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Función exponencial
La función exponencial surge naturalmente cuando se estudian diversos fenómenos relacionados con el crecimiento y decrecimiento de poblaciones humanas, con colonia de bacterias, con sustancias radiactivas y con muchos otros procesos vinculados con la economía, la medicina, la química y otras disciplinas. Definición: Se llama función exponencial a la expresión de la forma: y=ax
con a x IR, a > 0 a 1
y se lee función exponencial de base a. Para estudiar la función exponencial consideremos que a > 1 0 < a < 1. Por ejemplo: si a = 2 y = 2 x
y
si a = 1/2 y = (1/2) x
Confeccionemos las tablas de valores y representemos gráficamente dichas funciones:
x
y=2x
y = (1/2) x
–2
1/4
4
–1
1/2
2
0
1
1
1
2
1/2
2
4
1/4
y
x
La gráfica de y = 2 x se llama curva testigo. Observemos que para valores inversos de a las gráficas son simétricas respecto al eje y. La línea punteada (en rojo) se denomina asíntota. Definición: Asíntota es la recta a la cual se aproxima indefinidamente la gráfica de una función. Dominio y codominio Como y = f (x): El Dominio de la función se expresa: Dom f = IR El Codominio de la función se expresa: Cod f = (0, )
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x
y=2 x y = (1/2)
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Características de las gráficas
Si a > 1 la gráfica es la de una función creciente.
Si 0 < a < 1 la gráfica es la de una función decreciente.
Si a > 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje negativo x.
Si 0 < a < 1 la curva se aproxima asintóticamente al semieje positivo x.
La asíntota es el eje x, de ecuación y = 0.
El punto (0, 1) pertenece a la gráfica de la función a.
La imagen de 1 es siempre la base de la función exponencial f ( 1) = a a (1, a) G f
Influencia del parámetro b Consideremos y = b . a x
con a, b, x IR, a > 0, a 1, b 0
Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo. Mantengamos a = 2 y hagamos variar b. Si b = 1 y = 2 x , tenemos la gráfica de la curva testigo. y=2x
y = 2.2 x
y = 3.2 x
y=–2x
–2
1/4
1/2
3/4
– 1/4
–1
1/2
1
3/2
– 1/2
0
1
2
3
–1
1
2
4
6
–2
2
4
8
12
–4
x
y
x
x
y=2 x y = 2.2 x y = 3.2 x y=–2
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Observemos que:
Para valores opuestos de b se obtienen gráficas simétricas respecto al eje x.
Las gráficas se desplazan e intersectan al eje y en el punto (0, b) en lugar del punto (0, 1) que es la intersección de la gráfica de la curva testigo.
Si b > 0 la gráfica se encuentra en el semiplano superior respecto del eje x.
Si b < 0 la gráfica se encuentra en el semiplano inferior respecto del eje x.
La asíntota es el eje x, de ecuación y = 0.
Dom f = IR
Cod f = (0, ) si b > 0 y Cod f = (– , 0) si b < 0
Influencia del parámetro h Consideremos y = a x + h con a, h, x IR, a > 0 a 1 Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo. Mantengamos a = 2 y hagamos variar h. Si h = 0 y = 2 x , tenemos la gráfica de la curva testigo. y=2x
y=2x +2
y=2x–3
–2
1/4
9/4
– 11/4
–1
1/2
5/2
– 5/2
0
1
3
–2
1
2
4
–1
2
4
6
1
x
y
x
x
y=2 x y=2 +2 x y=2 –3
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Observemos que:
El parámetro h influye desplazando la gráfica verticalmente respecto a la de la curva testigo, h unidades hacia arriba si h > 0 y h unidades hacia abajo si h < 0.
El punto (0, 1 + h) G f , es la intersección con el eje y.
La asíntota es la recta de ecuación y = h.
Dom f = IR Cod f = (h, )
Influencia del parámetro c Consideremos y = a c. x con a, c, x IR, a > 0, a 1, c 0 Veamos como es el comportamiento respecto a la gráfica de la curva testigo. Mantengamos a = 2 y hagamos variar c. Si c = 1 y = 2 x , tenemos la gráfica de la curva testigo. y=2x
y = 2 2.x
y = 2 (1/2) . x
–2
1/4
1/16
1/2
–1
1/2
1/4
0,7
0
1
1
1
1
2
4
1,4
2
4
16
2
x
y
x
x
y=2 2. x y=2 (1/2). x y=2
Observemos que: El punto (0, 1) G f Si c > 1 la gráfica se acerca a ambos ejes, es decir, la gráfica se acerca al semieje negativo x y al semieje positivo y. Página 4
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Si 0 < c < 1 la gráfica se aleja de los ejes, es decir, la gráfica se aleja del semieje negativo x y del semieje positivo y. La asíntota es el eje x, de ecuación y = 0. Dom f = IR Cod f = (0, ) Si c < 0 no analizamos porque al tener un exponente negativo se invierte la base de la potencia quedando elevada a un exponente positivo y ya hemos tratado. Ejemplo: si c = – 1 y = 2 – x y = (1/2) x
Para valores opuestos de c las gráficas son simétricas respecto del eje y.
Expresión general de la función exponencial Con todos los parámetros estudiados, la expresión general es de la forma: y = b . a c . x + h con a, b, c, h, x IR, a > 0, a 1, b 0, c 0
Ejemplo: Dada y = 3 . 2 x – 1/2 a) Represente gráficamente. b) Explique la influencia de los parámetros en la función. c) Dé dominio y codominio. d) Escriba la ecuación de la asíntota.
a) y = 2x
y=3.2x
y = 3 . 2 x – 1/2
–2
1/4
3/4
1/4
–1
1/2
3/2
1
0
1
3
5/2
1
2
6
11/2
x
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y
x
b)
a = 2, gráfica de función creciente.
h = – 1/2, desplazamiento vertical de la gráfica de 1/2 unidades hacia abajo respecto a la de la curva testigo.
b = 3, intersecta al eje y en el punto (0, b + h) = (0, 5/2). La gráfica se encuentra en el semiplano superior respecto de la asíntota.
c) Dom f = IR Cod f = (– 1/2, ) d) Ecuación de la asíntota y = – 1/2.
La función exponencial se presenta en un gran número de fenómenos de crecimiento animal, vegetal, de bacterias, económicos, etc. En todos ellos la variable es el tiempo que denotamos con t. La expresión será: y = f (t) = a t
Problema de aplicación: En un medio de cultivo de un laboratorio, se tiene que el número de bacterias presentes en el tiempo está dado por Q (t) = 2.3 t , en donde t se mide en horas y Q (t) en miles de bacterias. a) ¿Cuál es el número inicial de bacterias? b) ¿Cuál es el número de bacterias a los 10 minutos? c) ¿Cuál es el número de bacterias a la hora? d) Grafique la función Q (t) entre 0 y 1 hora.
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a) El número inicial de bacterias corresponde a t = 0 Q (0) = 2.3 0 Q (0) = 2 El número inicial es de 2000 bacterias. b) Mediante regla de tres simple sacamos la fracción de hora a la que equivalen 10 min. 60’
1h
10’
x = 10/60 = 0,17 h
Entonces
Q (0,17) = 2.3 0,17 Q (0,17) = 2,4
A los 10 minutos hay 2400 bacterias. c) Q (1) = 2.3 1 Q (1) = 6 A la hora hay 6000 bacterias.
d) Q (t) (miles de bacterias)
t (horas)
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