PRODUCTO ESCALAR Definición de producto escalar de vectores. r r Se denomina producto escalar de dos vectores a = (a 1 , a 2 , a 3 ) y b = (b1 , b 2 , b 3 ) y lo representamos

r r por a o b , al número:

r r r r a o b = a ⋅ b ⋅ cos α

En el producto escalar se multiplican dos vectores, pero el resultado es un número (escalar). Si los vectores pertenecen al espacio vectorial Vn, el producto escalar así definido es una aplicación n n de V ×V en R. f: Vn×Vn → R La operación así definida es una ley de composición externa, ya que a dos vectores se les hace corresponder un número real y no un vector.

Interpretación geométrica. Propiedades geométricas.

cos α =

OC OB

r ⇒ OC = OB ⋅ cos α = proyección de OB sobre OA = proy v w r r r r r r v ⋅ w = v ⋅ w ⋅ cos α = v ⋅ proy v w 1424 3 OC

El valor absoluto del producto escalar es igual al módulo de uno de ellos multiplicado por la proyección del otro sobre él. De está igualdad se puede despejar la proyección de un vector sobre otro. uov uov proy u v = analogamente proy v u = u v

Propiedades del producto escalar. I) II) III) IV)

El producto escalar es nulo si al menos uno de los vectores es el vector nulo, o si los vectores son perpendiculares El producto escalar de dos vectores es conmutativo. Asociativa entre elementos de V y elementos de R. K·(u o v ) = (K·u ) o v = u o (K·v ) Distributiva de producto respecto de la suma u o (v + w ) = u o v + u o w

Módulo y norma de un vector. El producto escalar de un vector por si mismo es: 2

∀v ∈ V n : v 2 = v o v = v ⋅ v ⋅ cos 0º = v :⇒ v 2 = v

2

por consiguiente Norma: Producto escalar del vector por si mismo, o lo que es lo mismo, módulo del vector al cuadrado. v = vov = v

2

Módulo: Raíz cuadrada positiva del producto escalar de un vector por si mismo. v = + vov

Vectores unitarios. Se llaman vectores unitarios a los vectores cuyo módulo es la unidad. Para normalizar un vector basta dividirlo por su módulo. v vN = v El producto escalar de vectores unitarios puede presentar tres casos: Si son perpendiculares, su producto escalar será nulo. i) ii) Si son paralelos, su producto escalar será 1 sí son de igual sentido ó −1 sí tiene sentido opuesto iii) Si no son perpendiculares ni paralelos, su producto escalar será igual al coseno del ángulo que formen.

Bases. Base de un espacio vectorial es una familia de vectores libres en función de los cuales se pueden expresar todos los demás vectores como combinación lineal de ellos. Las condiciones que debe reunir un subconjunto B de vectores de V, para ser una base de V son: Debe ser un sistema generador de V i) ii) Los vectores que lo forman deben ser linealmente independientes. Las base se pueden clasificar en función del ángulo entre los vectores y del módulo de estos.

Tipo de base LIBRE NORMALIZADA ORTOGONAL ORTONORMAL

Ángulo Sin restricción Sin restricción 90º 90º

Módulo Sin restricción 1 Sin restricción 1

La base ortonormal también recibe el nombre de base canónica ó base métrica. En V² esta formada por los vectores i = (1,0 ) , j = (0,1) r r r En V3 esta formada por los vectores i = (1,0,0 ) , j = (0,1,0 ) , k = (0,0,1) .

Expresión analítica del producto escalar. Sea B = {u 1 , u 2 , u 3 } una base del espacio vectorial V3. En dicha base nos definen dos vectores r r a = a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 : b = b1 u 1 + b 2 u 2 + b 3 u 3 r r a o b = (a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 ) o (b 1 u 1 + b 2 u 2 + b 3 u 3 ) = teniendo en cuenta las propiedades del producto escalar de vectores = a 1 ·b 1 (u 1 o u 1 ) + a 2 ·b 2 (u 2 o u 2 ) + a 3 ·b 3 (u 3 o u 3 ) + (a 1 ·b 2 + a 2 ·b 1 )( · u1 o u 2 ) + + (a 1 ·b 3 + a 3 ·b 1 )( · u 1 o u 3 ) + (a 2 ·b 3 + a 3 ·b 2 )( · u2 o u3 )

aplicando la definición de producto escalar de dos vectores:

u o u = u · u ·cos 0 = u i i i i i  u o u u · u ·cos u u =  i j i j i j

(

2

a o b = a 1 ·b1 u 1 + a 2 ·b 2 u 2

2

+ a 3 ·b 3 u 3

2

2

)

+ (a 1 ·b 2 + a 2 ·b1 )· u 1 · u 2 ·cos (u 1 u 2 ) +

+ (a 1 ·b 3 + a 3 ·b1 )· u 1 · u 3 ·cos (u 1 u 3 ) + (a 2 ·b 3 + a 3 ·b 2 )· u 2 · u 3 ·cos (u 2 u 3 )

expresión de producto escalar en una base libre. r r r Si la base B = {u 1 , u 2 , u 3 } es normada (módulo unidad y ángulo libre) r r r r r r u1 o u1 = u 2 o u 2 = u 3 o u 3 = 1 r r r r u i o u j = cos u i u j

