2016

Cónicas en las Ciencias Agropecuarias Serie Didáctica

Cátedra Matemática ISBN: 978-987-754-004-8

Cónicas en las ciencias agropecuarias / Norma Macchioni de Zamora ... [et al.]. 1a edición para el alumno - San Miguel de Tucumán: Universidad Nacional de Tucumán. Facultad de Agronomía y Zootecnia, 2016. Libro digital, PDF Archivo Digital: descarga y online ISBN 978-987-754-004-8 1. Geometría Analítica. I. Macchioni de Zamora, Norma CDD 516.3

Fecha de catalogación: 3 de junio, 2016

Cónicas en las Ciencias Agropecuarias

Para alumnos de las carreras: Ingeniero Agrónomo Ingeniero Zootecnista

Cátedra Matemática Edición 2016 ISBN: 978-987-754-004-8

AUTORÍA Y COMPILACIÓN Mg. Lic. Norma A. Ramón de Lavilla Profesora Titular Mg. Lic. Graciela S. Galindo Profesora Asociada Lic. Liliana N. Isa Profesora Adjunta Lic. Norma I. Macchioni de Zamora Profesora Adjunta Esp. Lic. Silvia E. Carando Profesora Adjunta Lic. Ana M. García Jefe de Trabajos Prácticos Lic. María L. Vallejo de Márquez Jefe de Trabajos Prácticos

Las autoras son docentes de la Cátedra Matemática de la Facultad de Agronomía y Zootecnia de la Universidad Nacional de Tucumán Primera edición: Junio 2016 San Miguel de Tucumán – República Argentina

ÍNDICE

Secciones cónicas

1

Circunferencia

2

Elipse

9

Hipérbola

20

Bibliografía

34

Cónicas en las Ciencias Agropecuarias

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SECCIONES CÓNICAS

Las secciones cónicas son curvas que se obtienen cuando se intersecta un plano con un cono circular recto. Dependiendo de la posición del plano, se obtiene: una circunferencia, una parábola (que no se desarrollará en este libro), una elipse o una hipérbola. El conjunto de puntos en el plano que satisfacen determinadas condiciones geométricas define cada cónica. A partir de su definición se podrá encontrar la ecuación del lugar geométrico descripto y bosquejar su gráfica. Las cónicas se representan por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y, cuya expresión general es: A x 2 + B x y + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 donde los coeficientes A, B, C, D, E y F son números reales que determinan el tipo de curva correspondiente que, en caso de existir, podrá ser una circunferencia, una parábola, una elipse o una hipérbola. El desarrollo de estos contenidos es de importancia por su aplicación en la física, en la arquitectura, en la mecánica y en las ciencias agropecuarias. En el campo se utilizan estructuras con las distintas formas de las secciones cónicas como en silos, invernaderos, estanques de agua, puentes, tinglados, etc., que se verán con más detalle en el desarrollo de cada una de ellas.

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CIRCUNFERENCIA

Circunferencia es una sección cónica que se obtiene intersecando un cono con un plano perpendicular al eje que no contiene al vértice, como se observa en el gráfico

Circunferencia

La circunferencia está presente en innumerables construcciones y diseños, por ejemplo: en un anfiteatro romano, en una vuelta al mundo, en arquitectura, en dibujos, como se observa en las imágenes:

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Importancia de la circunferencia en las Ciencias Agropecuarias La circunferencia tiene aplicación en agronomía y en zootecnia. Se observa en los silos de acopio de granos, en tanques para agua, en bebederos para animales, etc.

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Definición: Se llama circunferencia al conjunto de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo c. El punto fijo se llama centro de la circunferencia y la distancia de cada punto de la circunferencia al centro se llama radio. Se considera un punto c coincidente con el origen de coordenadas y un punto p (x, y) perteneciente a la circunferencia.

Uniendo c con el punto p y trazando por él la paralela al eje y, queda determinado un triángulo rectángulo. Por el Teorema de Pitágoras: x 2 + y 2 = r 2 Ecuación canónica de la circunferencia con centro en c (0, 0) y radio r. Del mismo modo si se considera una circunferencia con el centro desplazado en c (k, h), la ecuación canónica será: (x – k) 2 + (y – h) 2 = r 2

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Observando los gráficos anteriores se puede completar el cuadro comparativo de la circunferencia con centro en el origen de coordenadas y la circunferencia con centro (k, h):

Ecuación

x2+y2=r2

(x – k) 2 + (y – h) 2 = r 2

Centro

c (0, 0)

c (k, h)

Radio

r>0

r>0

Dominio

[– r, r]

[k – r, k + r]

Codominio

[– r, r]

[h – r, h + r]

canónica

Simetría de la gráfica Se observa que la circunferencia es simétrica respecto a las rectas de ecuación x = k e y = h, y respecto al centro de la gráfica (todas las rectas que pasan por el centro son ejes de simetría de la circunferencia).

