TRABAJO PRÁCTICO Nº 2: PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS ASIGNATURA: MATEMÁTICA II (ATH)- U.N.R.N. – AÑO: 2015

Progresiones Aritméticas 1) Escribir los 6 primeros términos de las siguientes P.A.: a) a1 =

1 2

; r=

1 3

b) a1 = 20 ; r = −7

2) Calcular: 1 1 (Rta:1/12) ; a5 = 6 3 b) el término enésimo si: a1 = −2 ; r = 3 ; n = 15 (Rta: 40) c) el primer término si: a n = 25 ; r = −5 ; n = 7 (Rta: 55) 2 4 a1 = ; n=6 (Rta: 2/15) d) la razón si: ; an = 3 3 e) la cantidad de términos si: a1 = 4 ; a n = 28 ; r = 3 (Rta: 9) 1 3) Hallar la suma de los 7 primeros términos de una P.A. de razón cuyo primer término es 2. (Rta: 21) 3 4) Los primeros 37 términos de una P.A. de razón r = −0,3 suman 222. Calcular el primer y último términos. (Rta: 11,4 y 0,6) a) la razón si:

i) a7 = 12 ; a8 = 7 (Rta:-5)

ii) a3 =

5) Si una máquina tiene un costo de $2000 y ésta se deprecia anualmente $160, ¿cuál es la vida útil de la máquina si su valor de desecho es de $400? (Rta:10) 6) Los pagos mensuales que una señora efectúa al banco por un préstamo forman una P.A. Si sus pagos sexto y décimo son $345 y $333, respectivamente, ¿de cuánto será su décimo quinto pago? (Rta: $318) 7) Se invierte una suma de $2000 con interés simple a una tasa de interés anual del 12%. Calcular a cuánto asciende la suma después de 6 años. (Rta: $3440) 8) Para una empalizada se utilizan 75 troncos, de los cuales el más bajo es de 90 cm, y los otros van siendo, sucesivamente, 10 cm más alto que el anterior. Expresar en metros la longitud total de troncos que se utiliza. (Rta: 345 m) 9) Una persona saca un préstamo en un banco. Debe pagar 15 cuotas mensuales. Los pagos forman una PA. Si sus pagos cuarto y noveno son de $35.100 y $33.600, respectivamente, ¿De qué monto será la última cuota? ¿Cuánto pagó al banco en total? (Rta: $31.800 y $508.500). 10) ¿Cuántos años debe depositar un señor en un banco un capital de $150000 a una tasa del 15 % anual para obtener $200000? (Rta: 2,2 años aprox.) 11) Una señora retira el dinero depositado tras 4 años en un banco a una tasa del 11 % anual. El capital retirado asciende a $32000. ¿Cuál fue el capital que depositó? (Rta: $22222) 12) Un señor tiene una deuda de $36000. Se compromete a pagarla en 40 cuotas mensuales. Cuando 30 de los 40 pagos se han cubierto, el deudor fallece dejando una tercera parte de la deuda sin cancelar. ¿Cuál fue el valor de primer pago? (Rta: 510$) 13) Si consideramos diez términos consecutivos de una P.A. de números naturales y sabemos que los dos extremos suman 22 y el producto de tercer y cuarto términos es 48, hallar todos los términos de la progresión. (Rta: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20)

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14) Calcular la suma de: a) los sesenta primeros números naturales. (Rta: 1830) b) los treinta primeros números pares. (Rta: 930) c) los noventa primeros números impares. (Rta: 8100) d) los cincuenta primeros múltiplos de 3. (Rta: 3825) e) los múltiplos de 5 menores que 200. (Rta: 3900) f) los múltiplos de 4 comprendidos entre 50 y 200. (Rta: 4788)

Progresiones Geométricas 15) Escribir los 6 primeros térm. de las siguientes P.G.: a) a1 = 200 ; r =

1 2

b) a1 = 2 ; r = −3

16) Calcular: a) la razón si:

i) a3 = 2 ; a 4 = 8 (Rta: 4)

1 1 ; a5 = 2 3 (Rta: 4374) ii) a 2 =

(Rta: 0,87)

a1 = 2 ; r = 3 ; n = 8 1 c) el primer término si: ; n = 7 (Rta: 491520) a n = 120 ; r = 4 2 d) la razón si: a1 = ; a n = 10 ; n = 6 (Rta: 1,9) 5 e) la cantidad de términos si: a1 = 4 ; an = 12500 ; r = 5 (Rta: 6) 1 16 17) Los términos cuarto y noveno de una P.G. son y . Determinar el sexto término. (Rta: 2/9) 2 243 18) En una P.G. la suma de los primeros 11 términos es 4094 y la razón es 2. Hallar el primer término.(Rta: 2) b) el término enésimo si:

