ALGUNAS CONJETURAS SOBRE FRACCIONES EGIPCIAS Lyda Constanza Mora Mendieta

Isaac Lima D´ıaz

Profesora Universidad Pedag´ ogica Nacional Bogot´ a D.C, Colombia

Estudiante Universidad Pedag´ ogica Nacional Bogot´ a D.C, Colombia

Resumen A continuaci´ on se presentan algunas conjeturas sobre las fracciones, con base en el tratamiento que los Egipcios hac´ıan en antig¨ uedad. En la primera parte se hace una introducci´ on a las fracciones unitarias, y la representaci´ on de fracciones con numerador dos por medio de la suma de fracciones unitarias distintas. En la segunda parte, se presentan algunas de las conjeturas halladas a partir de la determinaci´ on de regularidades presentes en adiciones entre fracciones cuya suma es una fracci´ on unitaria.

Introducci´ on Este escrito es el resultado de una comunicaci´on breve, ´este nace de la pregunta: ¿C´omo trabajaban los egipcios las fracciones?, planteada en el espacio acad´emico Sistemas Num´ericos, del Proyecto Curricular Licenciatura en Matem´aticas de la Universidad Pedag´ogica Nacional, liderado, en el primer semestre de 2003, por la profesora Lyda Constanza Mora Mendieta, inte´ grante del Grupo de Algebra. Dicho grupo est´a tambi´en conformado por los profesores Carlos Julio Luque Arias (coordinador) y Johana Andrea Torres Diaz, quienes se hallan adelantando una propuesta did´actica para este espacio acad´emico, enmarcada dentro del proyecto de investigaci´on “Actividades matem´ aticas para el desarrollo de procesos l´ ogicos: El matem´ atico de medir” financiado por el Centro de Investigaciones de la Universidad Pedag´ogica Nacional para el periodo 2002-2004.

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

1.

Las Fracciones en Egipto: Las Fracciones Unitarias

Seg´ un autores como Boyer (1986) y Smith (1953), un concepto cercano al de fraccionario apareci´o por primera vez en la cultura egipcia. Los egipcios ten´ıan dos sistemas de numeraci´on, uno jerogl´ıfico y otro hier´atico; con ambos (que datan aproximadamente del a˜ no 3000 a.C.), notaron fracciones, especialmente, fracciones unitarias. Para la representaci´on de fracciones en notaci´on jerogl´ıfica, los egipcios emque indicaba un ro, una unidad de volumen; definipleaban el s´ımbolo 1 da, en nuestra notaci´on, como de heqat1 ; ten´ıa tambi´en un significado 320 asociado: el s´ımbolo ro correspond´ıa a una boca e indicaba la cantidad de grano (volumen) que pod´ıa contener un bocado, una parte, una fracci´on. Bajo dicho s´ımbolo, colocaban un n´ umero escrito en notaci´on jerogl´ıfica; en t´erminos modernos, este n´ umero ser´ıa el denominador de la fracci´on unitaria, esto es, con numerador uno; sin embargo, exist´ıan cuatro excepciones, la mitad ten´ıa un s´ımbolo propio, una especie de U rotada −90o respecto a su posici´on original, en la cual se mostraban los dos brazos iguales de la U -tal vez por 3 las dos partes iguales en que se divid´ıa la unidad-, se representaba, como 2 la fracci´on que mostraba o bien un s´ımbolo de ro con dos palos desiguales debajo o el mismo s´ımbolo atravesado por una U invertida con dos brazos desiguales; el sentido de estos signos consiste en reflejar el hecho de que la 1 unidad se divid´ıa en tres partes de las cuales se consideraban dos de ellas, 4

1

El heqat era una medida de volumen empleada por los egipcios para el almacenamiento 3 de granos y l´ıquidos, era un subm´ ultiplo del khar, la unidad fundamental, khar equival´ıa 2 a 30 heqat y a un codo c´ ubico; en metros c´ ubicos 1 heqat equivale a 0, 0047 unidades.

