Máquinas Eléctricas I – Año 2016
Trabajo Práctico de Resolución de Problemas N° 6 Arrollamientos de Máquinas Rotativas (2da parte) Problemas propuestos Problema N° 1 Dado un arrollamiento trifásico con las siguientes características: q = 5.....R = 60.......W / p = 13 / 15.......Nf = 160......p’ = 2 Se pide determinar el arrollamiento bifásico equivalente, tal que la matriz de transformación de corrientes sea la misma que la matriz de transformación de tensiones. Problema N° 2 Dado un arrollamiento de conmutador con p’ = 1, se sacan derivaciones a 120° y a 90°, y se conectan a anillos rozantes. La máquina se mueve a n = 5 [r.p.s.], y la corriente en las escobillas del conmutador es 10 [A] CC. Determinar: a) Los valores de las corrientes bifásicas equilibradas que inyectadas en los correspondientes anillos rozantes, producirían la misma excitación que los 10 [ACC]. b) Idem a) pero para las tomas trifásicas. c) El arrollamiento de campo de la máquina se excita y aparecen 100 [VCC] entre las escobillas del conmutador. Calcular las tensiones entre las tomas bifásicas y trifásicas.
Problema N° 3 Dado un arrollamiento trifásico bipolar, bobinado en el estator de una máquina de 12 ranuras con Nb = 10 y W/p = 5/6. Se pide: a) Si el arrollamiento está alimentado por un sistema trifásico simétrico de 10 [Aef], encontrar el arrollamiento bifásico equivalente, que bobinado sobre el mismo estator produza la misma fundamental de excitación en el entrehierro. b) Relación de tensiones de fase en los dos sistemas. c) Calcular el valor de la excitación giratoria, y verificar que es el mismo en ambos casos.
Problema N° 4 Un arrollamiento bifásico simétrico de anillos rozantes se encuentra alojado en un rotor que gira a una velocidad n=1400 rpm en el sentido de las agujas del reloj. Si el rotor es alimentado por corrientes bifásicas dadas por:
i I max cos t
i I max cos t / 2
Encontrar las corrientes que circulando por dos pares de escobillas a 90° de un arrollamiento de conmutador, producirían la misma excitación en el entrehierro. 1/11
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Problema N° 5 Un arrollamiento bifásico con fz = 0,9659, fs = 0,91068 y N = 54, se encuentra bobinado sobre un rotor de anillos rozantes, sobre el que también está bobinado un arrollamiento de conmutador con dos pares de escobillas a 90°. El rotor se hace girar con una máquina de accionamiento a la velocidad de nS (rpm) y se alimenta por los anillos rozantes con un sistema simétrico de corrientes bifásicas tal, que se produce una excitación giratoria en el entrehierro de amplitud igual a 600 [Av] que gira respecto del rotor a –nS. Si se supone que la amplitud de la excitación en el entrehierro producida por 1 [A] en uno de los pares de escobillas es igual a la producida por 1 [A] en una fase del arrollamiento bifásico (iguales factores de arrollamiento y espiras), se pide: a) Encontrar las corrientes en los dos pares de escobillas que producirían la misma excitación en el entrehierro que las corrientes bifásicas, si para t = 0 el eje de la fase forma un ángulo de 30° con el eje d. (ver fig.) b) Idem a) pero la velocidad del rotor es 2.nS. q q
d d 30.0°
nS
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Problemas propuestos Problema N° 1 Dado el arrollamiento de la figura, determinar: a) Factor de arrollamiento de la fundamental. b) Orden de las armónicas de ranura.
