Modelado y Simulación de Redes de Telecomunicaciones Jhon Jairo Padilla Aguilar, PhD.

Modelo Qué es un modelo?

Para qué sirve?

• Es una representación ideal y simplificada de un fenómeno

• Para tener una mejor comprensión de una situación compleja

Algunos ejemplos de Modelos En arquitectura…

En la moda…

Para qué son útiles los modelos? En investigación y Desarrollo se requiere entender situaciones muy complejas Para resaltar una característica o proceso de interés dentro de un fenómeno más complejo.

Se puede modelar el problema….. pero también la solución…

Procesos de la actividad científica • Proceso Ascendente: • Conduce a la formación de entidades teóricas (conceptos, leyes, teorías) • Pueden partir de situaciones idealizadas (Ej: puntos de masa de Newton) • Ejemplo: Física (Einstein, Newton)

• Proceso Descendente: • Comprobación experimental de las construcciones teóricas

1. Proceso ascendente • Un objeto ficticio sustituye al real (Objeto científico) • Esto se requiere para hacer las formulaciones matemáticas (Modelado) • Características del objeto científico reflejan las propiedades relevantes del sistema y prescinden de otras propiedades que consideran irrelevantes • Ejemplos: • Modelo de una planta a controlar • Modelo de una red de computadores

2. Proceso Descendente: • Comprobación experimental de las construcciones teóricas • Tengo un posible modelo matemático, pero…..será cercano a la realidad?

2. Proceso Descendente: Método Científico • Se parte de un problema a resolver • Se emite una hipótesis para una solución posible • Se debe comprobar la hipótesis: • Si es fácil la observación: Hipótesis empírica • Si no es fácil la observación: Hipótesis Abstractas (Difíciles de probar y van cambiando con el tiempo)

El método científico (Robert Boyle, siglo XVII) • Reunión de los hechos (plantear el problema y justificar la razón de la investigación) • Construcción de una hipótesis relacionando los hechos (plantear una posible solución) • Probar la hipótesis con nuevas experiencias (experimentación: simulación, prototipos; también se pueden usar modelos matemáticos y deducción) • Si estas desaprueban la hipótesis, construir una nueva con los hechos antiguos y los nuevos • Repetir hasta encontrar la solución

Formas de estudiar un sistema

Razones para inviabilidad de experimentación con el sistema real • Cuando el sistema aun no exista físicamente: Esta situación se plantea frecuentemente en la fase de diseño de nuevos sistemas, cuando el ingeniero necesita predecir el comportamiento de los mismos antes de que sean construidos. • El elevado coste económico del experimento: Consideremos el caso de un empresario que planea ampliar las instalaciones de su empresa, pero que no está seguro de que la ganancia potencial justifique el coste de la ampliación. Ciertamente, no sería razonable que, para salir de dudas, realizara la ampliación y luego se volviera atrás si ésta demostrara no ser rentable. Una alternativa consiste en simular la operación de la configuración actual de la empresa, simular la operación de la configuración alternativa y comparar sus productividades.

Razones para inviabilidad de experimentación con el sistema real • El experimento puede producir perjuicio o incomodidad: Por ejemplo, experimentar con un nuevo sistema de facturación en un aeropuerto puede producir retrasos y problemas imprevisibles que perjudiquen al viajero. • El tiempo requerido para la realización del experimento lo hace irrealizable: Casos extremos pueden encontrarse en los estudios geológicos o cosmológicos, de evolución de las especies, sociológicos, etc. • Algunos experimentos son peligrosos: Por ejemplo, sería inapropiado usar el sistema real para adiestrar a los operarios de una central nuclear acerca de cómo deben reaccionar ante situaciones de emergencia. • El experimento requiere modificar variables que en el sistema real o bien no están accesibles o no pueden ser modificadas en el rango requerido: Con un modelo matemático adecuado, se pueden ensayar condiciones de operación extremas que son impracticables en el sistema real.

Tipos de Modelos • Modelos Mentales: un operario trabajando en determinado proceso industrial sabe cómo el proceso reacciona ante diferentes acciones: el operario, mediante el entrenamiento y la experiencia, ha desarrollado un modelo mental del proceso.

Tipos de Modelos • Modelos verbales: el comportamiento del sistema es descrito mediante palabras: si se aprieta el freno, entonces la velocidad del coche se reduce. Los sistemas expertos son ejemplos de modelos verbales formalizados.