546

Algunas Conjeturas Sobre Fracciones Egipcias

y

3 tambi´en eran fracciones excepcionales (Figura 1). 4

Figura 1 El uso de fracciones es sin duda el rasgo m´as peculiar de la matem´atica egipcia. El m´etodo empleado por los escribas para operar con fracciones es mucho m´as complicado que el nuestro, la base de la representaci´on de una fracci´on se encontraba en la descomposici´on como suma de fracciones de numerador 1, todas distintas. 3 2 Salvo la excepcionalidad constituida por el y, eventualmente, por , los 3 4 escribas egipcios s´olo utilizaron en sus c´alculos fracciones unitarias. Ello significa que no generalizaron el concepto num´erico de fracci´on debido, probablemente, a que sus concepciones matem´aticas les imped´ıa ver dicho fraccionario como un n´ umero, b´asicamente, la fracci´on surge en un contexto de medida y en otro de reparto, atendiendo a las necesidades de la ´epoca. Para los egipcios, los fraccionarios no son n´ umeros, son la expresi´on de una acci´on de reparto y como tal s´olo son admisibles las fracciones unitarias. Los egipcios utilizaron tambi´en el sistema hier´atico, debido a la facilidad para escribirse sobre los papiros, pues era cursivo; en ´este, las fracciones unitarias eran escritas de manera un poco distinta, como se muestra enseguida; seg´ un los historiadores, el punto es el equivalente al o´valo en el sistema jerogl´ıfico2;

2

El punto fue usado como un s´ımbolo para la fracci´ on a´ un en la ´epoca moderna, tal 1 · como se encuentra en copias de libros ingleses del siglo XVIII, en los cuales y se 2 2 · representaban como y respectivamente (Smith, 1953, p. 210) 4

547

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

Figura 2 La notaci´on hier´atica para las fracciones es hallada en uno de los instrumentos egipcios reconocidos como de mayor importancia, el Papiro de Ahmes3 (conocido tambi´en como el papiro de Rhind), documento que data de aproximadamente 1500 a˜ nos a.C., en cuya primera secci´on aparece una tabla para 2 2 , como es l´ogico dividir por dos y por los n´ umeros impares, desde hasta 3 101 se eliminan las descomposiciones en las que el denominador es par; adem´as se encuentra, como ya se hab´ıa dicho antes, el inter´es de los egipcios por las fracciones unitarias, en el papiro se hallan fracciones comunes escritas como suma de fracciones unitarias distintas, algunas de varias formas; por ejemplo, 2 era escrito, en notaci´on actual, como sigue: 5 1 2 1 = + 5 3 15 y no como

1 1 2 + ; aparece de distintas formas, as´ı: 5 5 43 1 1 1 1 2 = + + + 43 42 86 129 301 1 1 1 + + = 24 258 1032 1 1 1 + + = 30 86 645

3

Ahm´es, fara´ on de Egipto (570-526 a.C.), su nombre es tambi´en conocido como Amosis y Ahmosis.

548

Algunas Conjeturas Sobre Fracciones Egipcias

1 + 36 1 + = 40 =

1 1 1 1 + + + 86 645 172 774 1 1 + 860 1720

Los egipcios desarrollaron numerosas reglas para formar fracciones unitarias; sin embargo, no existe una aplicable a todos los casos; adem´as, prefer´ıan unas representaciones m´as que otras 4, como veremos a lo largo de este escrito. El s´ımbolo para indicar adici´on (+) no se empleaba y las fracciones aparec´ıan una tras otra. L´ogicamente el problema en esa ´epoca consist´ıa en encontrar dichas reducciones. En la actualidad se conoce y es posible encontrar algoritmos para encontrar tales adiciones, pero hace 4000 a˜ nos los escribas no conoc´ıan un m´etodo eficaz para efectuar las transformaciones, por lo que se limitaban a emplear tablas ya escritas o a efectuar el proceso de divisi´on aprendido.

