Definición de sistemas de comunicaciones Podemos definir como sistema de comunicaciones a todo aquel que permite la “transmisión de información”. A su vez definimos información como todo aquello que nos da conocimiento. En un sistema de comunicaciones, al ente que transfiere la información de un lado a otro se lo denomina señal. En un sistema de comunicaciones hay tres elementos que se ponen de manifiesto: el transmisor, el receptor y el canal de comunicaciones. Llámese transmisor al equipo encargado de procesar la información para que, ya sea en forma de señal eléctrica o electromagnética, pueda transmitirse por un canal de comunicaciones. El equipo receptor, “recibe” la señal eléctrica del canal de comunicaciones y la procesa para transformarla en su forma original (ya sea una información visual, audible o parte de un sistema de control). Cuando se transmite una información a distancias pequeñas, muy poco puede ocurrirle a la señal ya que las mismas viajan prácticamente a la velocidad de la luz y sólo les tomará algunos picosegundos recorrer el canal en busca del receptor. Pero, en realidad, un canal de comunicaciones puede alcanzar distancias de varios miles o millones de km. como en el caso de una transmisión en el espacio, en la cual el medio de transmisión afecta a la señal produciendo atenuaciones y/o deformaciones o distorsiones de amplitud y fase. Las señales como portadoras de información Las señales eléctricas se caracterizan por su forma de onda, amplitud, frecuencia y fase. Las tensiones e intensidades, como funciones temporales, que pueden presentarse en los circuitos eléctricos son de alguno de los tres tipos siguientes: • Funciones periódicas • Funciones no periódicas • Funciones aleatorias Una señal v(t) es periódica con período T si v(t)=v(t+T) para todo t . La señal senoidal es periódica y posee amplitud, frecuencia, y fase definidas, por lo cual, por sí misma no transporta información. Por esta razón, la onda senoidal es considerada desde el punto de vista eléctrico como una señal primaria y pura, pues además resulta fácil de analizar. Además, cualquier señal eléctrica puede descomponerse en sumas de señales senoidales. Una tensión sinusoidal v(t) está dada por: v(t) = Emax cos (ωt +φ ) donde Emax es la amplitud, ω es la pulsación o frecuencia angular y φ es el ángulo de fase. La pulsación ω puede expresarse en función del período T o de la frecuencia f, donde f= 1/T. La frecuencia se mide en hercios, Hz, o ciclos/s. Puesto que cos ω = cos (ωt + 2π),ω y T están relacionados por ωT = 2π . Si se toma T en segundos, la v(t) pasará por su valor original, 1/T ciclos en un segundo.

Desfases temporal y angular: Una función retrasada τ segundos respecto de v(t) = cos ωt se obtiene haciendo v(t -τi) = cos ω(t -τ) = cos (ωt - φ), donde φ =ωT. Gráficamente este retardo significa que la cura v(t) se desplaza hacia la derecha un valor de τ segundos, lo que corresponde a un retraso de fase de φ =ωτ = 2πfτ. La función v(t + τ) está desplazada hacia la izquierda T segundos teniendo entonces un desfase temporal de T segundos, lo que representa un ángulo de fase en adelanto. En general todas las señales que se repiten en el tiempo como las ondas cuadradas, triangulares, etc., no transmiten información por ellas mismas y se denominan señales periódicas ya que se repiten con un período T. Si algún parámetro de esas señales (amplitud, frecuencia o fase) varían en forma aleatoria, se dice que transmiten información pues no se puede predecir en que forma variarán, con el próximo ciclo de la señal. Ancho de banda: Se define como ancho de banda a la banda de frecuencias que es capaz de manejar un elemento o equipo. Matemáticamente se expresa como: BW (band wide)= fmáx. - fmín.

fmáx: máxima frecuencia de trabajo fmín: mínima frecuencia de trabajo

Ondas y espectro radioeléctrico Las ondas electromagnéticas se propagan en el espacio y su alcance depende, fundamentalmente de la frecuencia de las mismas. De aquí que dichas ondas se clasifican en “bandas” dentro de un espectro: “El espectro radioeléctrico”. Una onda electromagnética u “onda de radio” se propaga gracias al intercambio continuo de energía eléctrica y energía magnética. Una propiedad fundamental de estas señales es que se propagan a velocidad

constante en el vacío con un valor de aproximadamente 300.000 km./s. La velocidad de la onda dependerá de su frecuencia y se calcula como:

λ=v/f

λ : longitud de onda (m) v: velocidad de propagación (km. / seg.) f: frecuencia de la señal (Hz)

El término “espectro” se usa para indicar un margen de banda de frecuencias y el espectro radioeléctrico cubre frecuencias desde 3 Khz a 1012 Hz. Según se indica en la siguiente tabla. BANDA VLF LF MF HF VHF

MARGEN DE FRECUENCIAS 3 a 30 KHz 30 a 300 KHz 300 KHz a 3 MHz 3 a 30 MHz 30 a 300 MHz

LONGITUD DE ONDA 100 a 10 km 10 a 1 km

USOS PRINCIPALES

100 a 10 m 10 a 1 m

Radiodifusión (OC), radiotelef. Radiodifusión (OC y FM)./ T.V./ Radcomunic./radnaveg.aerea T.V./equipos móviles/Rnav./Radar/ Radioenlaces Radioenlaces/ Radar/ comunic. satelitales Radar/ comunic. satelitales

Comunicaciones a gran distancia. Radiodifusión/ radionavegación marítima 1 km a 100 m Radiodifusión (OL y OM), radiotelef.

1 m a 10 cm

SHF

300 Mhz a 3 GHz 3 a 30 GHz

EHF

30 a 300 GHz

1 cm a 1 mm

UHF

10 a 1 cm

Introducción al concepto de modulación: su justificación A las señales de información se las denomina genéricamente como señales de “banda base”. La eficacia de la transmisión requiere que las señales que llevan información sean procesadas de alguna forma antes de que se transmitan por un determinado medio. Muy comúnmente, las señales de banda base tienen que ser desplazadas a frecuencias superiores para que la transmisión sea más eficiente. Esto se logra por medio de la variación de amplitud, frecuencia o fase de una onda senoidal de alta frecuencia a la que se denomina “Portadora”, de acuerdo con la información que se va a transmitir. Este proceso de alteración de las características de una onda senoidal portadora se conoce con el nombre de “modulación”. Las señales de banda base constituyen la señal “moduladora”, y la señal que resulta del proceso es la “Portadora modulada” de alta frecuencia. El uso de altas frecuencias proporciona una radiación de la energía eléctrica más eficiente y pone al alcance anchos de banda mayores para una transferencia de información superior a la que es posible con bajas frecuencias. Propiedades de las señales y del ruido En los sistemas de comunicaciones las formas de onda recibidas están usualmente categorizadas en una parte deseada que contiene información y

una parte no deseada: a la primera se la denomina “señal” y a la segunda “ruido”. La forma de onda de interés puede ser una variación de tensión como función del tiempo v(t), o una variación de corriente como función del tiempo i(t). Generalmente la forma de onda se denotará como f(t) cuando no se especifique expresamente con cual de ellas estamos tratando. Valor medio de continua: El valor medio de una forma de onda f(t) está dado por: f(t) = lim 1/T f(t) dt T En algunos casos nos puede interesar evaluar el valor medio solamente sobre un intervalo finito, por ejemplo desde T1 hasta T2, o sea: f(t) =

1 T2 - T1

f(t) dt

Potencia: Sea un circuito C con un par de terminales sobre los cuales hay una tensión v(t) aplicada y por los que circula una corriente i(t) como se ve en la figura. La “potencia instantánea” que consume este circuito está dada por: p(t) = v(t) . i(t)

donde si la p(t) fluye dentro del circuito , es positiva y si fluye hacia fuera , es negativa. La potencia media está dada por: ---- ---------P = p(t) = v(t) . i(t) Valor eficaz: También conocido como valor cuadrático medio (RMS) está dado por: ---fRMS = f2(t) Si alimentamos una carga resistiva pura, la potencia media estará dada por: P = v2(t) = i2(t) . R = Vef2 = Ief2 . R = Vef . Ief R R Para una forma de onda sinusoidal con amplitud máxima V o I, el valor eficaz correspondiente será: Vef = Vmax / 2 o Ief = Imax / 2 Y la potencia media será por lo tanto: P = ½ . Vmax . Imax Potencia y energía normalizadas La “potencia media normalizada” es la potencia media desarrollada sobre una resistencia de 1 y está dada por: P = f2(t) = lim 1/T

f2(t) dt

La “energía total normalizada” está dada por: E = lim

f2(t) dt

Revisión del concepto de fasor Las amplitudes instantáneas de una señal senoidal se pueden asociar a un vector giratorio que tenga una longitud igual a la máxima amplitud de la forma de onda, como se ve en la figura:

