´ DE LOS CAMPOS TRANSFORMACION ` LEYES DE AMPERE Y DE BIOT-SAVART Roberto Oscar Pautasso Campos en distintas referencias inerciales Consideraremos aqu´ı las transformaciones que sufren los campos el´ectrico y magn´etico al cambiar el sistema de referencia inercial. Supondremos que la referencia inercial primada se mueve respecto a la no primada a lo largo del eje x con velocidad v = v i. Trataremos s´olo el caso de velocidades no relativistas, es decir: el caso en que es posible despreciar los t´erminos cuadr´aticos en v/c, siendo v la velocidad relativa entre los dos sistemas de referencia inerciales y siendo c la velocidad de la luz en vac´ıo. Las reglas de transformaci´on de las componentes perpendiculares a la direcci´on del movimiento relativo, de los campos magn´etico y el´ectrico son: (v × E′ )i , c2

Bi

= Bi′ +

Ei

= Ei′ + (v × B′ )i .

Por su parte las componentes paralelas de los dos campos se conservan. Las transformaciones inversas se obtienen permutando primas con no primas, seguido del cambio de signo de la velocidad en las dos transformaciones de arriba: (v × E)i , c2

Bi′

= Bi −

Ei′

= Ei − (v × B)i .

Campo de una carga en movimiento Sea una carga q en reposo en el origen de la referencia primada. En ´esta referencia s´olo tenemos el campo el´ectrico E′ de una carga puntual, sin ning´ un campo magn´etico (B′ = 0). En la referencia no primada tenemos una carga q con velocidad v i. Usando las reglas de transformaci´on de los campos no relativistas de la secci´on anterior, de-

terminamos las componentes perpendiculares al movimiento, de los campos magn´etico y el´ectrico: (v × E′ )i , c2

Bi

=

Ei

= Ei′ .

Teniendo en cuenta la segunda, la primera de ´estas relaciones puede escribirse as´ı: B=

v×E . c2

En efecto, las componentes y y z la verifican por ser direcciones perpendiculares al movimiento, y la componente x la verifica tambi´en puesto que Bx′ = 0 y: Bx =

(v × E)x vy E z − vz E y = = 0. c2 c2

(Recordar que las componentes de los campos en la direcci´on del movimiento se conservan) Resumiendo, para velocidades no relativistas el campo el´ectrico en ambas referencias es el mismo: E = E′ , y el campo magn´etico de una carga q que se mueve con velocidad constante v i respecto a la referencia no primada, es: v×E B= c2 ´ Esta f´ormula se presenta a veces, en los libros de texto, sin utilizar la transformaci´on de los campos que nosotros hemos usado.

La ley de Biot y Savart Mostremos que la ley de Biot y Savart se deduce f´acilmente de la expresi´on no relativista del campo magn´etico de una carga en movimiento. Sea dl un elemento de conductor filiforme, en reposo

en la referencia no primada K, orientado seg´ un la corriente positiva de referencia.

Subrayemos que ´este elemento de campo el´ectrico es independiente del tiempo dado que estamos suponiendo que la corriente es estacionaria.

Sea r el vector que sit´ ua el punto P, donde queremos determinar el campo magn´etico, respecto a la posi´ ci´on del elemento de conductor dl. Este vector r se dirige entonces desde el elemento de corriente dl hasta el punto P.

La carga neta dq que contiene el elemento de conductor dl en un instante cualquiera, tiene una velocidad media que llamaremos v. Usando la f´ormula que determina el campo magn´etico de una carga en movimiento:

dE es el campo el´ectrico en P debido a la carga dq que en un instante cualquiera1 contiene el elemento de conductor dl. dB =

dB =

v × dE c2 (

= µ0 ε0 v ×

dq ˆr 4π ε0 r2

Integrando ambos miembros y teniendo en cuenta que la velocidad v es independiente de la posici´on del elemento dl en el conductor:

)

B=

µ0 dq v × ˆr = 4π r2 =

E∗ =

En la segunda igualdad hemos usado la identidad: µ0 ε0 = 1/c2 .

(1)

donde la as´ı llamada permeabilidad magn´etica del vac´ıo vale: µ0 = 4π 10−7 T m/A.

La ley de Amp` ere

B =

´ Esta ley es v´alida si la corriente es estacionaria. Lo supondremos.

1 La

2kλ ˆ R. R

v 2kλ ˆ t c2 R

= µ0 ε0 v

Vamos a considerar el caso particular de un conductor rectil´ıneo infinito. Sea P un punto del espacio que se encuentra a la distancia R del conductor. Sea adem´as r el vector que se dirige desde el elemento de conductor dl—orientado seg´ un la corriente positiva—hasta el punto P donde queremos calcular el campo magn´etico. El elemento de campo el´ectrico dE determinado en P por la carga el´ectrica dq contenida en el elemento de conductor dl es: dE =

(2)

Como el vector v est´a orientado seg´ un la direcci´on del ˆ tiene su direcci´on perpenhilo conductor y el versor R dicular a dicho hilo, resulta que el producto vectorial de la ec. (2) tiene la direcci´on tangente ˆt a la circunferencia de radio R, conc´entrica con el hilo. Adem´as, la orientaci´on de la circunferencia (dada por el versor tangente) y la del hilo conductor est´an ligadas por la regla del tornillo. Consecuentemente, la ec. (2) puede reescribirse as´ı:

En resumen, la ley de Biot y Savart es: µ0 i dl × ˆr 4π r2

v × E∗ , c2

donde E∗ es el campo el´ectrico engendrado por el hilo ´ conductor en el punto P. Este campo puede determinarse mediante la ley de Gauss:

µ0 i dl × ˆr . 4π r2

dB =

v × dE . c2

=

2λ ˆ t 4 π ε0 R

µ0 (λ v) ˆt. 2πR

Pero el producto λ v es la corriente que circula por el hilo conductor, entonces: B=

µ0 ˆ i t. 2πR

Finalmente, calculemos la circulaci´on del campo magn´etico a lo largo de la circunferencia de radio R:

k dq ˆr. r2

I B · dl = µ0 i

ley de Biot y Savart supone corriente estacionaria.

2

donde s´olo hemos tenido en cuenta que dl = dl ˆt. La f´ormula enmarcada es la ley de Amp´ere y es v´alida siempre, sin importar las fuentes que engendren el campo magn´etico ni la forma del camino cerrado.

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