2.

Algunas Regularidades

La siguiente tabla es una reproducci´on de la escrita por Ahmes: 2 3 2 2 5 2 3 7 2 4 9

1 1 + 2 6 1 1 + 3 15 1 1 + 7 7 1 1 + 6 18

2 11

1 1 + 6 66

1

5

1 1 2 1 + + 34 37 24 111 296 2 1 1 19 35 + 39 26 78 1 1 2 1 + + 20 36 41 24 246 328 2 1 1 1 1 21 37 + + + 43 42 86 129 301 18

22

2 45

1 1 + 27 135

1 2 1 + 69 46 138 2 1 1 1 + + 71 40 568 710 1 1 1 2 1 + + + 73 60 219 292 365 2 1 1 + 75 50 150 1 1 + 45 225 1 2 1 + 38 77 42 462

4

Es conocido que Ahmes y sus predecesores refer´ıan, para dos tercios, las dos primeras representaciones mostradas.

549

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + 23 39 13 8 52 104 47 4 12 79 60 237 316 790 2 1 2 1 2 1 1 1 1 7 24 40 + + + 15 9 45 49 4 12 81 54 162 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 8 25 41 + + + + + + 17 12 51 68 51 34 102 83 60 332 415 498 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 9 26 42 + + + + + 19 12 76 114 53 30 318 795 85 51 255 2 1 2 1 2 1 1 1 1 10 27 43 + + + 21 14 42 55 33 165 87 58 174 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 11 28 44 + + + + + 23 12 276 57 38 114 89 60 356 534 890 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 12 29 45 + + + + 25 15 75 59 36 236 531 91 49 637 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 + + + + + 13 30 46 27 18 54 61 4 244 488 610 93 62 186 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 14 31 47 + + + + + 29 24 58 174 232 63 42 126 95 57 285 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 + + + + + 15 32 48 31 20 124 155 65 39 195 97 56 679 776 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 + + + + + 16 33 49 33 22 66 67 40 335 536 99 66 198 2 1 2 1 1 1 1 1 17 50 + + + + 35 21 105 101 101 202 303 606 6

Tabla: 1

Posiblemente la tabla escrita por Ahmes no fuese producto de m´etodos emp´ıricos, sino que sigue un razonamiento l´ogico. A continuaci´on se extraen algunas regularidades que presenta la tabla presentada por el egipcio: Lo 2 est´an expresadas primero que se observa es que las fracciones de la forma 3k como adici´on de dos fracciones unitarias, pero ¿c´omo determinar los sumandos a partir de una fracci´on con numerador dos y denominador m´ ultiplo de tres? Veamos la siguiente tabla donde se relaciona n con 3k.

550

Algunas Conjeturas Sobre Fracciones Egipcias

N´ umero (n)

Fracci´on

Adici´on

1

2 3

1 1 + 2 6

2

2 9

1 1 + 6 18

3

2 15

1 1 + 10 30

4

2 21

1 1 + 14 42

5

2 27

1 1 + 18 54

6

2 33

1 1 + 22 66

7

2 39

1 1 + 26 78

8

2 45

1 1 + 30 90

9

2 51

1 1 + 34 102

10

2 57 Tabla: 2

1 1 + 38 114

De esta lista deducimos que si hacemos k = 2n − 1, tenemos que: 1 1 2 = + 3(2n − 1) 4n − 2 6(2n − 1) 2 , veamos una lista El segundo grupo lo forman las fracciones de la forma 5k de ellas: 551

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

N´ umero (n)

Fracci´on

Adici´on

1

2 5

1 1 + 3 15

2

2 15

1 1 + 9 45

3

2 25

1 1 + 15 75

4

2 35

1 1 + 21 105

5

2 45

1 1 + 27 135

6

2 55

1 1 + 33 165

7

2 65

1 1 + 39 195

8

2 75

1 1 + 45 225

9

2 85

1 1 + 51 255

10

2 95 Tabla: 3

1 1 + 57 285

Concluimos entonces que si hacemos k = 2n − 1, tenemos que: 1 1 2 = + 5(2n − 1) 3(2n − 1) 15(2n − 1) 2 extra´ıdas del Ahora, observemos la lista de las fracciones de la forma 7k Papiro de Ahmes: 552

