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ESFUERZO AXIL O NORMAL EN REGIMEN ELASTICO.

1-Hipótesis utilizadas El presente trabajo se desarrolla bajo las siguientes hipótesis: El material constitutivo de las barras de la estructura es continuo, homogéneo e isótropo. Continuo: Implica que colma la totalidad del volumen que ocupa. Cada punto tiene otro infinitamente próximo en toda dirección. Esta hipótesis permite la aplicación del cálculo diferencial. Homogéneo: Todos los puntos presentan iguales propiedades. Isótropo: El material presenta igual comportamiento en toda dirección. Las secciones transversales analizadas se encuentran lo suficientemente alejadas de aquellas donde se aplica el estado de carga, no resultando afectadas por la forma en que dicho estado se aplica ni tampoco por discontinuidades geométricas de la pieza (Principio de Saint Venant). Análisis lineal: implica el cumplimiento simultáneo de las siguientes tres hipótesis: 1-Hipótesis de linealidad mecánica: Las tensiones son proporcionales a las deformaciones. (Ley de Hooke). 2-Hipótesis de linealidad cinemática: Luego de la deformación, el ángulo de rotación (expresado en radianes) experimentado por cualquier sección transversal de la estructura, es lo suficientemente pequeño para que resulte aproximadamente igual al seno y a la tangente y el coseno tienda a la unidad. 3-Hipótesis de linealidad estática: Las ecuaciones de equilibrio pueden plantearse en la estructura no deformada. (Teoría de primer orden) El cumplimiento simultáneo de las tres hipótesis habilita la aplicación sin restricciones del PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE EFECTOS. El principio establece que: Si sobre una estructura actúan varios estados de causa deformante , cualquier efecto que ellos provoquen en forma conjunta es igual a la suma del efecto provocado por cada uno ellos actuando separadamente, independientemente del orden en que actúen. Como caso particular importante del principio resulta que: Si para una causa de valor A el efecto es de valor B entonces si la causa adopta valor nxA el efecto resulta de valor nxB.

2

2- Análisis de barras solicitadas por fuerzas. En lo que sigue se considera una barra de eje recto de sección transversal constante y área A, constituida por un material de módulo de elasticidad longitudinal E también constante y cargada de forma que sus infinitas secciones transversales solo presenten esfuerzo axil. Gráficamente:

Se plantea como hipótesis y se verifica experimentalmente, que en la situación planteada y luego del proceso de deformación originado por el estado de carga, en cualquier sección transversal de la barra, todos los puntos pertenecientes a la misma experimentan idéntico corrimiento, el cuál resulta perpendicular a dicha sección transversal. A continuación se grafica lo expresado en este párrafo, para un elemento diferencial aislado de la estructura indicada en la Figura 1 suponiendo fija una de las secciones.

Si ahora el corrimiento longitudinal experimentado por cualquier punto de la sección transversal, se refiere a la longitud inicial del elemento diferencial analizado (dz), se obtiene el régimen de deformaciones específicas longitudinales que ocurre en dicha sección transversal. Es decir:

3

Haciendo uso de la Ley de Hooke es posible encontrar el régimen de tensiones asociado al régimen de deformaciones específicas definido por la expresión anterior:

Mediante la ecuación de equivalencia correspondiente al problema que se analiza y que a continuación se transcribe:

y teniendo presente que σz (z) es constante en la sección transversal, resulta finalmente:

La última expresión es conocida como a continuación se indica:

y es de máxima utilidad en la resolución de problemas de resistencia de elementos estructurales traccionados. Cuando el elemento en estudio resulta comprimido, es necesario evaluar adicionalmente la posibilidad de deformación lateral del mismo. El fenómeno indicado se conoce como pandeo y genera la necesidad de ajustar la expresión anterior. Esta situación será oportunamente estudiada pues requiere previamente analizar la solicitación por flexión y abandonar la hipótesis de linealidad estática. Dado que el baricentro de cada sección transversal puede experimentar un corrimiento longitudinal diferente, es posible definir la función corrimiento longitudinal en virtud del análisis que sigue:

Resumiendo:

Si se recuerda que finalmente:

