UNIVERSIDAD DE VALENCIA M´aster en Profesor de Educaci´on Secundaria
FRACTALES PARA LA ´ DEL CONCEPTO CONSTRUCCION DE L´IMITE EN 4◦ DE ESO Memoria de Trabajo de Fin de M´aster presentada por: Bego˜ na Soler de Dios Tutorizada por: Dr. Mauricio Contreras del Rinc´ on Departamento de Did´actica de las matem´aticas
Valencia, 3 de julio de 2014
Ficha t´ ecnica M´ aster: M´aster en Profesor/a de Educaci´on Secundaria por la Universitad de Valencia Especialidad: Matem´aticas Autor: Apellidos: SOLER DE DIOS ˜ Nombre: BEGONA
T´ıtulo de la memoria: Fractales para la construcci´on del concepto de l´ımite en 4◦ de ESO.
Tutor: ´ Apellidos: CONTRERAS DEL RINCON Nombre: MAURICIO Departamento: Did´actica de las matem´aticas
Calificaci´ on: Palabras clave: fractales, sucesiones, l´ımite, aproximar, infinito, iteraci´on, recursividad y convergencia. Keywords: fractals, successions, limit, approach, infinity, iteration, recursion and convergence. C´ odigos Unesco: 5803.02 (Formaci´on de profesores), 12 (Matem´aticas) y 1299 (Did´actica de las Matem´aticas)
iv
Resumen: El objetivo principal de este estudio es averiguar, mediante un cuestionario realizado por alumnos de 4◦ ESO, si es posible introducir a los estudiantes la idea de “acercarse” o “aproximarse” cada vez m´as a un cierto n´ umero, y por tanto la idea intuitiva de l´ımite mediante el uso estructuras fractales.
Abstract: The aim of this study is to find out, by means of a 4◦ ESO questionnaire, whether it is possible to get the students into the idea of “getting closer to” or “approaching” increasingly to a certain number, and therefore the intuitive idea of limit using fractal structures.
Dime y lo olvido, ens´en ˜ame y lo recuerdo, invol´ ucrame y lo aprendo.
Benjamin Franklin
Contenido
1. Introducci´ on
1
1.1. Contextualizaci´on curricular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2. Caracterizaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2. Objetivos
11
3. Marco te´ orico
12
3.1. An´alisis de estudios previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.2. An´alisis de libros de texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2.1. Educaci´on Secundaria Obligatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.2.2. Bachillerato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Metodolog´ıa
24
4.1. Cuestionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
4.2. An´alisis de las respuestas de los alumnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2.1. C´alculo de iteraciones
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.2.2. C´alculo de iteraciones predictivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.2.3. Iteraci´on n-´esima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.2.4. T´ermino general de una sucesi´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5. Conclusiones
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A. Anexo: Tipos de respuesta por alumno
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viii Bibliograf´ıa
Contenido 58
1. Introducci´ on La geometr´ıa fractal es un campo de investigaci´on muy reciente. Fue descubierta alrededor del a˜ no 1970 por el matem´atico polaco Benoit Mandelblot mientras hac´ıa un an´alisis del ruido y de las perturbaciones el´ectricas en los laboratorios de IBM.
Los fractales no forman parte del curr´ıculo de Secundaria expl´ıcitamente, pero algunas de las caracter´ısticas de los mismos son tratadas a lo largo de la Educaci´on Secundaria Obligatoria y cursos posteriores. Entre otros temas, al utilizar fractales se trabaja la inducci´on geom´etrica, la idea intuitiva de infinito y la semejanza de figuras.
En este trabajo se pretende introducir a los estudiantes la idea de “acercarse” o “aproximarse” cada vez m´as a un cierto n´ umero y, por tanto, la idea intuitiva de l´ımite, es decir, vamos a utilizar algunas estructuras fractales para construir la idea del concepto de l´ımite de una sucesi´on. Con este fin, se buscar´an actividades en las que los estudiantes hagan iteraciones utilizando la recursividad y tambi´en para que generalicen a partir de la tendencia observada en casos particulares que se les pedir´a que obtengan.
El objetivo de este estudio no es propiamente que escriban el t´ermino general de la sucesi´on. Se pretende que los alumnos tengan una idea de la tendencia y que calculen casos en concreto. Al mismo tiempo tambi´en se pretende analizar las diferentes expresiones utilizadas por los estudiantes al generalizar y al tratar el concepto de infinito.
Para ello, en esta investigaci´on se hace en primer lugar un estudio de c´omo aparecen los conceptos de infinito, l´ımite y estructura fractal en el curr´ıculo de Secundaria. Y a continua-
2
1 Introducci´on
ci´on se recopila un conjunto m´ınimo de caracter´ısticas de los fractales que sean u ´tiles a esta investigaci´on.
1.1.
Contextualizaci´ on curricular
A continuaci´on se hace un an´alisis de los decretos 112-2007 de 20 de julio (curr´ıculo de la Educaci´on Secundaria Obligatoria) y 102-2008 de 11 de julio (curr´ıculo de Bachillerato) del “Diari Oficial de la Comunitat Valenciana” en b´ usqueda de aquello que dice el curr´ıculum de la Comunidad Valenciana en relaci´on a los fractales y lo relacionado con los l´ımites.
La primera parte de la b´ usqueda est´a relacionada con el concepto de fractal, para ello se han utilizado las palabras clave: fractal y reiterativas. En ambos casos (curr´ıculo de la Educaci´on Secundaria Obligatoria y Bachillerato) no ha aparecido ninguna coincidencia.
La segunda parte de la b´ usqueda (siempre dentro del contexto matem´atico) est´a relacionada con el concepto de l´ımite, por lo que se han utilizado las palabras clave: l´ımite, tendencia y convergencia.
En este caso en el curr´ıculo de la Educaci´on Secundaria Obligatoria no ha salido ninguna coincidencia, es decir, no se estudia hasta cursos posteriores, pero s´ı en el de Bachillerato, concretamente las siguientes:
Decreto 102-2008 de 11 de julio (BACHILLERATO): P´agina 176. Palabra: l´ımite ´ Asignatura: MATEMATICAS I Bloque: N´ ucleos de contenidos (4. An´ alisis) Aproximaci´on al concepto de l´ımite. Estudio de discontinuidades.
1.1 Contextualizaci´on curricular
3
P´agina 178. Palabra: l´ımite ´ Asignatura: MATEMATICAS II Bloque: N´ ucleos de contenidos (3. An´ alisis) L´ımite de una sucesi´on. L´ımite de una funci´on. C´alculo de l´ımites.
P´agina 179. Palabra: l´ımite ´ Asignatura: MATEMATICAS II Bloque: criterios de evaluaci´ on. 5. Utilizar el concepto y c´alculo de l´ımites y derivadas para analizar, cualitativa y cuantitativamente, las propiedades globales y locales (dominio, recorrido, continuidad, simetr´ıas, periodicidad, puntos de corte, as´ıntotas, intervalos de crecimiento) de una funci´on expresada en forma expl´ıcita, representarla gr´aficamente y extraer informaci´on pr´actica en una situaci´on de resoluci´on de problemas relacionados con fen´omenos naturales.
Se pretende verificar la capacidad de utilizaci´on de los conceptos y t´ecnicas b´asicas del c´alculo diferencial para estudiar e interpretar fen´omenos de la naturaleza y de la t´ecnica expresables mediante relaciones funcionales.
6. Aplicar el c´alculo de l´ımites, derivadas e integrales al estudio de fen´omenos geom´etricos, naturales y tecnol´ogicos, as´ı como a la resoluci´on de problemas de optimizaci´on y medida de ´areas de regiones limitadas por rectas y curvas sencillas que sean f´acilmente representables.
