Análisis de Señales y Sistemas Trabajo práctico T. de Fourier-Aplicaciones

Problema 1 Se denomina función propia de un sistema, a una señal para la cual la salida del sistema es una constante (posiblemente compleja) multiplicada por dicha señal. Demuestre que las exponenciales complejas son funciones propias de los sistemas LTI.

Problema 2 Dado el siguiente filtro pasa-bajos, donde v i (t) es la entrada al sistema y v c (t) es la salida, se pide: Halle la función transferencia en frecuencia en base a lo demostrado en el Problema 1. b) Halle h(t) y luego calcule su transformada de Fourier. c) Plantee la ecuación diferencial del sistema y halle H(w) H(w) = Vc(w) Vi(w) Compare los tres resultados.

R

a)

+

v c (t)

C

v i (t)

Problema 3 Un parámetro importante que caracteriza a un filtro es su ancho de banda “B”, el cual se define como el intervalo de frecuencias positivas en el que la magnitud de H(w) se mantiene dentro de determinado factor numérico. Un criterio usual es que dicho factor numérico sea – 3dB, es decir, que la respuesta de amplitud del H(w max ) . filtro caiga a 2 a) Halle el ancho de banda del filtro pasa-bajos del ejercicio anterior. b) Si se define al tiempo de establecimiento "tr" como el tiempo requerido para que la respuesta del filtro a un escalón unitario pase del 10 al 90% de su valor final, demuestre que se cumple la siguiente relación: tr =

2,2 B

Problema 4  1 Considere un filtro pasa-bajos ideal cuya respuesta en frecuencia es: H(w) =   0

w < wc . w > wc

−2t

Si la entrada al filtro es la señal: x(t) = e u(t) , encuentre el valor de wc tal que por este filtro pase exactamente la mitad de la energía de la señal de entrada x(t).

1

Problema 5 Dada una cierta señal x(t) que entrega un generador de funciones, se desea obtener a partir de su tercera armónica una señal senoidal. Para esto se la debe pasar por un filtro pasa-banda con función transferencia H(w). a) Grafique el módulo del espectro de x(t). b) Grafique el módulo del espectro de la respuesta del filtro para que a su salida se obtenga la señal senoidal requerida. c) Calcule el valor C0 de x(t) y especifique qué significa. FILTRO PASA-BANDA

x(t) 1 y(t) 0

1

2

3

4

t

Problema 6 Dado el siguiente sistema LIT excitado por una señal periódica como muestra la figura, se pide hallar la tensión sobre la resistencia R para todo tiempo t.

vi(t)

L v R (t)

a -T

-T/2

0

T/2

b

+

R

v i (t)

T 3T/2

t

Problema 7 Se desea transmitir un tono audible de 1KHz a través de una antena, x(t)=cos(2 π 103t). Para esto se elige la modulación de doble banda lateral con portadora suprimida “DSB-SC” (double-sideband, suppressed carrier). En las siguientes figuras se muestra el sistema transmisor y el sistema receptor. Se sabe que estos sistemas trabajan a una frecuencia de portadora de 550KHz y que están sincronizados. Se pide: a) Graficar el espectro de frecuencias de x(t), m(t), yAM(t) y xm(t). b) Determinar K y wc del filtro pasa-bajos ideal para recuperar el tono audible transmitido.

Transmisor

yAM(t)

yAM(t)

Receptor

H(w)

xm(t)

x(t)

-Wc

m(t) = cos(2. π .550. 10 .t) 3

x(t)

K

Wc

w

m(t) = cos(2. π .550. 10 .t) 3

2

Problema 8 La eliminación de una banda lateral en una señal de Doble Banda Lateral con Portadora Suprimida, produce una señal de Amplitud Modulada (AM) de Banda Lateral Única (BLU, la señal resultante posee un espectro de amplitud con sólo una de las bandas laterales). La figuras siguientes muestran el diagrama en bloques del sistema de BLU y el espectro de módulo de la señal de entrada m(t). Se pide: a) Hallar las señales “DSB-SC” f1(t) y f2(t) y graficar sus transformadas de Fourier. b) Demostrar que f1(t) – f2(t) produce la BLU requerida. ˆ (t ) sufre un desfasaje adicional de –π/2 para w>0 y π/2 para w0 w0 w