26/08/2016

Cálculo Integral Prof. Trinidad Quijano

Cálculo Integral El Cálculo Integral es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración. Básicamente, la integración es el proceso inverso de la derivación. Al resolver una integral obtenemos la antiderivada, también llamada primitiva.

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Antiderivada o Primitiva En Matemática IA vimos que a partir de una función hallábamos su función derivada ′ . Por ejemplo, dada , su derivada es 3 . En el análisis matemático es común encontrar problemas en los cuales es necesario hallar la función que dio origen a una función derivada ′ . Es decir, es necesario realizar el camino inverso a la derivación. Este proceso se conoce como antiderivación o integracion, y la función a hallar es una primitiva o antiderivada de la función dada. Por ejemplo, dada 3 , ¿cuál es su primitiva ?, es decir, ¿cuál es la función que al ser derivada resulta 3 ?

Podemos decir que la antiderivada de 3 ya que es 3 Sin embargo, también son antierivadas o primitivas de las funciones: 5 1 2 . . .

Podemos afirmar que , donde es cualquier valor constante, es la primitiva general de 3 .

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Familia de primitivas Si es una primitiva particular de en un intervalo , entonces cada primitiva de en está dada por donde todas las obtenerse primitivas, .

en una constante arbitraria, y primitivas de en pueden a partir de esta familia de asignando valores particulares a

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Actividad: Hallar las primitivas generales de cada función a)

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b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Integral indefinida El conjunto de todas las antiderivadas se denomina la Integral Indefinida de respecto de , y se denota:

Ej: 3

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Propiedades de las integrales indefinidas

Algunas integrales

∫ dx = x + c x x dx = + c, ∫ n +1 n +1

n

si n ∈ Q ∧ n ≠ −1

1 ∫ x dx = ln x + c

∫ e dx = e x

x

+c

∫ cos( x)dx = sen( x) + c

∫ sen( x)dx = − cos( x) + c

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Ejemplos 4 a) ∫ 3x dx =

b) ∫

3 dt = t5

2 3 c) ∫ ( −2 x + 3 x + 4 ) dx =

d)∫ 10 3 x 2 dx = 1   e) ∫  x −  dx = x  

Actividad: hallar las integrales indefinidas 5 a) ∫ 7x dx =

 3 1  b) ∫  4t − 2 + 3  dt = t   6 x c) ∫  − 4e  dx = x  5 d) ∫ ( 2 cos( x) − 5sen( x) + 8 x ) dx =

e)

∫

x ( x + 1) dx =

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Ecuación Diferencial Una ecuación diferencial en ecuación que involucra a , a de . Ejemplos:

, es una y a derivadas

a)dy b) c) d)

!

3

"# 1

Condición inicial y solución particular de una ED En muchas aplicaciones de la integración se nos da suficiente información para determinar una solución particular. De la ecuación diferencial. Para ello basta tomar el valor en un valor de . Esta información se llama condición inicial. Ejemplo: Determinar la solución particular de la ecuación diferencial 3 1 , sabiendo que 2 4

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Actividades a) Determinar la solución particular de la & , sabiendo que ecuación diferencial ' 2 23. b) Hallar la solución particular de la ecuación diferencial cos sabiendo que la curva pasa por el punto 0,4 . c) Hallar la solución general de y la solución particular que satisface que 1 sea raíz.

Problemas de aplicación a) El punto (3,2) está en una curva, y en cualquier punto , de la curva la recta tangente tiene una pendiente igual a 2 3. Determine la ecuación de la curva.

b) Un vivero suele vender los árboles tras 6 años de crecimiento. El ritmo de crecimiento de esos 6 . años viene dado por 1,5" 5, donde " es el ! tiempo en años y / la altura en cm. En el momento de plantarlos, miden 12 cm. i) Calcular su altura tras " años. ii) ¿Qué altura tienen en el momento de ser vendidos?

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Métodos de integración Método de Integración por Sustitución o Cambio de variable. Método de Integración por Partes Método de Integración por fracciones parciales

Método de sustitución o cambio de variable El método consiste en sustituir el integrando o parte de éste por otra función para que la expresión resultante sea más fácil de integrar, y se basa en la derivada de la función compuesta.

Primitiva de una función compuesta Sea 0 una función cuya imagen es un intervalo , y sea una función continua en . Si 0 es derivable en su dominio y es una primitiva de en , entonces 1 Si 2

0

0

0

, entonces 1

3

0 0′

2

2

, esto es 2

0

,y

2

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Ejemplos a) ∫

x − 1dx

c) ∫ 2 x.e e) ∫

x2

dx

1 − cos( x).sen( x)dx

g) ∫ ( x + 2) sen( x 2 + 4 x − 6)dx

b) ∫ ( 3x + 2 )

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d) ∫

sen

f) ∫ x 2

dx

( x ) dx x

1 + xdx

dx

h) ∫ x ln( x) 3 [ ]

Más problemas Una herida cicatriza en tal forma que " días después del lunes, el área de la herida ha venido decreciendo a razón de 3 " 2 # 4 por día. Si para el martes el área de la herida era de 2 4 a) ¿Cuál era el área de la herida el lunes? b) ¿Cuál es el área anticipada de la citada herida para el viernes si continúa cicatrizando con la misma rapidez?

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Método de Integración por Partes De la fórmula para la derivada del producto de dos funciones se obtiene este método de integración. Si y 0 son funciones diferenciables, entonces: 0 0 0 ⇔ 0 0 0 ′ Al integrar en cada miembro se obtiene: 1

0 1

1 0

0 0

10

10

Ésta es la fórmula de integración por partes.

1

0

0



10

Se puede obtener una manera más sencilla de escribir considerando: 2 6 0 Entonces tenemos que 2 6 0 Reemplazando en la fórmula nos queda: 1 2 6

26

1 6 2

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Ejemplos

a) c) e) g)

ln