Este criterio pretende evaluar la capacidad del alumno para interpretar y aplicar a situaciones del mundo natural, geom´etrico y tecnol´ogico, la informaci´on suministrada por el estudio anal´ıtico de las funciones.
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1 Introducci´on P´agina 241. Palabra: l´ımite ´ Asignatura: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I Bloque: N´ ucleos de contenidos (3. An´ alisis) Idea intuitiva de l´ımite funcional. Aplicaci´on al estudio de discontinuidades.
P´agina 243. Palabras: l´ımite y tendencia ´ Asignatura: MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II Bloque: N´ ucleos de contenidos (3. An´ alisis) L´ımite y continuidad de una funci´on en un punto. Estudio de las discontinuidades y las tendencias asint´oticas de una funci´on.
Finalmente tambi´en se ha buscado la palabra infinito, apareciendo solamente en una ocasi´on en el curr´ıculo de Educaci´on Secundaria Obligatoria: ´ SECUNDARIA OBLIGATORIA): Decreto 112-2007 de 20 de julio (EDUCACION P´agina 161. Palabra: infinito ´ Asignatura: MATEMATICAS-A 4◦ ESO Bloque: Contenidos (2. N´ umeros) Decimales infinitos no peri´odicos: n´ umeros irracionales.
Es decir, tal y como se puede observar en la presente revisi´on, no se tratan los fractales a lo largo de todo el curr´ıculum en Secundaria y los l´ımites se introducen directamente en Bachillerato. Concretamente, en el primer curso aparece la idea intuitiva de l´ımite (independientemente del Bachillerato) y se aplica su uso a las discontinuidades. Tambi´en es destacable el hecho de tratar solamente el concepto de infinito en el contexto de los decimales.
1.2 Caracterizaci´on
1.2.
5
Caracterizaci´ on
En un estudio sobre l´ıneas costeras [Mandelbrot, 1967] realizado por Mandelbrot se observ´o que la longitud de ´estas aumentaba a medida que aumentaba la precisi´on de la medida. Es decir, Mandelbrot hall´o que a medida que la escala de medida se hace m´as peque˜ na, la longitud del litoral costero crece sin l´ımite.
El procedimiento de medida consist´ıa en aproximar la curva por medio de un camino poligonal con lados de una determinada longitud. Haciendo que la longitud de los lados se acercara a cero se esperaba que la longitud se aproximara a un l´ımite, pero a medida que se aumentaba la resoluci´on surg´ıan m´as entrantes y salientes (cabos y bah´ıas) por lo que la longitud total a evaluar parec´ıa aumentar al infinito.
Figura 1-1.: Procedimiento de medida de la costa brit´anica.
Este fue el comienzo de la geometr´ıa fractal pese a no mencionar en ning´ un momento el t´ermino “fractales” ni en el congreso en el que present´o su art´ıculo ni en su art´ıculo [Mandelbrot, 1967].
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1 Introducci´on
Los fractales son objetos matem´aticos que se caracterizan por poseer, principalmente, la propiedad de invariancia en presencia de cambios a escala. Es decir, si tomamos una parte de un fractal y utilizamos un microscopio para observarla, notaremos que dicha parte es igual al todo exceptuando el tama˜ no.
Esta caracter´ıstica se denomina auto-semejanza y puede presentarse de diferente forma. Hay casos en los que la auto-semejanza se encuentra en el mundo que nos rodea, en la naturaleza, y es aproximada, presentando un n´ umero finito de niveles auto-similares: formaci´on de nubes, crecimiento de a´rboles, l´ıneas costeras, el flujo turbulento de fluidos y en la organizaci´on jer´arquica de sistemas vivos.
Figura 1-2.: Romanesco broccoli.
Y hay casos en los que la auto-semejanza es precisa, ya que es un modelo que simula un proceso real:
Figura 1-3.: Tri´angulo de Sierpi´ nski.
1.2 Caracterizaci´on
1.2.1.
7
Ejemplos
Los fractales se generan a trav´es de iteraciones. Una iteraci´on es la repetici´on de “algo” una cantidad “infinita” de veces. Es por lo que los fractales se generan a trav´es de iteraciones de un patr´on geom´etrico establecido como fijo.
Vamos a hacer un breve repaso a la construcci´on de algunos de los primeros conjuntos fractales conocidos y creados por matem´aticos que pueden ser generados por los alumnos en el aula teniendo en cuenta el concepto de iteraci´on anterior.
Conjunto de Cantor:
Para construirlo partimos del intervalo unidad I0 . A este intervalo le quitamos el intervalo abierto central de longitud 31 , qued´andonos los intervalos I11 = [0, 13 ] y I12 = [ 23 , 1]. A cada uno de estos intervalos le quitamos a su vez el intervalo abierto central que ahora tendr´a longitud 19 , obteniendo cuatro intervalos I12 , I22 , I23 y I24 de longitud 19 . n
As´ı sucesivamente, en el paso n-´esimo tendremos 2n intervalos In1 , In2 , ... In2 de longitud 1 . 3n
Figura 1-4.: Conjunto de Cantor.
Tri´ angulo de Sierpi´ nski:
La construcci´on geom´etrica del tri´angulo de Sierpi´ nski es la siguiente. Partimos de un tri´angulo equil´atero de lado unidad, tomamos los puntos medios de cada lado y
8
1 Introducci´on construimos a partir de ellos un tri´angulo equil´atero invertido de lado 12 . Lo recortamos. Ahora repetimos el proceso con cada uno de los tres tri´angulos de lado
1 2
que nos
quedan, recortando esta vez tres tri´angulos invertidos de lado 41 . Si repetimos infinitamente el proceso obtendremos la figura fractal que buscamos.
Figura 1-5.: Tri´angulo de Sierpi´ nski.
El tri´angulo de Sierpi´ nski tambi´en surge como proceso l´ımite del Juego del Caos que describiremos a continuaci´on:
• Se toma un punto P arbitrario del plano. • Se tira un dado, si sale 1 o 2 se dibuja un nuevo punto a mitad de camino entre el punto inicial y el punto (0,0), si sale 3 o 4 se dibuja un nuevo punto a mitad de camino entre el punto inicial y el punto (1,0) y si sale 5 o 6 se dibuja un nuevo punto a mitad de camino entre el punto inicial y el punto ( 12 ,
√
3 ). 2
• Este juego de tirar el dado se repite con el nuevo punto obtenido. • Iteramos este proceso indefinidamente.
1.2 Caracterizaci´on
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Figura 1-6.: Juego del caos con n´ umero diferente de iteraciones.
Puedes pulsar aqu´ı o visitar el link que aparece a continuaci´on para ver una generaci´on animada del juego del caos con 1500 puntos:
http://neumann.dma.fi.upm.es/docencia/segundociclo/geomfrac/fractalesclasicos/ sierpinskigasket.html
Alfombra de Sierpi´ nski:
Es una variante de un Conjunto de Cantor plano en la que el cuadrado inicial se transforma suprimi´endole el cuadrado central de lado 31 . En cada uno de los ocho cuadrados de lado
1 3
que forman la figura restante se repite esta operaci´on. Y as´ı sucesivamente.
Figura 1-7.: Alfombra de Sierpi´ nski.
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1 Introducci´on Curva de Koch:
Para construir esta curva consideramos un segmento de medida uno. Reemplazamos el intervalo central de longitud
1 3
por dos segmentos de la misma longitud formando
un a´ngulo de 60◦ . En cada uno de los 4 intervalos que se han formado, repetimos la operaci´on reemplazando el intervalo central de longitud
1 3
de la medida del intervalo.