(

)

por lo que la expresión del producto escalar se simplifica un poco

a o b = a 1 ·b 1 + a 2 ·b 2 + a 3 ·b 3 + (a 1 ·b 2 + a 2 ·b 1 )·cos(u 1 u 2 ) + + (a 1 ·b 3 + a 3 ·b 1 )·cos(u 1 u 3 ) + (a 2 ·b 3 + a 3 ·b 2 )·cos(u 2 u 3 )

r r r Si la base B = {u 1 , u 2 , u 3 } es ortogonal, (módulo libre y ángulo entre vectores 90º) r r r 2 ui o ui = ui r r u i o u j = cos 90º = 0 con lo que la expresión del producto escalar queda a o b = a 1 ·b 1 u 1

2

+ a 2 ·b 2 u 2

2

+ a 3 ·b 3 u 3

2

{

}

r r r Si el sistema referencia está formado por la base canónica B = i , j, k , la expresión anterior se simplifica bastante ya que: r r r r r r i o i = jo j = kok =1 r r r r r r i o j = i ok = jok = 0 por ser vectores unitarios y ortogonales entre sí.

(

)(

)

r r r r r r a o b = a 1 i + a 2 j + a 3 k o b 1 i + b 2 j + b 3 k = a 1 ·b 1 + a 2 ·b 2 + a 3 ·b 3

Aplicaciones de la expresión analítica del producto escalar de vectores. I)

Módulo de un vector r r r a = + aoa =

(a 1 ur 1 + a 2 ur 2 + a 3 ur 3 ) o (a 1 ur 1 + a 2 ur 2 + a 3 ur 3 )

Base libre r r a = a 12 u 1

2

r + a 22 u 2

2

r + a 32 u 3

2

r r r r r r r r r r r r + 2a 1 a 2 u 1 u 2 cos(u 1 u 2 ) + 2a 1 a 3 u 1 u 3 cos(u 1 u 3 ) + 2a 2 a 3 u 2 u 3 cos(u 2 u 3 )

Base Normada r r r r r r r a = a12 + a 22 + a 32 + 2a1a 2 cos(u1u 2 ) + 2a1a 3 cos(u1u 3 ) + 2a 2a 3 cos(u 2 u 3 )

Base Ortogonal r r 2 r 2 r 2 a = a12 u1 + a 22 u 2 + a 32 u 3

Base canónica r a = a12 + a 22 + a 32

II)

Vectores normalizados.

r r a aN = r a

Base canónica

r r r r r a a u + a 2 u 2 + a 3u 3 aN = r = 1 1 a a2 +a2 +a2 1

2

3

El vector unitario se puede expresar en función de los cosenos directores

r aN =

III)

a1 a 12

+ a 22

+ a 32

r u1 +

a2 a 12

+ a 22

+ a 32

r u2 +

a3 a 12

+ a 22

+ a 32

r u3

Proyección de un vector sobre otro Como aplicación de la interpretación geométrica del producto escalar de vectores r r r aob r proy b a = r b Base canónica r r r a o b a ⋅ b + a 2 ⋅ b2 + a 3 ⋅ b3 proy br a = r = 1 1 b b 12 + b 22 + b 32

En cualquier otra base se sustituye la expresión del modulo del vector y la expresión del producto escalar en base canónica, por la expresión del módulo y del producto escalar en la base que se este utilizando.

IV)

Ángulo entre vectores

De la expresión de definición del producto escalar de vectores, se puede despejar el coseno del ángulo que forman los vectores.

( )

r r r r rr a o b = a ⋅ b ⋅ cos a b

se puede despejar el ángulo que forman los vectores, obteniéndose: r r rr aob cos a b = r r a⋅b

( )

Base canónica

r r rr aob cos a b = r r = a⋅b

( )

a 1 ⋅b 1 + a 2 ⋅b 2 + a 3 ⋅b 3 a 12

+ a 22 + a 32 ⋅ b 12 + b 22 + b 32

En cualquier otra base se sustituyen las expresiones del modulo del vector y del producto escalar en base canónica, por sus expresiones en la base que se este utilizando.

PRODUCTO VECTORIAL r r Se define el producto vectorial de dos vectores a y b como otro vector perpendicular a ambos.