Por medio de funciones trigonométricas podemos hallar el valor instantáneo multiplicando la máxima amplitud por el seno del ángulo: e = E . sen θ

e: valor instantáneo E: valor máximo θ :ángulo entre el vector y el eje de referencia

Este vector gira a una determinada velocidad angular ω , la cual está relacionada con la frecuencia de la forma de onda por: ω = 2π f . El vector en su desplazamiento barrerá un cierto ángulo en un cierto tiempo , el cual se expresa como ω.t . Por lo tanto el valor instantáneo de la forma de onda podrá expresarse como: e = E . sen (ωt +θ ) donde θ expresa una cierta posición inicial del vector para t = 0 y que se denomina “ángulo de fase”. Este nos define las condiciones de adelanto o atraso de la señal. De lo antes expuesto definimos al “fasor” como un vector rotante cuya función matemática la asimilamos con la representación de una forma de onda senoidal. El fasor puede ser descompuesto en sus “componentes en cuadratura”, las que se obtienen al proyectar al vector sobre los ejes cartesianos. e = E . sen (ω t +θ ) = an . cos ωt + bn . sen ωt donde : r = an cuando θ = 0º y r = bn cuando θ= 90º

Por otra parte, como el fasor es un número complejo puede ser escrito así: e = x + j y = e . ej = e donde: e = r = E = an + y

bn

θ = arctg (y/x) = arctg (bn / an )

El dominio de la frecuencia En la siguiente figura podemos observar distintos tipos de señales:

La señal a) es una onda senoidal con una amplitud de pico Vp y un periodo T. Este tipo de forma de onda es el más fundamental que existe. En contraposición, a las señales b), c) y d) se las denomina “no senoidales”. También se las caracteriza como “periódicas” pues se repiten cíclicamente cada cierto tiempo T (período). Armónicas: Toda señal periódica y continua puede ser reproducida por una suma infinita de ondas senoidales, es decir, si se suman ondas senoidales con la amplitud, frecuencia y fases adecuadas, podrá reproducirse cualquiera de las señales vistas. En otras palabras, cualquier onda periódica es el resultado de la superposición de ondas senoidales, las cuales se encuentran armónicamente relacionadas, es decir, que sus respectivas frecuencias son “armónicas” (múltiplos) de una “fundamental” (frecuencia menor).

Dada una onda periódica será posible medir su período en un osciloscopio. El recíproco del valor T será igual a la frecuencia fundamental: f1 = 1/T La segunda armónica tiene una frecuencia igual a: f2 = 2 . f1 La tercera armónica tiene una frecuencia igual a: f3 = 3 . f1 Y en gral.. la enésima armónica tiene una frecuencia igual a: fn = n .f1 En las siguientes figuras se representan una onda cuadrada y una diente de sierra como la suma de sus primeras armónicas:

allí podemos observar que: 1) En la medida que se suman más armónicos, se tiene una mejor aproximación. 2) La mejor aproximación se aprecia con mayor claridad en los flancos abruptos. 3) La cantidad de armónicas es infinita pero sus amplitudes van decreciendo a medida que crecen sus frecuencias, tendiendo a 0. Serie de Fourier Lo antes visto puede expresarse matemáticamente así:

+ a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt +.....+an cos nωt+....... .......+ b1 sen ωt + b2 sen 2ωt + b3 sen 3ωt +....+bn sen nωt +......