Ejemplo: 1-a) ¿Cómo se denomina la gráfica de la ecuación x 2 + y 2 = 16? Circunferencia b) Determine sus elementos. Los elementos son centro: c (0, 0) y radio: r = 4 c) Represente

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Ecuación general de la circunferencia Al desarrollar los cuadrados en la ecuación canónica (x – k) 2 + (y – h) 2 = r 2, se obtiene (x 2 – 2 x k + k 2) + (y 2 – 2 y h + h 2) = r 2

igualando a cero y agrupando:

x 2 + y 2 – 2 k x – 2 h y + k 2+ h 2 – r 2 = 0 Por lo tanto, la ecuación general de la circunferencia es: x2 + y 2 + d x + e y + f = 0 (1) Si se comparan los coeficientes de la ecuación (1) con la ecuación general de 2º grado en las variables x e y:

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0

Se observa que: A = 1, B = 0, C = 1 d=–2k

k = – d/2

e=–2h

h = – e/2

f = k 2 + h 2– r 2

por lo tanto c (– d/2, – e/2)

r 2= k 2 + h 2 – f

La expresión (x – k) 2 + (y – h) 2 = r 2, no siempre representa una circunferencia. Como el radio se obtiene por la expresión: r Si k 2 + h 2 – f > 0

k2

h2

f

existen tres posibilidades:

la ecuación (1) representa una circunferencia. Existen infinitos

puntos que verifican la expresión. Si

k

2

+ h

2

– f = 0

la gráfica corresponde a un punto (k, h) y no a una

circunferencia. Si k 2 + h 2 – f < 0

no existen valores reales para x e y que satisfagan la ecuación

por lo que no se puede representar en el plano real.

Condiciones de los coeficientes de la ecuación general de segundo grado para que su gráfica represente una circunferencia (Sólo se analizan los coeficientes A, B y C). La ecuación general de segundo grado en las variables x e y es: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0

y la ecuación general de la circunferencia

es: x2 + y 2 + d x + e y + f = 0 (1). Si se comparan los coeficientes de los términos correspondientes se deduce que: A

0, C

0 y A = C = 1 (A igual a C en valor y signo) y el coeficiente B = 0.

Si A = C pero distinto de 1, se divide por ese valor a toda la ecuación de segundo grado para obtener la ecuación (1).

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Ejemplo: Encuentre los elementos característicos de 2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 4 y – 16 = 0, utilizando las fórmulas correspondientes. 2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 4 y – 16 = 0

como A = C = 2, se divide ambos miembros de la igualdad

2

2

x +y –4x+2y–8=0

en 2

donde d = – 4, e = 2 y f = – 8

Utilizando las fórmulas, resulta: k = – (– 4/2)

h = – 2/2

k = 2;

r 2 = 2 2 + (– 1) 2 – (– 8)

h=–1

r 2= 4+ 1 + 8

r 2 = 13

Centro c (2, – 1) radio r

13

Ejemplo: Analice si la expresión – 5 x

2

– 5 y

2

– 20 x + 10 y – 25 = 0 corresponde a una

circunferencia. Se observa que B = 0 y A = C = – 5, se debe dividir en – 5 a toda la expresión para poder saber el valor de los restantes coeficientes. x 2+ y 2+ 4 x – 2 y + 5 = 0 d = 4, e = – 2 y f = 5 Para obtener las coordenadas del centro, se calcula: k = – 4/2

k = – 2;

r 2 = (– 2) 2 + 1 2 – 5

h = – (– 2)/2 r2=0

h=1

La expresión no corresponde a una circunferencia.

Ejemplo de aplicación: Se detectó una plaga que afecta a un campo sembrado y se cree conveniente fumigar con un avión en forma circular con un radio de 4 km la zona, para impedir que la plaga se extienda. Si la región en cuestión se encuentra a 7 km al oeste y 2 km al norte de los galpones ¿Cuál será la ecuación de la trayectoria que seguirá el avión?

