SEMINARIO

UNIVERSITARIO

MODULO

(f o f -1) (x) = f [f -1(x)] = f (2x - 1) =

2x − 1 + 1 =x 2

B

(función identidad)

x +1 ⎛ x + 1⎞ - 1 = x (función identidad) (f -1 o f) (x) = f -1[f(x)] = f -1 ⎜ ⎟ =2. 2 ⎝ 2 ⎠ •

Representamos gráficamente: y f(x) 1 0.5 -1

•

-1

f -1(x) 0.5

x

1

Obtenemos conclusiones ♦ Si se componen f y f -1 se obtiene la función identidad. ♦ El gráfico f es simétrico al gráfico de f -1 respecto de la recta y = x

FUNCIONES TRASCENDENTES FUNCIÓN EXPONENCIAL

Definición: Se denomina función exponencial a f : R → R + / f(x) = ax, a es una constante real tal que a > 0 y a ≠ 1. a es la base de la función exponencial. Gráfico de la función exponencial: y

y

y = ax, a >1

17.5

25

15

20

12.5 10

y = ax, 0 < a 0. La función no presenta ceros. • Corta el eje y en el punto (0,1) porque ∀ a ≠ 0 : a0 = 1. • Si a > 1 la función es estrictamente creciente y si 0 < a < 1 la función es estrictamente decreciente. •

160

UTN FRBA

MATEMATICA

• •

FISICA

Unidad 5

La recta de ecuación y = 0 es la asíntota horizontal. No tiene asíntota vertical.

Representamos gráficamente dos funciones: 1)

g : R → R + / g(x) = ex , e ≅ 2,71828182…

2)

h : R → R + / h(x) = 3-x 20

g(x)= ex

y

20

15

15

10

10

5

5

y

h(x)= 3-x

x

x -3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

2

3

Efectuemos algún corrimiento, por ejemplo grafiquemos s: R → R / s(x) = 4x – 2 y 10

Is = (-2, + ∞ ) 7.5

5 2.5

x -2

-1

1

2

Propiedades de la función exponencial:

•

f(b + c) = f(b) f(c) es decir ab+c = ab ac

•

f(b - c) =

•

Es una función biyectiva, o sea que admite función inversa.

ab f (b) es decir ab-c = c f (c ) a

Ecuaciones exponenciales:

Para resolver estos problemas debemos aplicar las propiedades de la potenciación (no olvidemos que a > 0). Ejemplos: 1) 2)

3x-1 = 9 ⇒ 3x-1 = 32 ⇒ x – 1 = 2 ⇒ x = 3 entonces S = {3} (recuerde verificar su solución). 5x+2 + 3.5x+1 – 8 = 0 ⇒ 5x.52 + 3.5x.5 - 8 = 0 ⇒ 5x (25 + 15) – 8 = 0

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161

SEMINARIO

5x = 3)

UNIVERSITARIO

MODULO

B

8 1 ⇒ 5x = ⇒ 5x = 5-1 ⇒ x = -1 entonces S = {-1}. 40 5

4x – 2x+1 – 8 = 0 ⇒ (2x)2 – 2.2x – 8 = 0 efectuamos un cambio de variable z = 2x y se obtiene la ecuación z2 – 2z – 8 = 0 cuyas soluciones son: z = -2 ∨ z = 4.

Entonces: z = -2 ⇒ 2x = -2 (no tiene solución) z = 4 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2 Concluimos: S = {2} Ejercicio:

Calcule, si existen, los ceros de las siguientes funciones exponenciales (en cada caso sólo le damos la fórmula). a. f(x) = 2.2x – 4 b. h(x) = 9x – 3x c. g(x) = 4x – 3.2x+1 + 8

Rta.: x = 1 Rta.: x = 0 Rta.: x1 = 1 , x2 = 2

FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Definición: Llamamos función logarítmica de base “a” a la función inversa de la función exponencial de base “a”. Si f: R → R + / f(x) = ax , la función logarítmica en base a es: h : R+ → R / h(x) = loga x loga x se lee “logaritmo en base a de x”. Por definición de función exponencial es: a > 0 y a ≠ 1. La siguiente definición indica el significado de logaritmo en base a: loga x = y ⇔ ay = x , x ∈ R + ∧ y ∈ R. Ejemplo: Sea h : R+ → R / h(x) = log3 x, vamos a obtener las imágenes de algunos números reales positivos: log3 1 = 0 pues 30 = 1 pues 31 = 3 log3 3 = 1 1 1 log3 = -1 pues 3-1 = 3 3 1 1 pues 3 2 = 3 log3 3 = 2

162

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MATEMATICA

FISICA

Unidad 5

Representamos gráficamente las funciones: 1) 2)

h : R+ → R / h(x) = log3 x g : R+ → R / g(x) = log 1

y

3

5

y 4 1

x 1 -1

2

3

4

5

h(x)= log3x

3 2

h(x)= log1/3 x 1

-2

x 1

-3

2

3

4

5

-1 -4 -5

En general observamos que:

• • • • •

El conjunto imagen es R. El gráfico corta el eje de abscisas en el punto (1,0) entonces x = 1 es cero de la función. La recta de ecuación x = 0 es asíntota vertical de la función. No tiene asíntota horizontal. No es par ni impar.