V(t) = ½. a0

Esta ecuación se conoce como “serie de fourier” y expresa que una onda periódica es la superposición de ondas senoidales relacionadas armónicamente. El voltaje v es el valor instantáneo de la onda periódica, el cual se obtiene al sumar la componente de continua más los valores instantáneos de cada una de las armónicas. En dicha ecuación a0 es la designación del término de c.c. (valor medio). Las a1 y b1 de las series coseno y seno representan la componente de la señal fundamental de la forma de onda. La señal de frecuencia más baja contenida en la forma de onda representa también la frecuencia fundamental de la propia señal y debe ser considerada en cualquier serie de Fourier. Los subíndices más altos asignados a an y bn indican los armónicos de orden más alto de la fundamental (múltiplos de la frecuencia fundamental de la señal). La serie de Fourier se puede expresar así

a0 / 2 + Σ (an cos nωt + bn sen nωt) Si bien n ---- ∞ , en el laboratorio, con 5 o 10 armónicas es suficiente para sintetizar una onda periódica con una tolerancia del 5 %. Espectro de una señal Al descomponer una onda periódica a sus respectivas armónicas para su análisis se está analizando a forma indirecta la propia onda periódica. En otras palabras existen dos formas para estudiar una señal no senoidal, una consiste en considerar lo que hace la onda periódica en cada instante (análisis en el dominio del tiempo), y la otra consistiría en determinar lo que hace cada armónica (análisis en el dominio de la frecuencia). Componentes espectrales: Supóngase que A representa el valor pico a pico de una onda diente de sierra. Mediante matemáticas avanzadas se puede demostrar que: Vn = A / nπ

Por ejemplo la figura muestra una onda diente de sierra con una amplitud pico a pico de 100 V, por lo tanto las armónicas tendrán los siguientes valores pico y de frecuencia: c = Vo f1, V1 f2, V2 f3, V3 .......... fn, Vn

Vo = área bajo curva = 20 V T f1 = 1/ T = 1 Mhz ; V1 = A / π = 31,8 V f2 = 2 f1 = 2 Mhz ; V2 = A / 2π = 15,9 V f3 = 3 f1 = 3 Mhz ; V3 = A / 3π = 10,6 V ............................................................... ...............................................................

El diagrama donde se representan las amplitudes de cada uno de los armónicos que constituyen una onda se denomina “espectro de la onda” La amplitud de los armónicos decrece rápidamente para ondas con series que convergen rápidamente. Las ondas con discontinuidades, como la onda de dientes de sierra o la onda cuadrada, tienen un espectro cuyas amplitudes decrecen lentamente, ya que sus desarrollos en serie tienen armónicos de elevada amplitud. Los armónicos décimos tendrán a menudo amplitudes de valor significativo comparados con el fundamental. En contraste, los desarrollos en serie para las ondas sin discontinuidades, y con una apariencia generalmente suave, convergen rápidamente, por lo que para generar la onda se requieren muy pocos términos del desarrollo en serie. Tal convergencia rápida se hace evidente en el espectro de la onda, donde las amplitudes de los armónicos decrecen rápidamente, de forma que por encima del quinto o del sexto son insignificantes. El contenido en armónicos y el espectro de la onda son parte de la propia naturaleza de dicha onda y nunca cambian. Los armónicos que aparecen en los desarrollos tienen amplitudes representadas con la forma : co= I ½. a0 I y

cn=

a +b para todo n≥1

Veamos algunos ejemplos comunes de forma de onda y sus espectros.

Mediante un osciloscopio (un instrumento en el dominio del tiempo) se observa la señal periódica como función del tiempo (ver figs. a,b,c y d), donde el eje vertical representa el voltaje de la señal y el eje horizontal representa el tiempo. Es decir, la imagen del osciloscopio es la representación gráfica del valor instantáneo v de la onda periódica. Un “analizador de espectros” es un instrumento en el dominio de la frecuencia: su eje horizontal representa la frecuencia y su eje vertical los valores pico de voltaje de las armónicas. El espectro normalmente, difiere de una señal periódica a otra Por ejemplo, para el caso del diente de sierra antes visto, se verá en el analizador una imagen como la de la figura b). Simetría de las señales Los términos de la serie de Fourier seno o coseno pueden tener amplitud cero , dependiendo de las características de una forma de onda compleja en particular ; Estos factores se pueden determinar por la propia forma de onda comparando su configuración con las características de simetría que se observen. Por ejemplo, consideremos las formas de onda compleja representadas en la figuras (a) y (b):

