09/09/2016

Cálculo Integral Prof. Trinidad Quijano

Cálculo Integral El Cálculo Integral es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración. Básicamente, la integración es el proceso inverso de la derivación. Al resolver una integral obtenemos la antiderivada, también llamada primitiva.

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Antiderivada o Primitiva En Matemática IA vimos que a partir de una función hallábamos su función derivada ′ . Por ejemplo, dada , su derivada es 3 . En el análisis matemático es común encontrar problemas en los cuales es necesario hallar la función que dio origen a una función derivada ′ . Es decir, es necesario realizar el camino inverso a la derivación. Este proceso se conoce como antiderivación o integracion, y la función a hallar es una primitiva o antiderivada de la función dada. Por ejemplo, dada 3 , ¿cuál es su primitiva ?, es decir, ¿cuál es la función que al ser derivada resulta 3 ?

Podemos decir que la antiderivada de 3 ya que es 3 Sin embargo, también son antierivadas o primitivas de las funciones: 5 1 2 . . .

Podemos afirmar que , donde es cualquier valor constante, es la primitiva general de 3 .

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Familia de primitivas Si es una primitiva particular de en un intervalo , entonces cada primitiva de en está dada por donde todas las obtenerse primitivas, .

en una constante arbitraria, y primitivas de en pueden a partir de esta familia de asignando valores particulares a

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Actividad: Hallar las primitivas generales de cada función a)

2

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Integral indefinida El conjunto de todas las antiderivadas se denomina la Integral Indefinida de respecto de , y se denota:

Ej: 3

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Propiedades de las integrales indefinidas

Algunas integrales

∫ dx = x + c x x dx = + c, ∫ n +1 n +1

n

si n ∈ Q ∧ n ≠ −1

1 ∫ x dx = ln x + c

∫ e dx = e x

x

+c

∫ cos( x)dx = sen( x) + c

∫ sen( x)dx = − cos( x) + c

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Ejemplos 4 a) ∫ 3x dx =

b) ∫

3 dt = t5

2 3 c) ∫ ( −2 x + 3 x + 4 ) dx =

d)∫ 10 3 x 2 dx = 1   e) ∫  x −  dx = x  

Actividad: hallar las integrales indefinidas 5 a) ∫ 7x dx =

 3 1  b) ∫  4t − 2 + 3  dt = t   6 x c) ∫  − 4e  dx = x  5 d) ∫ ( 2 cos( x) − 5sen( x) + 8 x ) dx =

e)

∫

x ( x + 1) dx =

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Ecuación Diferencial Una ecuación diferencial en ecuación que involucra a , a de . Ejemplos:

, es una y a derivadas

a)dy b) c) d)

!

3

"# 1

Condición inicial y solución particular de una ED En muchas aplicaciones de la integración se nos da suficiente información para determinar una solución particular. De la ecuación diferencial. Para ello basta tomar el valor en un valor de . Esta información se llama condición inicial. Ejemplo: Determinar la solución particular de la ecuación diferencial 3 1 , sabiendo que 2 4

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Actividades a) Determinar la solución particular de la & , sabiendo que ecuación diferencial ' 2 23. b) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial cos sabiendo que la curva pasa por el punto 0,4 . c) Hallar la solución general de y la solución particular que satisface que 1 sea raíz.

Problemas de aplicación a) El punto (3,2) está en una curva, y en cualquier punto , de la curva la recta tangente tiene una pendiente igual a 2 3. Determine la ecuación de la curva.

b) Un vivero suele vender los árboles tras 6 años de crecimiento. El ritmo de crecimiento de esos 6 . años viene dado por 1,5" 5, donde " es el ! tiempo en años y / la altura en cm. En el momento de plantarlos, miden 12 cm. i) Calcular su altura tras " años. ii) ¿Qué altura tienen en el momento de ser vendidos?

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Métodos de integración Método de Integración por Sustitución o Cambio de variable. Método de Integración por Partes Método de Integración por fracciones parciales

Método de sustitución o cambio de variable El método consiste en sustituir el integrando o parte de éste por otra función para que la expresión resultante sea más fácil de integrar, y se basa en la derivada de la función compuesta.

