PRODUCTO ESCALAR Definición de producto escalar de vectores. r r Se denomina producto escalar de dos vectores a = (a 1 , a 2 ) y b = (b1 , b 2 ) y lo representamos por

r r a o b , al número:

r r r r a o b = a ⋅ b ⋅ cos α

En el producto escalar se multiplican dos vectores, pero el resultado es un número (escalar). Si los vectores pertenecen al espacio vectorial Vn, el producto escalar así definido es una aplicación de Vn×Vn en R. f: Vn×Vn → R La operación así definida es una ley de composición externa, ya que a dos vectores se les hace corresponder un número real y no un vector.

Interpretación geométrica. Propiedades geométricas.

cos α =

OC OB

r ⇒ OC = OB ⋅ cos α = proyección de OB sobre OA = proy v w r r r r r r v ⋅ w = v ⋅ w ⋅ cos α = v ⋅ proy v w 1424 3 OC

El valor absoluto del producto escalar es igual al módulo de uno de ellos multiplicado por la proyección del otro sobre él. De está igualdad se puede despejar la proyección de un vector sobre otro. uov uov proy u v = analogamente proy v u = u v

Propiedades del producto escalar. I) II) III) IV)

El producto escalar es nulo si al menos uno de los vectores es el vector nulo, o si los vectores son perpendiculares El producto escalar de dos vectores es conmutativo. Asociativa entre elementos de V y elementos de R. K·(u o v ) = (K·u ) o v = u o (K·v ) Distributiva de producto respecto de la suma u o (v + w ) = u o v + u o w

Módulo y norma de un vector. El producto escalar de un vector por si mismo es: 2

∀v ∈ V n : v 2 = v o v = v ⋅ v ⋅ cos 0º = v :⇒ v 2 = v

2

por consiguiente Norma: Producto escalar del vector por si mismo, o lo que es lo mismo, módulo del vector al cuadrado. v = vov = v

2

Módulo: Raíz cuadrada positiva del producto escalar de un vector por si mismo.

v = + vov

1

Vectores unitarios. Se llaman vectores unitarios a los vectores cuyo módulo es la unidad. Para normalizar un vector basta dividirlo por su módulo. v vN = v El producto escalar de vectores unitarios puede presentar tres casos: Si son perpendiculares, su producto escalar será nulo. i) Si son paralelos, su producto escalar será 1 sí son de igual sentido ó −1 sí tiene ii) sentido opuesto Si no son perpendiculares ni paralelos, su producto escalar será igual al coseno iii) del ángulo que formen.

Bases. Base de un espacio vectorial es una familia de vectores libres en función de los cuales se pueden expresar todos los demás vectores como combinación lineal de ellos. Las condiciones que debe reunir un subconjunto B de vectores de V, para ser una base de V son: Debe ser un sistema generador de V i) Los vectores que lo forman deben ser linealmente independientes. ii) Las base se pueden clasificar en función del ángulo entre los vectores y del módulo de estos.

Tipo de base LIBRE NORMALIZADA ORTOGONAL ORTONORMAL

Ángulo Sin restricción Sin restricción 90º 90º

Módulo Sin restricción 1 Sin restricción 1

La base ortonormal también recibe el nombre de base canónica ó base métrica. En V² esta formada por los vectores i = (1,0 ) , j = (0,1) r r r En V3 esta formada por los vectores i = (1,0,0 ) , j = (0,1,0 ) , k = (0,0,1) .