Desarrollo Para q se tiene : p = 2.....R = 30......m = 3......q = R / (2.p.m) = 30 / (2.2.3) = 2,5 Este tipo de devanado por ser q “no entero” se denomina “ fraccionario”. Es claro que no se pueden aplicar directamente las fórmulas vistas en clase para el cálculo de fZ y fS , dado que los grupos de bobinas conectados en serie en cada fase no son idénticos. Se solucionará este problema desde dos puntos de vista que nos deberán llevar al mismo resultado. Se parte de las definiciones de fZ y fS :
IfZ
fS
Tensión inducida en la zona algebraica de tensiones inducidas en la zona
E i diametral zona
q.E i diametral de bobina
Tensión inducida en una zona (con paso acortado ) Tensión inducida en una zona (con paso diametral )
f N fZ . fS
Ei S
Ei S
Z
Ei d
Z
Ei d q. E i d
Z bob
Ei S
Z Z E i d conc q. E i d bob
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Las definiciones son válidas para una zona o para toda la fase cuando todas las zonas bobinadas son iguales.
La definición de factor de arrollamiento puede generalizarse para el caso de zonas desiguales (q entero) poniendo:
fN
E i SZ1 E i SZ 2 ...... E i SZ n E i d conc
En general, en los arrollamientos fraccionarios las tensiones inducidas en los distintos grupos de bobinas, están en fase, caso que se presenta en nuestro ejemplo. Por lo tanto podemos poner:
fN
E i SZ1 E i SZ 2 (q1 q 2 ) E i d bobina
f S 1 . f Z 1 .q1 .E i db f S 2 . f Z 2 .q 2 .E i db (q1 q 2 ) E i d b
f S 1 . f Z 1 .q1 f S 2 . f Z 2 .q 2 (q1 q 2 )
En clase se vió que para = 1 :
sen 2.m fZ q.sen 6.q
W f S sen . 2 P
La exp resión más general para el factor de zona será : sen R .q 2 fZ q.sen R 2 En este caso R
R ángulo eléctrico correspondiente a un paso de ranura
360 720 .p 24 R 30 áng . geom .
Para zona 1 : q q1 2 24 sen .2 2 fZ1 0,9781475 24 2.sen 2 Para zona 2 : q q 2 3 fZ1
sen36 0,9423637 3.sen12
8 f S 1 sen . sen96 0,9945219 2 7,5
f S 2 sen84 0,9945219
El factor de arrollamiento resul tan te es : fN
0,9945219.(0,9781475.2 0,9423637.3) 0,9514365 23
f N 0,9514365
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Otra manera de resolver el problema es: Transformar el arrollamiento fraccionario en un arrollamiento entero, de tal manera que se reproduzcan en ambos arrollamientos las mismas posiciones fasoriales de las tensiones inducidas. Esto se consigue trasladando en cada fase la zona bobinada menor en P, de tal manera que se superponga a la zona mayor. El arrollamiento se transformará así en un arrollamiento entero con q = 5.
Re sulta : q ' 5
Q' 15
R'
R
12 2 Se puede aplicar ahora la fórmula de f N : fN fS . fZ fZ
7 f S sen . 0,9945219 2 7,5 f N 0,9514361
sen(6.5) 0,95667689 5.sen6
Obsérvese que a pesar de ser un arrollamiento de una capa, el factor de cuerda fS < 1 pues los lados de bobina no están desfasados 180°.
Armónicas de ranura:
R 2.Q 1 2.15 1 29 y 31 ν R 29 y 31
Problema N° 2 Para las siguientes curvas de campo, determinar las amplitudes relativas de las armónicas 1, 3, 5 y 7 respecto al valor B0 : a) Para i = 0,75 y i = 0,666 i. p
p
B0
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b) Curva de campo producida por un inductor de polos salientes alimentado por corriente continua. El esquema que sigue corresponde al llamado turborotor, que es el inductor usado para máquinas sincrónicas con p’ = 1 ó p’ = 2. Para i = 1 / 3 y suponiendo una distribución uniforme de AS en la zona bobinada. i. p B, AS
B0 AS
x p
Desarrollo a) Por el tipo de simetría sólo tendremos armónicas impares. Su coeficiente se determina según la fórmula de Fourier.
a
B 4 . sen( . ) sen( . i . ) B0 . 2 2
i = 0,75
1
a1
3
a3
4
.sen
2
sen0,75.