Tipos de Modelos • Modelos físicos: como las maquetas a escala que construyen los arquitectos, diseñadores de barcos o aeronaves para comprobar las propiedades estéticas, aerodinámicas, etc.

Tipos de Modelos • Modelos matemáticos: En ellos, las relaciones entre las cantidades que pueden ser observadas del sistema (distancias, velocidades, flujos, etc.) están descritas mediante relaciones matemáticas. En este sentido, la mayoría de las leyes de la naturaleza son modelos matemáticos.

Tipos de Modelos: Simulación por computador • La Simulación es una herramienta de análisis que nos permite sacar conclusiones sin necesidad de trabajar directamente con el sistema real que se está simulando. • La simulación es especialmente útil cuando no disponemos de dicho sistema real o nos resulta demasiado arriesgado realizar experimentos sobre él.

Algunos ejemplos de Simuladores • Simulador de Vuelo • Juego lúdico • Juego Serio para entrenamiento

Simuladores en Redes de Computadores • Opnet • Comnet • Omnet • NS-2 • GNS-3 • Etc.

Situaciones en que es deseable una simulación: • En general, nos interesará simular el comportamiento de aquellos Sistemas que por su complejidad o por su coste elevado no podemos estudiar ni mediante técnicas analíticas (modelos matemáticos directamente resolubles) ni a través de pruebas reales. • Así pues, la simulación resulta especialmente útil en la fase de estudio de viabilidad, previa al desarrollo e implantación de un Sistema.

Tipos de Modelos de Simulación: Estático vs. Modelo dinámico • Un modelo de simulación estático es una representación de un sistema en un instante de tiempo particular, o bien un modelo que sirve para representar un sistema en el cual el tiempo no juega ningún papel. Ejemplo de simulaciones estáticas son las simulaciones de Monte Carlo. • Por otra parte, un modelo de simulación dinámico representa un sistema que evoluciona con el tiempo.

Tipos de Modelos de Simulación: De tiempo continuo vs De tiempo discreto • Modelo de tiempo continuo: está caracterizado por el hecho de que el valor de sus variables de estado puede cambiar infinitas veces (es decir, de manera continua) en un intervalo finito de tiempo. Un ejemplo es el nivel de agua en un depósito. • Modelo de tiempo discreto: los cambios pueden ocurrir únicamente en instantes separados en el tiempo. Sus variables de estado pueden cambiar de valor sólo un número finito de veces por unidad de tiempo.

Modelos de simulación Híbridos • Pueden definirse modelos con algunas de sus variables de estado de tiempo continuo y las restantes de tiempo discreto. Este tipo de modelos, con parte de tiempo continuo y parte de tiempo discreto, de llama modelos híbridos. • La decisión de realizar un modelo continuo o discreto depende del objetivo específico del estudio y no del sistema en sí. • Un ejemplo de ello lo constituyen los modelos del flujo de tráfico de paquetes en una red. Cuando las características y el movimiento de los paquetes individuales son relevantes puede realizarse un modelo discreto (modelos probabilísticos, teoría de colas). En caso contrario, puede resultar más sencillo realizar un modelo continuo (modelos de optimización de los caminos en redes)

Modelos de tiempo contínuo vs tiempo discreto • En simulación, los modelos de tiempo contínuo son una idealización, al igual que las variables de tiempo contínuo. • Al simular mediante un computador digital un modelo de tiempo continuo, debe discretizarse el eje temporal a fin de evitar el problema de los infinitos cambios en el valor de los estados. Esta discretización constituye una aproximación (con su error asociado) que transforma el modelo de tiempo continuo en un modelo de tiempo discreto.

Precaución • Un modelo de simulación podría usarse en rangos de trabajo en los cuales el sistema real no puede hacerlo. • Se debe tener la precaución de ajustar los rangos de trabajo para una situación real.

El método científico en la simulación Descripción clara del problema Identificación Factores Problema/Solución Proponer/refinar el modelo del problema Obtener solución a partir del modelo del problema

Probar y validar la solución Conclusiones y recomendaciones finales

Probar y validar modelo y factores

Experimentación

La Manipulación de datos Requiere de técnicas especiales Que ofrece la Estadística

Experimento • Experimento: Proceso o procedimiento que transforma una entrada en una salida.

• Experimento determinístico:

• Para una misma entrada, se produce siempre la misma salida en cada repetición del experimento.