As´ı sucesivamente. La curva de Koch es el l´ımite de este proceso infinito.
Figura 1-8.: Curva de Koch.
Copo de nieve de Koch:
Para construir este fractal partimos de un tri´angulo equil´atero y a cada uno de sus lados le aplicamos el procedimiento utilizado para generar la curva de Koch.
Figura 1-9.: Copo de nieve de Koch.
2. Objetivos El objetivo principal de este estudio es contestar a la siguiente cuestion:
¿Se pueden usar im´ agenes reiteradas de estructuras fractales para introducir de forma intuitiva el concepto de convergencia de una sucesi´ on?
Es decir, se pretende averiguar si es posible que los estudiantes utilicen una serie de actividades que involucren la construcci´on de Fractales geom´etricos sencillos a partir de un determinado algoritmo para introducir intuitivamente las nociones de l´ımite, infinito y convergencia.
Los objetivos particulares de esta investigaci´on consisten en averiguar si los estudiantes que componen la muestra pueden:
1. Identificar patrones de crecimiento a partir de una sucesi´on de figuras. 2. Analizar la variaci´on de ´areas y per´ımetros en cada etapa de la construcci´on del fractal. 3. Expresar los patrones de crecimiento, c´omo lo hacen y c´omo usan el patr´on para generar las sucesiones de las ´areas y los per´ımetros. 4. Inducir, a partir de iteraciones particulares, una iteraci´on en´esima. 5. Proponer conjeturas sobre la evoluci´on del conjunto fractal a partir de los casos particulares cuando se hace un n´ umero grande de iteraciones.
3. Marco te´ orico 3.1.
An´ alisis de estudios previos
Son diversos los estudios realizados sobre fractales y su aplicaci´on en la ense˜ nanza pero muy escasos los relativos a la aproximaci´on al concepto de l´ımite utiliz´andolos.
De habla espa˜ nola podemos destacar a [de Guzman, 1994] que introduce los procesos geom´etricos infinitos y las estructuras fractales y [Garc´ıa, 1994] y [Domingo, 1994] que estudian los fractales y su ense˜ nanza.
En [Camargo, 2013] se proponen cuatro sesiones para alumnos de und´ecimo grado (siste´ ma educativo de Colombia, equivalente a bachillerato) centradas en el Arbol Pitag´orico para ayudar a comprender el concepto de l´ımite. En las sesiones se cuestionan ideas sobre el in´ finito que los alumnos tienen por medio de la construcci´on manual del Arbol Pitag´orico, encuentran el a´rea de una o varias iteraciones utilizando un esquema o tabla donde se evidencia la relacion entre ellas y realizan aproximaciones num´ericas partiendo de la relaci´on obtenida en las iteraciones, permitiendo que se llegue a la noci´on de l´ımite a trav´es del tratamiento geom´etrico que se ha dado.
Por otro lado, en [Moreno, 2002] se interesan por el valor matem´atico de los fractales. El objetivo de esta experiencia did´actica es que los estudiantes de 4◦ ESO conozcan las propiedades b´asicas de los fractales y que los utilicen para el trabajo matem´atico. En este trabajo se quiere aprovechar la interpretaci´on geom´etrica de las figuras fractales para analizar sucesiones geom´etricas y, en alg´ un caso, calcular su l´ımite.
3.1 An´alisis de estudios previos
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Se propone que los alumnos realicen dos gr´aficas como las que aparecen a continuaci´on para representar el per´ımetro y ´area con diferente n´ umero de iteraciones para favorecer la comprensi´on del concepto de l´ımite de una sucesi´on.
Figura 3-1.: Evoluci´on del a´rea de los fractales en [Moreno, 2002].
Figura 3-2.: Evoluci´on del per´ımetro de los fractales en [Moreno, 2002].
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3 Marco te´orico
[Figueiras, 2000] utiliza los fractales para sugerir actividades en el aula donde se trabaje en geometr´ıa, adem´as de l´ımites, sucesiones y funciones complejas. La serie de actividades propuesta est´a basada en el conjunto de Cantor, el conjunto de Besicovitch, la curva del copo de nieve y el tri´angulo y tetraedro de Sierpi´ nski.
Figura 3-3.: Ejercicio ejemplo a completar sobre el tri´angulo de Sierpi´ nski en [Figueiras, 2000].
Como principal referencia para este estudio se ha tomado el libro [Peitgen, 1992]. El objetivo principal de ´este es ofrecer a los alumnos un set de actividades con fractales para mostrar sus principios y caracter´ısticas matem´aticas ocultas.
Otro de los objetivos es mostrar como conectar los fractales con las diferentes ramas matem´aticas. Los diferentes tomos se centran en el largo n´ umero de conexiones que existen entre los fractales y las matem´aticas contempor´aneas del curr´ıculum que se encuentra en nuestros centros. Para ello, el libro cuenta con un n´ umero extenso de actividades que gu´ıan a los estudiantes a descubrir nuevos conceptos, entre ellos el de l´ımite. Las diferentes actividades involucran al estudiante en la construcci´on, conteo, visualizaci´on y medida de fractales.
El tercer objetivo, indicado por los autores, es mostrar la belleza de la estructura y forma fractal a trav´es de lo que los ojos ven y de lo que la mente visualice.
3.1 An´alisis de estudios previos
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Al principio de cada tema se muestran las conexiones primarias y secundarias que ´este tiene con el curr´ıculum. El cap´ıtulo sigue con una breve explicaci´on y posteriormente el set de actividades.
De habla inglesa tambi´en es relevante citar a [Naylor, 1999] que a partir de seis investigaciones plantea actividades que estudian algunas propiedades de los fractales. Tambi´en trata la aproximaci´on al concepto de l´ımite haciendo preguntas sobre los mismos fractales. Ver Figura 3-4.
Figura 3-4.: Ejercicio ejemplo en [Naylor, 1999].
16
3.2.
3 Marco te´orico
An´ alisis de libros de texto
Tal y como se vio en el apartado de contextualizaci´on curricular, los fractales no forman parte del curr´ıculum de matem´aticas de la Comunidad Valenciana, tanto en Educaci´on Secundaria Obligatoria como en Bachillerato (m´as informaci´on en la p´agina 2). Es previsible pues que el concepto de fractal no aparezca a lo largo de la Educaci´on Secundaria o que sus apariciones sean muy escasas.
En el presente estudio se han revisado diversos libros de texto dentro del rango anterior en b´ usqueda de figuras iterativas para ver el uso que se les da.
3.2.1.
Educaci´ on Secundaria Obligatoria
En primero de Educaci´on Secundaria Obligatoria de la editorial Edeb´e [Garrido, 2007a] se ha encontrado la primera evidencia de uso de figuras iterativas dentro del tema de “Iniciaci´on al a´lgebra”, concretamente en el apartado final de “Resoluci´on de problemas. Estrategia: Simplificaci´on y b´ usqueda de regularidades”.
El apartado empieza con una gu´ıa para la resoluci´on de un problema iterativo basado en un tablero de ejedrez, posteriormente se plantean dos ejercicios para su resoluci´on bas´andose en el resuelto. Los dos ejercicios utilizan figuras iterativas con cubos y piden a los alumnos que indiquen el n´ umero de cubos que habr´a en una figura de un n´ umero de pisos determinado.
En el mismo curso, en la revisi´on del libro de la editorial ECIR [Esteve, 2007] y Oxford [Contreras, 2011] no se ha encontrado ninguna figura del tipo anterior. Finalmente, en el libro de recursos didacticos de la editorial ANAYA [Colera, 1996] se ha encontrado una figura iterativa dentro del tema de tri´angulos (T10) que a su vez se ubica dentro del bloque de geometr´ıa (B3). La actividad en cuesti´on forma parte del grupo de actividades de ampliaci´on aunque es m´as propia de un tema de sucesiones.
