UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO Curso 2016/2017 JUNIO MATERIA: MATEMATICAS II Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder razonadamente a las cuestiones de la opción elegida. Para la realización de esta prueba se puede utilizar calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Calificación: Las preguntas 1ª y 2ª se valorarán sobre 3 puntos; las preguntas 3ª y 4ª sobre 2 puntos. Todas las respuestas deberán estar debidamente justificadas. Tiempo: 90 minutos.

OPCIÓN A Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos.  2 x + ay + z = a ,  Dado el siguiente sistema de ecuaciones x − 4 y + (a + 1)z = 1, se pide:  4 y − az = 0,  a) (2 puntos) Discutirlo en función de los valores del parámetro real a. b) (0.5 puntos) Resolver el sistema para a = 1. c) (0.5 puntos) Resolver el sistema para a = 2. Solución. a. El sistema viene definido por dos matrices: 1  1 a 2 a 2 a     A =  1 − 4 a + 1 A* =  1 − 4 a + 1 1  A ⊂ A* ⇒ rg A* ≥ rg A 0 4  0 4  − a − a 0     Si el A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 , el sistema seria compatible determinado, por lo tanto se discute el tipo de solución del sistema para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes. 2 a 1 a = 2 A = 1 − 4 a + 1 = 8a + 0 + 4 − 0 − a 2 + 8a + 8 = a 2 − 4 = 0 :  a = −2 0 4 −a

(

Discusión. i. ii.

)

Si a ≠ ±2, A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3 , sistema seria compatible determinado.

2 − 2 1    1 −4 Si a = ‒2, A = 0 ⇒ rg A < 3 . A =  1 − 4 − 1 = 4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para estudiar el 0 4 0 4  2   2 − 2 1 − 2   rango de la matriz ampliada, A* =  1 − 4 − 1 1  se parte del menor de orden dos distinto de 0 4 2 0   cero y se estudian sus menores orlados, de los dos posibles, solo que queda por estudiar el formado 2 −2 −2 por la 1ª, 2ª y 4ª columna. 1 − 4

0

4

1 = −16 ≠ 0 ⇒ rg A* = 3 ≠ rg A , sistema incompatible. 0

1

2 2  Si a = 2, A = 0 ⇒ rg A < 3 . A =  1 − 4 0 4  1 2 2  de la matriz ampliada, A* =  1 − 4 3 0 4 − 2 

1   1 −4 3  = 4 ≠ 0 ⇒ rg A = 2 . Para estudiar el rango 0 4 − 2  2  1  se parte del menor de orden dos distinto de cero y se 0  estudian sus menores orlados, de los dos posibles, solo que queda por estudiar el formado por la 1ª, 2 2 2

iii.

2ª y 4ª columna. 1 − 4 1 = 0 ⇒ rg A* = 2 = rg A ≠ n = 3 , sistema compatible indeterminado.

0

4

0

b. Para a = 1. Según la discusión del apartado a, método de Gauss o por el método de Cramer. Método de Gauss: 1 M 1 2 1 1 − 4 2    1 − 4 2 M 1 = 1   2 1  0 4 − 1 M 0  E1 ↔ E 2  0 4 − 1   

sistema compatible determinado, se puede resolver por el

M 1 1 − 4 2 M 1     M 1  =  0 9 − 3 M − 1 = E 2 − 2 E1  9E 3 − 4 E 2   M 0 0 4 −1 M 0 

 1 − 4 2 M 1   x − 4 y + 2z = 1 8    4 x − 4 y + = 1 =  0 9 − 3 M − 1 ; 9 y − 3z = −1 ; z = ;  3 ; 3 9 y − 4 = −1 0 0    3 M 4   3z = 4   1 1 4 Solución:  − , ,   3 3 3

5  1  4 5 1 x − 4y = −  3 ; y = ; x − = − ; x = − 3 3 3 3  9 y = 3

Método de Cramer: m =1

A = m 2 − 4 = 12 − 4 = −3

x=

Ax A

=

1 1 1 1 −4 2 0 4 −1 −3

=

Ay 1 ; y= = −3 A

2 1 1 1 1 2 0 0 −1 −3

=

A −1 1 = ; z= z = −3 3 A

2 1 1 1 −4 1 0 4 0 −3

=

−4 4 = −3 3

 1 1 4 Solución:  − , ,   3 3 3 2 x + 2 y + z = 2  c. Para a = 2,  x − 4 y + 3z = 1 teniendo en cuenta la discusión del apartado a, sistema  4 y − 2z = 0  compatible indeterminado de rango 2, por lo tanto solo tiene dos ecuaciones linealmente independientes. Se seleccionan como independientes las ecuaciones que contienen los coeficientes del menor de orden dos distinto de cero. x − 4 y + 3z = 1  4 y − 2z = 0  Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro y se resuelve en función de este, se toma como parámetro la variable cuyos coeficientes no formaron el menor de orden 2 (z = λ ) . x − 4 y = 1 − 3λ  4y = 2λ  De la segunda ecuación se despeja y y sumando las ecuaciones se despeja x. λ x = 1− λ y = z = λ ∀λ∈R 2

2

Ejercicio 2. Calificación máxima: 3 puntos Dados los puntos P(1, ‒2, 1), Q(‒4, 0, 1), R(‒3, 1, 2), S(0, ‒3, 0), se pide: a) (1 punto) Hallar la ecuación del plano que contiene a P, Q y R. b) (1 punto) Estudiar la posición relativa de la recta r, que pasa por los puntos P y Q, y la recta s, que pasa por R y S. c) (1 punto) Hallar el área del triángulo formado por los puntos P, Q y R. Solución. a. La mínima determinación lineal de un plano es un punto y dos vectores linealmente independientes y paralelos al plano. Con los puntos P, Q y R una determinación lineal del plano que los contiene (π) puede ser: x − 1 y − (− 2) z − 1 P(1, − 2, 1)  π ≡  PQ = (− 4 − 1, 0 − (− 2), 1 − 1) = (− 5, 2, 0 ) π ≡ −5 2 0 =0  PR = (− 3 − 1, 1 − (− 2), 2 − 1) = (− 4, 3, 1) −4 3 1  Desarrollando el determinante por los elementos de la primera fila, operando y ordenando se obtiene la ecuación general del plano que se pide. 2 0 −5 0 −5 2 π≡ (x − 1) − (y + 2 ) + (z − 1) = 0 3 1 −4 1 −4 3

π ≡ 2(x − 1) − (− 5)(y + 2) − 7(z − 1) = 0 π ≡ 2 x + 5 y − 7 z + 15 = 0 b. Una forma de estudiar la posición relativa de dos rectas es relacionarla con el rango de la matriz que forman los vectores de dirección de ambas rectas y un vector formado por un punto de cada recta.  PR  1  − 4 3      P(1, − 2, 1)  R = (− 3, 1, 2)   rPQ ≡  s RS ≡  rg PQ = rg − 5 2 0  ( ) ( ) PQ = − 5 , 2 , 0 RS = 3 , − 4 , − 2      3 − 4 − 2    RS 

−4 3 1 1  − 4 3   −5 2 0 = 0 ⇒ rg − 5 2 0 