Expresión analítica del producto escalar. Sea B = {u 1 , u 2 } una base libre del espacio vectorial V2. En dicha base nos definen dos vectores r r a = a 1 u 1 + a 2 u 2 : b = b1 u 1 + b 2 u 2 r r a o b = (a 1 u 1 + a 2 u 2 ) o (b 1 u 1 + b 2 u 2 ) teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar de vectores r r a o b = a 1 ·b1 (u 1 o u 1 ) + a 2 ·b 2 (u 2 o u 2 ) + (a 1 ·b 2 + a 2 ·b 1 )( · u1 o u 2 )

aplicando la definición de producto escalar de dos vectores: u o u = u · u ·cos 0 = u 2 i i i i i  = u o u u · u ·cos u u  i j i j i j r 2 r r r r + a 2 ·b 2 · u 2 + (a 1 ·b 2 + a 2 ·b1 )· u 1 · u 2 ·cos(u 1 u 2 )

(

r r r a o b = a 1 ·b1 · u 1

2

)

expresión de producto escalar en una base libre. r r Si la base B = {u 1 , u 2 }es normada (módulo unidad y ángulo libre) r r r r u1 o u1 = u 2 o u 2 = 1 r r r r u i o u j = cos u i u j

(

2

)

la expresión del producto escalar se simplifica un poco a o b = a 1 ·b 1 + a 2 ·b 2 + (a 1 ·b 2 + a 2 ·b 1 )·cos(u 1 u 2 ) + r r Si la base B = {u 1 , u 2 } es ortogonal, (módulo libre y ángulo entre vectores 90º) r r r 2 ui o ui = ui r r u i o u j = cos 90º = 0

con lo que la expresión del producto escalar queda 2

a o b = a 1 ·b 1 u 1

+ a 2 ·b 2 u 2

2

{ }

r r Si el sistema referencia está formado por la base canónica B = i , j , la expresión anterior se simplifica bastante ya que: r r r r i o i = jo j =1 r r r r i o j = jo i = 0 por ser vectores unitarios y ortogonales entre sí.

(

)(

)

r r r r a o b = a 1 i + a 2 j o b1 i + b 2 j = a 1 ·b 1 + a 2 ·b 2

Aplicaciones de la expresión analítica del producto escalar de vectores. I)

Módulo de un vector

r r r a = + aoa =

(a 1 ur 1 + a 2 ur 2 ) o (a 1 ur 1 + a 2 ur 2 )

Base libre r r 2 r 2 r r r r a = a12 u1 + a 22 u 2 + 2a1a 2 u1 u 2 cos(u1u 2 )

Base Normada r r r a = a12 + a 22 + 2a1a 2 cos(u1u 2 )

Base Ortogonal r r 2 r 2 a = a12 u1 + a 22 u 2

Base canónica r a = a12 + a 22

II)

Vectores normalizados.

Base libre r r a aN = r = a

r r a aN = r a r a r r = aoa

Base normada r r a aN = r = a

r r a 1u1 + a 2 u 2 a 12 u 1 r a r r = aoa

2

+ a 22 u 2

2

r r + 2a 1a 2 cos(u 1 u 2 )

r r a 1u1 + a 2 u 2 r r a 12 + a 22 + 2 cos(u 1 u 2 )

3

Base ortogonal r r a aN = r = a Base canónica

r r a 1u 1 + a 2 u 2

r a r r = aoa

a 12 u 1

2

+ a 22 u 2

2

r r r r a a u + a 2u 2 aN = r = 1 1 a a 12 + a 22

El vector unitario se puede expresar en función de los cosenos directores

r aN =

a1 a 12

+ a 22

+ a 32

a2

r u1 +

a 12

+ a 22

+ a 32

r u2

cos 2 α + cos 2 β = 1

III)

Proyección de un vector sobre otro Como aplicación de la interpretación geométrica del producto escalar de vectores r r r aob r proy b a = r b Base libre 2 2 r r r a o b a 1 ·b 1 u 1 + a 2 ·b 2 u 2 + (a 1 ·b 2 + a 2 ·b1 )· u 1 · u 2 ·cos(u 1 u 2 ) r proy b a = r = r 2 r 2 r r r r b b12 u 1 + b 22 u 2 + 2b1 b 2 u 1 u 2 cos(u 1 u 2 ) Base normada r r r a o b a ·b + a 2 ·b 2 + (a 1 ·b 2 + a 2 ·b 1 )·cos(u 1 u 2 ) proy br a = r = 1 1 r r b b 12 + b 22 + 2b 1 b 2 cos(u 1 u 2 ) Base ortogonal r

proy br a

r r a o b a 1 ·b 1 u 1 = r = r b b2 u 1

2

1

+ a 2 ·b 2 u 2 r 2 2 + b 22 u 2

Base canónica r

proy br a

r r a o b a 1 ⋅ b1 + a 2 ⋅ b 2 = r = b b 12 + b 22

4

2

IV)