N´(z)=-qZ(z)

derivando una vez la expresión anterior se obtiene

4 La expresión indicada es la ecuación diferencial de la función corrimiento longitudinal o función elástica longitudinal, para elementos estructurales sometidos a fuerzas y que resultan axilmente solicitados. Desde el punto de vista matemático se trata de una ecuación diferencial homogénea con término independiente distinto de cero cuya solución es del tipo:

La solución particular dependerá de la función fuerza específica que solicite al elemento estructural, resultando nula en el caso que dicha fuerza específica también lo sea. Al mismo tiempo las constantes de integración surgen de las condiciones de borde del caso que se analice. A efectos de utilizar en forma práctica la expresión deducida se desarrolla un caso cuya solución es ampliamente conocida.

En este caso q z (z)=0 por lo tanto ξ(z)=C1.Z + C2.Las condiciones de borde para este caso que permiten determinar las constantes de integración son las que a continuación se plantean: Si Z=0 → ξ(0)=0=C1.0 + C2 → C2=O

,

Si Z=L → N(L)=F=ξ (L).E.A= C1.E.A → C1=F/E.A Reemplazando las constantes de integración resulta: ξ(z)= (F/E.A).Z En particular para la sección A se obtiene ξA= F.L

/ E.A

Queda claro que el resultado obtenido es conocido, más aún si se lo expresa como:

∆L=L.N / E.A - (Ley de Hooke) Al observar la expresión de ξA puede concluirse que el mismo es menor al disminuir la longitud de la barra y aumentar tanto el área de la sección transversal como así también el módulo de elasticidad longitudinal del material. Al término (E.A/L) se lo conoce como rigidez axil de la barra disminuyendo la deformación de la misma a medida que este aumenta. A continuación se desarrollan dos ejemplos, uno isostático y el otro hiperestático, relacionados con la teoría hasta aquí desarrollada. Ejemplo Nº1

5 Para la estructura que se grafica a continuación construida en caños de acero de espesor 3/16¨=4.76mm (1¨=25.4mm) se solicita: a-Obtener el diámetro exterior más adecuado de los caños para que resistan admisiblemente. b-Verificar que el corrimiento vertical del nudo B (ηB) resulte inferior a 5mm. Acero F-24 (σf =240Mpa)

E=210000MPa

σtadm =150Mpa

σcadm =50Mpa

Resolución: Del análisis estático de la estructura indicada surgen los siguientes valores de esfuerzo normal en las barras: NAB=40Kn (tracción) NBC=50Kn (compresión) Recordando la expresión tiene:

σ =N/A

y teniendo presente que 1Kn=100Kg y 1MPa=10Kg/cm2 se

Barra AB

AABnec= 4000Kg/1500kg/cm2=2.66cm2 El diámetro exterior del caño surge de la siguiente expresión: 2.66cm2= (π/4).[ De2 – (De – 0.952cm2)2] → De=2.26cm .Se adopta comercialmente De=1¨ Finalmente para la barra AB es necesario un caño de (1x3/16)¨ A=3cm2 Barra BC

ABCnec= 5000Kg/500kg/cm2=10cm2 El diámetro exterior del caño surge de la siguiente expresión :

6 10cm2= (π/4).[ De2 – (De – 0.952cm2)2] → De=7.17cm .Se adopta comercialmente De=3¨ Finalmente para la barra BC es necesario un caño de (3x3/16)¨ A=10.6cm2 La reducción en la tensión admisible de compresión respecto de la de tracción obedece a considerar, al menos en forma conceptualmente el fenómeno de pandeo ya enunciado. Para determinar el corrimiento vertical del nudo B es necesario efectuar el siguiente análisis detallado: 1-La barra AB experimenta un alargamiento ∆LAB=(4000x400/2100000x3)cm = 0.254cm. Es decir, el nudo B se correría en la dirección de la barra AB y hacia la derecha. Al mismo tiempo la barra AB puede rotar respecto de su punto fijo (nudo A). 2-La barra BC experimenta un acortamiento ∆LBC=(5000x500/2100000x10.6)cm = 0.1123cm. Es decir, el nudo B se correría en la dirección de la barra BC y hacia abajo. Al mismo tiempo la barra BC puede rotar respecto de su punto fijo (nudo C). A continuación se grafica la situación expresada en los puntos 1 y 2 y se indica el valor del corrimiento a verificar según el punto b del enunciado:

Aclaraciones. 1-Si bien el corrimiento obtenido es ligeramente superior al solicitado, se mantienen las secciones adoptadas para las barras. Un error de 5.2% es absolutamente aceptable en Ingeniería. 2-La determinación del corrimiento buscado fue efectuada en forma gráfica mediante Autocad. 3-Existe, para efectuar la misma determinación, un procedimiento basado en el principio o teorema de los trabajos (según el autor que lo enuncie) que será desarrollado más adelante. Ejemplo Nº2

7 Para la estructura de acero F-24 indicada a continuación, construida con un tubo rectangular comercial, se solicita: a-Determinar la sección transversal que resista admisiblemente con coeficiente de seguridad 1.6. b-Representar gráficamente las funciones: Corrimiento longitudinal, Deformación específica longitudinal, Esfuerzo normal y Tensión normal.

Resolución: Para todo problema de ingeniería existen varios caminos de resolución pero una única solución. En este caso se ha decidido partir de la expresión general de la función corrimiento longitudinal. Es decir:

ξ(z)=C1.Z + C2 + Sol.part. La solución particular para la situación analizada donde

qz(z)=cte=q

2

es del tipo – q.z /2.E.A

El lector podrá comprobar la validez de la solución particular propuesta, derivando dos veces la misma y comparándola con la ecuación diferencial deducida en página 3. Por lo tanto:

ξ(z)=C1.Z + C2 – q.z2/2.E.A

Toda vez que se trabaja con estructuras hiperestáticas y con criterio de generalidad es aconsejable predimensionar una sección transversal y al final del proceso comprobar si la misma es viable. Para el problema en estudio se parte de considerar un tubo (30x50x2.0)mm A=3cm2. Entonces:

ξ(z)=C1.Z + C2 – 1.587301587.10-4.(1/m).z2

Aplicando las condiciones de borde del problema se tiene: 4

Si Z=0 → ξ(0)=0=C1.0 + C2 – 1.587301587.10- .(1/m). 0 → C2=O 4

4

Si Z=4m → ξ(4m)=0=C1.4m – 1.587301587.10- .(1/m). 16m2 → C1=6.349206348.10Finalmente:

ξ(z)= 6.349206348.10-4.Z – 1.587301587.10-4.(1/m).z2

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A partir de la función obtenida se pueden conocer las restantes solicitadas. Es decir:

,

ε(z)=ξ (z)= 6.349206348.10 4 – 3.174603174.10 4.(1/m).z -

-

,

N(z)=ξ (z).E.A= 40Kn – 20.(Kn/m).z

σ(z)=N(z)/A= 13.33Kn/cm2 – 6.66.(Kn/cm2.m).z

Si se tiene en cuenta que:

Tensión admisible = Tensión de Fluencia /Coeficiente de seguridad Literalmente:

σadm= σf /ν

9

σ

Para el caso en estudio adm=15 Kn/cm2 resulta ligeramente mayor que la máxima tensión calculada sin un notable desperdicio de material, por lo tanto: LA SECCION INICIALMENTE ADOPTADA VERIFICA Obsérvese que al analizar el diagrama de esfuerzos normales, se puede concluir que las reacciones de vínculo externo resultan iguales entre sí y de valor q.L/2.La situación indicada en este parrafo no asombra y se condice con el resultado inicialmente esperado.