• Experimento Aleatorio:

• Para una misma entrada, se obtienen diferentes salidas en cada repetición del experimento

Términos • Espacio de muestreo: • El conjunto S de las salidas de un experimento aleatorio es llamado espacio de muestreo (o también: espacio de muestras o espacio muestral) del experimento aleatorio.

• Resultados: Los elementos del espacio de muestras se conocen como resultados. • La característica clave de un resultado es la indivisibilidad. Un resultado no puede ser subdividido en otros resultados más elementales.

Ejemplo: Experimento aleatorio Población: Todos los posibles resultados , P={0000,0001,…,9998,9999} Medida: Combinación elegida Intento

Combinación

1

0783

2

2615

3

9742

4

3212

5

2086

Espacio muestral: Todos los resultados del experimento. En este caso S={0783, 2615, 9742, 3212, 2086}

Por qué las técnicas de la estadística? • Variabilidad: Las observaciones sucesivas de un experimento aleatorio no ofrecen exactamente el mismo resultado. • Fuente de variabilidad: Todo experimento aleatorio tiene factores que introducen variaciones a las observaciones realizadas. • La estadística permite describir la variabilidad y descubrir cuáles fuentes de variabilidad tienen mayor impacto sobre el experimento.

Usos de la estadística 1. 2. 3. 4.

Inferencia Estadística Modelado de procesos aleatorios Investigación Experimental Control estadístico de procesos

1. Inferencia estadística • Se refiere al proceso que se sigue para obtener unas reglas generales (aplicables a toda la población) acerca de un proceso, a partir de las muestras (unos pocos resultados muestreados)

Muestras

Inferencia Estadística

Población Muestras

Tipos de Inferencia Estadística • Estudio Enumerativo: La población existe. Las muestras son tomadas de la población

Inferencia Población Existente

Muestras

“La mitad de las pastillas son rojas y la mitad son azules”

Conclusión

• Estudio Analítico: La población no existe (sólo existen las muestras), pero existirá en un futuro. Inferencia

Muestra

“La mitad de las pastillas serán rojas y la mitad serán azules” Conclusión

Población Futura

2. Modelado de Procesos Aleatorios

Muestras

Modelo del proceso

Método estadístico

Estudio observacional

Mecanicista

Experimento Diseñado

Empírico

2.1. Tipos de Modelos Muestras

Método estadístico

Modelo del proceso

• Modelo Mecanicista: • Se construye a partir del conocimiento previo del mecanismo físico básico que relaciona las variables del modelo • Ejemplo: Ley de Ohm • Modelo Determinístico: I=E/R ;I:Corriente, E:Voltaje, R:Resistencia • Modelo Estocástico: I=(E/R )+e ;I:Corriente, E:Voltaje, R:Resistencia, e:Efectos de fuentes de variabilidad

2.1. Tipos de Modelos • Modelo Empírico:

• Se aplican los conocimientos científicos y de ingeniería al fenómeno, pero el modelo no se desarrolla directamente de nuestra comprensión teórica o con base en principios fundamentales del mecanismo subyacente. • Ejemplo: Sabemos que la Resistencia (R) de un material depende del área (A), de la temperatura (T) y de la conductividad (C) del material. Lo que no sabemos es la relación exacta entre estos factores. Por tanto, podemos suponer que existe una función general R=f(A, T, C) Podría hallarse un modelo a partir de ciertas medidas de un experimento diseñado y llegar a la conclusión que • Modelo Determinístico: R=b1A+(b2/T)+(b3/C) • Modelo Estocástico: R=b1A+(b2/T)+(b3/C)+e

• Los parámetros b son desconocidos y deben determinarse. Para esto se utiliza un método conocido como regresión. • A estos modelos también se los conoce como modelos de regresión.

2.2. Métodos Estadísticos de Modelado de procesos aleatorios •

Se busca obtener un modelo del proceso. Hay dos tipos: •

Estudio observacional: • • •

•

Se obtienen datos de un proceso conforme se van presentando. No hay control sobre ningún factor que afecte el proceso. También se pueden observar datos históricos para detectar la causa de ciertos fenómenos en un determinado instante de tiempo.

Experimento diseñado: • • •

Se realizan cambios deliberados o intencionados en las variables controlables de un sistema o proceso. Se observan los resultados obtenidos en las diferentes repeticiones del experimento. Se saca una conclusión acerca del efecto de las variables sobre los resultados del proceso.