3.2 An´alisis de libros de texto
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El mismo tipo de figura es utilizado en un curso posterior por la misma editorial, en este caso se ubica dentro del tema de ´algebra (T5), concretamente en el apartado de “Y para terminar” en las u ´ltimas p´aginas del tema.
Figura 3-5.: Ejercicio ejemplo en [Colera, 2012].
En ambos casos se pide a los alumnos que calculen, ya sea el n´ umero de tri´angulos o el n´ umero de partes en el que se divide el lado, para una iteraci´on determinada, y en el caso de segundo de Educaci´on Secundaria Obligatoria que escriban el t´ermino general de la sucesi´on.
Es relevante observar que los dos ejercicios no aparecen en la parte gruesa del tema (al igual que el de la editorial Edeb´e), son ambos una mera ampliaci´on de los conceptos explicados.
En el mismo curso tambi´en se ha revisado el libro de la editorial Santillana [S´anchez, 2011] y el de la editorial SM [Vizmanos, 2008] y en ninguno de ellos se ha evidenciado el uso de fractales. Tampoco en los libros de tercero [Garrido, 2008a] y cuarto [Garrido, 2008b] de ESO de la editorial Edeb´e.
En cuarto de ESO de matematicas A [Colera, 1998a] podemos encontrar en uno de los libros de la editorial ANAYA el uso de figuras iterativas dentro de un bloque-resumen de problemas del curso anterior.
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3 Marco te´orico
Figura 3-6.: Ejercicio ejemplo en [Colera, 1998a].
A su vez, en un libro de la misma serie pero de matematicas B [Colera, 1998b], aparece el mismo ejercicio situado en el mismo apartado.
Posteriormente vuelve a aparecer la figura iterativa que ya hab´ıa aparecido en cursos anteriores de la misma editorial, en este caso, pese a ser dos cursos posteriores, hace la misma pregunta que en el libro de segundo de ESO pero en este caso la hace desde un contexto de castillos de naipes. Al final del mismo tema vuelve a aparecer el ejercicio pero en este caso a˜ nade una nueva pregunta, la medida del a´rea.
En el mismo libro tambi´en aparece el tri´angulo de Sierpi´ nski dentro del tema de progresiones (T2) y en forma de ejercicio, como en todos los casos que se han encontrado hasta el momento. En este caso se busca que intenten encontrar la ley de formaci´on.
3.2 An´alisis de libros de texto
19
Figura 3-7.: Ejercicio ejemplo en [Colera, 1998b].
Finalmente aparece por primera vez el fractal de los cuadrados que forma parte de nuestro cuestionario. En este caso la dicultad del ejercicio es un poco superior ya que se les pide el calculo de la suma de las a´reas.
Figura 3-8.: Ejercicio ejemplo en [Colera, 1998b].
Como era de esperar, ya que no forman parte del curr´ıculum de la Comunitat Valenciana, son muy escasas las apariciones de fractales en los libros de texto de los estudiantes de ESO y en los casos en los s´ı que hay aparecen aislados al final del tema y en forma de ejercicios, en ning´ un momento se utilizan como recurso para explicar un apartado de un tema.
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3.2.2.
3 Marco te´orico
Bachillerato
El concepto de l´ımite aparece por primera vez, seg´ un el curr´ıculum de Bachillerato y de ESO de la Comunidad Valenciana, en primero de Bachillerato (consultar p´agina 2), independientemente del tipo de matem´aticas que se escoja.
Es relevante hacer un breve an´alisis a libros de texto para ver como se presenta y si utiliza guras reiterativas con el fin de comprender mejor el concepto.
Respecto a la aparici´on de fractales y de figuras iterativas fuera del contexto del tema de l´ımites, se ha encontrado el del cuadrado en [Garrido, 2008c] de primero de Bachillerato de Ciencias Sociales de la editorial Edeb´e, dentro del tema de progresiones y matem´atica comercial (T4).
Figura 3-9.: Ejercicio ejemplo en [Garrido, 2008c].
Tambi´en aparecen en la presentaci´on del tema de n´ umeros complejos de la editorial Edeb´e [Garrido, 2008d] y de la editorial SM [Vizmanos, 2011] im´agenes de fractales.
Concretamente en [Garrido, 2008d] define a un fractal de la forma siguiente (siendo ´esta denici´on la u ´nica encontrada a lo largo de la revisi´on bibliogr´afica):
3.2 An´alisis de libros de texto
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“Un fractal es un objeto geom´etrico cuya estructura b´asica se repite a diferentes escalas. Uno de los fractales conocido como Conjunto de Mandelbrot se genera mediante un proceso de iteraci´on en el que intervienen expresiones matem´aticas con n´ umeros complejos.”
Figura 3-10.: Fractal de Mandelbrot en [Garrido, 2008d].
Respecto a la introducci´on del concepto de l´ımite, casi todos los libros empiezan con una imagen que hace intuir o bien la idea de tendencia a infinito o a un cierto valor pero no hacen preguntas al respecto ni una explicaci´on de la imagen, solamente se utiliza para atraer el inter´es de los estudiantes, sin unirlo con el tema. (Editorial Oxford [Besc´os, 2001], editorial ECIR [Ram´ırez, 2006] y editorial Edeb´e [Garrido, 2007b]).
Figura 3-11.: Gran Cometa. J. Dibbets. En [Garrido, 2007b].
22
3 Marco te´orico
Figura 3-12.: Imagen l´ımite. En [Besc´os, 2001]. Posteriormente prosiguen con la idea intuitiva de l´ımite que siempre es creada a partir de ´ una tabla con valores de una funci´on que se acerca a un n´ umero determinado. Este es el primer contacto que los alumnos tienen con este concepto.
Figura 3-13.: Explicaci´on ejemplo en [Besc´os, 2001].
3.2 An´alisis de libros de texto
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Son muy pocos los libros que construyen la idea a partir de gr´aficas-ejemplo, sin utilizar n´ umeros, en estos casos la palabra “l´ımite” es sustituida muchas veces por la palabra “tendencia”.
Figura 3-14.: Explicaci´on ejemplo en [Garrido, 2008c].
Es relevante destacar el hecho de que s´ı que existen diferentes estudios y diferentes sets de actividades basadas en fractales (tal y como se ha observado en el apartado anterior) para tratar el tema de l´ımites y la aproximaci´on a este concepto, pero en los libros de texto no hacen uso de ellos y en el caso en el que aparecen fractales no los unen apropiadamente con el tema, solamente los utilizan para llamar la atenci´on, quedando completamente desligados.
4. Metodolog´ıa Para intentar resolver la pregunta-objetivo (¿se pueden usar im´agenes reiteradas de estructuras fractales para introducir de forma intuitiva el concepto de convergencia de una sucesi´on?) se cre´o un cuestionario basado en la revisi´on de estudios previos y libros de texto de Educaci´on Secundaria Obligatoria previa con preguntas estrat´egicas.
Las actividades fueron aplicadas en un curso de 25 alumnos de Matematicas B de cuarto de Educacion Secundaria Obligatoria del IES Llus Vives de Valencia.
4.1.
Cuestionario
El cuestionaro que han resuelto los estudiantes constaba de catorce actividades divididas en tres tipos diferentes de fractales: el tri´angulo de Sierpi´ nski, los cuadrados y la curva de Koch.