Algunas Conjeturas Sobre Fracciones Egipcias

N´ umero (n)

Fracci´on

Adici´on

1

2 7

1 1 + 7 7

2

2 21

1 1 + 14 42

3

2 35

1 1 + 21 105

4

2 49

1 1 + 28 196

5

2 63

1 1 + 35 315

6

2 77

1 1 + 42 462

7

2 91 Tabla :4

1 1 + 49 637

Con base en ellas concluimos que si k = 2n − 1, tenemos que: 1 1 2 = + 7(2n − 1) 7n 7n(2n − 1) 2 , pk donde p es un n´ umero primo y para fracciones escritas como resultado de la adici´on de tres fracciones unitarias, esta tarea la dejamos abierta y pretendemos desarrollarla en otro escrito. Obviamente, es posible hallar regularidades para fracciones de la forma

553

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

3.

Fracciones y sus Generadores

En 1864 el British Museum obtuvo un conjunto de documentos de origen Egipcio que hab´ıan estado en posesi´on de Henry Rhind y que se hab´ıan puesto a la venta tras su fallecimiento. Entre dichos documentos se encontraba un rollo de cuero en un estado tal que, fue dif´ıcil desenrrollarlo con las t´ecnicas de la ´epoca, cuando finalmente en 1927 pudo desenrollarse de manera adecuada se comprob´o que s´olo registraba un conjunto de sumas de fracciones en cuatro columnas, de las que las dos u ´ltimas parec´ıan copias fieles de las dos primeras. Esta fidelidad en la copia suger´ıa que se trataba de un ejercicio de pr´actica en dichas sumas para mejorar el aprendizaje de un estudiante avanzado, lo que complementa la funci´on del papiro Rhind, ya que al parecer este pergamino tiene la funci´on de ense˜ nar. El estudio realizado el mismo a˜ no de conocerse su contenido mostr´o que, pese a no responder a las grandes expectativas creadas, el Rollo de Cuero no estaba exento de inter´es. Atendiendo a las columnas tercera y cuarta (las m´as legibles y completas) hab´ıa un total de veintis´eis sumas distintas de fracciones que, se pueden agrupar de un modo que refleja el conocimiento egipcio sobre la suma de fracciones unitarias. A continuaci´on se hace una agrupaci´on en la misma estructura num´erica de las fracciones presentadas en dicho pergamino por medio de dos criterios: En primer lugar, el n´ umero de fracciones que son sumadas para dar un resultado en forma de una u ´nica fracci´on unitaria; as´ı se pueden distinguir resultados de dos, tres y hasta cuatro fracciones sumadas y, en segundo lugar, la relaci´on num´erica de los denominadores en las fracciones sumadas; por ejemplo, la 1 1 suma + responde al generador (1,2) ya que dando al menor denominador 9 18 (9) el valor 1 en el generador, el otro (18) corresponde a 2 veces 9, esto se nota con 2 en la segunda componente de la pareja; de manera similar, la 1 1 1 + + obedecer´ıa al generador (2, 3, 6). adici´on 14 21 42 A partir de los resultados encontrados en el Rollo de Cuero junto a los que aparecen en el papiro Rhind, se puede ensayar una reconstrucci´on de los distintos pasos seguidos por los escribas para llegar a estos resultados.