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Para resolver esta situación, ubicamos en un sistema de ejes coordenados, la distancia a los galpones y una posición del avión de acuerdo a los datos del problema, considerando el Norte como el semieje positivo y.

Por lo tanto, el centro del círculo se ubica en el punto de coordenadas (– 7, 2). La trayectoria del avión resulta ser el lugar geométrico de los puntos que equidistan 4 km del centro

r=4

Así la ecuación de la trayectoria que seguirá el avión es la de la circunferencia: (x + 7) 2 + (y – 2) 2 = 16

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ELIPSE Elipse es una sección cónica que se obtiene intersectando una de las hojas de la superficie cónica con un plano inclinado, como se observa en el gráfico

La importancia de las cónicas radica en su constante presencia en situaciones reales. En el caso de elipse, esta curva puede presentarse en innumerables situaciones, por ejemplo: las órbitas que describe la Tierra alrededor del Sol, la emisión de un haz de luz, la sombra que genera una esfera, la Plaza de San Pedro, la forma de un estadio deportivo, y el Coliseo, entre muchas otras.

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Cabe destacar que las elipses son cortes de cuerpos denominados elipsoides, como se puede observar en las siguientes fotografías:

Teatro Nacional de Beijing

En la arquitectura se utilizan elipses, como superficies de revolución, para la construcción de edificios, aprovechando sus características físicas singulares en cuanto a resistencia, acústica y armonía visual.

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Una de las propiedades más notables se da en lo que se llaman “galerías murmurantes”. Estas galerías, de forma elíptica, producen un extraño fenómeno: si una persona ubicada en uno de los focos de la elipse murmura una frase, podría oirla nítidamnete alguien situado en el otro foco; pero los que estén en otros lugares de la galería no lo oirán. Esto sucede porque el sonido emitido en todas direcciones desde el primer foco, al rebotar en las paredes elípticas pasaran indefectiblemente por el otro foco.

Importancia de la elipse en las Ciencias Agropecuarias Dentro de las cónicas, la elipse tiene múltiples aplicaciones en agronomía y en zootecnia. Basta recorrer las fincas de citrus de nuestra provincia de Tucumán, para observar que debido a las características topográficas del suelo es común visualizar curvas de nivel en forma elíptica en la plantación de limoneros, también en los campos de cultivos de caña de azúcar y de otras variedades: soja, trigo, tabaco, etc.

También se utilizan cubiertas de forma elíptica para la producción de flores, arándano, frutillas y hortalizas en general.

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En criaderos de aves.

Introducción al tema Estos ejemplos y muchos más forman parte de las aplicaciones de la elipses en los diferentes campos del conocimiento, por esa razón es necesario estudiar los conceptos, analizar los parámetros y visualizar sus gráficos.

Definición: Se llama elipse al conjunto de puntos del plano que cumplen con la condición de que la suma de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es constante.

pf

p f ' = constante

La recta que contiene a los focos se llama eje mayor. Para poder obtener la expresión canónica de esta curva, se considera la constante igual a 2a.

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Ecuación de la elipse Centrada en el origen

Con traslación

Eje mayor coincidente con el eje x

Eje mayor paralelo al eje x

La ecuación canónica correspondiente, en cada caso, es: x2 a2

y2 b2

(x k) 2 a2

1

(y h) 2 1 b2

Centro c (0, 0)

Centro c (k, h)

Vértices v (a, 0) v ' (– a, 0)

Vértices v (k + a, h) v ' (k – a, h)

v1 (0, b) v1' (0, – b)

v1 (k, h + b) v1' (k, h – b)

Focos f (c, 0) f ' (– c, 0)

Focos f (k + c, h) f ' (k – c, h)

Longitud del eje mayor

Longitud del eje mayor v v ' = 2 a

vv' =2a

Ecuación de la recta que contiene al eje

Ecuación de la recta que contiene al

mayor

eje mayor

y=0

Longitud del eje menor

v1 v1' = 2 b

y=h

Longitud del eje menor v1 v1' = 2 b

Ecuación de la recta que contiene al eje

Ecuación de la recta que contiene al

menor

eje menor

x=0

Distancia focal

ff' =2c

x=k

Distancia focal f f ' = 2 c

Dom R = [– a, a]

Dom R = [k – a, k + a]

Cod R = [– b, b]

Cod R = [h – b, h + b]

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Relación entre los parámetros a, b y c

Se considera el triángulo rectángulo v1 c f, se llama a a la hipotenusa y a los catetos b y c.