3- Análisis de barras solicitadas por variación de temperatura uniforme. Introducción: En esta sección se analiza el caso de elementos estructurales solicitados por variaciones uniformes de temperatura respecto del momento de su construcción. Se estudia primero un caso isostático y luego un caso hiperestático con el objeto de determinar las diferencias de respuesta. Caso isostático:

La variación de temperatura actuando en sistemas isostáticos no origina solicitaciones. En efecto, por reducción del sistema de fuerzas exteriores que actúa sobre la estructura (HA, VA y VB) al punto A se tiene:

RZ=0→ HA=0

RY=0→ VA + VB =0

MXA=0→ -VB.L =0

→

HA = VA = VA =0

Al no generarse reacciones de vínculo externo tampoco se generan reacciones de vínculo interno, confirmando lo enunciado en el párrafo que precede. Esta situación no implica que la barra no se deforme como consecuencia de la variación de temperatura. En particular el corrimiento longitudinal de la sección B se determina mediante la expresión:

ξB

= - λ . ∆T . L

donde λ es el coeficiente de dilatación térmica del material. Tanto para el Acero como para el Hormigón vale 0.00001 1/ºC, situación que permite trabajar sin inconvenientes en ese aspecto, con el material compuesto Hormigón Armado (Hormigón reforzado con barras de Acero)

10 El signo menos solo indica en este caso que el corrimiento analizado se produce en sentido contrario al eje z de referencia. Si se pretende ahora definir la expresión general del corrimiento longitudinal experimentado por las infinitas secciones transversales de la barra se tiene

ξ(z)

= - λ . ∆T . (L - Z)

Finalmente la deformación específica longitudinal resulta en este caso:

,

ε (z) = ξ

(z) =

λ. ∆T = Constante en la longitud de barra.

Queda a criterio del lector representar gráficamente las funciones corrimiento longitudinal y deformación específica longitudinal precedentemente definidas. Caso Hiperestático:

A diferencia del caso isostático analizado anteriormente, en la sección B se ha reemplazado el apoyo móvil por uno fijo, transformado a la estructura en hiperestática longitudinalmente por resultar de interés el estudio de la modificación presentada. A efectos de utilizar para la resolución de este caso el isostático ya desarrollado, se transforma la estructura precedente en isostática, pero dejando en evidencia la reacción horizontal HB (cuyo valor inicialmente se desconoce). Entonces, aplicando el principio de superposición de efectos, se tiene:

11 Aclaración: Al sistema isostástico que se obtiene a partir del hiperestático quitándole a este condiciones de vínculo hasta lograr el objetivo, se lo suele denominar sistema fundamental y a los términos en el calculados se los identifica con un cero (0) como supraíndice. Ahora bien, si se observa la estructura hiperestática, resulta que dada la condición de apoyo fijo h el corrimiento longitudinal de la sección B es nulo (ξB =0). Aplicando superposición de efectos, dicho corrimiento debe ser igual a la suma de los que ocurren en el sistema fundamental provocados por la variación de temperatura y la reacción de vínculo HB. Es decir:

ξhB= 0 = ξ0B, ∆T + ξ0B, HB

La expresión precedente se conoce como ecuación de compatibilidad de deformaciones. En ella, el primer término del segundo miembro es de valor conocido, pues ya fue determinado al resolver el caso isostático. Al mismo tiempo el segundo término surge de la aplicación de la ley de Hooke. Entonces:

0= - λ. ∆T. L + HB.L / E.A → HB = E.A.λ.∆T Conclusiones. Al resolver el sistema hiperestático (a diferencia del isostático) es necesario conocer las características geométricas y mecánicas de la estructura que se analiza (A y E) Queda claro que a diferencia del caso isostático, en el hiperestático la barra queda comprimida en forma uniforme con el valor de HB. Para que ello ocurra la variación de temperatura debe resultar positiva. En el caso que la variación de temperatura sea negativa entonces la barra resultará traccionada. Obsérvese también que para determinado material y determinada variación de temperatura, HB resulta proporcional al área de la sección transversal. Si ahora se determina la tensión normal (uniforme en toda la barra) la misma resulta:

σ=N/A=HB/A=E.λ.∆T → σ= E.λ.∆T La última expresión es importante pues indica que, a diferencia del caso de fuerzas, en el caso de variación de temperatura la tensión normal no puede ser controlada modificando el área de la sección transversal. Por este motivo cuando la tensión normal resulta incompatible con la admisible del material del cuál se compone la estructura, se decide recurrir a estructuras isostáticas que, como ya se estudió, se dilatan o contraen libremente sin la aparición de tensiones. A continuación y para finalizar con este caso se obtienen las funciones : corrimiento longitudinal, deformación específica longitudinal ,esfuerzo normal y tensión normal