554

Algunas Conjeturas Sobre Fracciones Egipcias

Veamos, por ejemplo que, los escribas egipcios ten´ıan conocimiento de la duplicaci´on de una fracci´on con denominador par:

1 1 + =1 2 2 1 1 1 + = 4 4 2 1 1 1 + = 6 6 3 1 1 1 + = 8 8 4 1 1 1 + = 10 10 5 1 1 1 + = 12 12 6 1 1 1 + = 14 14 7 1 1 1 + = 16 14 8 Tabla :5 La regla consiste en que la suma de dos fracciones iguales de denominador par es igual a una fracci´on cuyo denominador es la mitad del denominador inicial, estas adiciones corresponden al generador (1,1). De la misma manera, que el generador (1,1) se puede construir la tabla de los valores correspondientes al generador (1,2); as´ı

555

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

Generador (1, 2) 1 1 2 2n 1 1 + 2 4 1 1 + 3 6 1 1 + 4 8 1 1 + 5 10 1 1 + 6 12 1 1 + 7 14 1 1 + 8 10 1 1 + 9 18 1 1 + 10 20 1 1 + 11 22 1 1 + 12 24 1 1 + 13 26 1 1 + 14 28 1 1 + 15 30 1 1 + 16 32

+ + + + + + + + + + + + + + + + Tabla :6

556

Suma

3 4 1 2 3 8 3 10 1 4 3 7 3 16 1 6 3 20 3 22 1 8 3 13 3 14 1 10 3 16

Algunas Conjeturas Sobre Fracciones Egipcias

1 , son las En la tabla anterior se observa que las fracciones de la forma 3k u ´nicas que cumplen las propiedades de la suma de fracciones egipcias, la suma es una fracci´on unitaria. Cuando se extiende el procedimiento al generador (1,1,1), se obtiene la siguiente tabla, para algunos valores:

Generador (1, 1, 1) 1 n

+

1 1 1 + + 6 6 6

=

1 2

1 1 1 + + 9 9 9

=

1 3

1 1 1 + + 12 12 12

=

1 4

1 1 1 + + 15 15 15

=

1 5

1 n

1 n

Suma

1 1 1 + + = 18 18 18 Tabla :7

1 6

Como los egipcios ten´ıan una concepci´on de la fracci´on como parte de la 1 1 1 unidad, al tomar, por ejemplo, + + estaban considerando un total de 6 6 6 1 3 partes entre 6 lo que supone la mitad de las existentes; es decir, . 2 De esta manera, si se agrupan los tres sumandos de otro modo el resultado es el mismo, por ejemplo: 1 1 1
1 1 1 1 1 1 + + = + + = + − 6 6 6 6 6 6 3 6 2 557

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

1 obteniendo entonces para una adici´on de dos fracciones unitarias distin2 tas, utilizando algunos resultados de la Tabla No. 7 y teniendo en cuenta la asociatividad anterior, tenemos que:

1 1 + 3 6

=

1 2

1 1 + 6 12

=

1 4

1 1 + 9 18

=

1 6

1 1 + = 12 24 Tabla :8

1 8

Con lo cual, el generador (1, 1, 1) dar´ıa lugar a los resultados propios del generador (1,2) y a la regla de que, cuando se suman dos fracciones de manera que el denominador de una sea el doble que el de la otra, el resultado es una fracci´on que tiene por denominador el mayor de los dos primeros dividido por tres. Cuando se abordan otros generadores como (2,3) en el caso de, por ejemplo, 1 1 1 + = es m´as complicado imaginar la consideraci´on de cinco fracciones 10 15 6 iguales agrupadas de forma diferente (en grupos de 2 y de 3:
1 1 1
1 1 + por cuanto no s´olo hay varios sumandos sino + + + 30 30 30 30 30 que, el denominador escogido (30) no coincide con ninguno de ellos, como en casos anteriores; ¿exist´ıa alg´ un procedimiento alternativo? Si se hace prevalecer el enfoque operativo de esta suma de fracciones, el escriba egipcio pudo ir probando con qu´e resultado se aplicaba cada fracci´on a n´ umeros diferentes para dar cantidades enteras, no obstante, es posible que se construyera un algoritmo para determinar la suma de fracciones por medio de generadores, partiendo de algunos requerimientos b´asicos: 558