2.2.1. Estudio observacional TRAZA REAL DE TRAFICO 500 450 400

numero de paquetes

350 300 250 200 150 100 50 0 0

500

1000

1500

2000

2500

3000

tiempo de llegada (s)

Traza de tráfico Original con datos capturados en Bellcore Labs, tomando un ∆t=500ms.

• De las muestras de tráfico de datos de una Internet, se pudo concluir que el tráfico se comportaba de manera Autosimilar. Esto permite utilizar la teoría de Fractales en este tipo de tráfico.

2.2.2. Experimento diseñado • Objetivo: Sacar conclusiones acerca del efecto de uno o varios factores en los resultados de un experimento • Se requiere repetir el experimento varias veces con diferentes valores de los factores que se supone afectan. • Si en una misma repetición se alteran dos o más factores simultáneamente, al experimento se le conoce como experimento factorial. • Importante: Es necesaria una planeación eficiente y eficaz de los experimentos!

Ejemplo: Experimento Diseñado

classifier delay, dc (s)

6,00E-04

5,00E-04

N=64K IntServ6

4,00E-04

N=128K IntServ6

Experimento Factorial

N=256K IntServ6

3,00E-04

N=512K IntServ6

2,00E-04 N=1M IntServ6

1,00E-04

1,90E-18 1060

1130

1200

1270

1340

1410

-1,00E-04 flows number, m

• Variación del retardo medio de los paquetes en un dispositivo de encaminamiento al variar: el número de usuarios (m) y el tamaño de una tabla de almacenamiento utilizada (N)

3. Investigación Experimental • Problema: Procesos en que ninguna teoría matemática tiene una aplicación directa o completa. • Condición: Se tiene una base de teoría científica subyacente para explicar el fenómeno, pero no se tiene certeza de poder aplicarla. • Objetivo: Se busca verificar que la teoría científica es operativa en la situación o entorno en que se está aplicando. Se debe realizar una prueba de una hipótesis estadística. • Por tanto, se requiere diseñar el experimento para después probar la viabilidad de la aplicación de la teoría a partir de los resultados obtenidos (prueba de hipótesis).

Investigación Experimental. Prueba de hipótesis DATOS OBTENIDOS TEORICAMENTE

DATOS MEDIDOS TRAZA REAL DE TRAFICO

TRAZA VIRTUAL D-MMPP

500

450

Se comportan igual o diferente? Se puede aplicar la teoría para modelar la práctica?

400

300 250 200 150

350

300

250

200

150

100

100

50

50

0 0

500

1000

1500

2000

2500

0

3000

0

tiempo de llegada (s)

500

1000

1500

2000

2500

tiempo de llegada (s)

Q-Q PLOT. GRAFICA DE LOS QUANTILES 500

400

300

PRUEBA DE HIPÓTESIS

TRAZA VIRTUAL

numero de paquetes

350

400

numero de paquetes

450

200

100

0

-100 0

50

100

150

200

250

300

TRAZA REAL

350

400

450

500

Respuesta: Se comportan de forma similar, luego, se puede utilizar ese modelo teórico

3000

4. Control estadístico de procesos

• El objetivo es monitorear, controlar y mejorar un proceso. • Se aplica para determinar cuándo aplicar un ajuste a un proceso y de qué magnitud debe ser el ajuste para que los resultados no se salgan de ciertos límites (límite superior y límite inferior).

Diagramas de Control

Y cómo afecta la probabilidad y la estadística a las redes? • El comportamiento aleatorio sucede en muchas de las variables del mundo real • Un ingeniero en la actualidad y en cualquier momento futuro, tendrá que vérselas con sistemas que: 1.1. Tienen entradas aleatorias 1.2. Tienen entradas determinísticas pero los sistemas se comportan aleatoriamente 1.3. Son muy complejos para ser descritos cercanamente 1.4. Son una combinación de los anteriores

1. Sistemas con entradas aleatorias • Un conmutador telefónico: Llegadas de llamadas aleatorias, duración de llamadas aleatoria. • Una CPU (unidad central de procesamiento): Programas enviados a la CPU (con múltiples usuarios) en instantes aleatorios. Los tiempos de ejecución tampoco pueden ser conocidos con anterioridad. • Filtro procesador de señales: Señales de entrada tienen distorsiones aleatorias (causadas por ruido e imperfecciones del canal)

1. Sistemas con entradas aleatorias  Un servidor de archivos: Las solicitudes de envío de archivos llegan en instantes aleatorios. La duración de la descarga de los archivos es aleatoria.  Un computador aceptando paquetes transferidos mediante el protocolo FTP

2. Sistemas con entradas determinísticas pero respuesta aleatoria • Línea de comunicación con ruido: La respuesta a una misma entrada no es siempre la misma (debido al ruido y a interferencias).

