15/08/2016

Cálculo Integral Prof. Trinidad Quijano

Cálculo Integral El Cálculo Integral es una rama de la matemática en la cual se estudia el cálculo a partir del proceso de integración. Básicamente, la integración es el proceso inverso de la derivación. Al resolver una integral obtenemos la antiderivada, también llamada primitiva.

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Antiderivada o Primitiva En Matemática IA vimos que a partir de una función hallábamos su función derivada ′ . Por ejemplo, dada , su derivada es 3 . En el análisis matemático es común encontrar problemas en los cuales es necesario hallar la función que dio origen a una función derivada ′ . Es decir, es necesario realizar el camino inverso a la derivación. Este proceso se conoce como antiderivación o integracion, y la función a hallar es una primitiva o antiderivada de la función dada. Por ejemplo, dada 3 , ¿cuál es su primitiva ?, es decir, ¿cuál es la función que al ser derivada resulta 3 ?

Podemos decir que la antiderivada de 3 ya que es 3 Sin embargo, también son antierivadas o primitivas de las funciones: 5 1 2 . . .

Podemos afirmar que , donde es cualquier valor constante, el la primitiva general de 3 .

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Familia de primitivas Si es una primitiva particular de en un intervalo , entonces cada primitiva de en está dada por donde todas las obtenerse primitivas, .

en una constante arbitraria, y primitivas de en pueden a partir de esta familia de asignando valores particulares a

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Actividad: Hallar las primitivas generales de cada función a)

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b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Integral indefinida El conjunto de todas las antiderivadas se denomina la Integral Indefinida de respecto de , y se denota:

Ej: 3

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Propiedades de las integrales indefinidas

Algunas integrales

∫ dx = x + c x x dx = + c, ∫ n +1 n +1

n

si n ∈ Q ∧ n ≠ −1

1 ∫ x dx = ln x + c

∫ e dx = e x

x

+c

∫ cos( x)dx = sen( x) + c

∫ sen( x)dx = − cos( x) + c

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Ejemplos 4 a) ∫ 3x dx =

b) ∫

3 dt = t5

2 3 c) ∫ ( −2 x + 3 x + 4 ) dx =

d)∫ 10 3 x 2 dx = 1   e) ∫  x −  dx = x  

Actividad: hallar las integrales indefinidas 5 a) ∫ 7x dx =

 3 1  b) ∫  4t − 2 + 3  dt = t   6 x c) ∫  − 4e  dx = x  5 d) ∫ ( 2 cos( x) − 5sen( x) + 8 x ) dx =

e)

∫

x ( x + 1) dx =

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