ξh(z) = ξ0∆T (z) + ξ0HB (z) = - λ.∆T.( L - Z ) + HB.( L - Z )/E.A

12 Reemplazando HB por el valor anteriormente obtenido resulta:

ξh(z)

= - λ.∆T.( L - Z ) +

λ.∆T.( L - Z ) →

ξh(z)

=0 para todo z

Dado que la función deformación específica longitudinal es la primera derivada de la función corrimiento longitudinal resulta entonces

εh(z) = 0 para todo z Las funciones esfuerzo normal y tensión normal, como ya se sabe, dependen exclusivamente de la reacción de vínculo HB. De esta forma:

Nh(z)=0 +(ξ0HB(z))’.E.A = - λ.∆T.E.A → Nh(z) = - λ.∆T.E.A Comp. cte en la barra.

σh(z) = - λ.∆T.E Comp. cte en la barra. A continuación se desarrolla un ejemplo referente a la acción conjunta sobre una estructura de fuerzas y variación de temperatura. Ejemplo Nº3 Para la estructura graficada de sección cuadrada, construida en Acero (E=210000 MPaλ=0.00001 1/ºC) y Cobre (E=110000 MPa), se solicita: a-Determinar las funciones: corrimiento longitudinal, deformación específica longitudinal, esfuerzo normal y tensión normal. b-En secciones transversales compuestas graficar las tensiones normales correspondientes a cada material.

Resolución: En primer lugar se deja aclarado que, si bien los extremos de barra se encuentran empotrados, no existe en la estructura un estado de carga capaz de generar componentes de reacción de vínculo momento ni fuerzas transversales al eje de barra. Por lo tanto solo se generan en este caso componentes de reacción de vínculo coincidentes con el eje de barra.

13 Por otra parte se establece que en el tramo AB los tubos de Acero y Cobre son absolutamente solidarios entre sí. Es decir, no existe la posibilidad de deslizamiento entre ambos. A efectos de conocer distintos procedimientos de resolución, en este caso se sigue un camino distinto al utilizado al resolver el caso hiperestático de variación de temperatura. En primera instancia se supone un sentido arbitrario para las reacciones de vínculo. En el caso particular que se analiza, se sabe que ambas reacciones (HA y HD) deberán resultar iguales y de sentido opuesto dado que existe equilibrio entre las fuerzas actuantes en la sección B y C, pero no se sabe inicialmente el sentido real de cada una de ellas ni su valor. A continuación se grafica lo expresado conjuntamente con una posible función esfuerzo normal:

Se analiza en lo que sigue el corrimiento longitudinal de las secciones transversales A, B, C y D comenzando desde el extremo derecho y tomando como referencia de signos el eje Z indicado:

ξD =0 por la condición de empotramiento. ξC (se analiza el tramo CD) ξC= - 0.00001 1/ºC.20ºC.100cm + HA.100cm/(21000Kn/cm2 .304cm2) ξC = - 0.02cm + 1.56641604x10-5 HA.cm/Kn ξB (se suma a ξC

el análisis del tramo BC)

ξB= ξC + (HA+50Kn).100cm/(11000Kn/cm2 .272cm2) ξB = - 0.018328877cm + 4.908662029x10-5 HA.cm/Kn

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ξA (se suma a ξB

el análisis del tramo AB)

ξA= ξB + HA.200cm/(21000Kn/cm2 .304cm2 + 11000Kn/cm2 .272cm2) ξA = - 0.018328877cm + 7.041767831x10-5 HA.cm/Kn Por otra parte al existir en A un empotramiento resulta

ξA=0 .Entonces:

ξA =0= - 0.018328877cm + 7.041767831x10-5 HA.cm/Kn Operando se obtiene:

HA =260.29 Kn Antes de graficar las funciones solicitadas, se analiza en el tramo AB como se distribuye el esfuerzo normal sobre el tubo de Acero y el de Cobre. Para ello es necesario tener en claro que, para cualquier sección transversal analizada en el tramo, ambos elementos deben experimentar igual corrimiento longitudinal. En particular se analiza la sección B. Tramo AB-Sección B.

