FUNCIONES DERIVABLES CONCEPTO DE DERIVADA Una función y = f (x) es derivable en el punto x0 si existe el límite f (x) − f (x 0 ) Lím x − x0 x→x 0 valor que se suele representar por f ' ( x 0 ) , derivada de la función en x0. El punto x pertenece a un entorno de x0 por lo que se suele hacer x = x0 + h y entonces la definición anterior toma otro aspecto: f (x 0 + h) − f (x 0 ) Lím = f ' (x 0 ) h h →0 Si en la primera expresión hacemos que x → x 0+ tenemos la derivada en x0 por la derecha y si hacemos x → x 0− , la derivada de x0 por la izquierda: f (x ) − f (x 0 ) = f ' ( x 0+ ) Lím + x − x0 x→x o

Lím

x → x o−

f (x) − f (x 0 ) = f ' ( x 0− ) x − x0

Análogamente, si en la segunda expresión hacemos h→0+ y h→0− tenemos la derivada por la derecha y por la izquierda: f (x 0 + h ) − f (x 0 ) f (x 0 + h) − f (x 0 ) = f ' ( x 0+ ) = f ' ( x 0− ) Lím Lím + − h h h →0 h →0 De acuerdo con la primera expresión, una función es derivable cuando se verifica: f (x ) − f (x 0 ) = f ' ( x 0 ) ⇒ Lím [f ( x ) − f ( x 0 )] = Lím (x − x 0 )·f ' ( x 0 ) = 0 Lím x − x0 x→x 0 x →x 0 x →x 0 lo cual pone de manifiesto:

Lím [f ( x ) − f ( x 0 )] = 0

x→x 0

luego: Lím f ( x ) = f ( x 0 ) lo que quiere decir que para que una función sea derivable, debe ser continua. x→x 0

Se demuestra por tanto, que toda función derivable, con derivada finita, es continua, mientras que la recíproca no es cierta, no toda función continua es derivable, por lo que la continuidad de una función es una condición necesaria no suficiente para la derivabilidad de la función. Una función es derivable en (a,b) si lo es en todos los puntos interiores de dicho intervalo. Una función es derivable en [a,b] si lo es en todos los puntos interiores de dicho intervalo y a la derecha de a y a la izquierda de b.

DERIVADAS SUCESIVAS Dada una función y = f(x) definida en (a,b), es decir, f:(a,b)→R y derivable en (a,b), a su derivada la df ( x ) . Si esta derivada la particularizamos para un punto determinado, x0, podemos denominar: y' = f ' ( x ) = dx podemos escribir:  df ( x )  y' ( x 0 ) = f ' ( x 0 ) =    dx  x = x 0

si a su vez f ' ( x ) es derivable, su derivada la podemos escribir: y' ' ( x ) = f 2) ( x ) =

df ' ( x ) df 2 ( x ) = dx dx 2

y si particularizamos para x = x0, obtenemos:  df 2 ( x )   df ' ( x )   = y' ' ( x 0 ) = f 2) ( x 0 ) =    dx  x = x 0  dx 2  x = x 0 Así podemos seguir hasta la derivada n-ésima: y n ) (x) = f n ) (x ) =

df n ( x ) dx n

FÓRMULA DE LEIBNITZ Es una fórmula muy útil para obtener derivadas de órdenes superiores de productos de funciones, ya que asimila el orden de la derivada al exponente del desarrollo de un binomio: n n n n dn [f ( x)·g(x )] = [f (x ) + g( x)]n ) =  f n ) (x )·g( x) +  f n −1) (x )·g' (x ) + ... +  f n −i) ( x)·g i) (x ) + ... +  f (x )·g n ) ( x) n dx  0 1 i n

DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA Si y = f(x), su función inversa es x = f –1 (y) por lo que derivando los dos miembros: ' ' 1 f −1 (y )⋅ y' = 1 ⇒ f −1 (y ) = y' y si particularizamos para un punto: ' 1 siendo y 0 = f (x 0 ) f −1 (y 0 ) = f ' (x 0 )

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