FUNCIONES Definición. Función real de variable real es una aplicación del conjunto de los números reales en sí mismo, de tal forma que a cada número real le hace corresponder otro número real. CORRESPONDENCIA Y ELEMENTOS CORRESPONDENCIA entre dos conjuntos, es toda forma de relacionar los elementos de ambos conjuntos. En una correspondencia no existe ninguna restricción en la forma de relacionar elementos, de forma que un mismo elemento del conjunto inicial puede tener una, dos o más imágenes o ninguna. Igualmente, un elemento del conjunto final puede estar relacionado con uno o varios o ninguno del conjunto final. Aparecen los conceptos de conjunto origen y conjunto imagen claramente diferenciados de los de conjunto inicial y conjunto final APLICACIÓN es toda correspondencia en la que cada elemento del conjunto inicial tiene una imagen y sólo una (en este caso coinciden los conjuntos inicial y origen). Solamente se establecen condiciones sobre los elementos del conjunto inicial. Según sean las condiciones sobre los elementos del conjunto final tendremos los distintos tipos de aplicaciones: SUPRAYECTIVA (o EXHAUSTIVA) Cuando todos los elemento del conjunto final tienen al menos un original. INYECTIVA Cuando todos los elementos del conjunto final tienen como máximo un original (pueden no tener original) BIYECTIVA (o EXHAUSTIVA) Cuando todos los elementos del conjunto final tienen uno y solo un original. La aplicación biyectiva es inyectiva y suprayectiva a la vez.

Al estar definida la función entre conjuntos numéricos, la relación entre elementos se puede establecer mediante una expresión. Según como sea esta expresión tendremos los distintos tipos de funciones: •

Polinómicas: f (x ) = a n x n + a n −1 x n −1 +, , ,+ a 1 x + a o

•

Racionales: f (x ) =

•

Irracionales: f (x ) =

•

 P(x )   Logarítmicas: f (x ) = ln  Q(x ) 

• •

Exponenciales: f (x ) = k ⋅ a x Trigonométricas: f (x ) = k ⋅ sen (ω x + ϕ) f (x ) = k ⋅ cos(ω x + ϕ)

P(x ) Q(x )

P(x ) Q(x )

La variable que representa a elementos pertenecientes al conjunto inicial se denomina variable independiente (x) y la variable que representa a los elementos del conjunto final se denomina variable dependiente (y) ó función (f(x)).

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OPERACIONES SUMA

(f + g)(x) = f(x) + g(x) Propiedades: • • • •

Conmutativa Asociativa Elemento neutro. Función nula Elemento opuesto. Función opuesta

PRODUCTO

(f ⋅ g)(x) = f(x) ⋅ g(x) Propiedades: • • • • •

Conmutativa Asociativa Elemento neutro. Función unidad Elemento opuesto. Función inversa. Distributiva del producto respecto de la suma

COMPOSICIÓN Si al valor x se le aplica la función f, se obtiene f(x). S ahora al valor f(x) se le aplica la función g se obtiene la g(f(x)). A la función que permite obtener el valor g(f(x)) a partir del valor de x se le denomina función compuesta (g compuesta de f ó f de g )

Propiedades • • •

(f o g )( x ) ≠ (g o f )( x ) excepto con la función identidad ó con su inversa (f o g )−1 = g −1 o f −1 f + (g o h ) = f o g + f o h

INVERSA Si la función f permite pasar del valor x al valor f(x), la inversa de la función f, f−1(x) permite calcular el valor de x conocida su imagen f(x)

Cálculo de la inversa 1. Se sustituye x por y e y por x 2. Se despeja y en función de x 3. Se sustituye y por f−1(x)

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DOMINIO Y RECORRIDO Dominio. Conjunto de valores que puede tomar la variable independiente (x). Para calcular el dominio de una función se tendrá en cuenta el tipo de función del que se trate: (1) Función polinómica, su recorrido es todo R. (2) Cociente de polinomios, su dominio será todo R menos las raíces del denominador.  P(x )  D  = {x ∈ R / Q(x ) ≠ 0}  Q(x )  (3) Raíces de funciones, el dominio será el conjunto de números que hace positivo el radicando.  P(x )    P(x ) D ≥ 0  = x ∈ R / Q(x )  Q(x )    (4) Función logarítmica, solo existe para valores positivos.   P(x )    P(x )  = x ∈ R / D Ln > 0 Q(x )    Q(x )   (5) Función exponencial, válida para todo R. Junto a estas restricciones, al calcular el dominio, tendremos en cuenta que el dominio de las funciones compuestas es la intersección de los dominios de las funciones por separado. Recorrido. Conjunto de valores que toma la función. Se puede calcular, calculando el dominio de la función inversa. SIMETRÍAS DE LAS FUNCIONES − Función PAR – (SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE OY) Cuando f(−x) =f(x) − Función IMPAR – (SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN) Cuando f(−x) = −f(x)

CEROS Y POLOS Ceros. Valores finitos de x (xo) que hacen cero la función. Si x = xo ⇒ y = 0. Polos. Valores finitos de x (xo) que hacen infinita la función (y). Sí x = xo ⇒ y = ∞. Para funciones racionales (cocientes de polinomios), los polos son las raíces de denominador, es decir los valores que lo anulan. MONOTONIA a < b ⇒ f (a ) < f (b ) Una función es creciente si:  a > b ⇒ f (a ) > f (b )

a < b ⇒ f (a ) > f (b ) Una función es decreciente si:  a > b ⇒ f (a ) < f (b )

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EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS Los extremos relativos de una función son los máximos y mínimos locales. Se dice que una función tiene un máximo relativo ó local en x = a si para cualquier valor del entorno de centro a, su imagen es menor o igual que la imagen de a En x = a ∃ un máximo local si ∀x ∈ E(a , R ) f (x ) ≤ f (a ) Se dice que una función tiene un mínimo relativo ó local en x = b si para cualquier valor del entorno de centro b, su imagen es mayor o igual que la imagen de a En x = a ∃ un mínimo local si ∀x ∈ E(b, R ) f (x ) ≥ f (b )

Extremos absolutos de la función. Máximo y mínimo absoluto. Se dice que una función tiene un máximo absoluto en x = a si para cualquier valor del dominio de la función, su imagen es menor o igual que la imagen de a En x = a ∃ un máximo absoluto si ∀x ∈ D(f (x )) f (x ) ≤ f (a ) Se dice que una función tiene un mínimo absoluto en x = b si para cualquier valor del dominio de la función, su imagen es mayor o igual que la imagen de b En x = b ∃ un mínimo absoluto si ∀x ∈ D(f (x )) f (x ) ≥ f (a )

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CURVATURA Y PUNTO DE INFLEXIÓN La curvatura de la función estudia la posición relativa de la función respecto de su tangente. Se dice que una función es cóncava (se admite cóncava hacia abajo) si su tangente se mantiene por debajo de la función. Se dice que una función es convexa (se admite cóncava hacia arriba) si su tangente se mantiene por debajo de la función.

Se definen los puntos de inflexión como los puntos donde cambia la curvatura de la función, tienen la peculiaridad de ser los únicos puntos donde la tangente corta a la función (la pincha).

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