ξAcero = ξCobre ξAcero = NAcero.200cm/21000Kn/cm2. 304 cm2 = NAcero. 3.13283208.10-5 cm/Kn ξCobre = NCobre.200cm/11000Kn/cm2. 272 cm2 = NCobre. 6.684491979.10-5 cm/Kn Igualando: NAcero. 3.13283208.10-5 cm/Kn = NCobre. 6.684491979.10-5 cm/Kn

NAcero = 2.13368984 .NCobre Además:

NAcero + NCobre = NAB = 260.29 Kn Finalmente:

NAcero = 177.23Kn

NCobre = 83.06Kn

15 Las tensiones normales correspondientes resultan:

σacero = 0.583 Kn/cm2

σCobre = 0.306 Kn/cm2

Gráfica de Funciones:

4- Análisis de recipientes cilíndricos y esféricos de pared delgada sometidos a presión interior. Introducción: El presente desarrollo es válido exclusivamente para recipientes de pared delgada, en cuyo caso pueden despreciarse las tensiones en dirección radial. En términos generales se puede decir que la pared del recipiente es delgada cuando el cociente entre el radio medio del recipiente (promedio entre el radio exterior e interior) y el espesor de dicha pared es igual o mayor a diez (r/e =>10). Queda claro entonces que los resultados aquí obtenidos no deben extrapolarse a recipientes de pared gruesa en cuyo caso será necesario aplicar la teoría correspondiente.

16 En lo que sigue, en las expresiones que se deduzcan, se trabajará en forma simplificada con el radio medio (r) para resaltar de esta forma que los recipientes analizados son de pared delgada. Recipientes cilíndricos

Las pared del recipiente se encuentra sometida a las acción de tensiones normales longitudinales y circunferenciales consideradas constantes en el espesor tal como se estudia a continuación: Tensiones longitudinales – (

σL)

De la simple observación de cada una de las partes en que ha quedado dividido el recipiente se concluye que: Transversalmente el sistema de fuerzas originado por la presión interior resulta equilibrado. 2

Longitudinalmente la fuerza ejercida por la presión sobre las tapas ( p.π.r ) resulta equilibrada por las tensiones normales σL actuando sobre el area de de la sección transversal del recipiente (σL.2 π.r.e) .O sea:

σL.2 π.r.e = p.π.r2 Operando se tiene finalmente:

σL = p.r / 2.e

17 Tensiones circunferenciales – (

σC )

En este caso de la figura de análisis surge que: Horizontalmente el sistema de fuerzas originado por la presión resulta equilibrado. Verticalmente el sistema de fuerzas generado por la presión es equilibrado por las tensiones normales

σC

actuando sobre la sección de corte. Es decir:

Operando algebraicamente se tiene:

σC = p.r/e De acuerdo a lo desarrollado ,en un recipiente cilíndrico sometido a presión interior la tensión longitudinal es la mitad de la tensión circunferencial. A continuación se grafica el estado de tensión en el entorno de un punto ubicado sobre la pared del recipiente, despreciando las tensiones radiales.

En relación a las deformaciones específicas ,aplicando la ley generalizada de Hooke se tiene:

εL= 1/E (σL – µ. σC) → Reemplazando → εL= p.r. (0.5 - µ) / E.e

18

εC= 1/E (σC – µ. σL) → Reemplazando → εC= p.r. (1 – 0.5µ) / E.e Donde E y material.

µ

representan el módulo de elasticidad longitudinal y el coeficiente de Poisson del

Recipientes esféricos.