La línea vertical marcada “y” divide en dos partes iguales dicha figura (a) , lo que evidencia la simetría con respecto al eje vertical: Esta simetría de eje vertical corresponde a una” función par”, en la cual las constantes seno (bn) son todas nulas. Para una forma de onda compleja con este eje de simetría el punto situado a la izquierda del eje vertical (-ωt) tiene la misma amplitud y polaridad eléctrica que el punto (+ωt) simétrico situado a la derecha del eje vertical. Como las constantes seno son cero, la forma de onda sólo contiene valores coseno (an) y de c.c. (ao). Los términos coseno tienen los mismos signos algebraicos para los puntos -ωt y +ωt representados en dicha figura (a). En cambio, los términos seno tienen signos contrarios en los puntos -ωt y +ωt. Para el tipo de forma de onda representado en la figura(b), la línea vertical (y) divide a la forma de onda entre las secciones positiva y negativa. Los puntos equidistantes del eje vertical -ωt y +ωt tienen la misma amplitud, pero polaridades eléctricas opuestas, contrariamente a los de la figura (a) en que los dos puntos tienen la misma polaridad. Así la forma de onda de la figura (b) tiene simetría de punto (simetría con respecto al origen) y se la denomina función impar. Una señal con estas características indica que las constantes coseno (an) son todas cero, y que en la serie de Fourier sólo se utilizan los términos seno (bn) y la corriente continua. Las formas de onda que contienen sólo señales armónicas impares son simétricas con respecto al eje horizontal; De las formas de onda mostradas hay 2 que poseen armónicas impares solamente. Cualquier forma de onda con “simetría de media onda” tiene la propiedad de poseer solo armónicas impares. Tener simetría de media onda significa que si se invierte el semiciclo negativo de la señal se obtiene un duplicado exacto del semiciclo positivo. Veamos los siguientes ejemplos:

Los casos a) y b) presentan simetría de media onda, no así el caso c), pues si invertimos el semiciclo negativo y lo desplazamos hacia la izquierda vemos que no hay una correspondencia completa. Por lo tanto esta señal tendrá también armónicas pares.

Espectros continuos y discretos Consideremos ahora un tren de pulsos de amplitud A, ancho τ y período T. Su espectro estará dado por la siguiente figura, donde las amplitudes de las armónicas se calculan con la función envolvente: A . sinc f = A (sen f/ f)

Si aumentamos el período T a un valor T’, las armónicas se comprimen en frecuencia pues si T aumenta entonces 1/ T disminuye. En el caso límite en que T tiende a infinito, la forma de onda se convierte en “aperiódica” y las armónicas se han unificado en un “espectro continuo”. Efecto de la componente continua en el espectro Si se añade una componente de corriente continua a cualquier forma de onda, el único cambio en el espectro es la presencia de una línea en la frecuencia 0. La altura de esta línea representa la magnitud del voltaje de corriente continua. Distorsión armónica Dada una etapa amplificadora con un transistor cuya curva de trasconductancia es la que se ve en la figura:

Cuando una señal amplificada es pequeña solo se emplea una pequeña parte de la curva mostrada, y por ello, la operación tiene lugar sobre un tramo de la misma que es prácticamente lineal. Una operación de este tipo se la llama “lineal” pues los cambios en la corriente de salida (Ic) son proporcionales a los cambios en el voltaje de entrada (VBE). O sea, la forma de onda de la señal amplificada es proporcionalmente igual a la forma de onda de la señal de entrada. Esto implica que no se produce ninguna distorsión cuando se opera linealmente con pequeñas señales de entrada. Sin embargo, cuando la señal de entrada es grande (como se ve en la fig.), los cambios en la corriente de salida dejan de ser proporcionales a los cambios de la señal de entrada. Esto indica que se produce “distorsión no lineal” a causa de la falta de linealidad de la curva de trasconductancia, la cual hace que la I de salida deje de ser senoidal pura. Arbitrariamente se ha mostrado más ganancia en uno de los semiciclos que en el otro; este tipo de distorsión se denomina “distorsión de amplitud”. En la siguiente figura se muestra esta distorsión desde el punto de vista del tiempo (fig. a).

La figura b) muestra la manera en que se visualiza la misma situación en el dominio de la frecuencia.