Primitiva de una función compuesta Sea 0 una función cuya imagen es un intervalo , y sea una función continua en . Si 0 es derivable en su dominio y es una primitiva de en , entonces 1 Si 2

0

0

0

, entonces 1

3

0 0′

2

2

, esto es 2

0

,y

2

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Ejemplos a) ∫

x − 1dx

c) ∫ 2 x.e e) ∫

x2

dx

1 − cos( x).sen( x)dx

g) ∫ ( x + 2) sen( x 2 + 4 x − 6)dx

b) ∫ ( 3x + 2 )

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d) ∫

sen

f) ∫ x 2

dx

( x ) dx x

1 + xdx

dx

h) ∫ x ln( x) 3 [ ]

Más problemas Una herida cicatriza en tal forma que " días después del lunes, el área de la herida ha venido decreciendo a razón de 3 " 2 # 4 por día. Si para el martes el área de la herida era de 2 4 a) ¿Cuál era el área de la herida el lunes? b) ¿Cuál es el área anticipada de la citada herida para el viernes si continúa cicatrizando con la misma rapidez?

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Método de Integración por Partes De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones se obtiene este método de integración. Si y 0 son funciones diferenciables, entonces: 0 0 0 ⇔ 0 0 0 ′ Al integrar en cada miembro se obtiene: 1

0 1

1 0

0 0

10

10

Ésta es la fórmula de integración por partes.

1

0

0



10

Se puede obtener una manera más sencilla de escribir considerando: 2 6 0 Entonces tenemos que 2 6 0 Reemplazando en la fórmula nos queda: 1 2 6

26

1 6 2

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Ejemplos

a) c) e) g)

ln



?

es menor que el de

Caso 1

? tiene todas sus raíces reales y simples (los factores son todos lineales y ninguno se repite), es decir: ? @ A @ A … @C AC donde no hay factores idénticos. Entonces > D D DC ⋯ ? @ A @ A @C AC donde D , D , … , DC son constantes que se van a determinar. Luego, integrar el cociente se reduce a integrar cada sumando, de manera «casi» inmediata. Ejemplos: 3x + 1 3 a) b) ∫ x 2 + 4 x + 3dx ∫ x 2 + 3xdx

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Caso 2

? tiene todas sus raíces reales y algunas múltiples (los factores son todos lineales y algunos están repetidos). Supongamos @ A es un factor que se repite F veces. Entonces, correspondiente a este factor estará la suma de F fracciones simples: DH# DH D D ⋯ @G I @G AG H @G AG H# @G AG donde D , D , … , DH son constantes que se van a determinar. Ejemplos: 2x −1 a) ∫ ( x + 1)2 ( x − 1)dx

b)

5 x 2 + 20 x + 6 ∫ x3 + 2 x 2 + x dx

Notación Sigma

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Actividad: Determina las siguientes sumatorias

Actividad: Empleando la notación de sigma:

a) ¿Cómo se representa la suma de los números 1 al 8? b) ¿Cómo se representa la suma de los números del 1 al 20? c) ¿Cómo se representa la suma de los números ½ al 1/8? d) ¿Cómo se representa la suma de los números 1 al 20 elevados (cada uno) al cuadrado?

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Integral Definida Problema: Hallar el área de la región que encierra la curva del gráfico con la recta horizontal. Una idea sencilla consiste en dividir la región en rectángulos verticales y de esta forma «llenar» la región con numerosos rectángulos. De esta, como la función es positiva, manera el área de la región se puede aproximar, cuanto queramos, mediante la suma de las áreas de

rectángulos.

Teniendo en cuenta que el área de cada rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura, tenemos que el área de cada rectángulo será la base ∆ por su altura respectiva

G

.

A la suma de las áreas de los rectángulos se les llama sumas de Riemann.

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Si la función es continua, las sumas de Riemann se acercan a un número que se llama integral definida de la función en @, A y se escribe K L

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Propiedades de la integral definida 1.

a

b

b

a

∫ f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx. a

∫

2.

f ( x)dx = 0.

a

b

3. ∫ kdx = k (b − a ) siendo k un número real. a

4.

b

b

b

a

a

a

∫ ( f ( x) ± g ( x) ) dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx. b

b

a

a

5. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx siendo k un número real.