En este caso solo existen tensiones normales circunferenciales de igual valor en cualquier dirección que se analice dada la simetría multidireccional del elemento estructural en estudio. La tensión circunferencial es de valor:

σC = p.r / 2.e y la deformación específica resulta entonces:

εC= 1/E (σC – µ. σC) → Reemplazando → εL= p.r. (1 - µ) / 2.E.e La expresión de la tensión circunferencial se demuestra a continuación intersectando a la esfera con un plano cualquiera pasante por su centro. Entonces:

19 De la observación de la figura de análisis surge que: Horizontalmente el sistema de fuerzas originado por la presión resulta equilibrado. Verticalmente el sistema de fuerzas generado por la presión es equilibrado por las tensiones normales

σC

actuando sobre la sección de corte. Es decir:

Operando algebraicamente se obtiene la expresión que se quería demostrar:

σC = p.r / 2.e Ejemplo Nº4 Para el tanque que se grafica a continuación, construido en chapa de acero (σadm=150MPa) y destinado a contener un gas a 20 atmósferas de presión, se pide: a-Determinar el espesor de las paredes y las tapas para que resistan admisiblemente. b-Diseñar la cantidad y el diametro de los pernos roscados con doble tuerca (σadm=50MPa), que soportan la unión del tanque propiamente dicho con las tapas. Se aclara que al indicar la tensión admisible de los pernos se ha tenido en cuenta la disminución de resistencia que se origina como consecuencia de las roscas. c-Indicar el incremento del radio del tanque y de las tapas a causa de la deformación (E=210000MPa, µ=0.30)

Resolución El espesor de las paredes del tanque resulta de la expresión de la tensión circunferencial de recipientes cilíndricos. Entonces, si se tiene presente que 1atm.=1kg/cm2 se tiene:

20

σC = p.r/e → etanque = 20kg/cm2 . 250cm / 1500 kg/cm2 = 3.33cm El espesor de chapa que supera al calculado y que se puede adquirir en el mercado comercial es (11/2)’’= 38mm y es el que finalmente se adopta.

etanque = (11/2)’’= 38mm El espesor de las tapas del tanque resulta de la expresión de la tensión circunferencial de recipientes esféricos.Entonces:

σC = p.r/2e → etapas = 20kg/cm2 . 250cm / 2.1500 kg/cm2 = 1.67cm El espesor de chapa que supera al calculado y que se puede adquirir en el mercado comercial es 3/4’’= 19mm y es el que finalmente se adopta.

etapas = 3/4’’= 19mm El diseño de los pernos de unión tapa-tanque se efectúa alternativamente utilizando la expresión de la tensión longitudinal del tanque o de la tensión circunferencial de las tapas.A continuación se desarrolla:

Fpernos = σLCIL.ACIL = (p.r / 2.eCIL). 2.π.r.eCIL= p.r2 Fpernos = σCESF.AESF = (p.r / 2.eESF). 2.π.r.eESF= p.r2 Como se puede observar,por uno u otro camino se obtiene el mismo resultado.

Fpernos

= 20kg/cm2.(250cm)2 =1250000 kg

Se adoptan 31 pernos (1 cada 12º).Entonces la fuerza en cada perno resulta:

Fc/perno= 40323kg Recordando que la tensión admisible de los pernos es de 500 kg/cm2 entonces el diámetro necesrio de los pernos es:

Ac/perno = 40323kg/500kg/cm2 = 80.65cm2 → Φc/perno = 10.14cm El diámetro de perno que supera al calculado y que se puede adquirir en el mercado comercial es 4’’= 101.6mm y es el que finalmente se adopta.

Φc/perno = 4’’= 101.6mm La deformación específica circunferencial del tanque es:

εCtanque=p.r.(1 – 0.5µ)/E.e=20kg/cm2 . 250cm (1- 0.15)/2100000kg/cm2 .3.8cm= 5.33.10-4

21 Por lo tanto el tanque incrementa su radio luego de la deformación en:

∆r tanque = 5.33 .10-4 . 250 cm = 1.4 mm → ∆r tanque = 1.4 mm La deformación específica circunferencial de las tapas es:

εCtapas=p.r.(1 – µ)/ 2.E.e =20kg/cm2 . 250cm (1- 0.30)/2.2100000kg/cm2 .1.9cm= 4.39.10-4 Por lo tanto las tapas incrementan su radio luego de la deformación en:

∆r tapas = 4.39 .10-4 . 250 cm = 1.1 mm → ∆r tapas = 1.1 mm La diferencia de incremento de radio entre el tanque y las tapas puede generar efectos localizados en el encuentro entre ambos elementos estructurales que deberían ser evaluados, escapando su análisis el alcance del presente trabajo.