2
1,176
4 .sen3. sen0,75.3. 0,1624 3. 2 2 4 a5 .sen5. sen0,75.5. 0,0974 5. 2 2 4 a7 .sen7. sen0,75.7. 0,168 7. 2 2
5 7 i = 0,66
1 3 5 7
2 sen . 1,1026 2 3 2 4 2 a3 .sen3. sen .3. 0 3. 2 3 2 4 2 a5 .sen5. sen .5. 0,2205 5. 2 3 2 4 2 a7 .sen7. sen .7. 0,1575 7. 2 3 2 a1
4
.sen
a1 1,1026 a3 0 a5 0,2205 6/11 a7 0,1575
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b)
8. cos( i .
.
) 2 a 2 sen( . ) 2 2 .(1 i ).
.
Para nuestro caso : a
1
a1
3
a3
5 7
12
2
8. cos(
6
2 2 2 . . 3
)
sen( . ) 2
12. cos(30. ) sen( . ) 2 2 2 .
. cos 30 1,053
12 . cos 90 0 2 .9 12 a 5 2 . cos150 sen(5. ) 0,0421 2 .25 12 a7 2 . cos 210 sen(7. ) 0,0215 2 .49
a1 1,053 a3 0 a5 -0,0421 a7 0,0215
Problema N° 3 El estator de una máquina sincrónica trifásica tiene las siguientes características: Diámetro de entrehierro: D = 33[cm] - L = 27 [cm] - R = 36 - p’ = 2 - N = 24 El inductor es de polos salientes con una curva de campo análoga a la del caso a) del problema anterior. Se pide determinar i y W para obtener una tensión inducida con bajo contenido de armónicas. El valor de B0 debe ser tal que U1N = 230 [V] por fase.
Desarrollo Con los valores dados resulta P = 9R ( 9 ranuras por polo ) y q = 3. Para simplificar el análisis, se consideran únicamente i = 0,66 y i = 0,8 y las armónicas = 3,5,7 y armónicas de ranura ( para i = 0,66 se toman W/P = 7/9 y 8/9 y para i = 0,8 se toman W/P = 6/9, 7/9, y 8/9 )
a) i = 0,66 Resultan para la curva de campo los valores de a obtenidos en el caso a) del problema anterior. Probaremos con dos valores de W : 7/9 y 8/9
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I- W/P = 7/9
fS = sen(/2..7/9)
fZ = (sen .30) / 3.sen(. / 30)
fN = fS . fZ
1 3
0,9397 -0,5
0,9598 0,6666
0,9019 -0,3333
5
-0,1736
0,2176
-0,0377
7
0,7660
-0,1774
-0,1359
17
0,9397
0,9598
0,9019
19
-0,9397
0,9598
-0,9019
Ranura = 2.Q 1 = 2.9 1 = 17 y 19 Los valores porcentuales de las tensiones armónicas inducidas respecto a la fundamental, están dadas por :
u %
f N .a f N1 .a1
.100
Siendo a1 y a los coeficientes de Fourier de la curva de campo de la armónica fundamental y de orden y fN1 y fN los correspondientes factores de arrollamiento. En el problema anterior se calcularon a para = 1, 3, 5 y 7 faltando para las armónicas de ranura, los cuales calculados resultan: a17 = - 0,0649...........a19 = -0,0580
u3 % 0 u5 %
0,0377.0,2205 .100 0,836 % 0,9019.1,1026
u17 %
0,9019.0,0649 .100 5,8 % 0,9019.1,1026
u7 %
0,1319.0,1575 .100 2,15 % 0,9019.1,1026
u19 %
0,9019.0,0580 .100 5,26 % 0,9019.1,1026
El contenido de armónicas :
u % 0,836 2
u1 %
2
2,152 5,89 2 5,26 2 0,08226 100
τ ν % 8,2 %
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II- W/P = 8/9
fS = sen(/2..8/9)
fZ = (sen .30) / 3.sen(. / 30)
fN = fS . fZ
1 3
0,9848 -0,8666
0,9598 0,6666
0,9452 -0,5773
5
0,6428
0,2176
0,1400
7
-0,3420
-0,1774
0,0606
17
-0,9848
0,9598
-0,9452
19
0,9848
0,9598
0,9452
u3 % 0 u17 y u19
0,14.0,2205 .100 2,96 % 0,9452.1,1026 no varían u5 %
2,96
2
0,92 2 5,89 2 5,26 2 100
u7 %
0,0606.0,1575 .100 0,92 % 1,04217
0,08483
τ ν % 8,48 %
“ Para i = 0,66 el paso W / P = 7 / 9 da el menor contenido de armónicas.”