Hay diferentes tipos de actividades a realizar en cada fractal pero, independientemente del fractal al que pertenezcan, podemos agruparlas en cuatro grupos distintos de acuerdo al tipo de ejercicio que se pide: C´ alculo de iteraciones: (CI) En este tipo de actividades se pedir´a al alumno que cuente elementos, calcule a´reas o per´ımetros para un n´ umero de iteraciones determinado. C´ alculo de iteracciones predictivo: (CIP) En este tipo de actividades se pedir´a que calcule o indique el resultado de un per´ımetro o ´area para una iteraci´on determinada.
4.1 Cuestionario
25
Iteraci´ on n-´ esima: (IN) Mediante inducci´on indicar´an lo que sucede en el caso de una iteraci´on para un n´ umero muy grande. Formaci´ on del t´ ermino general de una sucesi´ on. (FTG)
Las catorce actividades se agrupan de la forma siguiente:
CI
CIP
IN
FTG
Tri´ angulo de Sierpi´ nski
1-5
2-6
3-7
4
Cuadrados
8
9
Curva de Koch
12
11-14
Las actividades a realizar eran las siguientes:
13
El triángulo de Sierpinski es un fractal que el matemático Waclav Sierpinski (18821969) construyó en 1019 del modo siguiente:
-Paso 0: Consideramos un triángulo equilátero:
-Paso 1: Unimos los puntos medios de los lados y resulta la siguiente figura, donde vemos tres triángulos equiláteros sombreados y uno hueco:
-Paso 2: Si repetimos el proceso en los triángulos sombreados obtendremos la figura que aparece a continuación:
-Paso 3: Si repetimos el proceso en los triángulos sombreados obtendremos la figura que aparece a continuación:
-Paso 4: Si repetimos el proceso en los triángulos sombreados obtendremos la figura que aparece a continuación:
Y así sucesivamente.
1. Cuenta el número de triángulos negros desde el paso 0 al 4: PASO 0 NÚMERO DE TRIÁNGULOS NEGROS
1
2
3
4
2. Predice el número de triángulos que habrá en un paso 5:
3. Si el número de pasos es muy grande, ¿qué sucede?, ¿cuántos triángulos negros habrá? (contesta a esta pregunta intuitivamente, no es necesario haber contestado correctamente a las anteriores).
4.
¿Podrías escribir el término general de la sucesión anterior? si la respuesta es
afirmativa escríbelo.
5. Considerando que el área del triángulo inicial es 1, encuentra el área sombreada de los pasos 1 al 4: PASO ÁREA
0 1
1
2
3
4
6. Predice el área sombreada en el paso 5:
7. Si el número de pasos es muy grande, ¿qué sucede con el área? (contesta a esta pregunta intuitivamente).
Considera el fractal siguiente:
8. Si l =1 calcula l , l 1
LADO MEDIDA
2
l1
3
y l4:
l2
l3
9. ¿Cuánto crees que medirá más o menos l10000000000?
l4
Para construir este fractal partimos de un triángulo equilátero, tal y como se observa en la figura que se ve a continuación.
Posteriormente dividimos cada lado en tres partes iguales, y en el segmento central de cada lado levantamos un nuevo triángulo equilátero y así sucesivamente.
Vamos a centrarnos en el perímetro de esta figura, pero para simplificarlo nos fijaremos en uno de sus lados:
n=0
l=1
n=1
l=?
n=2
l=?
n=3
l=?
n=4
l=?
10. Repasa la figura anterior con lápiz. 11. ¿Qué observas? ¿Va aumentando la longitud de la curva, disminuyendo o se mantiene igual? Explícalo.
12. Considerando que la recta inicial mide uno calcula la medida de: n=0
l=1
n=1
l=
n=2
l=
(Ten en cuenta que dividimos la recta en tres partes y una de ellas la substituimos por dos del mismo tamaño).
13. ¿Serías capaz de escribir el término general de la sucesión de las longitudes de las curvas que se van obteniendo? Si es así indícalo:
14. Imagina que nos encontramos en n=100000000, ¿cómo será la longitud?, ¿se acercará a algún valor en concreto?
32
4 Metodolog´ıa
4.2.
An´ alisis de las respuestas de los alumnos
Los objetivos a conseguir en cada fractal son los siguientes:
1. Tri´ angulo de Sierpi´ nski: Los objetivos son: Determinar el n´ umero de tri´angulos oscuros para una iteraci´on determinada visual. Predecir el n´ umero de tri´angulos oscuros para una iteraci´on determinada no que no aparece de forma visual. Analizar la variaci´on de tri´angulos oscuros y concluir acerca del comportamiento de dichos valores para un valor de n grande. Encontrar la expresi´on general para el c´alculo del n´ umero de tri´angulos oscuros. Determinar el a´rea para un n´ umero determinado de etapas. Predecir el a´rea para una iteraci´on indicada. Analizar la variaci´on del a´rea y concluir sobre su comportamiento para un valor de n grande. Encontrar una expresi´on para determinar el valor del a´rea en una etapa n-´esima. 2. Cuadrados: Los objetivos son: Determinar la longitud del lado del cuadrado en un n´ umero de etapas determinado. Concluir acerca del comportamiento de dicho valor para un n´ umero n de etapas grande. 3. Curva de Koch: Los objetivos son: Determinar la longitud de la curva para un n´ umero n de etapas determinado.
4.2 An´alisis de las respuestas de los alumnos
33
Concluir acerca de la longitud de la curva para un valor n de etapas grande. Generar la sucesi´on de la medida anterior. Concluir acerca de dicho valor para un n´ umero n de etapas determinado, es decir, determinar la convergencia o no de la sucesi´on.
Para analizar las diferentes respuestas proporcionadas por los estudiantes no vamos a examinar las contestaciones por orden l´ogico, vamos a estudiarlas de acuerdo a los diferentes tipos de actividades indicados anteriormente: c´alculo de iteraciones, c´alculo de iteraciones predictivo, iteraci´on n-´esima y formaci´on del t´ermino general de una sucesi´on.
En el anexo se adjunta el tipo de respuesta proporcionada por cada alumno que realiz´o el cuestionario para cada ejercicio.
4.2.1.
C´ alculo de iteraciones
´ ´ TRIANGULO DE SIERPINSKI
Actividad 1 Todos los alumnos han respondido correctamente. Cuatro tienen errores que posteriormente corrigen, lo que indica que han recurrido a contar uno a uno los tri´angulos. Esto tambi´en se puede observar en las marcas de bol´ıgrafo que han hecho algunos de ellos ya que han marcado los tri´angulos uno a uno (a) y muy pocos de ellos han recurrido a una regla de formaci´on (b).
Tipo de respuesta
a
b
N´ umero de alumnos
20
5
34
4 Metodolog´ıa
Figura 4-1.: Ejemplo de contar tri´angulos oscuros (a).
Figura 4-2.: Ejemplo de contar tri´angulos oscuros por grupos (b).
Actividad 5 Esta actividad ha tenido tipos de respuestas muy diferentes. La dificultad en este caso resid´ıa en el hecho de transformar los tri´angulos blancos en tri´angulos del mismo tama˜ no que los negros para poder calcular la relaci´on entre tri´angulos negros y el total, y por lo tanto, determinar el a´rea sabiendo que la de partida es uno.
Los diferentes tipos de respuesta dados por los estudiantes han sido los siguientes: a) En blanco y sin intento. b) Correctas y que muestran indicios de subdivisi´on de tri´angulos en la hoja de ejercicios. ´ c) Area siempre uno. Los estudiantes entienden que el tri´angulo es siempre el mismo por lo que el a´rea siempre es la misma, uno.