Vector producto vectorial de dos vectores. r r Sean a = (a 1 , a 2 , a 3 ) y b = (b1 , b 2 , b 3 ) dos vectores de R³ linealmente independientes y sea r r r r r r x = (x 1 , x 2 , x 3 ) el vector producto vectorial de a y b , todos definidos en la base canónica B = i , j, k . r r r r Si x es el producto vectorial de a y b , x debe ser perpendicular a ambos y por tanto su producto escalar con cada uno de ellos debe ser nulo. r r a o x = 0 r r b o x = 0 sustituyendo y operando  (a 1 , a 2 , a 3 ) o (x 1 , x 2 , x 3 ) = 0  a 1 ⋅ x 1 + a 2 ⋅ x 2 + a 3 ⋅ x 3 = 0 ⇒  (b 1 , b 2 , b 3 ) o (x 1 , x 2 , x 3 ) = 0 b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + b 3 ⋅ x 3 = 0

{

}

se obtiene un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas (x1,x2,x3) compatible indeterminado dado que los r r vectores a y b son linealmente independientes y por tanto rgA = rgA* = 2 ≥ n = 3. Para resolver el sistema se toma una variable como parámetro, por ejemplo x3=λ, y se despeja:  a 1 ⋅ x 1 + a 2 ⋅ x 2 = −a 3 ⋅ λ x3 = λ :  b 1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 = − b 3 ⋅ λ resolviendo por Cramer: − a3 ⋅λ a 2 −a3 a2 λ⋅ − b3 ⋅ λ b2 − b3 b2 x1 = = : a1 a 2 a1 a 2 b1 b 2 b1 b 2 dando a λ el valor

a1 b1

x2 =

a1 b1 a1 b1

− a3 ⋅λ − b3 ⋅λ a2 b2

λ⋅ =

a1 b1

− a3 − b3

a1 b1

a2 b2

:

x3 = λ

r a2 r r se obtiene el vector x en función de las componentes de los vectores a y b b2

r  − a 3 a 2 a1 − a 3 a1 a 2   x =  , ,   − b 3 b 2 b1 − b 3 b1 b 2  aplicando las propiedades de los determinantes a las dos primera componentes del vector se obtiene: a 3 a1 a 3 a1 a 2  r a  ,− , x =  2  b  2 b 3 b1 b 3 b1 b 2  i

que corresponde al desarrollo del determinante a 1 b1

j a2 b2

k a 3 por los adjuntos de la primera fila. b3

Propiedades del producto vectorial.

r r r r (1) a × b = −b × a r r r v r r (2) (α·a )× b = a × α·b = α· a × b r r r r (3) a × b es ortogoanal a y a b r r2 r2 r2 r r 2 (4) a × b = a · b − a o b r r r r r r (5) a × b = a · b ·sen a , b r r r r (6) a × b = 0 ⇔ a y b son linealmente dependientes r r r r r r (7) Sí a y b son linealmente independientes, a , b , a × b constituyen una base de V3.

( ) ( )

( ) ( )

{

}

Interpretación geométrica. r r Si a y b son linealmente independientes, determinan un paralelogramo

r S = a ⋅h

Por trigonometría

sustituyendo en la ecuación del área

r h sen α = r ; h = b ⋅ sen α b

r r r r r S = a ⋅ h = a ⋅ b ⋅ sen α = a × b

Área de un triángulo. Si A B y C son puntos no alineados del espacio, determinan un triángulo cuyo área puede calcularse como aplicación del módulo del producto vectorial.

S(A, B, C ) =

1 ⋅ AB × AC 2

PRODUCTO MIXTO Se define el producto mixto de tres vectores como el producto escalar de uno de ellos por el vector producto vectorial de los otros dos. b b 3 b1 b 3 b1 b 2  r r r = a o b × c = (a 1 , a 2 , a 3 ) o [(b1 , b 2 , b 3 ) × (c1 , c 2 , c 3 )] = (a 1 , a 2 , a 3 ) o  2 ,− ,   c 2 c 3 c1 c 3 c1 c 2 

( )

= a1 ⋅

b2 c2

b3 b −a2 ⋅ 1 c3 c1

b3 b + a3 ⋅ 1 c3 c1

b2 c2

El producto mixto de tres vectores corresponde al desarrollo del determinante de orden tres formado por las componente de los vectores: a1 a 2 a 3 r r r a o b × c = b1 b 2 b 3 c1 c 2 c 3

( )

Propiedades del producto mixto.

( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )

( )

r r r r r r r r r r r r r r r r r r (1) a o b × c = c o a × b = b o (c × a ) = −a o c × b = − b o (a × c ) = − c o b × a r r r r r r r r r r r r (2) α ⋅ a o b × c = α·a o b × c = a o α·b × c = a o b × α·c r r r r r r r r r r (3) (a + a ') o b × c = a o b × c + a 'o b × c r r r r r r (4) a o b × c = 0 ⇔ a , b, c son linealmente dependientes

)

Interpretación geométrica. Si tres vectores espaciales son linealmente independientes, determinan un paralelepípedo.

V = S(base) ⋅ h teniendo en cuenta las relaciones Trigonométricas del ángulo α r h cos α = r ⇒ h = a ⋅ cos α a sustituyendo en la ecuación del volumen

( )

r r r r r r V = b × c ⋅ a ⋅ cos α = a o b × c

Por geometría elemental, el volumen del tetraedro formado por cuatro puntos es 1 paralelepípedo. V=

( )

1 r r r ⋅a o b×c 6

6

del volumen del