de inicio del algoritmo !dentro de un intervalo, para disminuir la cantidad de iteraciones). Entonces: G! ) G ( ! )
G (( ! )
P PS
8
P S ! P)S P P
9
9 P
: P P
Z
! P)S
Función buscada para aplicar el algoritmo : P
[ PS
! P)
Derivada de la función a analizar
Ahora sustituimos los datos en la formula de N-R, la cual en nuestro casi es así:
de8 d 9 de8
G ( ! ) Gjj! )
1 2 tan d 9 d ] d : (cos d ): d 9 4 2 sin d 6 tan d 9 ] [ d Z d !cos d ): d : !cos d )]
El intervalo !para obtener el punto de inicio del algoritmo) lo podemos obtener por medio de un barrido entre 0 y 2 !aplicando el TVI), de sugerencia [0.9; 1]. Al tener el intervalo, elegimos algún punto que esté en su interior, como m 0.9. Las iteraciones son: ₁ 0.94775114536635
₂ = 0.94774713352959 ₃ = 0.94774713351695 ₄ = 0.94774713351695 El error absoluto de ₃ es:
( ₃) = | ₄ 9 ₃| = |0.94774713351695 9 0.94774713351695| 0
( ₃) 0
Después de 4 iteraciones se llego a ₄ = 0.94774713351695 que es una aproximación a la raíz de G ( ( ), con un ( ₃) 0. Esta aproximación es el punto mínimo de la P función G( ) = S . P
G ( ( ₄ = 0.94774713351695) = -1.7250028381586*10R8] 0
G( ₄ = 0.94774713351695) = 1.5494400344836
El valor mínimo de la función es 1.5494400344836.
6) Determinar algoritmos de punto fijo para obtener una solución aproximada de la ecuación !1 [ )AE! ) 1.
Sol:
Ordenamos la ecuación G! ) AE! ) [ AE! ) 9 1 0
Ahora le sumamos : en ambos lados de la ecuación, quedando: AE! ) [ AE! ) 9 1 [ : :
Despejando una de las x, para formar el algoritmo de punto fijo ! de8 ! d )) de8 AE! d ) [ d AE! d ) 9 1 [ d :
Algoritmo de punto fijo
Evaluamos la función en algunos puntos, para obtener un intervalo que contenga la raíz que buscamos. Por lo que nos queda un intervalo !después del “barrido”), -2.85; 2.90.
Elegimos un punto de inicio, m 2.875
Las iteraciones del algoritmo son: ₁ 2.8786243631782
₁₁ 2.8809861083846
₂ 2.8800553193257
₁₂ 2.8809862372817
₄ 2.8808418107431
₁₄ 2.8809863080559
₃ 2.8806194966361 ₅ 2.8809293947499 ₆ 2.8809638968662 ₇ 2.880977487889
₁₃ 2.8809862880556 ₁₅ 2.8809863159342 ₁₆ 2.8809863190376 ₁₇ 2.88098632026
₈ 2.8809828415741
₁₈ 2.8809863207415
₁₀ 2.88098578116
₂₀ 2.8809863210059
₉ 2.8809849504512
₁₉ 2.8809863209312
El error absoluto de ₁₉ es:
! ₁₉) | ₂₀ 9 ₁₉| |2.8809863210059 9 2.8809863209312| 7.47*10R88
! ₁₉) 7.47*10R88 < ℰ 10R8m
Después de 20 iteraciones se llego a ₂₀ 2.8809863210059 que es una aproximación a la raíz de G! ) AE! ) [ AE! ) 9 1, con un ! ₁₉) < ℰ 10R8m
f ! ₂₀ 2.8809863210059) 1.697*10R8m 0 f ! ₂₀) 0
7) Obtener un algoritmo de punto fijo para calcular log8/] 5 . Sol:
8
8
La ecuación es log Q 5, que es igual a !])P 5,entonces G! ) !])P 9 5.
Trabajamos un poco la ecuación, para pasarla a un problema de punto fijo. 1 ! )P 5 /{ 3
1 = 3 { √5 /[x
3 √5 [ 9 1 Problema de punto fijo g
de8 3 √5 [ d 9 1 ! d ) Algoritmo de punto fijo Para aplicar el algoritmo, necesitamos un punto de inicio, este punto se obtiene de un intervalo, el cual responde al TVI. Este intervalo es [91.5; 91.4] !entre más pequeño mejor), y el punto de inicio será m 91.45. Las iteraciones quedan: ₁ -1.4612807817018
₆ = -1.464969925092
₂ = -1.4640531867328
₇ = -1.4649726215252
₃ = -1.4647435586268
₈ = -1.4649732958476
₄ = -1.4649160238965
₉ = -1.4649734644823
₅ = -1.4649591426499
₁₀ = -1.4649735066545
El error absoluto de ₉ es: ( ₉) = | ₁₀ 9 ₉| = | 9 1.4649735066545 9 91.4649734644823|=4.21722*10R
( ₉) = 4.21722*10R
< ℰ=10R} Después de 10 iteraciones se llego a ₁₀ = -1.4649735066545 que es una aproximación a la raíz de la función, con un ( ₉) < ℰ=10R} §
f ( ₁₀ = -1.4649735066545)=-7.72512*10R
0 f ( ₁₀) 0 (La raíz exacta es 9 ]) ¨=9
ln 5 = 90.14649735207179 { 108 ln 3
₁₀ = -0.14649735066545*10©ª8 Dígitos Significativos ( ₁₀) ) 0.5 { 10©R« | 90.14649735207179 { 108 + 0.14649735066545 { 108 ) 0.5 { 108R« 0.0000000140634 ) 108R« /{ @? 0.5 m.mmmmmmm8Zm]Z @? ) 1 9 ¬ ¬ ) 8.55088 ¬ = 8 (8 dígitos significativos) m.§
8) La ecuación 2 ] [ 4 : 9 9 5 = 0 tiene una raíz cercana a x 1. Obtener tres algoritmos iterativos de la forma ! ), siendo ! ) un radical, tales que converjan a la raíz, comenzando con m 1.Encontrar la solución indicando cual es el algoritmo que más rápidamente converge.