4.2 An´alisis de las respuestas de los alumnos
35
d) Entienden el concepto pero no saben subdividir los tri´angulos para calcular la relaci´on. e) Observan cada vez m´as tri´angulos pero no son capaces de determinar el a´rea correctamente, por lo que solamente dan como resultado el n´ umero de tri´angulos oscuros. f) Inventadas. g) Relaci´on mal escrita. No saben escribir la relaci´on parte-todo correctamente y la ponen al rev´es.
Tipo de respuesta
a
b
c
d
e
f
g
N´ umero de alumnos
10
7
2
1
1
2
2
Figura 4-3.: Hoja de ejercicios de un alumno (b).
Figura 4-4.: Hoja de ejercicios de un alumno (d).
36
4 Metodolog´ıa CUADRADOS
Actividad 8 Para poder resolver esta actividad los estudiantes ten´ıan que controlar el teorema de Pit´agoras y hacer los c´alculos pertinentes. Sorprendentemente hay una parte de ellos que no lo conocen fuera de su contexto de aplicaci´on habitual, como podr´ıa ser la realizaci´on de un ex´amen sobre el teorma de Pit´agoras.
Los diferentes tipos de respuesta proporcionados por los alumnos son los siguientes: a) En blanco. b) Correcta. c) Medida directa. d) Consideran que en un tri´angulo isosceles todos los catetos miden igual, por lo que solamente dividen entre dos en cada iteraci´on.
Figura 4-5.: Respuesta de alumno.
e) Saben que la hipotenusa es un poco m´as grande que los otros dos catetos del tri´angulo is´osceles, no realizan el c´alculo mediante Pit´agoras pero se inventan una medida aproximada ligeramente superior a los otros dos catetos que s´ı que calculan.
Figura 4-6.: Respuesta de alumno. Tipo de respuesta
a
b
c
d
e
N´ umero de alumnos
1
13
1
5
5
4.2 An´alisis de las respuestas de los alumnos
37
CURVA DE KOCH
Actividad 12 En esta actividad los alumnos han respondido de dos formas diferentes: una peque˜ na cantidad lo ha resuelto correctamente (a) y el resto ha dejado en blanco la pregunta (b) por la dificultad. Tipo de respuesta
a
b
N´ umero de alumnos
6
19
4.2.2.
C´ alculo de iteraciones predictivo
´ ´ TRIANGULO DE SIERPINSKI
Actividad 2 En esta actividad se han encontrado cuatro tipos diferentes de respuesta: a) Respuesta incorrecta. b) Respuesta correcta, indican solamente el restultado. c) Respuesta correcta. Toman como referencia para calcular el n´ umero de tri´angulos la cantidad de tri´angulos en una iteraci´on anterior. En este caso se han dado cuenta de que el n´ umero de tri´angulos en una iteraci´on determinada es tres veces superior al n´ umero de tri´angulos de la iteraci´on anterior.
Figura 4-7.: Respuesta de alumno. El alumno ha hecho un mal uso de la palarla “partimos” ya que su intenci´on era multiplicar.
38
4 Metodolog´ıa d) Respuesta correcta, en este caso utilizan el t´ermino general de la sucesi´on para hacer el c´alculo.
Tipo de respuesta
a
b
c
d
N´ umero de alumnos
1
14
8
2
Actividad 6 Los diferentes tipos de respuesta proporcionados por los alumnos son los siguientes: a) Respuesta correcta. Escriben el resultado sin nada m´as. b) Respuesta en blanco. c) El a´rea es 1. Esta respuesta proporcionada por dos alumnos proviene de considerar en el ejercicio 5 que el a´rea es siempre la misma, uno. d) El a´rea es el n´ umero de tri´angulos negros que habr´a en la iteraci´on 5. No razonan si es l´ogica o no la respuesta.
Tipo de respuesta
a
b
c
d
N´ umero de alumnos
7
15
2
1
4.2 An´alisis de las respuestas de los alumnos
4.2.3.
39
Iteraci´ on n-´ esima
´ ´ TRIANGULO DE SIERPINSKI
Actividad 3 Los diferentes tipos de respuesta proporcionados por los alumnos son los siguientes: a) Habr´a m´as tri´angulos. Para indicar que la cantidad es infinita utilizan la palabra “muchos”, tambi´en utilizan la expresi´on “cada vez m´as”. b) Los tri´angulos ser´an m´as peque˜ nos. En este tipo de respuesta los estudiantes han analizado el tama˜ no y no la cantidad de tri´angulos existente que ser´ıa lo l´ogico tras la primera y la segunda cuesti´on. c) Habr´a m´as tri´angulos y ser´an m´as peque˜ nos. d) El n´ umero de tri´angulos ser´a infinito. En este tipo de respuesta no introducen el s´ımbolo matem´atico, simplemente lo indican de forma escrita.
“Es infinito, cada vez hay m´as tri´angulos blancos.”
En este caso el estudiante se ha fijado en los tri´angulos blancos y no en los negros.
Hay un alumno que no utiliza la palabra “infinito” pero s´ı la palabra “inmenso” para referirse a ´este:
“Que habr´an un n´ umero inmeso de triangles sombreats.” e) Respuesta num´erica. En este u ´nico caso el estudiante ha intentado dar una respuesta num´erica a la pregunta por lo que al ver que era complicado ha respondido lo siguiente:
“Que se multiplica por tres las veces que hagan falta y ya.”
Es decir, no ha analizado lo que sucede por lo que ha sido incapaz de realizar
40
4 Metodolog´ıa una conjetura. f) Respuesta en blanco.
Tipo de respuesta
a
b
c
d
e
f
N´ umero de alumnos
11
4
4
4
1
1
Actividad 7 Las respuestas de los estudiantes se clasifican de la siguiente forma: a) El ´area disminuye. En este caso, para indicar que el tama˜ no es pr´oximo a cero, utilizan la expresi´on “muy peque˜ na” y “va disminuyendo”. Dos de los alumnos lo han descrito de la siguiente forma:
“Que disminuye, casi hasta el cero habiendo un mont´on de tri´angulos sombreados.” b) El a´rea es la misma. Esta respuesta ha sido proporcionada por los alumnos que consideraban que el a´rea era la misma en todas las iteraciones, uno. c) El ´area aumenta. Esta respuesta es consecuencia de contestar incorrectamente la pregunta de las iteraciones, por lo que el an´alisis realizado a partir de ellas es incorrecto. Es relevante observar que se hay apoyado en la respuesta num´erica anterior, pudi´endose deducir solamente mediante un an´alisis visual. d) El a´rea es infinita. Relacionan el hecho de tener m´as tri´angulos con tener el ´area m´as grande. e) Respuesta en blanco.
Tipo de respuesta
a
b
c
d
e
N´ umero de alumnos
9
2
4
1
9
4.2 An´alisis de las respuestas de los alumnos
41
CUADRADOS
Actividad 9 Las respuestas proporcionadas por los alumnos son las siguientes: a) Se aproxima a cero. En la mitad de los casos utilizan la expresi´on “m´as o menos” para referirse a que se aproxima a cero. b) 0.0000000001. Los alumnos ven que el valor se aproxima a cero y utilizan el n´ umero de iteraci´on que les pedimos que calculen para indicar la respuesta. c)
1 10−10 . 2
En este caso la alumna escribe lo siguiente:
“Perqu`e pense que ´es com un per´ıode: arriba un moment en qu`e el resultat ´es el mateix, per`o amb diferents xifres (partint per dos perqu`e es calcula aix´ı).” d) Respuesta en blanco.