El espectro de entrada está compuesto por una sola línea en f1 (frecuencia de la señal de entrada). La señal de salida está distorsionada pero sigue siendo periódica, por lo tanto, contiene la componente de continua y las armónicas mostradas (arbitrariamente sólo se han considerado cuatro armónicas). La intensidad de las armónicas superiores nos permitirá determinar la magnitud de la distorsión en términos del dominio de la frecuencia, razón por la cual se la conoce como “distorsión armónica”. Así, cuanto mayores sean los valores pico de las armónicas, mayor será la distorsión armónica. Se define el porcentaje de distorsión de segunda armónica como: (V2/ V1) . 100 % El porcentaje de distorsión de tercera armónica como: (V3/ V1) . 100 % Y así sucesivamente para cualquier armónica, hasta la enésima: (Vn/ V1) . 100 %

Por lo general, las hojas técnicas de los fabricantes de equipos indican el valor de la “distorsión armónica total”, definida como: DTOTAL = (% 2º arm.)2 + (% 3º arm.)2 + ... Distorsión de frecuencia Es diferente a la distorsión no lineal, pudiendo aun ocurrir en operación de pequeña señal, y es debida a un cambio en la ganancia del amplificador con la frecuencia. La figura siguiente muestra el espectro de entrada formado arbitrariamente con varias componentes armónicas de amplitudes iguales.

Si la frecuencia de corte del amplificador es menor que la mayor de las frecuencias de las senoides, las frecuencias más altas son atenuadas. En otras palabras, la distorsión en frecuencia es un cambio en el espectro de la señal ocasionado por las frecuencias de corte del amplificador.

Distorsión de fase Se produce cuando la fase de una armónica se desfasa con respecto a la fundamental. Por ejemplo, en la figura se muestra el pico de la 3º armónica en fase con el pico de la fundamental. Si se presenta distorsión de fase, la 3º armónica se desfasará con respecto a la fundamental de salida. Casi siempre la distorsión de frecuencia y de fase se presentan juntas. En la banda media de un amplificador, la ganancia de tensión y el corrimiento de fase son constantes (ya sea 0º o 180º). Por lo tanto, no ocurrirá ninguna distorsión de frecuencia o de fase si todas las componentes senoidales se encuentran en la banda media del amplificador. Fuera de la banda media la ganancia de tensión decae y el ángulo de fase cambia; por lo tanto, se producirá distorsión de frecuencia y de fase si el espectro contiene componentes fuera de la banda media.

Valor eficaz y potencia media de una señal poliarmónica El valor eficaz de (rms) de la función

+ a1 cos ωt + a2 cos 2ωt + a3 cos 3ωt +.....+an cos nωt+....... .......+ b1 sen ωt + b2 sen 2ωt + b3 sen 3ωt +....+bn sen nωt +......

V(t) = ½. a0

Es de la forma:

Partiendo de un circuito lineal con una tensión aplicada periódica, debería esperarse que la intensidad resultante contuviera los mismos términos de armónicos que la tensión, aunque con amplitudes de diferente magnitud relativa, ya que la impedancia varía con nω . Es posible que algunos armónicos no aparezcan en la intensidad; por ejemplo, en un circuito paralelo LC puro, una de las frecuencias de los armónicos puede coincidir con la frecuencia de resonancia, haciendo que la impedancia para esa frecuencia sea infinita. En general puede escribirse los correspondientes valores eficaces de

La potencia media P se obtiene de la integración de la potencia instantánea, la cual se obtiene del producto de v e i.Por tanto, la potencia media es P = Vo.lo + ½ Vl.I1 cos

θ1 + ½.V2.I2 cos θ 2 + ½. V313 cos θ3 + .. .

donde θn es el ángulo de la impedancia equivalente del circuito para la frecuencia nω y Vn e 1n son los valores máximos de sus funciones senoidales respectivas. En el caso especial de una tensión senoidal de una única frecuencia, Vo = V2 = V3 = · · = 0 y P se reduce a la expresión conocida P = 1/2 .V1.I1 cos θ1 = Vef. lef cosθ\ En lo que a potencia se refiere a cada armónico actúa en forma independiente

P = P0 + P1 + P2 + P3 + .........