6.

b

c

b

a

a

c

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx para cualquier c ∈ [a, b]. b

7. Si f ( x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b],

∫ f ( x)dx ≥ 0. a

8. Si f ( x) ≤ g ( x ) para todo x ∈ [a, b], b

b

a

a

∫ f ( x)dx ≤ ∫ g ( x)dx. 9. Si n ≤ f ( x) ≤ m para todo x ∈ [a, b], b

n(b − a) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ m(b − a ). a

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Teorema del valor medio para integrales Sea una función continua en el intervalo @, A , entonces existe un ∈ @, A tal que:

El término de la izquierda representa el área bajo la función y el término de la derecha representa el área del rectángulo de base A @ y altura . Este teorema afirma que existe un rectángulo de altura equivalente al área determinada por la función.

Interpretación geométrica (para funciones positivas)

Entre los rectángulos (rojo) y (azul) existe un rectángulo intermedio (verde) que tiene el mismo área que el área de la función en [a, b]. La altura de este rectángulo es precisamente f(c).

Por lo tanto R1 = R2

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Demostración del teorema del valor medio para integrales área pequeña ≤ área de la curva ≤ área grande

M

m (b – a) ≤

⌠b   ⌡a

f(x) dx ≤ M (b – a)

1 m ≤ b – a ⌠⌡ba f(x) dx ≤ M

1 ⌠b f(x) dx b – a ⌡a

Como f es continua en [a, b] toma todos los valores entre m y M. Por tanto existe un c ∈ [a, b] tal que: 1 ⌠b  b – a ⌡a f(x) dx = f(c)

m

Multiplicando por (b – a) se obtiene lo que se quiere demostrar:

a

b

c b

∫

f ( x ) dx = ( b − a ). f ( c )

a

¡¡Atención!! Puede haber varios puntos, en los que la función alcanza el valor medio.

Teorema Fundamental del Cálculo Sea la función continua en el intervalo cerrado @, A , y sea una función definida dentro de dicho intervalo, como: 1

Entonces es una primitiva de para ∈ @, A .

L

en @, A , es decir

Ojo: notar que la integral está definida como función (sus límites son una constante «@» y una variable « ») y no como número.

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Demostración Sea

L

∆ ∆

lim

∆ →Q

lim

∆ →Q

L

lim

∆ →Q

R∆

L

L

R∆

lim

∆

L

∆ R∆

∆ →Q

Por el teorema del valor medio de integrales, existe un tal que . ∆ ∆ lim lim lim ∆ →Q ∆ →Q ∆ →Q ∆ ∆

∆ ∈

,

∆

(ya que si ∆ → 0, → ). Luego,

para todo

∈ @, A

Regla de Barrow Sea una función continua en el intervalo @, A y una primitiva de en el intervalo. Entonces la integral definida: K

1

L

A

@

Ejemplos: S a) Q b) c)

# Q # TR

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Cálculo de áreas Área bajo una curva positiva

Área bajo una curva no siempre positiva Y

f(x) +

+ a

1

U

c

–

1

L

1

U

L

e

d

1

U

1

U

9 9

1

–b 1

X K

9

&

1 9

Área entre dos curvas

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Ejemplos: Calcular el área sombreada a) Área= 1/3 ua

b) Área: 81/64 ua

a)

g

2

Área= 4/3 ua

b) Hallar el área entre las curvas y 0 4 . Graficar ambas funciones y marcar el área hallada.

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Longitud de arco de curvas planas Sea la función y su derivada ′ continuas en el intervalo @, A . Sea V la longitud del arco definido por desde @ hasta A.

¿Cómo hallar el valor de esa longitud?

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Ejemplos a) Calcular la longitud de arco de la curva (0,0) al (1,4).

4

;

del punto

b) Calcular la longitud de arco de la función en el intervalo 0,3 .

2

;

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Integrales Impropias Vamos a extender el concepto de integral definida para los siguientes casos:

A) Cuando los limites de integración son infinitos o el intervalo de integración es infinito. +∞

∫ ( x + 5) dx 2

−5

B) Cuando la función no está acotada en [a,b], es decir la función f presenta una discontinuidad infinita en [a,b]. 1

dx ∫ 2 −2 x “Las integrales que responden a algunos de estos dos casos se llaman Integrales Impropias.”

Primera especie Ejemplo: El área de la región que esta bajo la curva es: t

1 1 1 A(t ) = ∫ 2 dx = −  = 1 − 1 x x 1 t t

y =

x =1

1 x2

A(t)