19) La suma de una P.G. de razón 3 es 728 y el último término es 486. Hallar el primer término. (Rta: 2) 20) Si $2000 se invierten en una cuenta de ahorros a un interés del 8 % capitalizable anualmente, calcule su valor después de 5 años. (Rta: $2938,65) 21) Un mendigo pide hospitalidad a un avaro, haciéndole la siguiente proposición: “Yo pagaré $100 por el primer día, $200 por el segundo día, $300 por el tercero y así sucesivamente. En cambio usted me dará un centavo por el primer día, 2 centavos por el segundo, 4 por el tercero, 8 por el cuarto, y así sucesivamente duplicando siempre la cantidad del día anterior”. El avaro encontró esta proposición como un buen negocio y aceptó el arreglo por 30 días. ¿Qué pasó al cabo de un mes? 22) Se tiene un cuadrado de 8 cm de lado. Se determina un segundo cuadrado que tiene por vértices los puntos medios del cuadrado primero. Luego se determina un tercer cuadrado que tiene por vértices los puntos medios del segundo cuadrado, y así se repite esta operación cuatro veces. Calcular la suma de las superficies de todos los cuadrados. (Rta: 120 cm2). Escribir la sucesión formada por las longitudes de los lados de los cuadrados. 23) Si la suma de los tres primeros términos de una P.G. de números naturales es 248 y la diferencia entre los extremos es 192, ¿cuáles son esos números? (Rta: 8, 40 y 200) 24) De un barril de vino que contiene 1024 litros, un día se vació la mitad del contenido; al día siguiente se volvió a vaciar la mitad de lo que quedaba, y así sucesivamente todos los días. ¿Qué cantidad de vino se sacó al décimo día? (Rta: un litro) 25) La población de una provincia ha aumentado durante 5 años en progresión geométrica, pasando de 200000 a 322102 habitantes. ¿Cuál ha sido la razón de la progresión? Exprésala en %. (Rta: 10%)

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26) Una persona comunica un secreto a otras 3. Diez minutos después cada una de ellas lo ha comunicado a otras 3 y cada una de estas a otras 3 nuevas en los diez minutos siguientes, y así sucesivamente. ¿Cuántas personas conocen el secreto después de dos horas? (Rta: 797160)

Ejercicios adicionales de Progresiones 1. Se realiza un contrato de alquiler de una casa por 4 años. Se acuerda pagar $1200 al mes durante el primer año, y cada año se aumentará el alquiler en $90 mensuales. a) Indicar de qué tipo de progresión se trata, y escribir la fórmula del término general an. b) ¿Cuál será el monto del último mes de alquiler? (Rta: $ 1470) c) ¿Qué monto total se pagó por los 4 años? ($64080) 2. Las pérdidas de 5 años de una casa de comercio están en P.A. El último año perdió $3000 y la pérdida de cada año fue de $300 menos que el año anterior. Usando progresiones, calcular cuánto perdió el primer año. (Rta: a1= $4200) 3. Indicar si la siguiente oración es verdaderas (V) o falsas (F). En caso de que sea falsa, escribir la frase correcta. En caso de que sea correcta, dar un ejemplo mostrando esa propiedad. Una sucesión es acotada superiormente si existe un número real llamado cota superior tal que es mayor o igual que todos los términos de la sucesión. 4. Un hombre estuvo trabajando como mozo en un establecimiento. El primer día recibió una propina de $10, y por cada día que pasaba recibía $3 más de propina, llegando a cobrar el último día $55. a) Calcular cuántos días trabajó. (Rta: 16) b) Calcular el monto total que recibió por propinas. (Rta. $520) 5. Si consideramos doce términos consecutivos de una progresión aritmética, la diferencia entre el último término y el primero es 55, y la suma del cuarto y octavo términos es 56, hallar los extremos. (Rta: a1= 3; a12= 58) 6. ¿Qué suma debe depositarse hoy para tener $60.000 dentro de 20 años si se supone una capitalización continua al 5% anual? (Rta: $22072,76) 7. Un auto nuevo cuesta $20000. Si se deprecia $1000 anualmente, considere la progresión que forman los montos an correspondientes al valor del auto en cada año. a) Indique de qué tipo de progresión se trata, y explicite los primeros 3 términos de la misma. Escriba la fórmula general de an. (Rta: an= 19000-1000(n-1)) b) Si se considera que el valor de desecho de ese auto es de $5000, ¿cuál será su vida útil? (Rta: 15 años) 8. Un ahorrista invierte un capital inicial de $3000 a interés simple anual, de modo que al cabo de un año obtiene una ganancia de $500. Considere la progresión que forman los montos an correspondientes al valor total de su inversión al cabo de cada año transcurrido. a) Indique de qué tipo de progresión se trata y explicite los primeros tres términos de la misma. Escriba la fórmula general de an.(Rta: an= 3500+(n-1)*500) b) Si el ahorrista desea retirar su capital ahorrado cuando haya logrado duplicar su capital inicial, ¿cuántos años deberá esperar para retirarlo? (Rta: 6) 9. Usted acepta un trabajo con un salario anual de $30.000 el primer año y con un aumento del 5% anual en los 4 años siguientes. ¿Cuánto habrá cobrado en total al final de esos 5 años? (Rta: $165768,93)

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