Ángulo entre vectores

De la expresión de definición del producto escalar de vectores, se puede despejar el coseno del ángulo que forman los vectores, obteniéndose: r r rr aob cos a b = r r a⋅b

( )

Base libre 2 2 r r r a 1 ·b1 u 1 + a 2 ·b 2 u 2 + (a 1 ·b 2 + a 2 ·b1 )· u 1 · u 2 ·cos(u 1 u 2 ) r aob cos a b = r r = r 2 r 2 r r r r r 2 r 2 r r r r a⋅b a 12 u 1 + a 22 u 2 + 2a 1a 2 u 1 u 2 cos(u 1 u 2 ) ⋅ b 12 u 1 + b 22 u 2 + 2b1 b 2 u 1 u 2 cos(u 1 u 2 )

( )

Base normada

r r rr aob cos a b = r r = a⋅b

( )

a12

a1·b1 + a 2 ·b 2 + (a1·b 2 + a 2 ·b1 )·cos(u1u 2 ) r r r r + 2b1b 2 cos(u1u 2 ) ⋅ b12 + b 22 + 2b1b 2 cos(u1u 2 )

+ a 22

Base ortogonal

r r rr aob cos a b = r r = a⋅b

( )

Base canónica

2

r r rr aob cos a b = r r = a⋅b

( )

V)

2

a1·b1 u1 + a 2 ·b 2 u 2 r r 2 r 2 r 2 2 a12 u1 + a 22 u 2 ⋅ b12 u1 + b 22 u 2

a 1 ⋅b1 +a 2 ⋅b 2 a 12 + a 22 ⋅ b12 + b 22

Altura de un triángulo

Altura de un triángulo de vértices los puntos A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2). Distancia del punto C a la recta que pasa por A y B Como se observa en la figura, la altura del triángulo coincide con la proyección del vector AC sobre la ortogonal de AB , denominada AB' AC o AB' h = proy AB' AC = AB' VI)

Área de un triángulo

base × altura 2 Si se toma como base el lado AB, su longitud es el módulo de AB y la altura por tanto deberá ser la altura correspondiente al vértice C. Área (ABC) =

Área (ABC) =

{

}

1 1 AC o AB' 1 ⋅ AB ⋅ proy AB' AC = ⋅ AB ⋅ = AB = AB' = AC o AB' 2 2 2 AB'

Nota: El módulo de un vector y el de su ortogonal son iguales. La expresión del área del triángulo es análoga si se toma como base el lado AC o el BC 1 1 1 Área (ABC) = AB o AC' = BC o BA' = BA o BC' 2 2 2

5

VII)

Área de un paralelogramo

Área = base × altura base = AB

Altura = proy AB' AD Área (ABCD) = AD o AB'

RESUMEN DE APLICACIONES DEL PRODUCTO ESCALAR EXPRESIÓN GENERAL

EXPRESIÓN ANALÍTICA (Base canónica) r v = v12 + v 22

Módulo de un vector r r r v = + vov Vector unitario r r v vN = r v

 v1 v2 r  vN =  , 2 2 2  v +v v 1 + v 22 2  1 r u ·v + u 2 ·v 2 proy ur v = 1 1 u 12 + u 22

Proyección de un vector sobre otro r r r uov r proy u v = r u Ángulo entre vectores r r uov cos α = r r u⋅v

cos α =

6

u 1 ⋅ v1 + u 2 ⋅ v 2 u 12 + u 22 · v12 + v 22

    