Algunas Conjeturas Sobre Fracciones Egipcias

1. Agrupar fracciones iguales con la utilizaci´on de resultados anteriores a partir de los m´as sencillos. 2. Deducir unos resultados de otros a partir del c´alculo de su mitad o su tercera parte, su cuarta, etc. 3. Desagrupando fracciones utilizadas en resultados anteriores. A continuaci´on se ilustran las sumas de algunos generadores:

Generador (2, 1, 1)

n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Generador 1 1 1 2n n n 1 1 1 + + 6 3 3 1 1 1 + + 8 4 4 1 1 1 + + 10 5 5 1 1 1 + + 12 6 6 1 1 1 + + 14 7 7 1 1 1 + + 16 8 8 1 1 1 + + 18 9 9 1 1 1 + + 20 10 10 1 1 1 + + 22 11 11 1 1 1 + + 24 12 12 1 1 1 + + 26 13 13

Suma 5 6 5 = 8 1 = 2 5 = 12 5 = 14 5 = 16 5 = 18 1 = 4 5 = 22 5 = 24 5 = 26 =

559

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

14 15 16 17 18 19

1 + 28 1 + 30 1 + 32 1 + 34 1 + 36 1 + 38

1 + 14 1 + 15 1 + 16 1 + 17 1 + 18 1 + 19

1 14 1 15 1 16 1 17 1 18 1 19

5 6 1 = 6 5 = 32 5 = 34 5 = 36 5 = 38 =

Tabla :9

En el generador (2, 1, 1) observamos que las adiciones, la cuales no suman 5 fracciones unitarias, corresponden a fracciones de la forma , y los suman2n 1 , dos, de aquellas cuya suma es una fracci´on unitaria, son de la forma 5m donde m corresponde a cada uno de los componentes del generador. La suma de las tres fracciones en este generador, ilustradas en la tabla ante1 rior, corresponde a n´ umeros de la forma 2 n 5 Generador (2, 4, 3, 5)

n 3

560

Generador 1 1 1 2n 4n 3n 1 1 1 + + + 6 12 9

Suma 1 5n 1 15

=

77 180

Algunas Conjeturas Sobre Fracciones Egipcias

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 1 1 1 + + + 8 16 12 20 1 1 1 1 + + + 10 20 15 25 1 1 1 1 + + + 12 24 18 30 1 1 1 1 + + + 14 28 21 35 1 1 1 1 + + + 16 32 24 40 1 1 1 1 + + + 18 36 27 45 1 1 1 1 + + + 20 40 30 50 1 1 1 1 + + + 22 44 33 55 1 1 1 1 + + + 24 48 36 60 1 1 1 1 + + + 26 52 39 65 1 1 1 1 + + + 28 56 42 70 1 1 1 1 + + + 30 60 45 75 1 1 1 1 + + + 32 64 48 80 1 1 1 1 + + + 34 68 51 85 1 1 1 1 + + + 36 72 54 90 1 1 1 1 + + + 38 76 57 95 1 1 1 1 + + + 40 80 60 100

77 240 77 = 300 77 = 360 1 = 60 77 = 480 77 = 540 77 = 600 7 = 60 77 = 720 77 = 780 11 = 120 77 = 900 77 = 960 77 = 1020 77 = 1020 77 = 1140 77 = 1200 =

Tabla :10

561

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

En la tabla anterior, se ve que hay tres tipos de fracciones para el resultado: fracciones cuyos numeradores son 7, 11 y 77; los sumandos de estas fracciones poseen regularidades. Para el caso de las fracciones con numerador 7, el denominador es de la forma 7j, donde j es un n´ umero entero positivo; para el caso de las fracciones con numerador 11, el denominador corresponde a n´ umeros de la forma 11j, j cumpliendo la caracter´ıstica anterior y, las fracciones con numerador 77, tienen denominador de la forma 60n. Para el generador (2, 4, 3, 5), las fracciones que sumadas dan como resultado una fracci´on unitaria, poseen una regularidad, los denominadores corresponde a n´ umeros de la forma 60n, tal como se puede verificar para n = 77 o n = 154, por ejemplo y que se muestran a continuaci´on:

n 11 154

Generador Suma 1 1 1 1 2n 4n 3n 4n 1 1 1 1 1 + + + = 154 308 231 385 60 1 1 1 1 1 + + + = 308 616 462 770 120 Tabla :11