Sol:
La función es G! ) 2 ] [ 4 : 9 9 5 0
Tres problemas de punto fijo podrían ser: a) despejando :
√:Pe§R:P :
b) despejando ]
( )
§e:PRZP S :
( )
c) Aplicamos N-R (es un tipo de problema de punto fijo) 9
(2 ] [ 4 : 9 2 9 5) = ( ) (6 : [ 8 9 2)
Las iteraciones para (a), son: ₁ = 1.1180339887499
₂ = 1.0536819972868 …. ₃₀ = 1.0781625824823 Las iteraciones para (b), son: ₁ = 1.1447142425533 ₂ = 1.0079279312584 ₃ = 1.1385995170201 ₄ = 1.015033461394 ₅ = 1.1330072625887 …Converge muy lentamente Las iteraciones para (c), son: ₁ = 1.08333333333333 ₂ = 1.0781830462682 ₃ = 1.0781625876515 ₄ = 1.0781625873293 Este es el algoritmo que converge más rápidamente a la raíz de f(x).
9) Resolver 656112√P 6P usando un algoritmo de punto fijo.
Sol:
Para poder usar un algoritmo de punto fijo, necesitamos pasar la ecuación a algo más trabajable, entonces:
656112√P 6P /{ ln !) √P
ln 656112 Z ln 6P √ { ln 656112 { ln 6 4 G! )
√P Z
{ ln 656112 9 { ln 6 0
Ahora hacemos un barrido para ver en que intervalo esta la raíz de la función f!x). G!0) 0 x 0 es raíz de la función G!3) 0.424531300494 G!3.4) 0.08238673361 G!3.5) 90.006647672497 G!4) 90.469994484382 El intervalo donde se encuentra la raíz de f!x) es -3.4; 3.50, y el punto de inicio será m 3.45. El problema de punto fijo con que se trabajara será: de8 ! d ) ₁ 3.4712265304214
₇ 3.4922489459813
₂ 3.4818887200483
₈ 3.4924162987635
₃ 3.4872320897908
₉ 3.4924999781619
₄ 3.4899068488881
₁₀ 3.4925418186131
₅ 3.4912449976811
₁₁ 3.4925627390267
₆ 3.4919142644745
₁₂ 3.4925731992805
Pg Z
{
§88:
El error absoluto de ₁₁ es: ! ₁₁) | ₁₂ 9 ₁₁| |3.4925731992805 9 3.4925627390267| 1.04602538*10R§ ! ₁₁) 1.04602538*10R§ < ℰ 10RZ Después de 12 iteraciones se llego a ₁₂ 3.4925731992805 que es una aproximación a la raíz de de la función, con un ! ₁₁) < ℰ 10RZ f ! ₁₂ 3.4925731992805) 9.3711503*10R 0 f ! ® ¯ ) 0
10)
Sol:
Resolver . 9 √. [ usando un algoritmo de punto fijo.
Al ordenar la ecuación !igualándola a 0), queda expresado de la siguiente forma: G! ) . 9 √. [ 9 0 !la idea es obtener la raíz de f!x))
Para poder obtener esa raíz, tomaremos la ecuación inicial, como nuestro problema de punto fijo. El algoritmo de punto fijo queda: de8 . 9 . [ d
Y el punto de inicio será: m √. Las iteraciones quedan: 8 . 9 . [ √.
!Cantidad de a: 3)
: ±. 9 ². [ . 9 . [ √.
!Cantidad de a: 5)
µ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ¶ . 9 . [ ±. 9 ². [ . 9 . [ √. ] ´ ´ ´ ³
!Cantidad de a: 7)
……
µ µ µ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ¶ ´ ´ d ´. 9 ´. [ · … . ´ . 9 . [ ±. 9 ². [ . 9 . [ √. ´ ´ ´ ´ ³ ³ ³ -2n[10)
!Cantidad de a:
El error absoluto de d es:
! d ) | d 9 dR8 | 0
Después de n iteraciones se llego a que d es la raíz de de la función G! ) . 9 √. [ 9 , con un ! d ) 0
G ! d ) 0
Recomendación: compruebe con a 3 !la raíz es x 1), y con a 7 !la raíz es x 2).
8
º
11) Cuando a>1 y 0