Calculamos B0 para este caso, con la condición de obtener U 1 Fase = 230 [V]
U 1 4,44. f N . f .ˆ1 .N .10 8
U 1 [V ] y [ Mx]
230.108 4786358[ Mx] 4,44.0,9019.50.24 ˆ1 2 4786358 ˆ1 . p .l i .Bˆ 1 Bˆ 1 10743[G ] 2 2 .33 . p .l i . .27 4 B 10743 B0 1 9744 a1 1,1026
ˆ1
B0 9744 [G]
b) i = 0,8
Se calculó para W / p = 7/9 y 8/9. Pasamos a W / p = 6/9
fS = sen(/2..6/9)
fZ = (sen .30) / 3.sen(. / 30)
fN = fS . fZ
1 3
0,8666 0
0,9598 0,6666
0,8312 0
5
-0,8666
0,2176
-0,1884
7
0,8666
-0,1774
-0,1536
17
-0,8666
0,9598
-0,8312
19
0,9848
0,9598
0,8312
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El contenido de armónicas en la curva de campo es :
4 .sen( . ) sen( . i . ) . 2 2 a1 1,2109 a3 0,2495 a5 0
a
a 7 0,107
a17 0,044 a19 0,0637
Los valores porcentuales de armónicas resul tan : Para W p 6/9
u %
f N .a f N1 .a1
.100
0,1536.0,107 .100 1,63 % 0,8312.1,2109 0,8312.0,044 0,8312.0,0637 u17 % .100 3,63 % u19 % .100 5,26 % 1,0065 1,0065
u3 % 0
u5 % 0
u7 %
Para W p 7/9 0,333.0,2495 .100 7,6 % 0,9019.1,2109 0,1359.0,107 u7 % .100 1,33 % 1,0921 0,9019.0,0637 u19 % .100 5,26 % 1,0921
u3 %
u5 % 0 % u17 %
0,9019.0,044 .100 3,63 % 1,0921
Para W p 8/9 0,5773.0,2495 .100 12,584 % 0,9452.1,2109 0,0606.0,107 u7 % .100 0,5665% 1,1445 0,9452.0,0637 u19 % .100 5,26 % 1,1445
u3 %
u5 % 0 % u17 %
0,9452.0,044 .100 3,63 % 1,1445
Es evidente que el menor contenido de armónicas se logra con W / p = 6/9
% para W / p 6 / 9 : %
1,632 3,632 5,26 2 6,57 % 100
τ ν % 6,57 %
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Máquinas Eléctricas I – Año 2016 Cálculo de B0 para i = 0,8 y W / p = 6/9
230.108 5193475[ Mx] 4,44.0,8312..50.24 5193475 Bˆ 1 11657[G ] 2 .33 . .27 4 B 11657 B0 1 9627[G ] a1 1,2109
ˆ1
B0 9627 [G]
Desde el punto de vista de contenido de armónicas, la última opción es la mejor. Sin embargo habrá problemas por la fuerte dispersión interpolar.
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