3. Sistemas muy complejos para ser descritos de forma aproximada • Movimiento de las moléculas de gas o los electrones • Los movimientos de los usuarios de una celda de telefonía celular • La generación de paquetes de todos los usuarios de una red de computadores

Aplicación en Áreas de las Telecomunicaciones • Procesamiento de señales en diferentes áreas: ▫ Filtrado, estimación, detección, predicción

• Comunicaciones:

▫ Señales y perturbaciones (Densidad espectral de potencia,Tasa de error de bits, ruido blanco) ▫ Transmisores y receptores (modulación en AM, FM, PM; codificación de bits; Filtrado; Sincronización) ▫ Canales de comunicación  Canales Guiados  Canales no guiados: Desvanecimiento, Multi-trayecto. Entornos: Espacio libre, Radio-enlaces microondas, enlaces en redes móviles (celulares, redes WLAN, redes WMAN)

▫ Redes de Datos: Teoría de Colas y Teletráfico (Dimensionamiento de redes de comunicaciones)    

Diseño y análisis de protocolos de comunicación Métodos de Acceso al medio Métodos de Multiplexación Diseño de Conmutadores

• Simulación:

▫ Generación de números aleatorios, Generación de eventos aleatorios

• Computadores:

▫ Diseño y análisis de sistemas de servidores, planificadores, CPUs ▫ Diseño y análisis de algoritmos (p.ej. Algoritmos de Búsquedas).

Este curso le ayudará a: • Simular la operación de los sistemas con aleatoriedades; se recordarán los conceptos apropiados (variables aleatorias, procesos aleatorios, promedios, correlaciones, convergencia estocástica, etc) • Analizar y diseñar tales modelos: • Se requieren técnicas de estadística para diseñar las fuentes que generan los eventos y el comportamiento de los resultados (posibles modelos a utilizar)

Por qué la Teoría de Probabilidades? • Porque cuando no se tiene certeza de lo que puede pasar….se debe trabajar con la probabilidad de que algo ocurra para tomar decisiones de diseño para que el sistema responda ante tales eventualidades • Es la herramienta natural para describir y analizar la aleatoriedad inherente de una gran variedad de sistemas de ingeniería • Puede ser usada para diseñar y controlar tales sistemas

Aplicación de la Probabilidad y Estadística es transversal a todas las disciplinas: • Modelamiento de Sistemas y Señales • Teoría de la estimación • Teoría de Decisiones • Teoría de Colas • Simulación por computadora

Componentes de la teoría ▫ Eventos: elementos estructurales más simples. Experimentos simples. Se utiliza la teoría de conjuntos. ▫ Variable aleatoria y función de densidad de probabilidad: Permiten introducir herramientas de cálculo y análisis. ▫ Vector de variables aleatorias: Extensión del concepto de variable aleatoria. ▫ Proceso aleatorio: Permite introducir el concepto de tiempo en las variables aleatorias. Esto es muy importante en las aplicaciones de Ingeniería de Telecomunicaciones.

6. Herramientas de Modelado y Modelos Modelos Clásicos Herramientas de Modelado Herramienta

Característica

Funciones distribucion y densidad de probabilidad

Ambientes estáticos en tiempo

Secuencias infinitas Dinámica en de variables tiempo, No tiene aleatorias memoria Cadenas de Markov Dinámica en tiempo, posee memoria

Modelo

Utilidad

V.A. Gaussiana

Ruido en Comunicaciones

V.A. Exponencial

Modelo de tiempo de servicio en teoría de colas

V.A. Poisson

Modelo de llegadas en teoría de colas

V.A. Chi cuadrado

Pruebas estadísticas

V.A. t de student

Pruebas estadísticas

Proceso aleatorio Gaussiano

Modelo de proceso de ruido

Proc. Aleatorio de Poisson

Modelo de proceso de llegadas