Tipo de respuesta
a
b
c
d
N´ umero de alumnos
11
6
1
7
CURVA DE KOCH
Actividad 11 Las respuestas proporcionadas por los alumnos son las siguientes: a) Aumenta. Para indicar que la longitud cada vez es m´as grande los alumnos escriben lo siguiente:
“Que se le a˜ naden tri´angulos y estas m´as rato dibujando.” “Aumenta conforme al nivel, ya que es sumen m´es procions cada volta.” “S´ı, la curva aumenta a medida que aumentamos el nivel porque se va haciendo m´as grande al igual que se aumenta el tama˜ no.”
42
4 Metodolog´ıa b) Se queda igual. Los alumnos consideran que se modifica la curva pero que la longitud sigue siendo la misma. Una de las respuestas es la siguiente:
“Aumenta el n´ umero de tri´angulos pero la curva se mantiene igual.” c) Respuesta en blanco.
Tipo de respuesta
a
b
c
N´ umero de alumnos
13
2
10
Actividad 14 Las respuestas proporcionadas por los alumnos son las siguientes: a) La longitud es infinita. En este caso seis de los siete alumnos han utilizado este concepto, el s´eptimo se ha utilizado “muy grande”. b) 1000001. Los alumnos han considerado que cada vez que se hace una iteraci´on (partiendo de la cero) se suma uno ya que la inicial vale uno. c) Respuesta en blanco.
Tipo de respuesta
a
b
c
N´ umero de alumnos
7
2
16
4.2.4.
T´ ermino general de una sucesi´ on
´ ´ TRIANGULO DE SIERPINSKI
Actividad 4 Las respuestas proporcionadas por los alumnos son las siguientes: a) Sucesi´on definida por recursi´on. Han observado que cada t´ermino es igual a multiplicar al anterior por tres. Para indicarlo solamente dos utilizan la letra “n”
4.2 An´alisis de las respuestas de los alumnos
43
para designar a la iteraci´on anterior, el resto utilizan la letra “x”. Dentro de esta respuesta hay alumnos, como el de la respuesta que aparece a continuaci´on, que escriben de una forma no matem´atica el resultado pero la respuesta tiene la misma intenci´on.
Figura 4-8.: Respuesta de alumno.
b) T´ermino general correcto. Para indicar la iteraci´on utilizan la letra “x”. c) Respuesta en blanco.
Tipo de respuesta
a
b
c
N´ umero de alumnos
14
6
5
CURVA DE KOCH
Actividad 13 Todos los alumnos han dejado la respuesta en blanco por dificultad y por falta de tiempo.
5. Conclusiones Como se puede observar en los resultados y en la tabla posterior, una parte de los alumnos identifican correctamente el patr´on de crecimiento a partir de una sucesi´on de figuras
Respuestas correctas sobre 25 alumnos
T. de Sierpi´ nski
Cuadrados
Curva de Koch
y saben calcular a partir de ellas, por inducci´on, una iteraci´on que se les pide posteriormente.
C´ alculo de iteraciones
Act1: 25 Act5: 7
Act8: 13
Act12: 6
C´ alculo de iteraciones visual
Act2: 24 Act6: 7
Los estudiantes saben analizar la variaci´on de las a´reas y per´ımetros en casos sencillos, proponiendo conjeturas mayoritariamente correctas sobre la evoluci´on del conjunto fractal a
Respuestas correctas sobre 25 alumnos
T. de Sierpi´ nski
Cuadrados
Curva de Koch
partir de casos particulares cuando se hace un n´ umero grande de iteraciones.
Iteraci´ on n-´ esima
Act3: 19 Act7: 9
Act9: 17
Act11: 13 Act14: 9
45 Finalmente, como se puede observar el la tabla posterior, no han tenido problemas en la formaci´on del t´ermino general de la sucesi´on del ejercicio del tri´angulo de Sierpi´ nski pero
Act4: 20
Curva de Koch
Formaci´ on del t´ ermino general de una sucesi´ on
Cuadrados
Respuestas correctas sobre 25 alumnos
T. de Sierpi´ nski
s´ı en la de la curva de Koch, ya que era de una dificultad bastante superior.
Act13: 0
Es decir, los estudiantes logran intuir un proceso geom´etrico infinito en los ejercicios que se proponen por lo que consideramos que s´ı que se podr´ıan utilizar im´agenes reiteradas de estructuras fractales sencillas para introducir de forma intuitiva el concepto de convergencia de una sucesi´on y, por lo tanto, el concepto de l´ımite.
A. Anexo: Tipos de respuesta por alumno Actividad 1:
ALUMNO
a
1
b
ALUMNO
a
X
14
X
2
X
15
X
3
X
16
X
4
X
17
X
5
X
18
X
6
X
19
7
X
b
X
20
X X
8
X
21
9
X
22
10
X
23
X
11
X
24
X
12
X
25
13
X
TOTAL
X
X 20
5
a) Cuentan los tri´angulos uno a uno. b) Cuentan los tri´angulos mediante regla de formaci´on.
47
Actividad 2:
ALUMNO
a
b
c
d
ALUMNO
a
b
1
X
14
X
2
X
15
X
3
X
16
c
X
4
X
17
5
X
18
X
X
6
X
19
X
7
X
20
X
8
X
21
9 10
X
X X
23
X
11
22
X
X
24
12
X
25
13
X
TOTAL
d
X X 1
14
8
2
a) Respuesta incorrecta. b) Respuesta correcta, indican solamente el restultado. c) Respuesta correcta. Toman como referencia para calcular el n´ umero de tri´angulos la cantidad de tri´angulos en una iteraci´on anterior. d) Respuesta correcta, en este caso utilizan el t´ermino general de la sucesi´on para hacer el c´alculo.
48
A Anexo: Tipos de respuesta por alumno
Actividad 3:
ALUMNO
a
1 2
b
c
d
e
f
ALUMNO
a
14
X
15
X
16
X
X X
X
3
X
4
X
17
5
X
18
X
19
X
6
X
7 8
10 11
X X X X
12 13
X
a) Habr´a m´as tri´angulos. b) Los tri´angulos ser´an m´as peque˜ nos. c) Habr´a m´as tri´angulos y ser´an m´as peque˜ nos. d) El n´ umero de tri´angulos ser´a infinito.
f) Respuesta en blanco.
e
f
1
1
X
21
X
22
X
23
X
24
X
TOTAL
d
X
25
X
e) Respuesta num´erica.
c
20
X
9
b
X 11
4
4
4
49
Actividad 4:
ALUMNO
a
1
b
c
ALUMNO
a
14
X
15
X X
X
2
X
3
X
16
4
X
17
5
X
18
X
6
X
19
X
7
X
20
8
X
21
9
X
22
X X X
X
23
X
11
X
24
X
13
25
X X
TOTAL
a) Sucesi´on definida por recursi´on. b) T´ermino general correcto. c) Respuesta en blanco.
c
X
10
12
b
X 14
6
5
50
A Anexo: Tipos de respuesta por alumno
Actividad 5:
ALUMNO
a
1
b
c
d
e
f
g
ALUMNO
a
14
X
X
2 3
X
16
4
X
17 18
X
7
X
20
X
8
X
21
X
9
X
22 23
X X
25
X
13
X
24
X
X
TOTAL
g
X X
X
f
X
19
12
e
X
X
11
d
X
6
10
c
15
X
5
b
X 10
7
2
1
1
2
2
a) En blanco y sin intento. b) Correctas y que muestran indicios de subdivisi´on de tri´angulos en la hoja de ejercicios. ´ c) Area siempre uno. d) Entienden el concepto pero no saben subdividir los tri´angulos para calcular la relaci´on. e) El resultado es el n´ umero de tri´angulos oscuros. f) Inventadas. g) Relaci´on mal escrita.