La relación pitagórica entre ellos es: a 2 = b 2 + c 2

Excentricidad Se denota a la excentricidad con

y se define como

= c / a , como c < a

0< a

>1

Ejemplo: 9 x 2 – 36 y 2 – 324 = 0

Dada la expresión

a) Escriba en la forma canónica. b) Determine sus elementos. c) Represente.

a)

9x

2

– 36 y

2

= 324

dividiendo ambos miembros en 324

obtenemos la

ecuación canónica de la hipérbola x2 36

y2 9

1

b) Centro c (0, 0) a 2 = 36

a=6

Vértices v (6, 0) v ' (– 6, 0)

b2= 9

b=3

v1 (0, 3) v1' (0, – 3)

c2 =a2 + b2

c 2 = 36 + 9

c 2 = 45

45

c=

Excentricidad

=c/a

Focos f ( =

45 / 6 > 1

Longitud del eje real o focal v v ' = 12

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45 , 0) f ' (–

45 , 0)

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Longitud del eje imaginario v1 v1' = 6 Ecuación de la recta que contiene al eje real o focal

y=0

Ecuación de la recta que contiene al eje imaginario

x=0

Ecuaciones de las asíntotas y

3 x 6

y

1 x 2

e

y

3 x 6

y

c)

Ecuación de la hipérbola

Centrada en el origen

Con traslación

Eje real coincidente con el eje y

Eje real paralelo al eje y

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1 x 2

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La ecuación canónica correspondiente, en cada caso, es:

y2 a

x2

2

b

2

h) 2

(y

1

k) 2

(x

a2

1

b2

Centro c (0, 0)

Centro c (k, h)

Vértices v (0, a) v ' (0, – a)

Vértices v (k, h + a) v ' (k, h – a) v1 (k + b, h) v1' (k – b, h)

v1 (b, 0) v1' (– b, 0) Focos f (0, c) f ' (0, – c)

Focos f (k, h + c) f ' (k, h – c)

Longitud del eje real

Longitud del eje real v v ' = 2 a

vv' =2a

Ecuación de la recta que contiene al eje real o focal

Ecuación de la recta que contiene al

x=0

eje real o focal

Longitud del eje imaginario

v1 v1' = 2 b

x=k

Longitud del eje imaginario v1 v1' = 2 b

Ecuación de la recta que contiene al eje imaginario

Ecuación de la recta que contiene al

y=0

Distancia focal

eje imaginario y = h

ff' =2c

Distancia focal f f ' = 2 c

Ecuaciones de las asíntotas

y

a x ; y b

Ecuaciones de las asíntotas

a x b

y y

Dom R = (– ∞, ∞) Cod R = (– ∞, – a]

a ( x k) h b a ( x k) h b

Dom R = (– ∞, ∞) [a, ∞)

Cod R = (– ∞, h – a]

[h + a, ∞)

En la gráfica de una hipérbola puede ocurrir que a > b (en la generalidad de los casos que vimos), que a < b o que a = b.

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Hipérbolas conjugadas Dos hipérbolas son conjugadas si el eje real de una de ellas es el imaginario de la otra. Las ecuaciones de dos hipérbolas conjugadas con centro en (0, 0) y sus gráficas, son:

x2

y2

2

2

a

b

1 (1)

y2

x2

2

2

b

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a

1 (2)

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Las ecuaciones de dos hipérbolas conjugadas con centro en (k, h) y sus gráficas, son: (x k) 2 a2

(y h) 2 1 b2

(1)

(y h) 2 b2

(x k) 2 a2

1

(2)

Ejemplos: x2 La hipérbola de ecuación 25

y2 9

1

es conjugada con la de ecuación

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y2 9

x2 25

1

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La hipérbola de ecuación (y 2) 2 16

(x 3) 2 4

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(x 3) 2 4

(y 2) 2 16

1

es conjugada con la de ecuación

1

Hipérbola equilátera rectangular Es aquella que tiene los semiejes real e imaginario de igual longitud. Sus asíntotas son perpendiculares. Si el centro está en (0, 0), su ecuación sería

x2

y2

2

2

a

a

Si el eje real es el eje x

1

Si el eje real es el eje y

x2–y2=a2

y2–x2=a2

Si el centro está en (k, h), su ecuación sería: (x – k) 2 – (y – h) 2 = a 2

(y – h) 2 – (x – k) 2 = a 2

(1)