Al continuar la b´ usqueda de regularidades, se encuentra que es posible determinar hallar cu´ales de las fracciones son unitarias, conociendo u ´nicamente el generador: Se suman las primeras fracciones posibles del generador, en el caso de que 1 uno de los componentes del generador sea 1, se suma con la fracci´on , y se 1 expresa el resultado de tal manera que el numerador y el denominador de la fracci´on sean, entre s´ı, n´ umeros primos relativos, con el numerador de la fracci´on resultante se encuentra el n´ umero con el que se debe multiplicar cada uno de los t´erminos del generador. Esto es, si se tiene el generador (x, y), en r 1 1 primer lugar se suma + , lo que da como resultado la fracci´on donde r x y s y s son primos relativos. Para encontrar las fracciones unitarias se multiplica x e y por r, de esta manera se puede hallar el primer conjunto de fracciones que dar´an como resultado la primera fracci´on unitaria en el generador con el 562

Algunas Conjeturas Sobre Fracciones Egipcias

1 1 + . La suma de esas fracciones dar´a como resultado xr yr 1 1 la fracci´on ; para encontrar las dem´as fracciones unitarias, se multiplica s xr 1 1 y por , donde n es un n´ umero entero positivo. El resultado de la suma yr n 1 1 1 + ser´a la fracci´on . nxr nyr ns que se ha trabajado:

Por ejemplo, trabajando con el generador (3, 7, 9), se tiene: 1 1 1 37 + + = 3 7 9 63 con el numerador (37), se halla el n´ umero con el que se debe multiplicar cada uno de los t´erminos del generador, pues lo que hacemos es multiplicar 1 para obtener 1 como numerador en la a ambos lados de la igualdad por 37 suma: 1 1 1 + + 3(37) 7(37) 9(37) Obteniendo 1 1 1 1 1 1 1 + + = + + = 3(37) 7(37) 9(37) 111 259 333 63 donde, el denominador de la suma es un m´ ultiplo del denominador de la primera suma, pues pod´ıa haberse realizado tambi´en: 1 1 1 1 + + = 3(74) 7(74) 9(74) 126 o 1 1 1 1 + + = 3(11) 7(111) 9(111) 189 563

Memorias XIV Encuentro de Geometr´ıa y II de Aritm´ etica

etc. Obviamente aqu´ı no termina el trabajo, la b´ usqueda de regularidades contin´ ua; adem´as, ´estas s´olo son conjeturas. Finalizamos invitando al lector interesado en estas cuestiones a elaborar otros resultados o a demostrar los aqu´ı presentados junto con los futuros.

Referencias [1] C Boyer, Historia de la matem´ atica, Editorial Alianza Universidad, Madrid, 1986. [2] A Rey, La Ciencia Oriental antes de los Griegos, Uni´on Tipogr´afica Editorial Hispano Americana, M´exico, 1959. [3] SR.W. Loley, El Legado de Egipto, Universidad de Oxford, Glanvilley ed. Pegasso Madrid 1944. [4] D Smith, History of mathematics, Vol.II. Dover Publications, New York, 1958. [5] D Smith, et al. De los n´ umeros a los numerales y de los numerales al c´alculo. En: [6] J. Newman, Sigma, el mundo de las matem´ aticas, Vol. 4. Ediciones Grijalbo, Barcelona, 1994. [7] http://www.egiptologia.org [8] http://www.personal.us.es/cmaza [9] http://www.ics.uci.edu/ eppstein/numth/egypt/intro.html [10] http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fractions/egyptian.html.

564