Notemos que el logaritmo en base e (número e) de un número real positivo x también se denomina “logaritmo natural” y su notación es: ln x. Cuando la notación sea log x, nos referimos al logaritmo en base 10. Propiedades de la función logarítmica:

•

Es una función biyectiva.

•

Si la base es mayor a 1, la función es estrictamente creciente.

•

Si 0 < a < 1, la función es estrictamente decreciente.

•

loga a = 1 pues a1 = a , ∀ a ∈ R + - {1}

•

loga 1 = 0 pues a0 = 1 , ∀ a ∈ R + - {1}

•

f(x1 . x2) = f(x1) + f(x2), x1> 0 x2> 0 es decir loga (x1 . x2) = loga x1 + loga x2

•

⎛x f ⎜⎜ 1 ⎝ x2

•

loga xn = n loga x , x ∈ R + ∧ n ∈ N

•

loga ax = x , x ∈ R

•

a log a x = x , x ∈ R +

⎞ ⎛x ⎟⎟ = f(x1) - f(x2), x1> 0 x2> 0 es decir loga ⎜⎜ 1 ⎠ ⎝ x2

⎞ ⎟⎟ = loga x1 – loga x2 ⎠

Ejemplos aplicando las propiedades de los logaritmos:

1)

log103 = 3 log10 = 3

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163

SEMINARIO

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MODULO

B

1 1 log2 ≅ 0,30103 (utilizamos calculadora) 2 2

2)

log 2 =

3)

75 32 5 ⎛5⎞ ⎛ 75 32 ⎞ + log - 2 log log ⎜ ⎟ - log ⎜ ⎟ = log 16 243 9 ⎝ 16 243 ⎠ ⎝9⎠

2

= log75 – log16 + log32 – log243 – 2 log5 + 2 log9 = log(52.3) – log24 + log25 – log35 – 2 log5 + 2 log32 = 2 log5 + log3 – 4 log2 + 5 log2 – 5 log3 – 2 log5 + 4 log3 = log2 Ecuaciones logaritmicas:

Para resolverlas aplicaremos las propiedades de los logaritmos. 1) log(2x) = 2 log(4x – 15) ⇒ log(2x) = log(4x - 15)2 2x = (4x - 15)2 ⇒ 16x2 – 122x + 225 = 0 entonces: x = 4,5 ∨ x = 3,125 Comprobamos si los valores obtenidos verifican la ecuación: Si x = 4,5 entonces es:

log(2 . 4,5) ? 2 log(4 . 4,5 - 15) log9 ?

2 log(3)

log9 = log9 Si x = 3,125 entonces es:

log(2 . 3,125) ? 2 log(4 . 3,125 - 15)

log 6,25 ? 2 log(-2,5) → no existen los logaritmos de números negativos, luego x = 3,125 no es solución de la ecuación. Concluimos: S = {4,5} 2) xlog x = 100x , x > 0 log xlog x = log100x ⇒ log x log x = log100 + log x (log x)2 – log x – 2 = 0 hacemos un cambio de variable z = log x, y resulta z 2 – z – 2 = 0 cuyas soluciones son z1 = -1 ∨ z 2 = 2 por lo tanto: log x1 = -1 ⇒ x1 = 0.1 y log x2 = 2 ⇒ x2 = 100 entonces S = {0.1 , 100} Ejercicio:

Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas: a) log[5 – 4 log(x + 2)] = 0 1 b) log ( 12 + x ) = log - log x 2 2 c) log8 + (x – 5x + 7) log3 = log24

164

S = {8} S=

{12 }

S = {2,3}

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MATEMATICA

FISICA

Unidad 5

Cambio de base:

Si queremos conocer logb x a partir de loga x, con b ≠ a, deberemos aplicar la fórmula de cambio de base, se puede demostrar que la misma es: logb x =

Ejemplo: Queremos expresar log

5

2

log a b

2 en base 2, aplicamos la fórmula anterior.

log

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log a x

5

2

2 =

log 2 5 2 = log 2 2

1 5 1 2

=

2 5

165