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(2)

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Ecuación general de la hipérbola A partir de la ecuación canónica de la hipérbola con centro en c (k, h): (x k) 2 a2

(y h) 2 1 b2

Se desarrollan los cuadrados, se acomodan términos y se iguala a cero, obteniendo la ecuación general de la hipérbola:

Ax2+Cy2+Dx+Ey+F = 0

Condiciones de los coeficientes de la ecuación general de segundo grado para que su gráfica represente una hipérbola (Sólo se analizan los coeficientes A, B y C) La ecuación general de segundo grado en las variables x e y es: Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F = 0

y

la ecuación general de la hipérbola

es: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0. Si se comparan los coeficientes de los términos correspondientes, se deduce que: A≠0

C ≠ 0, además A y C deben ser de distinto valor y signo. Y el coeficiente B = 0,

para que su gráfica represente una hipérbola.

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Ejemplo: Encuentre la ecuación de la hipérbola que satisface las siguientes condiciones: f (– 2, 7), f ' (– 2, – 3) y

= 5/3.

Conociendo las coordenadas de los focos se sabe que 2 c = 10

c=5

El centro, punto medio entre los focos, es: c (– 2, 2) Como el valor de la excentricidad es

= 5/3 y se sabe que c = 5 entonces reemplazando y

despejando, se puede obtener el valor de a:

5/a = 5/3

a=3

Para poder escribir la ecuación canónica de la hipérbola se necesitan las coordenadas del centro, los valores de a y b y la posición que tendrá la curva. Sabiendo los valores de a y c, se puede obtener el valor de b2, usando la relación pitagórica: c 2= a 2 + b 2

b2 = c2 – a2

b 2 = 25 – 9 = 16

Los focos están en el eje real de la curva que contiene los vértices v y v ', y en este caso es paralelo al eje y. El término positivo es el que contiene a la variable y (y 2) 2 9

(x 2) 2 16

1

Ejemplo: a) Escriba la ecuación de la hipérbola, cuya gráfica es:

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b) Escriba las ecuaciones de sus asíntotas a) Del gráfico: c (3, – 2) b) y

y

(1 / 2) (x 3) 2 (1 / 2) (x 3) 2

a=2

(y 2 ) 2 4

b=4

(1 / 2) x

y y

(x 3) 2 1 16

(7 / 2)

(1 / 2) x

(1 / 2)

Problema de aplicación Dos estaciones LORAN (ubicadas en la costa) están separadas 200 km entre sí. Un barco registra una diferencia de tiempo de 0,0004 segundos entre las dos señales LORAN. Encuentre a qué distancia de la estación principal tocaría tierra el barco si sigue la trayectoria de una hipérbola. (Velocidad de la luz 300.000 km/s) LORAN (LOng RAnge Navigation): Sistema de radionavegación hiperbólica de largo alcance y gran precisión.

Para resolver este problema, se ubican convenientemente los ejes coordenados de tal manera que sobre el eje x estén las estaciones y en la mitad de la distancia de entre ellas, el origen. Como el barco sigue una trayectoria hiperbólica, las estaciones serían los focos de la hipérbola.

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Se sabe, por definición de hipérbola, que la diferencia de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es 2a. Es decir, la diferencia de las distancias d del barco a cada estación es d = 2a y como d = v . t 300000 km/s . 0,0004 s = 2a

v . t = 2a 120 km = 2a

a = 60 km

Los vértices de la hipérbola están en ( 60, 0). La diferencia de las abscisas entre (100, 0) y (60, 0) dará la distancia del barco a la estación principal: c – a = 100 km – 60 km El barco tocará tierra a 40 km de la estación principal.

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c – a = 40 km

BIBLIOGRAFÍA  Di Caro, H. – Álgebra y Elementos de Geometría – Tomo I – 1994 – Editorial Reverte Argentina, S. A. – Argentina.  Engler, A.; Müller, D.; Vrancken, S.; Hecklein, M. – Geometría Analítica – 1ª edición – 2005 – Ediciones UNL, Universidad Nacional del Litoral – Santa Fe – Argentina.  Stewart, J.; Redlin, L.; Watson, S. – Precálculo - Matemáticas para el cálculo – 5° edición – 2007– Cengage Learning Editores, S. A. – México D. F.  Stewart, J. y otros – Introducción al cálculo – 2007– Thomson Learning – Buenos Aires – Argentina.