51
Actividad 6:
ALUMNO
a
1
X
b
c
2
d
X
ALUMNO
a
14
X
b
15
X X
3
X
16
4
X
17
5
X
18
6
X
19
X
7
X
20
X
8
X
21
X
9
X
22
X
23
X X
10
X
2
1
X
X
24
12
X
25
X
TOTAL
7
X
d
X
11
13
c
15
a) Respuesta correcta. b) Respuesta en blanco. c) El a´rea es 1. d) El a´rea es el n´ umero de tri´angulos negros que habr´a en la iteraci´on 5.
52
A Anexo: Tipos de respuesta por alumno
Actividad 7:
b
c
d
e
ALUMNO
ALUMNO
a
1
X
14
2
X
15
a
16
4
X
17
X
5
X
18
X
6
X
19
X
7
X
20
8
X
21
9
X
22 23
X X X X
X
24
12
X
25
X
TOTAL
9
X
a) El a´rea disminuye. b) El a´rea es la misma. c) El a´rea aumenta. d) El a´rea es infinita. e) Respuesta en blanco.
e
X
11
13
d
X
X
X
c X
3
10
b
X
2
4
1
9
53
Actividad 8:
ALUMNO
a
b
c
d
e
ALUMNO
a
b
c
d
1
X
14
2
X
15
X X
X
3
X
16
4
X
17
X
5
X
18
X
6
X
19
X
7
X
20
8
X
21
9
X
22
X
23
X
24
X X
10 11
X X
12
X
25
13
X
TOTAL
e
X X
1
13
1
5
5
a) En blanco. b) Correcta. c) Medida directa. d) Consideran que en un tri´angulo isosceles todos los catetos miden igual, por lo que solamente dividen entre dos en cada iteraci´on. e) Se inventan una medida aproximada ligeramente superior a los otros dos catetos que s´ı que calculan.
54
A Anexo: Tipos de respuesta por alumno
Actividad 9:
ALUMNO
a
1
b
c
ALUMNO
2
X
15
3
X
16
5
X X
6
X
X
18
X
9
X
22 X X
X
20 21
X X X
23
X
24
X
12
X
25
X
13
X
TOTAL
11
a) Se aproxima a cero. b) 0.0000000001. 1 10−10 . 2
d) Respuesta en blanco.
d
X
X
X
11
c
X
17
8
10
b
19
X
7
a
14
X
4
c)
d
6
1
7
55
Actividad 11:
ALUMNO
a
X
14
X
2
X
15
X
3
X
16
X
ALUMNO
a
1
b
c
4
X
17
X
5
X
18
X
6
b
19
X
X
7
X
20
X
8
X
21
X
9
X
22
X
23
X
10
X
11
X
24
X
12
X
25
X
TOTAL
13
13
X
a) Aumenta. b) Se queda igual. c) Respuesta en blanco.
c
2
10
56
A Anexo: Tipos de respuesta por alumno
Actividad 12:
ALUMNO
a
1
X
2 3
b
X X
ALUMNO
a
b
14
X
15
X
16
X
4
X
17
5
X
18
X
6
X
19
X
20
X X
7
X
X
8
X
21
9
X
22
10
X
23
X
11
X
24
X
12
X
25
X
13
X
TOTAL
6
a) Respuesta correcta. b) Respuesta en blanco.
X
19
57
Actividad 14:
ALUMNO
a
1
X
2
b
c
X
ALUMNO
a
X
15
X X
X
16
4
X
17
X
5
X
18
X
6
X
19
X
7
X
20
8
X
21
9
X
22
10
X
23
11
X
24
X
12
X
25
X
13
X
TOTAL
7
b) 1000001. c) Respuesta en blanco.
c
14
3
a) La longitud es infinita.
b
X X X X
2
16
Bibliograf´ıa [Besc´os, 2001] Besc´os, E.; Pena, Z. (2001). Matem´aticas 1 Aplicadas a las Ciencias Sociales. Ed. Oxford Educaci´on. [Camargo, 2013] Camargo, D.; Bustos, L. (2013). Obst´aculo geom´etrico del concepto de l´ımite, una experiencia con fractales. [Colera, 1996] Colera, J.; Gaztelu, I. (1996). 1 ESO Matem´aticas. Recursos Did´acticos. Ed. ANAYA. [Colera, 2012] Colera, J.; Gaztelu, I. (2012). 2 ESO Matem´aticas. Unidades 4 a 7. Ed. ANAYA. [Colera, 1998a] Colera, J.; Garc´ıa, J. (1998a). 4 ESO Matem´aticas A. Propuesta did´actica. Serie nuestro mundo. Ed. ANAYA. [Colera, 1998b] Colera, J.; Garc´ıa, J. (1998b). 4 ESO Matem´aticas B. Propuesta did´actica. Serie nuestro mundo. Ed. ANAYA. [Contreras, 2011] Contreras, I.; Fern´andez, I. (2011). Matem´aticas 1 ESO. Ed. Oxford ´ EDUCACION. [de Guzman, 1994] de Guzman, M. (1994). Introducci´on a los procesos geom´etricos infinitos y a las estructuras fractales. Epsilon vol.28 p.18-28. [Domingo, 1994] Domingo, J.; Hern´an, F. (1994). Dos regalos: los n´ umeros y las figuras. Epsilon vol.9 p.127-148. [Esteve, 2007] Esteve, R.; Deusa, M. (2007). Matem´aticas 1 ESO. Ed. ECIR.
Bibliograf´ıa
59
[Figueiras, 2000] Figueiras, L.; Molero, M. (2000). Una propuesta metodol´ogica para la ense˜ nanza de la geometr´ıa a trav´es de los fractales. Suma vol.35 p.45-54. [Garc´ıa, 1994] Garc´ıa, J.; Ot´alora, F. (1994). El uso de la geometr´ıa fractal en las ciencias naturales. Epsilon vol.28 p.109-125. [Garrido, 2007a] Garrido, A. (2007a). Matem´aticas 1 ESO. Ed. Edeb´e. [Garrido, 2007b] Garrido, A. (2007b). Matem´aticas II. Bachillerato. Ed. Edeb´e. [Garrido, 2008a] Garrido, A. (2008a). Matem´aticas 3 ESO. Ed. Edeb´e. [Garrido, 2008b] Garrido, A. (2008b). Matem´aticas 4 ESO. Ed. Edeb´e. [Garrido, 2008c] Garrido, A. (2008c). Matem´aticas I aplicadas a las Ciencias Sociales. Bachillerato. Ed. Edeb´e. [Garrido, 2008d] Garrido, A. (2008d). Matem´aticas I. Bachillerato. Ed. Edeb´e. [Mandelbrot, 1967] Mandelbrot, B. (1967). How long is the coast of britain? statistical seltsimilarity and fractional dimension. Science vol.156 p.636-638. [Moreno, 2002] Moreno, J. (2002). Experiencia did´actica en matem´aticas: construir y estudiar fractales. Suma vol.40 p.91-104. [Naylor, 1999] Naylor, M. (1999). Exploring fractals in the classroom. Mathematics Teacher vol.92 p.360-660. [Peitgen, 1992] Peitgen, H.; Jurgens, H. (1992). Fractals for the classroom. Strategic activities. Vol. I, II, III. Ed. NCTM. [Ram´ırez, 2006] Ram´ırez, J. (2006). Matem´aticas II. Bachillerato. Ed. ECIR. [S´anchez, 2011] S´anchez, D. (2011). Matem´aticas 2 ESO. Ed. Santillana. [Vizmanos, 2011] Vizmanos, JR.; Hern´andez, J. (2011). Matem´aticas 1. Ed. Oxford Educaci´on. [Vizmanos, 2008] Vizmanos, J.; Anzola, M. (2008). Matem´aticas 2 ESO. Ed. SM.
